2. a) Plusieurs démonstrations possibles. Exemple : 3. a) Plusieurs

Page 34
Mise au point 5.2
1. Les triangles A , C et D sont isométriques, car ils ont
tous un angle de 58° compris entre deux côtés de 2 cm.
Hypothèses : • Les deux cercles ont le même centre O.
• Les segments AC et BD sont des
diamètres de ces cercles.
On doit démontrer que
兾兾 CD et AD 兾兾 BC.
Démonstration de AB // CD
Δ ABO 艑 Δ CDO par la condition minimale d’isométrie
CAC. En effet :
1. AO 艑 CO, car ce sont deux rayons du grand cercle ;
2. BO 艑 DO, car ce sont deux rayons du petit cercle ;
ABsont des angles opposés par
3. ∠ AOB 艑 ∠ COD, car ce
le sommet.
∠ ABO 艑 ∠ CDO, car les angles homologues de
triangles isométriques sont isométriques.
AB 兾兾 CD, car les angles alternes-internes ABO et CDO
associés à ces deux droites sont isométriques.
Démonstration de AD // BC
On procède exactement de la même façon pour démontrer
l’isométrie des triangles ADO et CBO et en déduire que les
angles ADO et CBO sont isométriques.
2. a) Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :
Δ AFB 艑 Δ DBF par la condition minimale d’isométrie
CAC. En effet :
1. m AF 40 m DB ;
2. m ∠ AFB 50° m ∠ DBF ;
3. m FB m BF, puisqu’il s’agit du même segment.
Ces deux triangles étant isométriques, on peut en
déduire que m DF m AB 34.
Δ DEF 艑 Δ DBF par la condition minimale d’isométrie
ACA. En effet :
1. m ∠ DEF 180° 70° 60° 50° m ∠ DBF ;
2. m ∠ FDE 70° m ∠ FDB ;
3. m DE 40 m DB .
Ces deux triangles étant isométriques, on peut
en déduire que m BF m EF 42.
Δ AFB 艑 Δ DBC par la condition minimale d’isométrie
CCC. En effet :
1. m AF 40 m DB ;
2. m FB 42 m BC ;
3. m AB 34 m DC .
En se basant sur la transitivité de l’isométrie, on peut
donc affirmer que les quatre triangles sont isométriques.
b) L’isométrie des triangles démontrée en a) permet de
déterminer les mesures de tous les angles et les
segments de cette figure. Ces mesures manquantes sont
indiquées en caractères gras dans la figure ci-dessous.
40
A
F
50°
34
42
60°
E
34
42
40
B
50°
70°
70°
D
40
34
42
C
AB DF
On en déduit, notamment, que la mesure de l’angle
rentrant CDE est de 210°.
c) m ∠ ABC 160°
m ∠ AFE 170°
d) Le quadrilatère ABDF est un parallélogramme. En effet,
AF 兾兾 BD , car les angles alternes-internes AFB et DBF
sont isométriques ;
兾兾 , car les angles alternesinternes ABF et DFB sont isométriques.
Les quadrilatères BDEF et BCDF sont des cerfs-volants,
car ils ont chacun deux paires de côtés adjacents
isométriques.
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3. a) Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :
Hypothèse : Le quadrilatère ABCD est un rectangle ; tous
sesLesangles
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Éditionsintérieurs
CEC inc. • sont
Reproduction
Conclusion : Δ BAD 艑 Δ DCB
Construction : On trace les droites passant par les côtés
du rectangle.
A
D
B
C
AFFIRMATION
1. AB 兾兾 DC et
AD 兾兾 BC
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Mise au point 5.2 (suite)
5. a) 1 triangle.
b) 4 triangles.
d) Une infinité de triangles.
c) 3 triangles.
e) 4 triangles.
6. a) Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :
A
Hypothèse : AB 艑 AD et CB 艑 CD
Ce qu’il faut démontrer :
la demi-droite AC est
la bissectrice de l’angle BAD.
JUSTIFICATION
1. Car deux droites perpendiculaires à une
troisième sont parallèles entre elles.
2. ∠ ABD 艑 ∠ CDB 2. Car ce sont des angles alternes-internes
relativement aux droites parallèles AB
et DC.
3. ∠ ADB 艑 ∠ CBD 3. Car ce sont des angles alternes-internes
relativement aux droites parallèles AD
et BC.
4. BD 艑 DB
4. Par réflexivité de l’isométrie.
5. Δ BAD 艑 Δ DCB
5. Par la condition minimale d’isométrie
ACA.
b) Cette conjecture est fausse.
Le contre-exemple ci-contre
le démontre.
c) Deux réponses possibles.
1. Deux triangles rectangles ayant deux côtés
homologues isométriques sont isométriques.
2. Deux triangles rectangles ayant un angle aigu
homologue et un côté homologue isométriques sont
isométriques.
4. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple :
Il faut d’abord établir une correspondance entre les deux
triangles qui associe les côtés isométriques de l’un aux
côtés isométriques de l’autre. Si, selon cette
correspondance, les deux triangles ont un angle
homologue et un côté homologue isométriques, alors
ils sont isométriques.
Justification : Connaissant la mesure d’un angle d’un
triangle isocèle et sa position par rapport aux deux côtés
isométriques, on peut déterminer les mesures des deux
autres angles du triangle. On applique ensuite le cas
d’isométrie ACA.
b) Il suffit de vérifier que l’un des côtés d’un triangle est
isométrique à l’un des côtés de l’autre triangle.
Justification : Les trois côtés des triangles équilatéraux
sont isométriques ; l’isométrie d’un des côtés
homologues entraîne l’isométrie des autres.
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C
B
D
Les triangles ABC et ADC sont isométriques par
la condition minimale d’isométrie CCC. En effet, le côté
AC est commun aux deux triangles, et les deux autres
côtés homologues sont isométriques par hypothèse.
Ces triangles étant isométriques, leurs angles
homologues sont également isométriques. Ainsi,
∠ BAC 艑 ∠ DAC. La demi-droite AC sépare l’angle
BAD en deux angles isométriques. C’est donc
la bissectrice de cet angle.
b) Plusieurs démonstrations possibles. Exemple :
A
On reprend la figure initiale
en ajoutant un point E sur
la bissectrice AC.
Puisque les triangles ABC
et ADC sont isométriques,
les angles extérieurs BCE
C
et CDE qui sont homologues
sont isométriques.
B
E
D
Par conséquent, AC est aussi la bissectrice de l’angle
BCD.
On a donc :
2 m ∠ BAD
m ∠ BCD
m ∠ BCE 2
2
m ∠ BAD 2 m ∠ BAC
De plus, puisque la mesure d’un angle extérieur
d’un triangle est égale à la somme des meures des deux
angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents, on peut
affirmer que m ∠ BCE m ∠ BAC m ∠ ABC.
En comparant cette dernière égalité avec les égalités
précédentes, on conclut que m ∠ BAC m ∠ ABC.
Le triangle ABC, étant isoangle, est isocèle. Ce qui fait
que m BC m AC.
De la même manière, on démontre que m DC m AC.
Le point C est donc situé à égale distance des trois
sommets A, B et D.
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