Cinématique

Cinématique
discipline fondamentale
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La vitesse
Définition :
distance parcourue
temps de parcours
ou bien, la vitesse moyenne peut-être exprimée à l’aide des symboles :
l
vm 
t
vitesse scalaire moyenne 
Transformation d’unités de vitesse :
m/s
km/h
1,00
0,278
0,515
3,60
1,00
1,85
mille marin/h
(nœuds)
1,94
0,540
1,00
Vitesse instantanée.
La notation delta, variation d’une quantité.
Pour indiquer le changement d’une valeur ; le totalisateur d’une voiture indique 16 354 km au
début d’un trajet, puis 16 421 km à la fin. La distance parcourue est la variation de la position
du véhicule :
l  l final  l initial  16 421 km  16 354 km  67 km
Si l’heure de départ de la voiture était midi et qu’elle est arrivée à destination à 13h24, on
définit la durée du trajet :
t  t final  t initial  13h 24  12h 00  1,40 h
et sa vitesse moyenne est alors donnée par la relation :
l 67 km
vm 

 47,9 km h
t 1,40 h
La vitesse instantanée.
C’est la vitesse indiquée par le compteur de vitesse. Elle est valable à l’instant où on lit
l’instrument. On peut la mesurer, dans une expérience, en chronométrant un chariot se
déplaçant sur une distance très courte. Elle est définie comme une limite (en fait, on utilise la
notion de dérivée, que vous aborderez en mathématiques plus tard) :
l
v  lim
 t  0 t
La vitesse est une grandeur vectorielle. En effet, il faut toujours tenir compte de sa direction
pour connaître exactement le déplacement.
Mouvement relatif.
On ne peut jamais avoir la certitude qu’un objet est en mouvement ou non (calculer la vitesse
d’un point de la Terre en rotation sur elle- même, sa vitesse orbitale autour du Soleil).
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Un avion vole vers l’est dans un vent dirigé vers le nord. L’avion est entraîné dans une
direction  du nord-est. Le pilote doit se diriger vers le sud-est afin de compenser la vitesse du
vent.
L’accélération
C’est le taux de variation de la vitesse.
variation de vitesse
accélérati on moyenne 
temps écoulé
v v f  vi
am 

t t f  t i
Le mouvement rectiligne uniforme.
On parle d’un tel mouvement lorsque la vitesse de l’objet est constante. On parle de x 0 pour
décrire la position de l’objet au temps t=0 s, également v 0 est sa vitesse en t=0 s.
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Position en fonction du temps
80
70
60
distance (m)
50
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
temps (s)
Vitesse en fonction du temps
12
10
vitesse (m/s)
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
temps (s)
Sur ce graphique, l’aire sous la courbe entre deux instants quelconques est la hauteur (la
vitesse) multiplié par la longueur (donc la durée) c’est à dire la distance parcourue.
Equation :
x  x 0  vt
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Le mouvement rectiligne uniformément accéléré.
L’accélération est constante. Ce mouvement est très courant, à condition que l’on puisse
négliger les frottements de l’air. C’est le mouvement d’un chariot qui est tiré par un contrepoids. C’est aussi le mouvement d’un objet en chute libre.
Distance en fonction du temps
12
10
distance (m)
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
5
6
7
8
temps (s)
Vitesse en fonction du temps
3
vitesse (m/s)
2
1
0
0
1
2
3
4
temps (s)
Comme pour le mouvement uniforme, la distance parcourue est la surface sous la courbe de
ce graphique. Cette surface est celle d’un triangle, la hauteur (vitesse au temps t) multiplié par
la base (le temps) divisé par deux.
Comme l’accélération est le taux de variation de vitesse et qu’elle est constante, elle
représente la pente de la droite du graphique de la vitesse.
Equations :
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v  v0 t
2
v  v0
a

t
des équations précédentes, on tire : x  v 0 t  12 at 2 ou bien
v  v 0  at
et on peut montrer que
v 2  v 02  2a x  x0 
x
x  x 0  v0 t  12 at 2
La chute libre d’un corps dans le vide.
Les objets lancés retombent sur le sol de la Terre avec une accélération constante, dirigée vers
m
le bas ; g  9,81 2 . La valeur de cette accélération dépend à la fois de la pesanteur et de la
s
m
rotation de la Terre. Cette valeur est, pour l’équateur g  9,78 2 et pour le pôle nord
s
m
g  9,83 2 . Les variations sont donc faibles. En revanche, si on considère la chute des corps
s
m
sur une autre planète ou astre, cette valeur peut être franchement différente ( g Lune  1,6 2 ).
s
Pour poser les équations de la chute libre, on considère un axe y vertical, dirigé vers le haut.
L’accélération est ainsi comptée négativement car elle est dirigée vers le bas. L’origine de
l’axe est fixée lorsque l’objet est à la position de départ ( t 0 ).
Equations :
v  v 0  gt
y  v0 t  12 gt 2
v 2  v02  2 gy
Si on lance une balle vers le haut, il peut être intéressant de découvrir l’altitude maximale
atteinte par le projectile. La condition à satisfaire est de trouver une vitesse ascensionnelle
nulle à cet endroit.
v2
y max  0
2g
Exercices.
1. La Lune décrit autour de la Terre une orbite circulaire de 3,84  108 m de rayon, en 27,3
jours. Calculer sa vitesse orbitale moyenne en m/s.
2. Loïc Perron a parcouru 492 milles nautiques en 24 heures. Calculer sa vitesse moyenne en
nœud, en km/h et en m/s.
3. Un rallye automobile de 600 km a été emporté par une équipe de deux conducteurs,
chacun d’eux a tenu le volant pendant la moitié du trajet. Sachant que la vitesse moyenne
de l’un était de 60 km/h et de l’autre de 20 km/h, calculer leur vitesse moyenne globale.
4. Deux chevaliers vont à l’encontre l’un de l’autre. Le premier chevauche vers le sud à la
vitesse de 5 km/h. L’autre fonce vers le nord à 25 km/h. A quelle vitesse les deux
chevaliers s’approchent t- il l’un de l’autre ?
5. Une Jaguar peut atteindre, départ arrêté, la vitesse de 48,3 km/h en 3,80 s. Calculer son
accélération moyenne.
6. Une balle sort à la vitesse de 900 m/s du canon de 60 cm d'une carabine Winchester.
Déterminer: (a) son accélération; (b) la durée du trajet dans le canon.
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7. Une particule située 5 m à l'est de l'origine se déplace vers l'ouest à 2 m/s. Cinq secondes
plus tard, elle se trouve à 11 m à l'est de l'origine. Quelle était son accélération ?
8. Si un objet peut accélérer de façon continue à 10 m/s2 , quelle distance va-t- il parcourir et
quel temps lui faudra-t- il pour atteindre: (a) la vitesse du son, 330 m/s; (b) la vitesse de
libération d'une fusée de l'attraction terrestre, 11,2 km/s; (c) 3 10 7 m s c'est-à-dire 10%
de la vitesse de la lumière? (On suppose qu'il part du repos.)
9. Un train a une longueur de 44 m. L'avant du train se trouve à 100 m d'un poteau. Il
accélère à raison de 0,5 m s 2 à partir du repos. (a) Combien de temps lui faut- il pour
passer devant le poteau ? (b) À quelles vitesses l'avant et l'arrière du train passent-ils
devant le poteau ?
10. Une automobile roulant à 60 km/h arrive au niveau d'un train de 1 km de longueur qui
roule à 40 km/h sur une voie parallèle à la route. Quelle distance parcourt l'automobile
pendant qu'elle reste parallèle au train sur toute sa longueur, sachant qu'ils roulent (a) dans
la même direction ou (b) dans de- directions opposées ?
11. Le chauffeur d'un camion roulant à 30 m/s aperçoit soudain un caribou à 70 m devant lui.
Si le temps de réflexe du chauffeur est de 0,5 s et la décélération maximale de
8 m s 2 peut-il éviter de heurter le caribou sans donner un coup de volant ?
12. De l'eau jaillit verticalement d'un tuyau placé au niveau du sol et atteint une hauteur de
3,2 m. (a) À quelle vitesse sort-elle du tuyau ? (b) Pendant combien de temps une goutte
d'eau reste-t-elle en l'air ?
13. Une pierre lancée verticalement vers le haut à partir du sol monte jusqu'à une hauteur de
25 m. Quelle hauteur atteindrait-elle sur la Lune si elle était lancée avec la même vitesse
initiale ? L'accélération due à la pesanteur sur la Lune vaut 1 6 de celle sur la Terre.
14. Une pierre qu'on laisse tomber de la margelle d'un puits touche la surface de l'eau 1,5 s
plus tard. (a) Quelle est la profondeur du puits? (b) À quelle vitesse la pierre touche t-elle
l'eau ?
15. Un jouet en forme de fusée S'élève avec une vitesse constante de 20 m/s. Quand il se
trouve à 24 m au-dessus du sol, un boulon se détache. (a) Combien de temps met le
boulon pour arriver au sol ? (b) Quelle est sa hauteur maximale? (c) À quelle vitesse
touche-t-il le sol?
16. Une balle de tennis tombe d'une hauteur de 5 m et rebondit jusqu'à une hauteur de 3,2 m.
Si elle est en contact avec le sol pendant 0,036 s, quelle est son accélération moyenne
durant cette période?
17. À partir des données envoyées par l'engin spatial Voyager en 1979, l'ingénieur Linda
Morabito a découvert sur Io, un satellite de Jupiter, la première activité volcanique
extraterrestre. Le panache de l'éruption s'élevait à 280 km d'altitude environ. Sachant que
l'accélération de la pesanteur à la surface d'Io vaut 1,8 m s 2 et supposant qu'elle demeure
constante, déterminer : (a) la vitesse à laquelle les débris étaient projetés (b) le temps qu’il
leur fallait pour atteindre la hauteur maximale.