ff - exercices sur les nombres

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FF - EXERCICES SUR LES NOMBRES
Arithmétique
Nota : dans cette section, sauf indication contraire, tous les nombres utilisés sont des nombres entiers.
Trouver les nombres entiers n≥3tels que l’on puisse partager l’ensemble {1,...,n}en deux
sous-ensembles dont la somme des éléments de l’un soit égal au produit des éléments de l’autre.
Solution
Notons Set Ples deux ensembles. Le problème est toujours possible sauf pour n= 4.
Si n= 3 Le problème est évident avec S={1,2}et P={3}.
Si n= 2p≥6, considérons
P={1, p −1,2p}et S={1,...,n} \ P.
Alors, la somme σdes éléments de Sest le produit de ceux de Pcar
σ=
2p−1
X
k=1
k−1−(p−1) = p(2p−1) −p= 2p2−2p= 1 ×(p−1) ×(2p).
Si n= 2p+ 1 ≥5, considérons
P={1, p, 2p}et S={1,...,n} \ P.
Alors, la somme σdes éléments de Sest le produit de ceux de Pcar
σ=
2p+1
X
k=1
k−1−3p= (p+ 1)(2p+ 1) −1−3p= 2p2= 1 ×p×(2p).
Dans le cas n= 4 par contre, on constate qu’aucune partition ne convient. En effet, si l’on prend une
partition {{a, b, c},{d}}, l’égalité
a+b+c=d
implique
10 = a+b+c+d= 2d
donc d= 5, ce qui n’est pas possible. De même, égalité
a×b×c=d

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implique
24 = 4! = a×b×c×d=d2
qui n’est pas possible non plus.
Si l’on prend une partition {{a, b},{c, d}}, l’égalité
a×b=c+d
implique
a×b+a+b=a+b+c+d= 10
puis
(a+ 1)(b+ 1) = a×b+a+b+ 1 = 11 ,
qui n’est pas possible.
Trouver les nombres entiers naturels non nuls xet ytels que x−ydivise x+y.
Solution
Si l’on a
x+y=λ(x−y),
avec λentier non nul, on en tire
(λ+ 1)y= (λ−1)x ,
et λest supérieur à 2.
Il y a alors deux cas possibles.
1) si λ= 2p+ 1, alors
(p+ 1)y=px ,
et p+ 1 divise x. Donc x=q(p+ 1), d’où y=qp.
Réciproquement, si
x=q(p+ 1) et y=qp ,
alors x−y=qdivise x+y=q(2p+ 1).
2) si λ= 2p, alors
(2p+ 1)y= (2p−1)x ,
et 2p+ 1 divise x. Donc x=q(2p+ 1) d’où y=q(2p−1).

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Réciproquement, si
x=q(2p+ 1) et y=q(2p−1) ,
alors x−y= 2qdivise x+y= 4qp.
Remarque : on a en particulier comme solutions les nombres x=q(r+ 1) et y=q(r−1).
Soit aet bdeux nombres entiers naturels non nuls. Montrer que les conditions suivantes sont
équivalentes :
(i) a+bdivise a×b
(ii) a+bdivise a2
(iii) a+bdivise b2
Trouver tous les couples (a, b)vérifiant ces conditions.
Solution
En écrivant
a2=a(a+b)−ab
l’équivalence de (i) et (ii) est évidente, et par symétrie du problème, celle de (i) et (iii) également.
Soit aet btels que a+bdivise ab. Il existe qentier tel que
ab =q(a+b).
Soit δle PGCD de aet b. On a donc
a=δa′et b=δb′
avec a′et b′premiers entre eux. Alors
δ2a′b′=qδ(a′+b′)
puis
δa′b′=q(a′+b′).
Comme a′et b′sont premiers avec a′+b′, le produit a′b′divise q. Il existe λentier tel que
q=λa′b′,
donc
δa′b′=λa′b′(a′+b′),
ce qui donne
δ=λ(a′+b′),

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ainsi que
a=λa′(a′+b′) et b=λb′(a′+b′).
Inversement, soit a′et b′deux nombres entiers naturels non nuls, et λun entier naturel. Posons
a=λa′(a′+b′) et b=λb′(a′+b′).
Alors
a+b=λ(a′+b′)2
divise
a×b=λ2a′b′(a′+b′)2.
Remarque : on a également 1
a+1 b=1 q,
et ce qui précède donne deux nombres entiers dont la somme des inverses est l’inverse d’un nombre
entier.
Soit aet bdeux nombres entiers naturels non nuls.
1) Montrer que pour tout entier naturel n
a2n+b2n≡2(−ab)nmod (a+b).
2) Trouver les nombres aet btels que a2n+b2nsoit divisible par a+b.
3) Expliciter ces nombres si n= 1. Dans ce cas, quand aet bsont-ils premiers entre eux ?
Solution
1) Evaluons la différence
∆n=a2n+b2n−2(−ab)n.
Si n= 2s, on a
∆n=a2n+b2n−2anbn= (a2s−b2s)2,
et a2s−b2sest divisible par a+b.
Si n= 2s+ 1,
∆n=a2n+b2n+ 2anbn= (a2s+1 +b2s+1)2,
et a2s+1 +b2s+1 est divisible par a+b.
2) D’après ce qui précède, a2n+b2nest divisible par a+bsi et seulement si 2(ab)nest divisible par
a+b. Soit aet btels que a+bdivise 2(ab)n. Il existe donc qentier tel que
2(ab)n=q(a+b).

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Soit δle PGCD de aet b. On a donc
a=δa′et b=δb′
avec a′et b′premiers entre eux. Alors
2δ2n(a′b′)n=qδ(a′+b′)
et donc
2δ2n−1(a′b′)n=q(a′+b′).
Comme (a′b′)net a′+b′sont premiers entre eux, le produit (a′b′)ndivise q. Il existe λentier tel que
q=λ(a′b′)n,
donc
2δ2n−1(a′b′)n=λ(a′b′)n(a′+b′),
ce qui donne
2δ2n−1=λ(a′+b′).
Il en résulte que a′+b′divise 2δ2n−1.
Inversement, soit trois nombres a′,b′,δ, tels que a′+b′divise 2δ2n−1, alors si
a=δa′et b=δb′
le nombre a+b=δ(a′+b′)divise 2δ2net, puisque,
2(ab)n= 2δ2n(a′b′)n,
le nombre a+bdivise bien 2(ab)n.
3) Lorsque n= 1, le nombre a′+b′divise 2δ, c’est-à-dire
2δ=λ(a′+b′),
avec λentier.
Si a′et b′sont tous deux impairs (a′+b′)/2est un nombre entier qui divise δ. Donc
δ=λa′+b′
2,
ainsi que
a=λa′a′+b′
2et b=λb′a′+b′ 2.
Ces nombres sont premiers entre eux si et seulement si λ=a′=b′= 1 c’est-à-dire a=b= 1.