Couple acide-base : CORRECTION

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CORRECTION DES EXERCICES DU CHAPITRE n° 6
I) Oscillateur mécanique horizontal.
a) Etude "mécaniste" :
Système : objet de masse m et de centre d'inertie G
Référentiel : du laboratoire (galiléen)
Bilan des forces extérieures :
- le poids
P
→
de l'objet
- la réaction
R
→
du plan, orthogonale au plan (pas de frottement)
- la tension
T
→
du ressort
La 2ème loi de Newton s'écrit :
P
→
+
R
→
+
T
→
= m.
a
→
avec
T
→
= − k.x.
i
→
où
i
→
est le vecteur
unitaire de l'axe x'x orienté de x' vers x.
En projetant cette équation vectorielle sur l'axe x'x on a : T = − k.x = m.ax = m.a = m.
d x
dt
2
2
Soit
d x
dt k mx
2
20+ =.
Etude "énergétique" :
On considère le système : masse m, ressort de raideur k, le support et la Terre.
L’énergie mécanique du système est la somme d’une énergie cinétique de translation de la
masse m et d’une énergie potentielle élastique du ressort (l’énergie potentielle de gravitation
de la masse m, ainsi que toutes les autres formes d’énergie potentielles sont constantes au
cours du mouvement, la constante sera choisie nulle).
Em =
1
2
.m.v(t)2 +
1
2
.k.x(t)2 où on a rappelé que v et x sont des fonctions du temps.
Si on néglige les frottements, le système est dit conservatif et l’énergie mécanique est une
constante : Em = cte.
dE
dtm
= 0 =
d
dt m v t k x t
1
21 2
2 2
. . ( ) . . ( )+
=
()
1
2
2
.. ( )m d
dt v t
+
()
1
2
2
. . . ( )k d
dt xt
Soit
dE
dt
m
= 0 =
1
2
.m.2.v(t).
dv t
dt
( )
+
1
2
.k.2.x(t)
dx t
dt
( )
Mais v(t) =
dx t
dt
( )
et
dv t
dt
( )
=
d x t
dt
2
2
( )
d’où m.
dx t
dt
( )
.
d x t
dt
2
2
( )
+ k.x(t)
dx t
dt
( )
= 0
Soit
dx t
dt
( )
[m.
d x t
dt
2
2
( )
+ k.x(t)] = 0
dx t
dt
( )
= 0 constitue une absence de mouvement, il reste : m.
d x t
dt
2
2
( )
+ k.x(t) = 0
Soit
d x
dt k mx
2
20+ =
.
b) x représente l'allongement du ressort à partir de sa position d'équilibre statique.
Origine des espaces : point O
Origine des dates : instant de passage en O, d'où x(0) = x0 = 0 et v(0) = − v0,
v0
→
étant
dirigée vers A à l'instant initial. Une solution de l'équation différentielle est :
x = Xm.cos(
0
T
.
2π
.t + ϕ) avec T0 = 2.π.
k
m
= 0,63 .s et
dx
dt
= − Xm.
0
T
.2 π
.sin(
0
T
.2 π
.t + ϕ)

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Les conditions initiales nous permettent d'écrire : d'une part x0 = 0 = Xm.cos(ϕ) soit
cos(ϕ) = 0 d'où ϕ =
±π
2
d'autre part
dx
dt
t
=0
= − v0 = − Xm.
0T
.2 π
.sin(ϕ) < 0 ce qui impose :
ϕ =
+π
2
et Xm =
π.2 T.
v00
= 0,05 m soit x (en m) = 5.10−2.cos(10.t +
π
2
)
c) L’amplitude du mouvement de G est : Xm = 5.10−2 m
G oscille entre l'abscisse − Xm et + Xm, la trajectoire a donc pour longueur
L = 2.Xm = 2.5.10−2 = 10−1 m = 10 cm
II) Oscillateur pendulaire.
a) Considérons le système {masse m} dans le référentiel du laboratoire.
La masse est soumise à son poids
→
P
, et à la tension
→
T
du fil.
La loi fondamentale s'écrit :
→
P
+
→
T
= m.
a
→
On oriente la trajectoire circulaire du point G dans un sens. La position de
G à l'équilibre, G0, est prise pour origine des abscisses curvilignes.
On a : l'arc GG0 = s(t) = l.θ(t) ainsi que v(t) =
dt )t(ds
= l.
dt )t(dθ
et l.2
2
dt )t(d θ
On projette la loi fondamentale dans le repère de Frénet (G,
→
t
,
→
n
) :
Sur l’axe tangent : − P.sin[θ(τ)] = m.at, or, on sait que at = dv/dt
D'où − m.g.sin[θ(t)] = m.l.2
2
dt )t(d θ
Soit
2
2
dt
)t(
dθ
+
l
g
.sin[θ(t)] = 0
Cette équation différentielle non linéaire n'a pas de solution analytique simple.
b) Si on considère de petites oscillations, θ(t) reste petit devant 1 en rad (θ < 10 °).
On sait alors que : sinθ ≈ θ. On peut réécrire l'équation différentielle sous la forme :
2
2
dt )t(d θ
+
l
g
.θ(t) = 0 ou • θ
•
(t) +
l
g
.θ(t) = 0
On retrouve une équation différentielle linéaire du second ordre.
c) Si θ(t) = θm.cos(
0
T
.2 π
.t + ϕ)
Alors
dt )t(
dθ
= − θm.
0
T
.2 π
.sin(
0
T
.2 π
.t + ϕ)
Et
2
2
dt )t(d θ
= − θm.(
0
T
.2 π
)2.cos(
0
T
.2 π
.t + ϕ)
En remplaçant dans l'équation différentielle, on obtient :
− θm.(
0 T
.2 π
)2.cos(
0 T
.2 π
.t + ϕ) +
l
g
.θm.cos(
0 T
.2 π
.t + ϕ) = 0 ∀ t
Ou θm.(
0 T
.2 π
)2.cos(
0 T
.2 π
.t + ϕ) =
l
g
.θm.cos(
0 T
.2 π
.t + ϕ) = 0 ∀ t
Cette équation n'est vraie à chaque instant (∀ t) que si θm.(
0 T
.2 π
)2 =
l
g
.θm
Ou T02 = 4.π2.
g
l
et T0 = 2.π.
g
l
Les conditions initiales s'écrivent : à t = 0, θ(0) = θ0 et
dt
dθ
(0) = 0

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D'où θ0 = θm.cos(ϕ) et 0 = − θm.
0T
.2 π
.sin(ϕ)
θm et T0 = 2.π.
g
l
ne sont pas nuls (sinon il n'y aurait pas d'oscillation), donc :
sin(ϕ) = 0 d'où ϕ = 0 et θm = θ0
d) Le pendule repasse pour la première fois par la vertical (θ = 0) à la date t = t1, tel que :
θ(t1) = θ 0.cos(
0T
.2 π
.t1) = 0 d'où cos(
0T
.2 π
.t1) = 0 soit
0T
.2 π
.t1 =
2
π
et t1 =
4
T0
Quand le pendule repasse pour la première fois par la verticale (θ = 0), la mesure algébrique
de la vitesse angulaire est :
dt
dθ
(t1) = − θm.
0
T
.2 π
.sin(
0
T
.
2π
.
4
T0
) = − θm.
0
T
.
2π
.sin(
2
π
) =− θm.
0
T
.2 π
= − θ0.
l
g