Résumé des propriétés 1 Espaces vectoriels

Département de mathématiques — Cégep de Saint-Laurent
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle — 201-NYC — Automne 2014 — Yannick Delbecque
Propriétés des vecteurs et géométrie affine
Résumé des propriétés
1
Axiomes espace vectoriel :
Définition 1. Un espace vectoriel est un ensemble V avec un
élément spécial ~0 et deux opérations (l’addition vectorielle + et
le produit par un scalaire, noté par juxtaposition), qui satisfont
les axiomes suivants :
V1 ~u + ~v = ~v + ~u (commutativité)
~ = ~u + ~(v + w
~ ) (associativité)
V2 (~u + ~v) + w
V3 Pour tout ~u , ~0 dans V il existe un unique vecteur −~u
tel que ~u + (−~u) = ~0 (existence d’un inverse)
V4 ~u + ~0 = ~u (élément neutre)
Espaces vectoriels
V1 ~u + ~v = ~v + ~u (commutativité)
~ = ~u + ~(v + w
~ ) (associativité)
V2 (~u + ~v) + w
V6 a(b~u) = (ab)~u
V3 ~u + ~0 = ~u (élément neutre)
V4 Pour tout ~u , ~0 dans V il existe un unique vecteur −~u
tel que ~u + (−~u) = ~0 (existence d’un inverse)
V7 (a + b)~u = a~u + b~u
V5 1~u = ~u
V5 1~u = ~u
V8 a(~u + ~v) = a~u + a~v
V6 a(b~u) = (ab)~u
Théorèmes généraux espaces vectoriels :
V7 (a + b)~u = a~u + b~u
T1 ~0 est le seul vecteur ~v tel que ~u + ~v = ~u pour tout vecteur
V8 a(~u + ~v) = a~u + a~v
~u
Theorème 1 (Unicité du vecteur zéro). Si ~v est tel que pour
T2 −~u est le seul vecteur ~v tel que ~u + ~v = ~0
n’importe quel vecteur ~u
T3 0~u = ~0 pour tout vecteur ~u
~u + ~v = ~u
T4 a~0 = ~0 pour tout scalaire a
T5 (−1)~u = −~u
Définition : ~uk~v (~u est parallèle à ~v s’il existe un scalaire k tel
que ~u = k~v.
Définition : ~u − ~v = ~u + (−~v)
alors ~v = ~0.
Démonstration. On suppose que pour tout vecteur ~u on a
~u + ~v = ~u. Si on prend le cas particulier ~u = ~0, on a
~0 + ~v = ~0.
Axiomes espaces affines :
A1 Si ~v est un vecteur quelconque et A un point, alors il y a
Par V1,
−−→
un unique B tel que ~v = AB
−−→ −−→
A2 Si AB = AC, alors B = C
et par V4
−−→ −−→
A3 Si AC = BC, alors A = B
−−→ −−→ −−→
On a donc que
A4 AB + BC = AC (relation de Chasles)
Théorèmes espaces affines :
−−→
TA1 AA = ~0
−−→
−−→
TA2 AB = − BA
−−→ −−→
−−→ −−→
TA3 si AB = CD, alors AC = BD
~0 + ~v = ~v + ~0
~v + ~0 = ~v.
~0 = ~0 + ~v = ~v + ~0 = ~v,
c’est à dire que ~v = ~0.
Theorème 2. L’inverse −~u d’un vecteur ~u est unique.
Autrement dit, le vecteur −~u qui existe selon l’axiome V3 est le
seul ayant la propriété
−−→
Addition affine : A + ~u = B ssi ~u = AB. Propriétés avec cette
notation :
~u + (−~u) = ~0.
Si ~u est un vecteur quelconque et A un point, alors il y a un
unique B tel que A + ~u = B
(A + ~u) + ~v = A + (~u + ~v) (relation de Chasles)
Démonstration. Supposons qu’il y a deux vecteurs −~u et −~u0
tels que
~u + (−~u) = ~0 et ~u + (−~u0 ) = ~0.
p. 2
Propriétés des vecteurs et géométrie affine
Dans ce cas,
Démonstration. Comme l’inverse est unique, il suffit de montrer
que (−1)~u a la propriété qui définit l’inverse dans V4.
~u + (−~u) = ~0
(−~u0 ) + ~u + (−~u) = (−~u0 ) + ~0
addition de (−~u0 )
((−~u0 ) + ~u) + (−~u) = (−~u) + ~0
par V2
(~u + (−~u0 ) + (−~u) = (−~u) + ~0
par V1
~0 + (−~u) = (−~u0 ) + ~0
par hypothèse
(−~u) + ~0 = (−~u0 ) + ~0
par V1
(−~u) = (−~u )
par V4
0
~u + (−1)~u = (1 − 1)~u
par V6
= 0~u
= ~0
par 3
Définition 2. (différence de vecteurs) La différence entre ~u et
~v est le vecteur
def
~u − ~v = ~u + (−~v).
2
Espace affine
Notons que comme l’inverse est unique, l’opération « − » est Définition 3. Un espace affine est un ensemble X de « points
une opération bien définie (elle donne une seule valeur −~u pour » avec une opération qui associe à chaque paire de points A et
−−→
chaque vecteur ~u).
B un unique vecteur AB pris dans un espace vectoriel. Cette
Theorème 3. Pour tout vecteur ~u,
opération doit satisfaire les axiomes suivants :
A1 Si ~v est un vecteur quelconque et A un point, alors il y a
−−→
un unique B tel que ~v = AB
−−→ −−→
A2 Si AB = AC, alors B = C
−−→ −−→
A3 Si AC = BC, alors A = B
−−→ −−→ −−→
A4 AB + BC = AC (relation de Chasles)
0~u = ~0.
Démonstration.
0~u = (0 + 0)~u
0~u = 0~u + 0~u
par V7
0~u + (−0~u) = (0~u + 0~u) + (−0~u)
addition de −0~u
~0 = (0~u + 0~u) + (−0~u)
par V4
~0 = 0~u + (0~u + (−0~u))
par associativité (V2)
~0 = 0~u + ~0
par V4
~0 = 0~u
par V3
Theorème 4.
Addition affine : on note A + ~u la translation du point A par le
vecteur ~u.
Relation de Chasles, version adition affine (A+~u)+~v = A+(~u +~v)
−−→
Theorème 6. ?? Dans un espace affine, AA = ~0.
a~0 = ~0.
−−→ −−→
~u + AA = AA + ~u
−−→ ~
= AA + AB
−−→
= AB
= ~u
Démonstration. On utilise le théorème 1.
a~0 = a~0
toujours vrai
a~0 = a(~0 + ~0)
par V4
a~0 = a~0 + a~0
par V8
a~0 + −(a~0) = (a~0 + a~0) − a~0
par V3
~0 = a~0 + (a~0 − a~0)
par V2
~0 = a~0 + ~0
par V3
~0 = a~0
par V4
Theorème 5. Pour tout vecteur ~u,
par V1
par V1
par A4
Comme ~o est l’unique vecteur ayant cette propriété (théorème 1),
on doit avoir que
−−→ ~
AA = 0.
ajout de −a~0
~0 = (a~0 + a~0) − a~0
Démonstration. Soit ~u un vecteur quelconque. Par l’axiome A1,
−−→
il existe un unique point B tel que ~v = AB.
−−→ −−→
Theorème 7. Dans un espace affine, −AB = BA.
Démonstration.
−−→ −−→ −−→
AB + BA = AA
= ~0
(−1)~u = −~u.
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par A4
par ??
Propriétés des vecteurs et géométrie affine
p. 3
−−→
Comme par le théorème 5 l’inverse −AB est unique vecteur
ayant cette propriété, on conclue que
−−→
−−→
BA = −AB.
3.2
Bases
Définition 6. Les vecteurs v~1 , · · · , v~n forment une base si et
seulement si
B1 tout vecteur ~u est une combinaison linéaire de v1 , · · · , vn
(famille génératrice) et
−−→ −−→
−−→ −−→
Theorème 8. Si AB = CD, alors AC = BD.
B2 ~v1 , · · · , ~vn sont linéairement indépendant.
Démonstration.
−−→ −−→ −−→ −−→
AC = AB + BD + DC
−−→ −−→ −−→
= AB + DC + BD
−−→ −−→ −−→
= AB − CD + BD
−−→ −−→ −−→
= AB − AB + BD
−−→
= ~0 + BD
−−→
= BD
Theorème 10 (Dimension). Tout espace vectoriel a au moins
une base.
par A4 deux fois
V1
Toutes les bases d’un espace vectoriel donné ont la même taille.
Définition 7. La dimension d’un espace vectoriel est la taille
d’une de ses bases.
thm. 7
−−→ −−→
car AB = CD par hypothèse
par V4
par V3
Si la dimension d’un espace vectoriel est n, alors, en considérant
les vecteurs comme données par leurs composantes, on peut
considérer que l’espace est Rn . (On dit que l’espace vectoriel est
isomorphe à Rn .
3.3
3
Combinaisons linéaires et bases
Définition 4. Un vecteur ~u est une combinaison linéaire des
vecteurs v~1 , . . . , v~n s’il existe des scalaires a1 , . . . , an tels que
~u = a1~v1 + · · · + an~vn =
n
X
ak v~k .
k=1
Note : on peut utiliser la notation sigma pour exprimer la somme
de vecteurs de manière plus compacte. La combinaison linéaire
de la dernière définition peut ainsi s’écrire de la manière suivante :
n
X
ak~vk = a1~v1 + · · · + an~vn .
k=1
3.1
Indépendance linéaire
Composantes
Notation : h~v1 , · · · , ~vn i est une liste ordonnée de vecteurs.
Notation : soit B = h~v1 , · · · , ~vn i une base ordonnée. On écrit
~u = (a1 , · · · , an )B
pour dire que
~u = a1~v1 + · · · an~vn .
On appelle les coefficients a1 , . . . , an les composantes de ~u dans
la base B.
Theorème 11. Les composantes d’un vecteur dans une base
donnée sont uniques.
Formulation alternative : si ~u = (a1 , · · · , an )B = (b1 . . . bn )B ,
alors
a1 = b1 , · · · , an = bn .
Corollaire 1. Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs
composants dans une base donnée sont égales.
Définition 5. Les vecteurs ~v1 , · · · ~vn sont linéairement indépendants si aucun des vk peut être exprimé comme une combinaison Formulation alternative :
linéaire des autres.
(a1 , . . . , an ) = (b1 , . . . , bn ) ⇐⇒ a1 = b1 , · · · , an = bn .
Theorème 9. Les vecteurs ~v1 , · · · ~vn sont linéairement indépendants si et seulement si dès qu’il y a des scalaires a1 , . . . , an Theorème 12. Quand tout les vecteurs impliqués sont représentels que
tés dans une même base, les opérations produit par un scalaire
a1~v1 + · · · + an~vn = ~0,
et somme de vecteurs se font composante à composante, c’est à
dire
alors les coefficients a1 , . . . , an sont tous nuls.
produit par un scalaire : si ~u = (a1 , · · · an ) et k est un scaFormulation alternative : les vecteurs ~v1 , · · · ~vn sont linéairement
laire, alors
indépendants si et seulement si la seule combinaison linéaire de
k~u = k(a1 , · · · an )B = (ka1 , · · · kan )B .
ces vecteurs qui donne le vecteur nul est 0~v1 + 0~v2 + · · · + 0~vn .
Formulation alternative 2 : les vecteurs v1 , · · · vn sont linéairement indépendants si et seulement si
a1~v1 + · · · + an~va = ~0 ⇒ a1 , · · · , an = ~0.
somme de vecteurs : si ~u = (a1 , · · · an ) et ~u = (b1 , · · · , bn ),
alors
~u+~v = (a1 , · · · an )B +(b1 , · · · , bn )B = (a1 +b1, · · · an +bn )B
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p. 4
Propriétés des vecteurs et géométrie affine
On a aussi que
• −(a1 , · · · , an )B = (−a1 , · · · , −an )B
• ~u − ~v = (a1 , · · · an )B − (b1 , · · · , bn )B = (a1 − b1, · · · an −
bn )B .
Définition 14. Étant donnée un produit scalaire, on définit
l’angle entre deux vecteurs ~u et ~v par la relation
~u · ~v = k~ukk~vk cos(θ).
Définition 15. Deux vecteurs sont orthogonaux si ~u · ~v = 0, ce
qui est noté par ~u⊥~v.
4 Repères
Définition 16. Une base B = {~v1 , . . . , ~vn } est orthonormée si
Définition 8. Un repère dans un espace affine est la donnée les vecteurs qui la forme sont unitaires et s’ils sont orthogonaux
deux à deux.
d’une base ordonnée B et d’un point O, appelé origine.
Theorème
16. ~v1 , . . . , ~vn est une base orthonormée si et seuleDéfinition 9. Les coordonnées d’un point P par rapport à un
ment
si

repère B = h~v1 , . . . , ~vn i avec O comme origine sont les compo

−−→
1 si i = j
santes de OP dans la base B.
~vi · ~v j = 

0 si i , j
Autrement dit, on trouve les coordonnées de P en décomposant
−−→
le vecteur OP dans la base B :
5.1 Distance
−−→
OP = (a1 , · · · , an )B = a1~v1 + · · · + an~vn r;
Définition 17. La distance entre deux points A et B est définie
par
les coordonnées de P sont a1 , . . . , an .
−−→
d(A, B) = kABk
Définition 10. Le barycentre des points P1 , P2 , . . . , Pn est le
point P tel que
−−−→ −−−→
−−−→
PP1 + PP2 + · · · + PPn = ~0.
produit scalaire à l’aide des composantes
~
Theorème 13. Les coordonnées du barycentre P de P1 , P2 , . . . , Theorème 17. Si ~u = (u1 , · · · , an ) et b = (v1 , · · · , vn ) dans une
base
orthonormée
donnée,
on
a
que
Pn dans un repère d’origine O sont données par
n
X
−−−→
−−→ 1 −−−→ −−−→
~
~
u
·
v
=
u
v
+
·
·
·
+
u
v
=
ui vi
1
1
n
n
OP1 + OP2 + · · · + OPn .
OP =
n
i=1
Theorème 18. Si ~u = (u1 , · · · , un ) dans une base orthonormée
v1 , . . . , vn , alors
q
Définition 11. Un produit scalaire est une opération sur les
kuk = u21 + · · · + u2n .
vecteurs ayant propriétés suivantes :
PS1 ~u · ~v = ~v · ~u (commutativité)
5.2 Projections
PS2 (a~u) · ~v = a(~u · ~v) (linéarité)
Définition 18. La projection orthogonale d’un vecteur ~u sur
~ = ~u · ~v + ~v · w
~ (linéarité)
PS3 (~u + ~v) · w
un
vecteur ~v est définie par
PS4 ~u · ~u ≥ 0 et ~u · ~u = 0 ssi ~u = ~0.
~u · ~v
~v.
proj(~u, ~v) =
Autre notation usuelle pour le produit scalaire :
k~vk2
~u · ~v = h~u, ~vi.
Theorème 19. Si ~v est unitaire, la projection orthogonale de ~u
5
Produit scalaire
Définition 12. Étant donné un produit scalaire sur les vecteurs, sur un vecteur ~v devient
on défini la longueur d’un vecteur ~u par
proj(~u, ~v) = ~u · ~v ~v.
√
k~uk = ~u · ~u.
Theorème 20. La longueur de la projection orthogonale de ~u
sur ~v est
Theorème 14. Le vecteur nul est de longueur nulle :
|~u · ~v|
kproj(~u, ~v)k =
.
k~vk
k~0k = 0.
Définition 13. Un vecteur ~u est unitaire si k~uk = 1.
Theorème 15. Pour n’importe quel vecteur ~v , 0, le vecteur
1
~v
~v
est unitaire ; on dit que ce vecteur est la normalisation de ~v.
6
6.1
Coordonnées polaires et sphériques
Coordonnées rectangulaires
Si ~u est un vecteur dans R2 , alors il peut toujours s’écrire comme
~u = (a, b) = a~i + b~j, où h~i, ~ji est une base orthonormale de R2 .
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Propriétés des vecteurs et géométrie affine
6.2
Coordonnées polaires
p. 5
en donnant k~uk, φ et θ. En général, la correspondance entre les
deux descriptions est donnée par
Dans R2 , si l’angle entre ~u et ~i est θ, on peut décrire ~u en donnant
(a, b, c) [rect.] −→
k~uk et θ. En général, la correspondance entre les deux descrip!!
√
tions est donnée par
c
2
2
2
a + b + c ; ± atan(b/a), asin √
[polaire]
√
a2 + b2 + c2
(a, b) [rect.] −→ ( a2 + b2 ; ± atan(b/a)) [polaire]
(kuk, θ, φ) [polaire] −→
(kuk, θ) [polaire] −→ k~uk cos(θ), k~uk sin(θ) [rect.]
Note : il faut choisir le signe de ± selon l’orientation du vecteur
k~uk cos(θ) cos(φ), k~uk sin(θ) cos(φ), k~uk sin(φ) [rect.]
(a, b).
6.3
Coordonnées sphériques
Il faut choisir le signe de ± selon l’orientation du vecteur (a, b, c).
Dans R3 , si l’angle entre la projection de ~u dans le plan ~i et ~j et
~i est θ et l’angle entre ~u et ~k est φ on peut décrire ~u = (a, b, c)
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p. 6
7
Propriétés des vecteurs et géométrie affine
Déterminants et surfaces
Définition 19. La fonction déterminant dans R2 est l’unique
fonction prenant deux vecteurs et donnant un nombre telle que
D1 ∆(~i, ~j) = 1 si ~i et ~j forment une base orthonormale.
D2 ∆(~u, ~u) = 0
D1 ∆(~i, ~j, ~k) = 1 si les vecteurs ~i, ~j et ~k forment une base
orthonormale.
~ ) = 0 dès que deux des vecteurs ~u,~v, w
~ sont
D2 ∆(~u, ~v, w
égaux
~ ) = k∆(~u, ~v, w
~)
D3 ∆(k~u, ~v, w
~ ) = ∆(~u1 , ~v, w
~ ) + ∆(~u2 , ~v, w
~)
D4 ∆(~u1 + ~u2 , ~v, w
D3 ∆(k~u, ~v) = k∆(~u, ~v)
D4 ∆(~u1 + ~u2 , v) = ∆(~u1 , ~v) + ∆(~u2 , ~v)
D5 ∆(~u, ~v) = −∆(~v, ~u)
Theorème 21. Si ~u = (a, b) et ~v = (c, d), alors
a b
∆(~u, ~v) = = ad − bc
c d
Theorème 22.
~uk~v ⇐⇒ ∆(~u, ~v) = 0
~ ) = −∆(~v, ~u, w
~ ) = −∆(~u, w
~ , ~v) = −∆(~
D5 ∆(~u, ~v, w
w, ~v, ~u)
(échanger deux vecteurs change l’orientation)
~ ) = ∆(~u + a~v + b~
~)
D6 ∆(~u, ~v, w
w, ~v, w
~ =
Theorème 26. Si ~u = (u1 , u2 , u3 ), ~v = (v1 , v2 , v3 ), w
(w1 , w2 , w3 ), alors
u1
v1
w1
u2
v2
w2
u3 v3 = u1 v2 w3 + u2 v3 w1 + u3 v1 w2
w3 Theorème 23.
a
c
Theorème 24.
b a + kc
=
d c
a
c
b a
=
d b
b + kd
d c d
On peut donc utiliser sur les colonnes les propriétés qui valables
pour les lignes.
v
= u1 2
w2
− u3 v2 w1 − u2 v1 w3 − u1 v3 w2
v1 v3 v1 v2 v3 − u2 + u3 .
w1 w3 w1 w2 w3 ~ sont linéairement indépendants ssi
Theorème 27. ~u, ~v et w
~ ) , 0.
∆(~u, ~v, w
Le volume du parallélépipède engendré par trois vecteurs ~u, ~v et
~ est ∆(~u, ~v, w
~ ).
w
Le volume de la pyramide à base triangulaire engendrée par trois
L’aire du parallélogramme engendré par deux vecteurs ~u et ~v est
~ est ∆(~u, ~v, w
~ )/6.
vecteurs ~u, ~v et w
∆(~u, ~v).
a1 b1 c1 L’aire du triangle engendré par deux vecteurs ~u et ~v est Theorème 28 (Crammer). Si a2 b2 c2 , 0, l’unique solu
a3 b3 c3 ~ )/2.
∆(~u, ~v, w
a b
tion au système d’équation
Theorème 25 (Crammer). Si , 0, l’unique solution au
c d

système d’équation
a1 x + b1 y + c1 = k1







 ax + by = e
a2 x + b2 y + c2 = k2




 cy + dy = f

a x + b y + c = k
3
3
3
3
est
a e e b
est
c f f d
x = y = k1 b1 c1 a1 k1 c1 a1 b1 k1 a b
a b
a2 k2 c2 a2 b2 k2 k2 b2 c2 c d
c d
a3 k3 c3 a3 b3 k3 k3 b3 c3 x = y = z = .
a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 c1 8 Déterminants et volumes
a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a
b
c
a
b
c
a3 b3 c3 3
3
3
3
3
3
Définition 20. La fonction déterminant dans R3 est l’unique
fonction prenant deux vecteurs et donnant un nombre telle que
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Propriétés des vecteurs et géométrie affine
9
Produit vectoriel
Définition 21 (Propriétés axiomatiques du produit vectoriel).
p. 7
Lemme 1. Pour ~u et ~v dans R3 , on a que
k~u ∧ ~vk2 + ~u · ~v
2
PV1 ~u ∧ ~v = −~v ∧ ~u (anticommutativité)
PV2 (k~u) ∧ ~v = k ~u ∧ ~v (linéarité)
PV3 (u~1 + u~2 ) ∧ ~v = u~1 ∧ ~v + u~2 ∧ ~v (linéarité)
PV4 Si h~i, ~j, ~ki est une base orthonormale,
= k~uk2 k~vk2
(preuve laissée en exercice).
Theorème 30. k~u ∧ ~vk = k~ukk~vk sin(θ) = aire du parallélogramme engendré par ~u et ~v.
~ , on
Theorème 31. (produit mixte) Pour tout vecteurs ~u, ~v et w
a que
~i ∧ ~j = ~k, ~i ∧ ~k = −~j et ~j ∧ ~k = ~i.
u1 u2 u3 ~u · (~v ∧ w
~ ) = v1 v2 v3 Note : le produit vectoriel n’est pas commutatif et n’est pas
w1 w2 w3 associatif !
Theorème 29. Si les propriétés PV1 à PV4 sont vraies et et donc les propriétés de ~u · (~v ∧ w
~ ) peuvent être déduites de celle
~u = (u1 , u2 , u3 ) et ~v = (v1 , v2 , v3 ), on doit avoir que
des déterminants.
~ sont coplanaires ssi
Theorème 32. Les trois vecteurs ~u, ~v et w
u2 u3 ~ u1 u3 ~ u1 u2 ~
~
~
u
·
(~
v
∧
w
)
=
0.
~u ∧ ~v = i
−
j
+
k
v v v v v2 v3 1
3
1
2
Theorème 33. Si ~u, ~v , 0, on a que
~j ~k ~i
~uk~v si et seulement si ~u ∧ ~v = 0
= u1 u2 u3 .
v v v ~u⊥ ~u ∧ ~v , ~v⊥ ~u ∧ ~v
1
2
3
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