Trigonométrie 2ème année

Trigonométrie 2ème année1
Collège Sainte-Croix
Brice Canvel
[e-mail]
Table des matières
I - Angles, dregrés et radians 2
II -Rappel de trigonométrie dans un triangle rectangle 5
III -Le cercle trigonométrique 7
IV -Théorème du sinus 14
V - Théorème du cosinus 15
1 Basé sur Fundamentum de mathématiques : notions élémentaires, CRM et sur le cours de Bernard GISIN, Collège Claparède, Genève

2
I - Angles, dregrés et radians
Définition 1 Angle
Un angle est une portion de plan limitée par deux demi-droites de meme sommet.
La mesure d’un angle indique quel est l’écartement entre les deux demi-droites qui forment l’angle.
Une unité de mesure d’angle est le degré. Elle est basée sur la subdivision d’un disque en 360 angles de meme grandeur.
Une autre unité de mesure est le radian.
LEXERCICE 1
Mesurez avec un rapporteur les grandeurs des angles ci-dessous.
Déterminez les longueurs d’arcs L1, L2et L3ci-dessous et dans chaque cas le rapport le la longueur d’arc sur la longueur du rayon
du cercle correspondant ( Lk
kpour k=1 à 3).
Ecrivez vos résultats avec 3 chiffres après la virgule. Les longeurs sont en centimètres.
(a)
α≈
L1≈L1
1≈
L2≈L2
2≈
L3≈L3
3≈
(b)
β≈
L1≈L1
1≈
L2≈L2
2≈
L3≈L3
3≈
Trigonométrie 2ème année, 2009-10

3
(c)
γ≈
L1≈L1
1≈
L2≈L2
2≈
L3≈L3
3≈
Que remarquez-vous ?
(d)
δ≈
L1≈L1
1≈
L2≈L2
2≈
L3≈L3
3≈
Trigonométrie 2ème année, 2009-10

4
(e)
ǫ≈
L1≈L1
1≈
L2≈L2
2≈
L3≈L3
3≈
Cet exercice montre une manière de définir la grandeur d’un angle. Laquelle ?
Définition 2 Radians
Le radian est une unité de mesure d’angle.
Angle = L
r[radians].
r: longueur du rayon d’un cercle centré au sommet de l’angle.
L : la longueur de l’arc qui est intercetpée par l’angle.
Pour un angle donné, le rapport L
rest indépendant du rayon r choisi. En particulier, si r =1, alors l’angle en radian est
égal à L.
Trigonométrie 2ème année, 2009-10

5
II - Rappel de trigonométrie dans un triangle rectangle
Conventions
ABC désigne les sommets d’un triangle rectangle.
αdésigne la mesure de l’angle de sommet A. adésigne la mesure du côté opposé à l’angle α.
βdésigne la mesure de l’angle de sommet B. bdésigne la mesure du côté opposé à l’angle β.
γdésigne la mesure de l’angle de sommet C. cdésigne la mesure du côté opposé à l’angle γ.
Définition 3
Le plus long côté du triangle rectangle s’appelle :
Les autres côtés du triangle rectangle s’appelle :
Le côté à αest le côté [AC].
Le côté à αest le côté [BC].
Le côté àβest le côté [AC].
Le côté àβest le côté [BC].
Les trois côtés sont reliés par la formule : par le théorème de Pythagore.
Sinus de alpha : sin(α)=α
Cosinus de alpha : cos(α)=α
Tangente de alpha : tan(α)=α
α
Trucs mnémotechniques
"sin op ip" signifie :
"cos adj ip" signifie :
"tan op adj" signifie :
Définition 4 Fonctions réciproques
Si on connait les longueurs des cotés du triangle rectangle, on peut déterminer les angles comme suit :
α=arcsin³´=sin−1( ) sur la calculatrice. On dit "arc sinus" de sur .
α=arccos³´=cos−1( ) sur la calculatrice. On dit "arc cosinus" de sur .
α=arctan³´=tan−1( ) sur la calculatrice. On dit "arc tangente" de sur .
Trigonométrie 2ème année, 2009-10