Étude de l`expérience de Timochenko 1.Étude générale ω < Rx x

I.N.R.P. – B. Richoux, C. Salvetat, Lycée J.-B. Corot, Savigny s/orge 17/10/01 1/1
Étude de l'expérience de Timochenko
1.Étude générale
1.1.Théorèmes généraux
L’application de la relation fondamentale à la plaque
permet d’écrire, dans un référentiel terrestre considéré
galiléen :
 avec le théorème de la résultante cinétique, et
en projection
 avec le théorème du moment cinétique en O
(point fixe).
1.2.Réactions normales et tangentielles
La dérivée par rapport au temps du moment cinétique
en O est nulle si G se déplace en translation et si les
vecteurs OG et mvG sont colinéaires (plaque infiniment
mince).
 On obtient :
 On calcule les réactions normales en
combinant (1) et (3)
On calcule les réactions tangentielles en utilisant la
condition imposée par le glissement et après avoir
justifié leur sens grâce à la vitesse de glissement (et la
condition imposée ω< Rx
&)
Pour les cylindres 1 et 2 :
 La coordonnée de vG1 est négative donc T1 > 0
car opposée à la vitesse de glissement
 La coordonnée de vG2 est positive donc T2 < 0
car opposée à la vitesse de glissement
1.3.Équation différentielle
La relation (2) permet d’écrire l’équation différentielle.
La solution de cette équation est une fonction
sinusoïdale de période T donnée par l’expression ci-
contre.
La période dépend de la longueur de la plaque et du
coefficient de frottement entre plaque et cylindres.
(possibilité de mesure de f par une mesure de temps).
amPRR 21 =++
0mgNN 21 =−+ (1) xmTT 21 && =+ (2)
gmOGNOINOI
dt
d
2211
0∧+∧+∧=
σ
GG0 vmOG ∧+σ=σ
0xmgN
2
L
N
2
L
-21 =−+ (3)
)
L
x
21(
2
mg
N1−= )
L
x
21(
2
mg
N2+=
ℜ∈ℜ∈ −= /CylindreI/PIg vvv
i)Rx(v 1g ω−= &
)
L
x
21(
2
fmg
NfT 11 −=+=
i))R(x(v 2g ω−−= &
)
L
x
21(
2
fmg
NfT 22 +−=−=
xm
L
x
21
L
x
21
2
fmg &&
=
−−− Æ0x
L
fg2
x=+
&&
)t
T
2
cos(xx 0
π
=Æ
fg2
L
2T π=