Résumé des propriétés 1 Espaces vectoriels

Département de mathématiques — Cégep de Saint-Laurent
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle — 201-NYC — Automne 2014 — Yannick Delbecque
Propriétés des vecteurs et géométrie affine
Résumé des propriétés
Axiomes espace vectoriel :
V1 ~ u+~ v=~ v+~ u(commutativité)
V2 (~ u+~ v)+~ w=~ u+~ (v+~ w) (associativité)
V3
Pour tout
~
u,~ 0 dans V il existe un unique vecteur −~ u
tel que ~ u+(−~ u)=~ 0 (existence d’un inverse)
V4 ~ u+~ 0=~ u(élément neutre)
V5 1~ u=~ u
V6 a(b~ u)=(ab)~ u
V7 (a+b)~ u=a~ u+b~ u
V8 a(~ u+~ v)=a~ u+a~ v
Théorèmes généraux espaces vectoriels :
T1 ~ 0 est le seul vecteur
~
v tel que
~
u +
~
v =
~
u pour tout vecteur
~
u
T2 −~ uest le seul vecteur ~ vtel que ~ u+~ v=~ 0
T3 0~ u=~ 0 pour tout vecteur ~ u
T4 a~ 0=~ 0 pour tout scalaire a
T5 (−1)~ u=−~ u
Définition :
~
uk~ v (
~
u est parallèle à
~
v s’il existe un scalaire k tel
que ~ u=k~ v.
Définition : ~ u−~ v=~ u+(−~ v)
Axiomes espaces affines :
A1 Si
~
v est un vecteur quelconque et A un point, alors il y a
un unique Btel que ~ v=−−→ AB
A2 Si −−→ AB =−−→ AC, alors B=C
A3 Si −−→ AC =−−→ BC, alors A=B
A4 −−→ AB +−−→ BC =−−→ AC (relation de Chasles)
Théorèmes espaces affines :
TA1 −−→ AA =~ 0
TA2 −−→ AB =−−−→ BA
TA3 si −−→ AB =−−→ CD, alors −−→ AC =−−→ BD
Addition affine : A +
~
u = B ssi
~
u =
−−→
AB . Propriétés avec cette
notation :
Si
~
u est un vecteur quelconque et A un point, alors il y a un
unique Btel que A+~ u=B
(A+~ u)+~ v=A+(~ u+~ v) (relation de Chasles)
1 Espaces vectoriels
Définition 1. Un espace vectoriel est un ensemble V avec un
élément spécial
~
0 et deux opérations (l’addition vectorielle +et
le produit par un scalaire, noté par juxtaposition), qui satisfont
les axiomes suivants :
V1 ~ u+~ v=~ v+~ u(commutativité)
V2 (~ u+~ v)+~ w=~ u+~ (v+~ w) (associativité)
V3 ~ u+~ 0=~ u(élément neutre)
V4 Pour tout
~
u,~ 0 dans V il existe un unique vecteur −~ u
tel que ~ u+(−~ u)=~ 0 (existence d’un inverse)
V5 1~ u=~ u
V6 a(b~ u)=(ab)~ u
V7 (a+b)~ u=a~ u+b~ u
V8 a(~ u+~ v)=a~ u+a~ v
Theorème 1 (Unicité du vecteur zéro) . Si
~
v est tel que pour
n’importe quel vecteur ~ u
~
u+~ v=~ u
alors ~ v=~ 0.
Démonstration. On suppose que pour tout vecteur
~
u on a
~
u+~ v=~ u. Si on prend le cas particulier ~ u=~ 0, on a
~
0+~ v=~ 0.
Par V1,
~
0+~ v=~ v+~ 0
et par V4
~
v+~ 0=~ v.
On a donc que
~
0=~ 0+~ v=~ v+~ 0=~ v,
c’est à dire que ~ v=~ 0. 
Theorème 2. L’inverse −~ ud’un vecteur ~ uest unique.
Autrement dit, le vecteur −~ u qui existe selon l’axiome V3 est le
seul ayant la propriété
~
u+(−~ u)=~ 0.
Démonstration.
Supposons qu’il y a deux vecteurs −~ u et −~ u0
tels que
~
u+(−~ u)=~ 0 et ~ u+(−~ u0)=~ 0.

p. 2 Propriétés des vecteurs et géométrie affine
Dans ce cas,
~
u+(−~ u)=~ 0
(−~ u0)+~ u+(−~ u)=(−~ u0)+~ 0 addition de (−~ u0)
((−~ u0)+~ u)+(−~ u)=(−~ u)+~ 0 par V2
(~ u+(−~ u0)+(−~ u)=(−~ u)+~ 0 par V1
~
0+(−~ u)=(−~ u0)+~ 0 par hypothèse
(−~ u)+~ 0=(−~ u0)+~ 0 par V1
(−~ u)=(−~ u0) par V4 
Notons que comme l’inverse est unique, l’opération « − » est
une opération bien définie (elle donne une seule valeur −~ u pour
chaque vecteur ~ u).
Theorème 3. Pour tout vecteur ~ u,
0~ u=~ 0.
Démonstration.
0~ u=(0 +0)~ u
0~ u=0~ u+0~ upar V7
0~ u+(−0~ u)=(0~ u+0~ u)+(−0~ u) addition de −0~ u
~
0=(0~ u+0~ u)+(−0~ u) par V4
~
0=0~ u+(0~ u+(−0~ u)) par associativité (V2)
~
0=0~ u+~ 0 par V4
~
0=0~ upar V3 
Theorème 4.
a~ 0=~ 0.
Démonstration. On utilise le théorème 1.
a~ 0=a~ 0 toujours vrai
a~ 0=a(~ 0+~ 0) par V4
a~ 0=a~ 0+a~ 0 par V8
a~ 0+−(a~ 0) =(a~ 0+a~ 0) −a~ 0 ajout de −a~ 0
~
0=(a~ 0+a~ 0) −a~ 0 par V3
~
0=a~ 0+(a~ 0−a~ 0) par V2
~
0=a~ 0+~ 0 par V3
~
0=a~ 0 par V4 
Theorème 5. Pour tout vecteur ~ u,
(−1)~ u=−~ u.
Démonstration. Comme l’inverse est unique, il suffit de montrer
que (−1)~ ua la propriété qui définit l’inverse dans V4.
~
u+(−1)~ u=(1 −1)~ upar V6
=0~ u
=~ 0 par 3 
Définition 2. (différence de vecteurs) La différence entre
~
u et
~
vest le vecteur
~
u−~ vdef =~ u+(−~ v).
2 Espace affine
Définition 3. Un espace affine est un ensemble X de « points
» avec une opération qui associe à chaque paire de points A et
B un unique vecteur
−−→
AB pris dans un espace vectoriel. Cette
opération doit satisfaire les axiomes suivants :
A1 Si
~
v est un vecteur quelconque et A un point, alors il y a
un unique Btel que ~ v=−−→ AB
A2 Si −−→ AB =−−→ AC, alors B=C
A3 Si −−→ AC =−−→ BC, alors A=B
A4 −−→ AB +−−→ BC =−−→ AC (relation de Chasles)
Addition affine : on note A +
~
u la translation du point A par le
vecteur ~ u.
Relation de Chasles, version adition affine ( A +
~
u )+
~
v = A +(
~
u +
~
v )
Theorème 6. ?? Dans un espace affine, −−→ AA =~ 0.
Démonstration. Soit
~
u un vecteur quelconque. Par l’axiome A1,
il existe un unique point Btel que ~ v=−−→ AB.
~
u+−−→ AA =−−→ AA +~ upar V1
=−−→ AA +~ AB par V1
=−−→ AB par A4
=~ u
Comme
~
o est l’unique vecteur ayant cette propriété (théorème 1),
on doit avoir que −−→
AA =~ 0.
Theorème 7. Dans un espace affine, −−−→ AB =−−→ BA.
Démonstration.
−−→
AB +−−→ BA =−−→ AA par A4
=~ 0 par ??
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Propriétés des vecteurs et géométrie affine p. 3
Comme par le théorème 5 l’inverse −−−→ AB est unique vecteur
ayant cette propriété, on conclue que
−−→
BA =−−−→ AB.
Theorème 8. Si −−→ AB =−−→ CD, alors −−→ AC =−−→ BD.
Démonstration.
−−→
AC =−−→ AB +−−→ BD +−−→ DC par A4 deux fois
=−−→ AB +−−→ DC +−−→ BD V1
=−−→ AB −−−→ CD +−−→ BD thm. 7
=−−→ AB −−−→ AB +−−→ BD car −−→ AB =−−→ CD par hypothèse
=~ 0+−−→ BD par V4
=−−→ BD par V3 
3 Combinaisons linéaires et bases
Définition 4. Un vecteur
~
u est une combinaison linéaire des
vecteurs ~ v1,..., ~ vns’il existe des scalaires a1,...,antels que
~
u=a1~ v1+··· +an~ vn=
n
X
k=1
ak~ vk.
Note : on peut utiliser la notation sigma pour exprimer la somme
de vecteurs de manière plus compacte. La combinaison linéaire
de la dernière définition peut ainsi s’écrire de la manière sui-
vante : n
X
k=1
ak~ vk=a1~ v1+··· +an~ vn.
3.1 Indépendance linéaire
Définition 5. Les vecteurs
~
v1,···~ vn sont linéairement indépen-
dants si aucun des vk peut être exprimé comme une combinaison
linéaire des autres.
Theorème 9. Les vecteurs
~
v1,···~ vn sont linéairement indé-
pendants si et seulement si dès qu’il y a des scalaires a1,...,an
tels que
a1~ v1+··· +an~ vn=~ 0,
alors les coefficients a1,...,ansont tous nuls.
Formulation alternative : les vecteurs
~
v1,···~ vn sont linéairement
indépendants si et seulement si la seule combinaison linéaire de
ces vecteurs qui donne le vecteur nul est 0~ v1+0~ v2+··· +0~ vn.
Formulation alternative 2 : les vecteurs v1,···vn sont linéaire-
ment indépendants si et seulement si
a1~ v1+··· +an~ va=~ 0⇒a1,··· ,an=~ 0.
3.2 Bases
Définition 6. Les vecteurs
~
v1,··· ,~ vn forment une base si et
seulement si
B1 tout vecteur
~
u est une combinaison linéaire de v1,··· ,vn
(famille génératrice) et
B2 ~ v1,··· ,~ vnsont linéairement indépendant.
Theorème 10
(Dimension) . Tout espace vectoriel a au moins
une base.
Toutes les bases d’un espace vectoriel donné ont la même taille.
Définition 7. La dimension d’un espace vectoriel est la taille
d’une de ses bases.
Si la dimension d’un espace vectoriel est n , alors, en considérant
les vecteurs comme données par leurs composantes, on peut
considérer que l’espace est Rn . (On dit que l’espace vectoriel est
isomorphe àRn.
3.3 Composantes
Notation : h~ v1,··· ,~ vniest une liste ordonnée de vecteurs.
Notation : soit B=h~ v1,··· ,~ vniune base ordonnée. On écrit
~
u=(a1,··· ,an)B
pour dire que
~
u=a1~ v1+···an~ vn.
On appelle les coefficients a1 ,..., an les composantes de
~
u dans
la base B.
Theorème 11. Les composantes d’un vecteur dans une base
donnée sont uniques.
Formulation alternative : si
~
u =( a1,··· ,an )
B
=( b1. . . bn )
B
,
alors
a1=b1,··· ,an=bn.
Corollaire 1. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs
composants dans une base donnée sont égales.
Formulation alternative :
(a1,...,an)=(b1,...,bn)⇐⇒ a1=b1,··· ,an=bn.
Theorème 12. Quand tout les vecteurs impliqués sont représen-
tés dans une même base, les opérations produit par un scalaire
et somme de vecteurs se font composante à composante, c’est à
dire
produit par un scalaire : si
~
u =( a1,···an ) et k est un sca-
laire, alors
k~ u=k(a1,···an)B=(ka1,···kan)B.
somme de vecteurs : si
~
u =( a1,···an ) et
~
u =( b1,··· ,bn ),
alors
~
u+~ v=(a1,···an)B+(b1,··· ,bn)B=(a1+b1,···an+bn)B
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p. 4 Propriétés des vecteurs et géométrie affine
On a aussi que
• −(a1,··· ,an)B=(−a1,··· ,−an)B
•~ u−~ v =( a1,···an )
B−
( b1,··· ,bn )
B
=( a1−b 1 ,···an−
bn)B.
4 Repères
Définition 8. Un repère dans un espace affine est la donnée
d’une base ordonnée Bet d’un point O, appelé origine.
Définition 9. Les coordonnées d’un point P par rapport à un
repère B = h~ v1,...,~ vni avec O comme origine sont les compo-
santes de −−→ OP dans la base B.
Autrement dit, on trouve les coordonnées de P en décomposant
le vecteur −−→ OP dans la base B:
−−→
OP =(a1,··· ,an)B=a1~ v1+··· +an~ vnr;
les coordonnées de Psont a1,...,an.
Définition 10. Le barycentre des points P1 , P2 ,..., Pn est le
point Ptel que
−−−→
PP1+−−−→ PP2+··· +−−−→ PPn=~ 0.
Theorème 13. Les coordonnées du barycentre P de P1 , P2 ,...,
Pndans un repère d’origine Osont données par
−−→
OP =1
n−−−→
OP1+−−−→ OP2+··· +−−−→ OPn.
5 Produit scalaire
Définition 11. Un produit scalaire est une opération sur les
vecteurs ayant propriétés suivantes :
PS1 ~ u·~ v=~ v·~ u(commutativité)
PS2 (a~ u)·~ v=a(~ u·~ v) (linéarité)
PS3 (~ u+~ v)·~ w=~ u·~ v+~ v·~ w(linéarité)
PS4 ~ u·~ u≥0 et ~ u·~ u=0 ssi ~ u=~ 0.
Autre notation usuelle pour le produit scalaire :
~
u·~ v=h~ u,~ vi.
Définition 12. Étant donné un produit scalaire sur les vecteurs,
on défini la longueur d’un vecteur ~ upar
k~ uk=√~ u·~ u.
Theorème 14. Le vecteur nul est de longueur nulle :
k~ 0k=0.
Définition 13. Un vecteur ~ uest unitaire si k~ uk=1.
Theorème 15. Pour n’importe quel vecteur ~ v,0, le vecteur
1
~
v
~
v
est unitaire ; on dit que ce vecteur est la normalisation de ~ v.
Définition 14. Étant donnée un produit scalaire, on définit
l’angle entre deux vecteurs ~ uet ~ vpar la relation
~
u·~ v=k~ ukk~ vkcos(θ).
Définition 15. Deux vecteurs sont orthogonaux si
~
u·~ v =0, ce
qui est noté par ~ u⊥~ v.
Définition 16. Une base B = {~ v1,...,~ vn} est orthonormée si
les vecteurs qui la forme sont unitaires et s’ils sont orthogonaux
deux à deux.
Theorème 16. ~ v1 , . . . ,
~
vn est une base orthonormée si et seule-
ment si
~
vi·~ vj=
1 si i=j
0 si i,j
5.1 Distance
Définition 17.
La distance entre deux points A et B est définie
par
d(A,B)=k−−→ ABk
produit scalaire à l’aide des composantes
Theorème 17. Si
~
u =( u1,··· ,an ) et
~
b =( v1,··· ,vn ) dans une
base orthonormée donnée, on a que
~
u·~ v=u1v1+··· +unvn=
n
X
i=1
uivi
Theorème 18. Si
~
u =( u1,··· ,un ) dans une base orthonormée
v1,...,vn, alors
kuk=qu2
1+··· +u2
n.
5.2 Projections
Définition 18. La projection orthogonale d’un vecteur
~
u sur
un vecteur ~ vest définie par
proj(~ u,~ v)=~
u·~ v
k~ vk2~
v.
Theorème 19. Si
~
v est unitaire, la projection orthogonale de
~
u
sur un vecteur ~ vdevient
proj(~ u,~ v)=~ u·~ v~ v.
Theorème 20. La longueur de la projection orthogonale de
~
u
sur ~ vest
kproj(~ u,~ v)k=|~
u·~ v|
k~ vk.
6 Coordonnées polaires et sphériques
6.1 Coordonnées rectangulaires
Si
~
u est un vecteur dans R2 , alors il peut toujours s’écrire comme
~
u=(a,b)=a
~
i+b~ j, où h~ i,~ jiest une base orthonormale de R2.
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Propriétés des vecteurs et géométrie affine p. 5
6.2 Coordonnées polaires
Dans R2 , si l’angle entre
~
u et
~
i est θ , on peut décrire
~
u en donnant
k~ uk et θ . En général, la correspondance entre les deux descrip-
tions est donnée par
(a,b) [rect.] −→ (√a2+b2;±atan(b/a)) [polaire]
(kuk, θ) [polaire] −→ k~ ukcos(θ),k~ uksin(θ)[rect.]
Note : il faut choisir le signe de ± selon l’orientation du vecteur
(a,b).
6.3 Coordonnées sphériques
Dans R3 , si l’angle entre la projection de
~
u dans le plan
~
i et
~
j et
~
i est θ et l’angle entre
~
u et
~
k est φ on peut décrire
~
u =( a,b,c )
en donnant k~ uk , φ et θ . En général, la correspondance entre les
deux descriptions est donnée par
(a,b,c) [rect.] −→
√a2+b2+c2;±atan(b/a),asin c
√a2+b2+c2!! [polaire]
(kuk, θ, φ) [polaire] −→
k~
ukcos(θ) cos(φ),k~ uksin(θ) cos(φ),k~ uksin(φ)[rect.]
Il faut choisir le signe de ± selon l’orientation du vecteur ( a,b,c ).
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