Induction - Étienne Thibierge
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Colles semaine 14, sujet A Langevin Wallon, PT 2015-2016 Induction Questions de cours Définir le flux magnétique et son unité, puis énoncer la loi de Faraday. Les conventions de signe et d’orientation étant primordiales, il est indispensable de s’appuyer sur un schéma. Solution de l’exercice 0 : Orientations du vecteur normal servant à calculer le flux et du sens positif du circuit servant à orienter la fém donnés par la règle de la main droite. Exercice 1 : Moteur synchrone [♦] #” tourne avec la même Considérons un modèle simple de moteur synchrone. Le rotor, de moment magnétique m, #” vitesse angulaire ω constante que le champ magnétique B qui l’entraîne. On néglige tout frottement interne au #” #” #” vers B moteur. On s’intéresse à l’angle interne du moteur θ orienté de m et au couple M exercé par le champ sur le moment magnétique. On prendra B = 0,2 T, m = 8 A · m2 et une fréquence de rotation de 50 tours par seconde. 1 - Proposer un dispositif simple permettant de réaliser le champ magnétique tournant. 2 - Que vaut θ si le moteur fonctionne à vide ? 3 - Le moteur doit entraîner une charge mécanique qui exerce un couple résistant Mr = 0,65 N · m. Calculer l’angle interne et la puissance fournie par le moteur. 4 - La vitesse de rotation dépend-elle de la charge ? Quel est le couple maximal que peut fournir ce moteur ? Solution de l’exercice 1 : 1 Trois bobines en triphasé, déphasées donc de 2π/3. # ” #” #” # ” #” 2 M =m ∧ B = mB sin θ #” e z . Si moteur à vide M = 0 (loi du moment cinétique) donc θ = 0 : moment aligné sur le champ. 3 Couple moteur et moment résistant se compensent vectoriellement, donc en norme mB sin θ = Mr Puissance fournie soit θ = arcsin Mr = 24° mB # ” #” P =M· ω = mBω sin θ = 205 W . Lorsque le moteur entraîne une charge, le moment magnétique suit le champ mais avec un angle interne d’autant plus grand que le couple résistant est important. 4 Vitesse de rotation indépendante de la charge (avantage par rapport au moteur à courant continu), la charge n’influe que sur l’angle interne. Le couple maximal que peut fournir le moteur est obtenu pour sin θ = 1, soit Mmax = mB = 1,6 N · m 1/11 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 14, sujet A : Induction Langevin Wallon, PT 2015-2016 2/11 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 14, sujet B Langevin Wallon, PT 2015-2016 Induction Question de cours Définir les coefficients d’inductance propre et mutuelle. Les conventions de signe et d’orientation étant primordiales, il est indispensable de s’appuyer sur un schéma. Solution de l’exercice 0 : Orientations du vecteur normal servant à calculer le flux et du sens positif du circuit servant à orienter le courant donnés par la règle de la main droite. Exercice 1 : Pendule pesant conducteur dans un champ magnétique B #” ez [♦] Une tige métallique OA de masse m, de résistance R et de longueur a oscille sans frottement autour d’un axe (Oz) perpendiculaire au plan de la feuille. La tige est en contact en A avec un rail métallique ce qui forme un circuit électrique. #” L’ensemble est placé dans un champ magnétique B = B #” ez . La résistance du rail et du fil servant à fermer le circuit seront négligées. Le moment d’inertie de la tige vaut O θ 1 ma2 3 1 - Déterminer l’équation différentielle vérifiée par l’angle θ avec la verticale. A Jz = 2 - On suppose les oscillations de petite amplitude. Montrer que si le champ magnétique est suffisamment fort, la tige atteint sa position d’équilibre sans osciller. 3 - Déterminer sans aucun calcul le taux de variation de l’énergie mécanique du pendule dEm /dt. Solution de l’exercice 1 : Cf. livre Ellipses MPSI pp. 747 à 749 ou colle semaine 31 sujet 1 de Christophe. 3/11 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 14, sujet B : Induction Langevin Wallon, PT 2015-2016 4/11 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 14, sujet C Langevin Wallon, PT 2015-2016 Induction Questions de cours Donner la loi du transformateur parfait et sa condition d’application. Solution de l’exercice 0 : U2 N2 = U1 N1 Exercice 1 : Freinage par induction a #” g y #” B [♦] Une spire conductrice carrée de côté a, de masse m, de résistance R, tombe dans le champ #” de pesanteur #” g . Dans le demi-espace x > 0 règne un champ magnétique B uniforme et permanent. À l’instant t = 0, la spire se trouve dans la situation représentée sur la figure ci-dessous, sa vitesse valant alors #” v = v0 #” ux . x 1 - Montrer que le mouvement ultérieur de la spire reste une translation verticale selon l’axe (Ox). 2 - Déterminer la vitesse v de la spire. 3 - Supposons R = 0, et notons L l’inductance propre de la spire. Préciser à quelle condition elle oscille. Solution de l’exercice 1 : Voir le site de Matthieu Rigaut, exercice 5 du TD Électromagnétisme 2 programme 2002 : http://www.matthieurigaut.net/public/vieux_spe/elmg/cotdelmg02.pdf 5/11 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 14, sujet : Induction Langevin Wallon, PT 2015-2016 6/11 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 14, sujet A Langevin Wallon, PT 2015-2016 Induction Questions de cours Définir le flux magnétique et son unité, puis énoncer la loi de Faraday. Les conventions de signe et d’orientation étant primordiales, il est indispensable de s’appuyer sur un schéma. Exercice 1 : Moteur synchrone [♦] #” tourne avec la même Considérons un modèle simple de moteur synchrone. Le rotor, de moment magnétique m, #” vitesse angulaire ω constante que le champ magnétique B qui l’entraîne. On néglige tout frottement interne au #” #” #” vers B moteur. On s’intéresse à l’angle interne du moteur θ orienté de m et au couple M exercé par le champ sur le moment magnétique. On prendra B = 0,2 T, m = 8 A · m2 et une fréquence de rotation de 50 tours par seconde. 1 - Proposer un dispositif simple permettant de réaliser le champ magnétique tournant. 2 - Que vaut θ si le moteur fonctionne à vide ? 3 - Le moteur doit entraîner une charge mécanique qui exerce un couple résistant Mr = 0,65 N · m. Calculer l’angle interne et la puissance fournie par le moteur. 4 - La vitesse de rotation dépend-elle de la charge ? Quel est le couple maximal que peut fournir ce moteur ? 7/11 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 14, sujet A : Induction Langevin Wallon, PT 2015-2016 8/11 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 14, sujet B Langevin Wallon, PT 2015-2016 Induction Question de cours Définir les coefficients d’inductance propre et mutuelle. Les conventions de signe et d’orientation étant primordiales, il est indispensable de s’appuyer sur un schéma. Exercice 1 : Pendule pesant conducteur dans un champ magnétique B #” ez [♦] Une tige métallique OA de masse m, de résistance R et de longueur a oscille sans frottement autour d’un axe (Oz) perpendiculaire au plan de la feuille. La tige est en contact en A avec un rail métallique ce qui forme un circuit électrique. #” L’ensemble est placé dans un champ magnétique B = B #” ez . La résistance du rail et du fil servant à fermer le circuit seront négligées. Le moment d’inertie de la tige vaut O θ 1 ma2 3 1 - Déterminer l’équation différentielle vérifiée par l’angle θ avec la verticale. A Jz = 2 - On suppose les oscillations de petite amplitude. Montrer que si le champ magnétique est suffisamment fort, la tige atteint sa position d’équilibre sans osciller. 3 - Déterminer sans aucun calcul le taux de variation de l’énergie mécanique du pendule dEm /dt. 9/11 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 14, sujet B : Induction Langevin Wallon, PT 2015-2016 10/11 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 14, sujet C Langevin Wallon, PT 2015-2016 Induction Questions de cours Donner la loi du transformateur parfait et sa condition d’application. Exercice 1 : Freinage par induction a #” g y #” B [♦] Une spire conductrice carrée de côté a, de masse m, de résistance R, tombe dans le champ #” de pesanteur #” g . Dans le demi-espace x > 0 règne un champ magnétique B uniforme et permanent. À l’instant t = 0, la spire se trouve dans la situation représentée sur la figure ci-dessous, sa vitesse valant alors #” v = v0 #” ux . x 1 - Montrer que le mouvement ultérieur de la spire reste une translation verticale selon l’axe (Ox). 2 - Déterminer la vitesse v de la spire. 3 - Supposons R = 0, et notons L l’inductance propre de la spire. Préciser à quelle condition elle oscille. 11/11 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr
