t I I I r*;1ffib'! WWry- MARoc ffitpc *%::* }-:: c*r *i {P STB-À]'EGIE El' \'IANAGE I\{EN'| -"+1,+i.r-:rr +rl.'j''r I I I I I l # l l l TEST METIER ACTUARIAT Durée : une heure et demi Nom: Prénom: CIN No : d'examen: ill Mode d'emploi cochez la : croix dqns lq ou les bonne réponse, en mettant une case(s)(rypropriée(s),suivantlanqtureetlecontenudela question Question 1 : (lPoint) tête d'âge actuel de 55 ans' à 60 ans et 65 suppose que les probabilités tle survie d'une uns nuiË,,t respectivement : 5P55 = 0'96868 et roPss=0'92421 on Quelleestlaprobabilitépourqu'unetêtede60anssurviveà65ans? I 5P60:0,95 .Pe ",ii o:0,85 .P6g:0,75 iP611:0,65 55 et 65 ans, quelle Question 2 (lPoint): si une personne doit décéder entre probabilité pour qu'elle soit encore en vie à 60 ans ? est la p:58,68% b- p:68,58% p:80,68% j 58,8% dl J" personnes âgées de 55 ans' Question 3 (lPoint): On observe un groupe de 100 mathémati ,. à, nômbre de décès entre qq-91i144q1 - Ouelle est I'esPérance -?, ,t I I il' .t a- E(K):4,59 b- E(K):5,78 c- E(K):7,9 d- E(K):3,2 qu'il y ait k Question 4(l point) : soit pr. les probabilités pour ? k allant de I à 5. Quel est la valeur de k la plus probable décès dans le groupe, pour individu dans une population Question 5 (l Point) : on suppose que la durée de vie d'un X dont la fonction de densité de donnée est modélisée par une variable aléatoire continue probabilité est donnée Par: f(x) (kx2(too -t - x)2 st 0 SxSL00 o srnon Quelle est la valeur de k I a- k:3x1-0-e ? Ou k est une constante Positive Question 6(lPoint) : Quel est Question 7(lPoint) : - Quelle 70 ans? la probabilité d'un individu mesure entre 60 ans et est l'espérance de vie d'un individu dans cette population? b- E(X):55ans d- E(x):61 Question ans I (lPoint) variables aléatoires positives i.i.d. de I-es couts des sinistres sont représentés pal une suite de d'assurance ne rembourse que les fonction de répartition F et d'espérance finie p. une compagnie sinistes d'un montant supérieur à la franchise ô' : Le coût des sinistres assurés est donc : Xa (Xi - ô). Xi suivent la loi exponentielle de est te coût moyen d'un sinistre assuré lorsque les Quel paramètre 2 7E[Xs]: x " '/1" e^-216 E[Xa]: -T e^-216 Ite I ^r"6 IElx"l = - assuré lorsque les Xi suivent la Question 9(lPoint) : Quel est le coût moyen d'un sinistre loi de Pareto P(u) avec a>l et ftc b- E[x6] - c- E[xô] - czq.6L-q. C crô1-ct i'i'd' positives d' esPérances Question 10(lPoint) : Soit{X1} une suite de variables aléatoires > c 0 la prime et R le de répartition F. soit u > 0 (le capital initial), finie p et de fonction processus défini Par : N(t) R(t)- utct-\xt t=1 c' 0 et entre terme à long Quelle est la condition de solvabilité Question 1 1(SPoints) : on sinistres N obéissant à la loi p : par un nombre de suppose qu'un risque peut être modélisé : P(N:k) : Par ai1leurs, les montants de sinistres Y putur)0,avecg)0 1) a- p.(1-P)k avec 0 < P <1 ont ia Aerrsite de probabilité f(y) = ü'exp(-qy) ncedeN? Ouelle est I'es E(N) = (1 - b_ E(N) = (1- Z c- E(N) = (t-p)/Z d- E(N) = 1/ uelle est la variance de Y ? * vfn = \/s2 b- V$)'- d- v(Y) = ç( V (Y\ = 2u2 3) quelle est l'exPression de l'espérance mathématique de z/a2 la charge annuelle sinistres a- E(X) = (1 - )/( 2ap) b- g6) = ].c- E(X) - t-2 /(q d- E6)= t elle est l'expression de la a- vrb-(1 b- v(n - 0-zp')l@:p' v4l4!§qg9-b qe annuelle des sinistres =p1l@?p: v@ -- o-p\l(Zazp' a- Ytxl - t/(uz7' c- uelle est la valeur des Paramètres w b- c- O§og = 1,02564 x I0* 1,02564x 19: "t " P:0.8?.1a = P:ù909.* =L,564x 1Q-' let des Question 16(1 Point) : On suppose que la catégorie d'assurance regroupe n risques indépendants de ce type, avec une prime commerciale de 1500. Une commission de20o/o est versée à un intermédiaire et le cout annuel de gestion par contrat est de g0. Quelles conditions doivent être vérifiées par le nombre n de contrats pour que le coefficient de sécurité soit au moins égal à 4, la perte annuelle acceptable K étant éeale à S00 000 ? 1MStln 2 +5ooooo < o - lTBTzli b- Ms\[r] - t.B.zrli + 5ooooo - o c- Ms'[tL 2 - üB72li+ 500000 > 0 Question 17(4 Points) : La durée de vie d'une machine à laver avant erprimée en mois, suit la loi exponentielle de paramètre l,: 0104. sa première panne, 1) Quelle est la probabilité qu'une machine ne subisse aucune panne pendant les 24 remiers mois ? P(X>24)-9,39 (X > 24) - 9,47 P(X > 24) = 0,21. d- P(X > 24 P 2) Quelle est la probabilité que la durée de vie de l'appareil soit de 1000 heures au maximum 0,229 b- c- 0.299 p:0,301 d- p:0,321 3) Sachant que l'appareil a fonctionné plus de qu'il tombe en panne avant 3000 heures 2000 heures, quelle la probabilité :0,2r9 1) Quelle est la valeur a- 7 -ln(Z b- ). -ln(3 c- À-0 du réel ,telle que la probabilité p(1 < X < 2) soit égale à ]