Série_4

Série d’exercices 4
Automne 2015
Exercice 1 Soit K un corps et f ∈ K[x] un polynôme tel que deg(f ) ≥ 1. Soit
V = K[x]/(f ) que l’on voit comme un K[x]-module. Soit g ∈ K[x] tel que pgcd(f, g) = 1.
On considère l’application
[g] : V → V
v 7→ gv
Montrer que [g] est un isomorphisme que K[x]-moudle.
Exercice 2 Soit K un corps et V = K[x]/(x − λ)n pour λ ∈ K et n ∈ Z≥1 . On voit V
comme un K-espace vectoriel. On considère l’opérateur K-linéaire [x] : V → V donné par
v 7→ xv. Soit w ∈ V tel que xw = µw pour un certain µ ∈ K et µ 6= λ. Alors montrer que
w = 0. Conclure que V ne contient qu’un seul vecteur propre (à un scalaire près) qui est
donné par w = (x − λ)n−1 .
Exercice 3 Soit V = K n . Un opérateur K-linéaire T : V → V est dit
(1) inversible, si T est un opérateur K-linéaire inversible,
(2) nilpotent, si T m = 0 pour un certain m ≥ 0.
Soit T : V → V un opérateur K-linéaire. Alors montrer qu’il existe des sous-espaces
U, W ⊆ V tels que
(1) V = U ⊕ W avec U et W qui sont stables sous T ,
(2) T |U est inversible,
(3) T |W est nilpotent.
Exercice 4 Soit a(x) = xk +ak−1 xk−1 +. . .+a1 x+a0 ∈ K[x]. On pose V = K[x]/(a(x)).
Comme toujours, on considère l’opérateur K-linéaire [x] : V → V donné par v 7→ xv. On
considère la base (ordonnée) B = {1, x, . . . , xk−1 } de V . Montrer que


0 0 ...
0 −a0
 1 0 ...
0 −a1 


 0 1 ...

0
−a
2 
(1.1)
[x]B = 
 .. ..
..
.. 
 . . ...
.
. 
0 0
1 −an
Note: La matrice (1.1) est appelée la matrice compagnon de a(x) et cette matrice sera
notée pour le futur par Ca(x) .
1
Exercice 5 Soit K un corps et V = K[x]/(f ) pour un f ∈ K[x] avec deg(f ) ≥ 1. On
considère l’opérateur K-linéaire [x] : V → V donné par v 7→ xv. En utilisant le théorème
de structure pour les K[x]-modules de torsion de type fini, montrer qu’il existe une base B
de V telle que


Ca1 (x)


Ca2 (x)



.
.
.
(1.2)
[x]B = 




Cas (x)
où ai (x) ∈ K[x] sont des polynômes unitaires tels que a1 (x)|a2 (x)|a3 (x)| . . . |as (x).
Indice: Utiliser le théorème de stucture pour les K[x]-modules de torsion de type fini.
Exercice 6 Soit R un anneau commutatif unitaire et M = Rn vue comme un R-module
(R agissant de manière diagonale sur M). Soit p ∈ EndR (M). Soit B la base standard de
M. On a une représentation matricielle
P := [p]B ∈ Mn×n (R).
On définit le polynôme caractéristique de p comme étant
f (t) := det(tIn − P ) ∈ R[t],
où In est la matrice identité (vérifier que f (t) est bel et bien indépendant du choix de la R
base de M).
On a une action naturelle de R[t] sur M où t agit sur M via l’endomorphisme p : M →
M. On peut voir f (P ) comme un élément de Mn×n (R). Montrer que f (P ) = 0. En
d’autres mots, le polynôme caractéristique de P évalué en P est nul (il s’agit du célèbre
théorème de Cayley-Hamilton).
Indice: Poser B := (tIn − P ) ∈ Mn×n (R[t]) et considérer la matrice complémentaire
de B qui est une matrice co(B) telle que co(B) · B = det(B)In et B · co(B) = det(B)In .
Exercice 7 Soit V = k n et T : V → V . On voit comme d’habitude V comme un
k[x]-module via T . Montrer que le polynôme caractéristique f (t) de T est égal au produit
des facteur invariants de V (lorsque V est vu comme un k[x]-module).
Exercice 8 Soit V = Cn et T : V → V un opérateur C-linéaire. On voit comme
d’habitude V comme un C[x]-module via T . On considère l’ensemble
J := {g ∈ C[x] : g(T ) = 0}.
(1) Montrer que J est un idéal non-nul de C[x].
(2) Soit J = (m(x)) où m(x) est unitaire. Montrer que T est diagonalisable si et seulement si m(x) n’a pas de racine double.
(3) Montrer que m(x) divise le polynôme caractéristique de T .
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