Exercices

M. Molin - Lycée Marcelin Berthelot
BCPST 1A
Exercices - Mathématiques
Année 2016-2017
L OGIQUE ET ENSEMBLES
Le nombre d’étoiles * désigne le niveau de difficulté estimé de l’exercice.
L’utilisation du signe ? indique que l’exercice est à la limite du programme.
1
L OGIQUE
E XERCICE 1 (*)
2016 personnes sont assises autour d’une table ronde. Chacun est soit un sage (qui dit toujours la vérité), soit un
menteur (qui ment toujours). Chaque personne dit la
phrase :“J’ai pour voisins un sage et un menteur”.
Combien de sages sont à table ?
Même question avec 2017 personnes.
E XERCICE 2 (*) Compléter avec ⇒, ⇐⇒ ou ⇐.
E XERCICE 6 (**) Donner la négation (avec les quantificateurs) des propositions de l’exercice précédent.
E XERCICE 7 (**) Donner la négation des assertions :
1) ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, f (x) > y
2) x > y ⇒ f (x) ≤ f (y)
3) ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x > y ⇒ f (x) ≤ f (y)
4) ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x > y ⇒ f (x) ≤ f (y)
5) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x > y ⇒ f (x) ≤ f (y)
ABC D est un carré
ABC D est un parallélogramme
a>1
1
a
AB = AC
ABC est isocèle
∀x ∈ R, ∃y ∈ R, y < x
∃y ∈ R, ∀x ∈ R, y < x
ln a = b
a = eb
x >2
x2 > 4
A, B alignés et B,C alignés
A, B, C alignés.
x >0
−x ≤ 0
<1
E XERCICE 8 (*)
Écrire les propositions suivantes avec des quantificateurs :
1) La fonction f ne s’annule pas sur R.
2) La fonction f s’annule sur R.
3) La fonction f est nulle sur R.
4) La fonction f s’annule une unique fois sur R.
E XERCICE 9 (**)
Écrire les propositions suivantes avec des quantificateurs :
1) Aucun entier n’est supérieur à tous les autres,
E XERCICE 3 (**) Ces propositions sont-elles vraies ?
1) ∀ε > 0, ∃a
∈ R∗+ ,
a <ε
2) Entre deux nombres rationnels distincts, il existe toujours un nombre irrationnel.
3) Étant donnés trois réels, il en existe au moins deux de
même signe.
4) Certains réels sont strictement supérieurs à leur
carré.
2) ea > 0 ⇒ a > 0
3) a > 0 ⇒ ea > 0
5) La fonction f est supérieure ou égale à la fonction
x 7→ x 2 sur R.
4) ea < 0 ⇒ a < 0
5) Si f est une fonction sur R, alors ∀y ∈ R, ∃x ∈ R, f (x) = y
6) Si f est une fonction sur R, alors ∃y ∈ R, ∀x ∈ R, f (x) = y
7) Si f est une fonction sur R, alors ∃x ∈ R, ∃y ∈ R, f (x) = y
8) Si f est une fonction sur R, alors ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, f (x) = y
E XERCICE 4 (**)
Existe-t-il une fonction f définie sur R, telle que
∃x ∈ R, ∀y ∈ R, f (y) > f (x)
E XERCICE 10 (**) (Conditions nécessaires et suffisantes)
Dire pour chaque proposition si elle est vraie ou fausse,
puis écrire la bonne proposition en utilisant une flèche
d’implication ou d’équivalence.
1) Pour qu’une suite converge, il est nécessaire qu’elle
soit bornée.
2) Il suffit qu’un nombre appartienne à N, pour qu’il soit
positif.
3) Pour que Socrate soit mortel, il suffit qu’il soit un
homme.
E XERCICE 5 (**) Donner la signification des propositions :
1) ∀n ∈ N, u n+1 ≥ u n
4) Pour qu’une suite décroissante converge vers 0, il faut
et il suffit qu’elle soit positive.
2) ∀A ∈ R, ∃n ∈ N, u n > A
5) Pour que x 3 > 1, il faut que x > −1.
3) (***) ∀ε > 0, ∃n ε ∈ N, ∀n ≥ n ε , |u n | ≤ ε
E XERCICE 11 (*)
M. Molin - Lycée Marcelin Berthelot
BCPST 1A
Exercices - Mathématiques
Année 2016-2017
1) Quelle est la contraposée de “si un nombre est divisible par 6, alors il est pair” ?
1) Donner un exemple d’une intersection d’ensembles
non vides, qui est vide.
2) Quelle est la réciproque du théorème : “Si un nombre
entier est multiple de 10 alors son chiffre des unités
est 0”.
2) Donner une condition nécessaire et suffisante pour
que l’union de deux ensembles soit vide.
3) Quelle est la contraposée du théorème : “Si un nombre entier est multiple de 10 alors son chiffre des
unités est 0”.
E XERCICE 18 (**)
Décrire en extension les ensembles P ({x}) et P (P ({x})).
E XERCICE 19 (***)
1) Soient deux ensembles A et B , écrire
A − B = A \ B = {x ∈ A, x 6∈ B } à partir des opérations
ensemblistes usuelles.
E XERCICE 12 (**)
En utilisant un raisonnement par contraposée, montrer que
1) pour n ∈ N, si n 2 est impair, alors n est impair,
2) Donner une représentation graphique de A − B .
2) pour a ∈ R, si a 2 n’est pas un multiple entier de 16,
alors a2 n’est pas un entier pair,
3) Prouver que A − B = A ⇐⇒ B − A = B
3) pour a ∈ R, si ∀ε > 0, a ≤ ε alors a ≤ 0.
E XERCICE 20 (**)
Soient A et B deux parties de E , on définit la différence
symétrique de A et B par
E XERCICE 13 (***) Montrer qu’il existe une unique fonction
f : R 7→ R telle que
¡
¢
∀(x, y) ∈ R2 , f y − f (x) = 2 − x − y
A ∆ B = (A ∩ B̄ ) ∪ (B ∩ Ā)
en notant B̄ = {E B et Ā = {E A
1) Expliquer ce que représente la différence symétrique.
Donner son expression.
2) Donner E ∆ ;, A ∆ E , E ∆ E
E XERCICE 14 (**)
a et b désignent deux nombres réels.
1) Montrer que si a + b > 1, alors a >
3) Montrer que A ∆ B = (A ∪ B )\(A ∩ B )
1
2
ou b > 21 .
E XERCICE 21 (? ? ?)
1) Pour£tout n ∈¤N\{0; 1}, on considère l’intervalle de R,
I n = n1 ; 1 − n1 .
Déterminer une expression plus simple de
l’ensemble
[
J=
In
2) Est-il vrai que si ab > 1, alors a > 1 ou b > 1 ?
2
E NSEMBLES
E XERCICE 15 (*) Lister les ensembles
n∈N\{0;1}
2) Pour¤ tout n ∈ N
£ , on considère l’intervalle de R,
Ien = 1 − n1 ; 1 + n1 .
Déterminer une expression plus simple de
l’ensemble
\
K=
Ien
∗
x 2 , x ∈ {−1, 0, 1}
©
ª
2) x, y ∈ [[1, 3]]2
©
ª
3) x, y ∈ [[1, 3]] × [[−1, 1]]
©
ª
4) x, y ∈ [[1, 3]] × {−1 , 1}
1)
©
ª
E XERCICE 16 (**) Déterminer et représenter graphiquement l’ensemble des réels x tels que
p
1) x = x 2
p
2)
x <0
3) (x + 1)2 < x
4) y ≥ x ⇒ y 2 ≥ x 2
n∈N∗
3
R ÉCURRENCE
E XERCICE 22 (*)
Montrer que pour tout n ∈ N,
1 2 + 22 + · · · + n 2 =
E XERCICE 23 (*)
Soit (u n ) la suite réelle définie par u 0 = 2, u 1 = 3 et
∀n ∈ N, u n+2 = 3u n+1 − 2u n
5) ex+1 = ex + 1
6) x 2 < 22
2
n(n + 1)(2n + 1)
6
Montrer que
∀n ∈ N, u n = 2n + 1
7) −x < −2
E XERCICE 17 (**)
E XERCICE 24 (**)
Soit n ∈ N, démontrer que 10n − (−1)n est divisible par 11.