Probabilités

Psi 945 – 2014/2015
http://blog.psi945.fr Chauffe
Probabilités
Vendredi 29 mai et lundi 1er et mardi 2 juin 2015
1 Questions de cours
Directement du cours :
– Axiomatique des espaces probabilisés ; probabilité d’une intersection décroissante d’événements.
– Formule de Bayes. [preuve]
– Lois classiques, avec leurs espérances et variances.
– Markov, Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres. [preuves]
– Fonction génératrice d’une somme de deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans N.[preuve]
– Somme de Poissons indépendantes. [preuve]
2 Plutôt théoriques – espaces probabilisés
Exercice 1 —Des inégalités passionnantes
Soit (Ω,T,P)un espace probabilisé.
1. Soient A, B ∈ T . Montrer :
P(A∩B)>P(A) + P(B)−1
2. Soient A1, ..., An∈ T . Montrer :
P n
\
k=1
Ak!>
n
X
k=1
P(Ak)−n+ 1
Exercice 2 —Borel Cantelli – premier lemme ; facile
Soient A1, ..., An, ... ∈ T , avec (Ω,T,P)un espace probabilisé. On note Xl’ensemble des ω∈Ωappartenant à
Anpour une infinité de valeurs de n(événements récurrents).
1. Montrer soigneusement :
X=
∞
\
n=1 +∞
[
k=n
Ak!
2. Montrer que Xest un événement (appartient à T).
3. On suppose que PP(An)converge. Montrer :
P(X) = 0
Presque sûrement, seul un nombre fini de Anarrivent.
4. Application : Alice et Bob jouent à pile ou face avec une pièce très légèrement biaisée. À chaque PILE
(resp. FACE), Alice gagne (resp. perd) un euro. Il peut (ou pas) y avoir des retours à l’équilibre, c’est-à-
dire des temps n > 0tels qu’après nlancers, il y a eu autant de PILEs que de FACEs.
Montrer que presque sûrement, il n’y aura qu’un nombre fini de retours à l’équilibre.
Exercice 3 —Borel Cantelli – second lemme ; moins facile
On reprend les notations de l’exercice précédent, mais ici :
On suppose les Anindépendants.
1. On suppose que PP(An)diverge. Montrer :
P(X)=1.
Presque sûrement, une infinité de Anarrivent.
2. Application : montrer qu’un singe dactylographe patient (et immortel) tapera un corrigé de cette feuille
d’exercice une infinité de fois.
1

3 Diverses modélisations
Exercice 4 —Des dés
On lance 5dés. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins trois numéros identiques ?
Exercice 5 —Au bridge
Les 52 cartes sont partagées entre quatre joueurs.
1. Quelle est la probabilité qu’un joueur donné reçoive une main parfaite (13 cartes d’une même couleur) ?
2. Quelle est la probabilité pour que chaque joueur ait au moins un pique ? Au moins une dame ? Au moins
une dame de pique ?
Exercice 6 —Égalité
Deux joueurs lancent chacun nfois une pièce non truquée. Quelle est la probabilité qu’ils obtiennent le même
nombre de fois PILE ?
Exercice 7 —Encore des boules
Une urne contient bboules blanches et nboules noires. On effectue des tirages sans remise. Quelle est la
probabilité pour que la première boule blanche apparaisse au tirage numéro k?
Exercice 8 —Le problème de Monty Hall
Un candidat est devant 3portes ; derrière l’une des trois il y a une voiture et derrière chacune des deux autres
il y a une chèvre. Peu enclin à l’élevage caprin, le candidat souhaite ouvrir la porte derrière laquelle il y a la
voiture. Il propose donc une porte. Le présentateur va alors systématiquement lui ouvrir une des deux autres
portes restantes derrière laquelle il y a une chèvre, et lui pose la question : « Voulez-vous changer de porte ? ».
Quelle est la stratégie optimale pour le candidat ?
Exercice 9 —Repeat... until...
Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On tire une boule au hasard. Si elle est blanche on a
gagné ; si elle est noire, on la remet dans l’urne... ainsi qu’une autre boule noire. Et on recommence... tant qu’on
n’a pas gagné !
1. Quelle est la probabilité de gagner ?
2. Quel est le nombre moyen de tirages nécessaires pour gagner ?
Exercice 10 —D’actualité
Les joueurs Aet Bjouent au tennis et sont de même force.
1. Quelle est la probabilité pour que Aremporte un jeu donné ?
2. Quelle est la probabilité pour qu’un set termine au tie-break ?
3. Quelle est la probabilité qu’un jeu se termine après 2n+ 6 échanges, si n∈N∗?
4. Quelle est la probabilité pour qu’un jeu/set/match termine ?
Exercice 11 —La suite
Les joueurs Aet Bjouent au tennis, et chaque point est remporté par Aavec probabilité p∈]0,1[.
Quelle est la probabilité que Aremporte un jeu donné ?
Et un set ? Et le match ?
Exercice 12 —Piles
Un joueur joue à pile ou face avec une pièce non équilibrée ; la probabilité d’obtenir face est, à chaque tirage,
égale à p∈]0,1[. Quelle est la probabilité, en ntirages, de ne jamais obtenir face ?
Exercice 13 —Pluie et neige
S’il pleut, Xa une probabilité 1/5d’être en retard ; s’il neige, cette probabilité est de 3/5. Or il pleut avec une
probabilité de 2/5et il neige avec une probabilité de 1/5. Quelle est la probabilité que Xsoit en retard ?
Exercice 14 —Pile ou face
Un joueur a deux pièces dans sa poche : l’une est normale et l’autre à deux « faces » PILE. Il choisit une pièce
au hasard et la lance k∈N∗fois. Quelle est la probabilité pour la pièce soit truquée, sachant qu’il a eu PILE à
chaque lancer ?
Exercice 15 —QCM
Lors d’un examen, un étudiant a le choix entre mréponses. Il connaît la réponse à la question avec probabilité
p. S’il ignore la réponse, il choisit de façon équiprobable une réponse parmi les mpossibles.
Sachant que l’étudiant a bien répondu, quelle est la probabilité qu’il ait connu la réponse ?
2

4 Variables aléatoires
Exercice 16 —Loi conditionnelle connue
Soit Xune variable aléatoire suivant une loi géométrique G(p), avec p∈]0,1[. On considère une variable aléatoire
Zà valeurs dans Ntelle que pour tout k∈N, la loi conditionnelle de Zsous la condition X=kest uniforme
dans [[0, k −1]].
1. Calculer, pour (j, k)∈N×N∗,P(Z=j|X=k).
2. Déterminer la loi de Z(sans chercher à calculer/simplifier la somme obtenue).
3. Calculer E(Z).
Après avoir fait un dessin, on s’autorisera une interversion à la sauvage +∞
P
j=1
+∞
P
k=j+1
=
+∞
P
k=2
k
P
j=1
...
Exercice 17 —Poissons indépendantes
Soient Xet X0deux variables aléatoires indépendantes, suivant respectivement des lois de Poisson de paramètres
λet λ0.
1. Déterminer la loi de X+X0.
2. Quelle est la loi de Xsachant X+X0=n?
Exercice 18 —« Somme poissonisée »
Soit (Xn)n∈Nune suite de variables de Bernoulli de paramètre pmutuellement indépendantes, et Nune variable
aléatoire à valeurs dans Nelle-même indépendante de (Xn)n∈N. On définit :
S=X1+· · · +XN
1. Déterminer la loi de S.
2. Expliciter le cas où N → P(λ).
Exercice 19 —Une barrière presque certaine
Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes telles que P(X6Y) = 1. Montrer qu’il existe a∈Rtel
que :
P(X6a6Y) = 1
Exercice 20 —Problème d’ascenseur
On se donne met ndans N∗. On munit l’ensemble Edes applications de [[1, m]] dans [[1, n]] de la « probabilité
uniforme ». Pour f∈E, on définit X(f)le cardinal de f([[1, m]]).
Calculer E(X).
C’est l’espérance du nombre d’arrêts d’un ascenseur amenant mpersonnes à leur étage, dans un immeuble à n
étages.
Exercice 21 —Voisinages bicolores
On dispose de bboules blanches et de rboules rouges disposées sur une droite, à des emplacements notés
1,2, ..., n =b+r. On note Nle nombre d’indices i∈[[1, n −1]] tels que les boules aux places iet i+ 1 sont de
couleur distinctes.
Donner l’espérance de N.
Exercice 22 —Corrélation constante
Soient ρ∈]−1,1[ et X1, ..., Xndes variables aléatoires de variances égales et telles que pour tout (i, j)tel que
i6=j, le coefficient de corrélation de (Xi, Xj)vaut ρ. Montrer :
ρ>−1
n−1,
avec égalité si et seulement si X1+· · · +Xn« est déterministe ».
Exercice 23 —Un minimum
Soit Xune variable aléatoire admettant un moment d’ordre 2. Montrer que pour tout réel m, on a :
Var(X)6E(X−m)2.
Exercice 24 —Mort subite
Soit (Xn)n∈Nune suite de variable de Bernoulli 1. On pose
T= min {n>1; (X2n, X2n+1 )∈ {(0,1),(1,0)}}
1. Pouvant modéliser une suite de résultats lors d’une séance de tirs au buts... ou tout autre situation de « mort subite »
3

1. Déterminer la loi de T.
2. Montrer : P(X2T= 0) = 1
2·
5 Indications
– Exercice 1 : complémentaire ; récurrence.
– Exercice 2 : PN ∪
k=nAk6...
– Exercice 3 : PN ∩
k=nAk=· · · −→
N→+∞· · ·
– Exercice 4 : complémenter, disjoindre, dénombrer...
– Exercice 5 : dénombrer, disjoindre...
– Exercice 6 :
n
P
k=1 n
k2
4n·
– Exercice 7 : probabilités composées : les k−1premières sont noires et la k-ième est blanche.
– Exercice 8 : avec la tactique « je ne change pas de porte », le candidat gagne avec probabilité 1/3(tout est
joué dès le premier choix). Dans le second cas, il y a une chance sur 3pour qu’il ait choisi au départ la voiture
(et alors, il va perdre !) et deux chances sur trois pour qu’il ait choisit au départ une chèvre (et alors il va
gagner)...
– Exercice 9 : travailler sur les premiers termes. Ensuite : P(X=n) = 1
n(n+ 1)·
– Exercice 10 : évaluer la probabilité des (6,0), ..., (6,4),(7,5). Ensuite, P(N= 8) = P(40Aet g7=g8)...
– Exercice 11 : par exemple, P(4,2) = 3
2p4(1 −p)2...
– Exercice 12 : pfff... (1 −p)n!
– Exercice 13 : re-pfff
– Exercice 14 : Bayes ! Dessin, puis : P(T|kP ) = P(T)
P(T) + P(N)P(kP |N)·
– Exercice 15 : c’est presque le même exercice...
– Exercice 16 : P(Z=j) =
+∞
P
k=1
P(X=k)P(Z=j|X=k) = p
+∞
P
k=j+1
qk−1
k·Après un dessin, on est convaincu
du caractère raisonnable de l’interversion des deux symboles P, et on trouve finalement : E(Z) = q
2p·
– Exercice 17 : P(λ+λ0)puis Bn, λ
λ+λ0·
– Exercice 18 : P(S=k) =
+∞
P
n=k
P(N=net S=k) =
+∞
P
n=k
P(N=n)n
kpk(1 −p)n−k...
– Exercice 19 : on considère les valeurs anet bnprises par Xet Yavec une probabilité strictement positive.
On a alors pour tout i, j :ai6bj. Il reste à considérer a=Sup{ai|i∈N}.
– Exercice 20 : relier X(f)aux Xi(f) = (1 si i∈f([[1, m]])
0 sinon
– Exercice 21 : même principe qu’à l’exercice précédent.
– Exercice 22 : centrer via X0
i=Xi−E(Xi), puis considérer E(X0
1+· · · +X0
n)2.
– Exercice 23 : c’est fondamentalement du Pythagore ! Partir de X−m= (X−E(X)) + (E(X)−m), mettre
au carré et « espérer »...
– Exercice 24 : P(T>n) = 1
2n·
4