Série_4

S´erie d’exercices 4
Automne 2015
Exercice 1 Soit Kun corps et f∈K[x] un polynˆome tel que deg(f)≥1. Soit
V=K[x]/(f) que l’on voit comme un K[x]-module. Soit g∈K[x] tel que pgcd(f, g) = 1.
On consid`ere l’application
[g] : V→V
v7→ gv
Montrer que [g] est un isomorphisme que K[x]-moudle.
Exercice 2 Soit Kun corps et V=K[x]/(x−λ)npour λ∈Ket n∈Z≥1. On voit V
comme un K-espace vectoriel. On consid`ere l’op´erateur K-lin´eaire [x] : V→Vdonn´e par
v7→ xv. Soit w∈Vtel que xw =µw pour un certain µ∈Ket µ6=λ. Alors montrer que
w= 0. Conclure que Vne contient qu’un seul vecteur propre (`a un scalaire pr`es) qui est
donn´e par w= (x−λ)n−1.
Exercice 3 Soit V=Kn. Un op´erateur K-lin´eaire T:V→Vest dit
(1) inversible, si Test un op´erateur K-lin´eaire inversible,
(2) nilpotent, si Tm= 0 pour un certain m≥0.
Soit T:V→Vun op´erateur K-lin´eaire. Alors montrer qu’il existe des sous-espaces
U, W ⊆Vtels que
(1) V=U⊕Wavec Uet Wqui sont stables sous T,
(2) T|Uest inversible,
(3) T|West nilpotent.
Exercice 4 Soit a(x) = xk+ak−1xk−1+...+a1x+a0∈K[x]. On pose V=K[x]/(a(x)).
Comme toujours, on consid`ere l’op´erateur K-lin´eaire [x] : V→Vdonn´e par v7→ xv. On
consid`ere la base (ordonn´ee) B={1, x, . . . , xk−1}de V. Montrer que
[x]B=
0 0 ... 0−a0
1 0 ... 0−a1
0 1 ... 0−a2
.
.
..
.
.... .
.
..
.
.
0 0 1 −an
(1.1)
Note: La matrice (1.1) est appel´ee la matrice compagnon de a(x) et cette matrice sera
not´ee pour le futur par Ca(x).
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Exercice 5 Soit Kun corps et V=K[x]/(f) pour un f∈K[x] avec deg(f)≥1. On
consid`ere l’op´erateur K-lin´eaire [x] : V→Vdonn´e par v7→ xv. En utilisant le th´eor`eme
de structure pour les K[x]-modules de torsion de type fini, montrer qu’il existe une base B
de Vtelle que
[x]B=
Ca1(x)
Ca2(x)
...
Cas(x)
(1.2)
o`u ai(x)∈K[x] sont des polynˆomes unitaires tels que a1(x)|a2(x)|a3(x)|...|as(x).
Indice: Utiliser le th´eor`eme de stucture pour les K[x]-modules de torsion de type fini.
Exercice 6 Soit Run anneau commutatif unitaire et M=Rnvue comme un R-module
(Ragissant de mani`ere diagonale sur M). Soit p∈EndR(M). Soit Bla base standard de
M. On a une repr´esentation matricielle
P:= [p]B∈Mn×n(R).
On d´efinit le polynˆome caract´eristique de pcomme ´etant
f(t) := det(tIn−P)∈R[t],
o`u Inest la matrice identit´e (v´erifier que f(t) est bel et bien ind´ependant du choix de la R
base de M).
On a une action naturelle de R[t] sur Mo`u tagit sur Mvia l’endomorphisme p:M→
M. On peut voir f(P) comme un ´el´ement de Mn×n(R). Montrer que f(P) = 0. En
d’autres mots, le polynˆome caract´eristique de P´evalu´e en Pest nul (il s’agit du c´el`ebre
th´eor`eme de Cayley-Hamilton).
Indice: Poser B:= (tIn−P)∈Mn×n(R[t]) et consid´erer la matrice compl´ementaire
de Bqui est une matrice co(B) telle que co(B)·B= det(B)Inet B·co(B) = det(B)In.
Exercice 7 Soit V=knet T:V→V. On voit comme d’habitude Vcomme un
k[x]-module via T. Montrer que le polynˆome caract´eristique f(t) de Test ´egal au produit
des facteur invariants de V(lorsque Vest vu comme un k[x]-module).
Exercice 8 Soit V=Cnet T:V→Vun op´erateur C-lin´eaire. On voit comme
d’habitude Vcomme un C[x]-module via T. On consid`ere l’ensemble
J:= {g∈C[x] : g(T) = 0}.
(1) Montrer que Jest un id´eal non-nul de C[x].
(2) Soit J= (m(x)) o`u m(x) est unitaire. Montrer que Test diagonalisable si et seule-
ment si m(x) n’a pas de racine double.
(3) Montrer que m(x) divise le polynˆome caract´eristique de T.
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