2. a) Plusieurs démonstrations possibles. Exemple : 3. a) Plusieurs

Vision 5 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel – Vol. 2 © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
16
Hypothèses : • Les deux cercles ont le même centre O.
• Les segments AC et BD sont des
diamètres de ces cercles.
On doit démontrer que 兾兾 et 兾兾 .
Démonstration de
//
ΔABO 艑ΔCDO par la condition minimale d’isométrie
CAC. En effet :
1. 艑, car ce sont deux rayons du grand cercle;
2. 艑, car ce sont deux rayons du petit cercle;
3. ∠AOB 艑∠COD, car ce sont des angles opposés par
le sommet.
∠ABO 艑∠CDO, car les angles homologues de
triangles isométriques sont isométriques.
兾兾 , car les angles alternes-internes ABO et CDO
associés à ces deux droites sont isométriques.
Démonstration de
//
On procède exactement de la même façon pour démontrer
l’isométrie des triangles ADO et CBO et en déduire que les
angles ADO et CBO sont isométriques.
Mise au point 5.2
1. Les triangles ,et sont isométriques, car ils ont
tous un angle de 58° compris entre deux côtés de 2 cm.
2. a)
Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :
ΔAFB 艑ΔDBF par la condition minimale d’isométrie
CAC. En effet :
1. m 40 m ;
2. m ∠AFB 50° m∠DBF;
3. m m , puisqu’il s’agit du même segment.
BFFB
DBAF
D
C
A
Page 34
BCAD
CDAB
DOBO
COAO
CDAB
BCADCD
AB
Ces deux triangles étant isométriques, on peut en
déduire que m m34.
ΔDEF 艑ΔDBF par la condition minimale d’isométrie
ACA. En effet :
1. m ∠DEF 180° 70° 60° 50° 
m∠DBF;
2. m ∠FDE 70° m∠FDB;
3. m 40 m .
Ces deux triangles étant isométriques, on peut
en déduire que m m42.
ΔAFB 艑ΔDBC par la condition minimale d’isométrie
CCC. En effet :
1. m 40 m ;
2. m 42 m ;
3. m 34 m .
En se basant sur la transitivité de l’isométrie, on peut
donc affirmer que les quatre triangles sont isométriques.
b) L’isométrie des triangles démontrée en a) permet de
déterminer les mesures de tous les angles et les
segments de cette figure. Ces mesures manquantes sont
indiquées en caractères gras dans la figure ci-dessous.
On en déduit, notamment, que la mesure de l’angle
rentrant CDE est de 210°.
c) m∠ABC 160°
m∠AFE 170°
d) Le quadrilatère ABDF est un parallélogramme. En effet,
兾兾 , car les angles alternes-internes AFB et DBF
sont isométriques; 兾兾 , car les angles alternes-
internes ABF et DFB sont isométriques.
Les quadrilatères BDEF et BCDF sont des cerfs-volants,
car ils ont chacun deux paires de côtés adjacents
isométriques.
3. a)
Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :
Hypothèse : Le quadrilatère ABCD est un rectangle ; tous
ses angles intérieurs sont droits.
Conclusion : ΔBAD 艑ΔDCB
DFAB
BDAF
60°
50°
50°
70°70°
42
42
42
40
40
40
A
B
C
D
E
F
34 34
34
DCAB
BCFB
DBAF
EFBF
DBDE
ABDF
16

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision 5 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel – Vol. 2 17
Construction : On trace les droites passant par les côtés
du rectangle.
b) Cette conjecture est fausse.
Le contre-exemple ci-contre
le démontre.
c)
Deux réponses possibles.
1. Deux triangles rectangles ayant deux côtés
homologues isométriques sont isométriques.
2. Deux triangles rectangles ayant un angle aigu
homologue et un côté homologue isométriques sont
isométriques.
4. a)
Plusieurs réponses possibles. Exemple :
Il faut d’abord établir une correspondance entre les deux
triangles qui associe les côtés isométriques de l’un aux
côtés isométriques de l’autre. Si, selon cette
correspondance, les deux triangles ont un angle
homologue et un côté homologue isométriques, alors
ils sont isométriques.
Justification : Connaissant la mesure d’un angle d’un
triangle isocèle et sa position par rapport aux deux côtés
isométriques, on peut déterminer les mesures des deux
autres angles du triangle. On applique ensuite le cas
d’isométrie ACA.
b) Il suffit de vérifier que l’un des côtés d’un triangle est
isométrique à l’un des côtés de l’autre triangle.
Justification : Les trois côtés des triangles équilatéraux
sont isométriques; l’isométrie d’un des côtés
homologues entraîne l’isométrie des autres.
AD
BC
Mise au point 5.2 (suite)
5. a) 1 triangle. b) 4 triangles. c) 3 triangles.
d) Une infinité de triangles. e) 4 triangles.
6. a)
Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :
Hypothèse : 艑et 艑
Ce qu’il faut démontrer :
la demi-droite AC est
la bissectrice de l’angle BAD.
Les triangles ABC et ADC sont isométriques par
la condition minimale d’isométrie CCC. En effet, le côté
AC est commun aux deux triangles, et les deux autres
côtés homologues sont isométriques par hypothèse.
Ces triangles étant isométriques, leurs angles
homologues sont également isométriques. Ainsi,
∠BAC 艑∠DAC. La demi-droite AC sépare l’angle
BAD en deux angles isométriques. C’est donc
la bissectrice de cet angle.
b)
Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :
On reprend la figure initiale
en ajoutant un point E sur
la bissectrice AC.
Puisque les triangles ABC
et ADC sont isométriques,
les angles extérieurs BCE
et CDE qui sont homologues
sont isométriques.
Par conséquent, est aussi la bissectrice de l’angle
BCD.
On a donc :
m∠BCE  
m∠BAD 2m∠BAC
De plus, puisque la mesure d’un angle extérieur
d’un triangle est égale à la somme des meures des deux
angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents, on peut
affirmer que m ∠BCE m∠BAC m∠ABC.
En comparant cette dernière égalité avec les égalités
précédentes, on conclut que m ∠BAC m∠ABC.
Le triangle ABC, étant isoangle, est isocèle. Ce qui fait
que m m .
De la même manière, on démontre que m m .
Le point C est donc situé à égale distance des trois
sommets A, B et D.
ACDC
ACBC
2m∠BAD
2
m∠BCD
2
AC
C
BD
E
A
C
BD
A
CDCBADAB
Page 35
AFFIRMATION
1. 兾兾 et
兾兾
2. ∠ABD 艑∠CDB
3. ∠ADB 艑∠CBD
4. 艑
5. ΔBAD 艑ΔDCB
DBBD
BCAD
DCAB
JUSTIFICATION
1. Car deux droites perpendiculaires à une
troisième sont parallèles entre elles.
2. Car ce sont des angles alternes-internes
relativement aux droites parallèles AB
et DC.
3. Car ce sont des angles alternes-internes
relativement aux droites parallèles AD
et BC.
4. Par réflexivité de l’isométrie.
5. Par la condition minimale d’isométrie
ACA.