Nombres premiers

Chapitre 1 : Nombres entiers naturels
Introduction : C’est l’ensemble des nombres entiers positifs.
1) Diviseurs et Multiples
Rappel :
Division euclidienne posée
dividende
Ecriture en ligne
diviseur
200
7
60
4
26
reste
200 = 728+4
quotient
Calculatrice : Pour effectuer une division euclidienne, on utilise la touche ÷R ou ├
Définition :
Lorsque le reste de la division euclidienne du nombre entier a par le nombre entier b est égal à 0, alors :
 b est un diviseur de a
 a est un multiple du nombre b.
Exemple : 203
63
0
7
29
On peut dire :
7 est un diviseur de 203.
203 est un multiple de 7.
Règles :
1) Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6, 8.
2) Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.
3) Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.
4) Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemples
564 est divisible par 2 car son dernier chiffre est 4
564 est divisible par 3 car 5+6+4 = 15 qui est multiple de 3
564 n’est pas divisible par 5 car dernier chiffre est 4
564 n’est pas divisible par 9 car 5+6+4 = 15 qui n’est pas multiple de 9
2) Nombres premiers
Définition :
Un nombre premier est un nombre entier qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Liste des nombres premiers inférieurs à 20 :
2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 – 19
Exemple de nombres non premier :
8 car il est divisible par 1,2,4 et 8
1 car il a un seul diviseur
0 car il est divisible par n’importe quel nombre
Propriété :
Tout nombre entier non premier supérieur ou égal à 2 peut se décomposer en produit de nombres premiers
Exemple : Décomposition de 84 en produit de nombres premiers
On cherche les diviseurs premiers dans l’ordre croissant
84 = 2 × 42
84 = 2 × 2 × 21
84 = 2 × 2 × 3 × 7 écriture plus élégante : 84 = 22 × 3 × 7
3) Fractions irréductibles
Définition :
Une fraction est irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur n’ont pas de diviseur commun autre
que 1.
Méthode pour rendre une fraction irréductible:
On décompose le numérateur et le dénominateur en produit de nombres premiers
Exemple :
2  2  3  7 2  7 14
84
=
=
=
2  3 5
5
30
5