Géométrie spinorielle et théor`emes de la masse positive

G´eom´etrie spinorielle et
th´eor`emes de la masse
positive
Simon RAULOT
M´emoire de DEA
Sujet propos´e par Oussama HIJAZI

Introduction
Ce travail a pour objectif de d´emontrer deux th´eor`emes de masse pos-
itive en suivant la m´ethode utilis´ee par Edward Witten (voir [W]) qui fait
intervenir des outils spinoriels. Pour se faire, on suivra plus particuli`erement
l’article de Marc Herzlich [He1] et celui de Parker et Taubes [PT].
Dans la premi`ere partie, un petit d´etour par la physique (plus sp´ecifiquement
par la relativit´e g´en´erale) s’impose. En effet, le th´eor`eme de la masse posi-
tive est un ´enonc´e math´ematique bas´e sur l’id´ee intuitive que la masse totale
d’un syst`eme gravitationnel doit ˆetre positive ou nulle d`es qu’il poss`ede une
densit´e de masse locale positive. C’est donc dans cette premi`ere partie que
l’on va voir comment on peut associer (`a une certaine classe de vari´et´es)
un invariant g´eom´etrique, et pourquoi on peut alors l’assimiler `a une masse
(ou `a une ´energie du fait que masse et ´energie sont intimement li´ees par la
c´el`ebre ´equation d’Einstein).
La deuxi`eme partie sera consacr´ee `a la g´eom´etrie spinorielle et `a l’op´erateur
de Dirac. Apr`es un travail alg´ebrique assez important (voir Annexe), on
pourra d´efinir la notion de structure spinorielle sur une vari´et´e riemanni-
enne orient´ee, ce qui nous permettra alors de construire un fibr´e vectoriel
associ´e (le fibr´e des spineurs) et de s’int´eresser `a ses sections : les spineurs.
On pourra ensuite d´efinir l’op´erateur de Dirac qui, comme on le verra, est un
op´erateur diff´erentiel lin´eaire elliptique d’ordre un agissant sur les champs
de spineurs. Cet op´erateur est un outil fondamental en g´eom´etrie spinorielle
et il est aussi tr`es important pour traiter le probl`eme qui nous int´eresse
ici. On verra ensuite que lorsque l’on s’int´eresse `a la g´eom´etrie extrins`eque
d’une hypersurface immerg´ee, on peut alors identifier les diff´erents fibr´es
des spineurs entrant en jeu. De la mˆeme mani`ere, on pourra ainsi d´efinir
diff´erents op´erateurs de Dirac, dont un s’av`erera tr`es important dans la
r´esolution des th´eor`emes de masse positive : l’op´erateur de Dirac-Witten. On
finira cette partie en s’int´eressant plus particuli`erement aux vari´et´es rieman-
niennes spinorielles poss´edant un bord non vide, et donc aux diff´erents types
de conditions `a bord que l’on peut imposer `a la r´esolution d’une ´equation
mettant en jeu un op´erateur diff´erentiel agissant sur les sections d’un fibr´e
vectoriel. On appliquera ensuite les r´esultats obtenus au cas de l’op´erateur
1

de Dirac.
La troisi`eme partie de cet expos´e a pour objectif de d´emontrer un th´eor`eme
de masse positive dˆu `a Marc Herzlich (voir [He1]). Ce th´eor`eme ´etait ini-
tialement destin´e `a prouver une in´egalit´e de type-Penrose (in´egalit´e plus
fine que la positivit´e de la masse), mais, mˆeme sortie de ce contexte, la
d´emonstration faite par Herzlich est tr`es int´eressante du fait qu’elle utilise
un certain type de condition `a bord. On verra aussi de la mˆeme mani`ere en
quoi la g´eom´etrie spinorielle est un outil tr`es puissant donnant une preuve
assez simple d’un th´eor`eme rest´e longtemps sans d´emonstration.
Le quatri`eme et dernier chapitre sera lui aussi consacr´e `a la d´emonstration
d’un th´eor`eme de masse positive plus connu sous le nom de th´eor`eme de
l’´energie positive. Cette partie s’appuiera essentiellement sur l’article de
Parker et Taubes [PT] qui est en fait un raffinement de l’article de Edward
Witten [W] qui fut le premier `a voir quel rˆole pourrait avoir l’utilisation des
techniques spinorielles dans le cadre de la conjecture de la masse positive.
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Table des mati`eres
1 Relativit´e g´en´erale 5
1.0.1 Apparition d’un invariant g´eom´etrique . . . . . . . . . 5
1.0.2 Pourquoi appeler cet invariant “masse” . . . . . . . . 10
2 Structures spinorielles et op´erateur de Dirac 13
2.1 Connexion et courbure spinorielle . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Vari´et´e spinorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 La connexion de Levi-Civita spinorielle . . . . . . . . 16
2.1.3 Le tenseur de courbure spinoriel . . . . . . . . . . . . 19
2.2 L’op´erateur de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Op´erateurs diff´erentiels lin´eaires . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 L’op´erateur de Dirac sur des vari´et´es compactes sans
bord............................ 24
2.2.3 La formule de Schr¨odinger-Lichnerowicz . . . . . . . . 30
2.3 Restriction des spineurs `a une hypersurface . . . . . . . . . . 32
2.3.1 Restriction de la structure spinorielle . . . . . . . . . . 33
2.3.2 Identification du fibr´e des spineurs Savec le fibr´e ΣM 34
2.3.3 La formule de Gauss spinorielle . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Ellipticit´e des conditions `a bord . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1 Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.2 Le cas de l’op´erateur de Dirac . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.3 Deux types de condition `a bord . . . . . . . . . . . . . 40
3 Un th´eor`eme de masse positive 42
3.1 Une formule de Bochner-Lichnerowicz-Weitzenb¨ock . . . . . . 43
3.2 Choix d’un spineur convenable pour la r´esolution du probl`eme 47
3.3 “Apparition” de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Th´eor`eme de l’´energie positive 56
4.1 Une formule de Weitzenb¨ock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Expression de l’´energie en terme de spineurs . . . . . . . . . . 64
4.3 R´esolution de l’´equation de Dirac sur l’hypersurface . . . . . 69
3

4.4 Preuve du th´eor`eme de l’´energie positive . . . . . . . . . . . . 76
A Alg`ebres de Clifford et groupes spinoriels 79
A.1 Alg`ebres de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A.1.1 D´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . 79
A.2 Classification des alg`ebres de Clifford . . . . . . . . . . . . . . 85
A.2.1 Les alg`ebres de Clifford r´eelles . . . . . . . . . . . . . 85
A.2.2 Les alg`ebres de Clifford complexes . . . . . . . . . . . 89
A.3 Le groupe spinoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
A.3.1 D´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . 91
A.3.2 Le groupe Spinnen petite dimension . . . . . . . . . . 96
A.3.3 Alg`ebre de Lie du groupe Spinn............. 99
A.4 Repr´esentations des alg`ebres de Clifford et repr´esentation spinorielle101
A.4.1 Quelques ´el´ements de la th´eorie des repr´esentations . . 101
A.4.2 Repr´esentations irr´eductibles des alg`ebres de Clifford . 101
A.4.3 Repr´esentations spinorielles r´eelle et complexe . . . . . 106
B Les fibr´es vectoriels et principaux 109
B.1 Fibr´es vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
B.2 Fibr´es principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
B.3 Forme de connection et d´eriv´ee covariante . . . . . . . . . . . 111
B.4 Forme de courbure et tenseur de courbure . . . . . . . . . . . 113
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