Électromagnétisme en régime statique

Colles semaine 10, sujet A D’Arsonval, PSI?2016-2017
Électromagnétisme en régime statique
Questions de cours
Établir la condition d’évolution et d’équilibre d’un corps pur diphasé en termes des potentiels chimiques des deux
phases.
Exercice 1 : Fil conducteur creux
Un fil conducteur épais de rayon Ret parcouru par un courant d’intensité Iest modélisé par la réunion de Nfils
fins parcourus par un courant iavec une densité surfacique de fils n=N/πR2.
On suppose que ce fil est creux et présente une cavité cylindrique parallèle à l’axe du cylindre, décentrée d’une
distance a < R/2par rapport à cet axe et de rayon r < R/2. Dans le reste du cylindre, la densité de fils est toujours
égale à n.
Montrer que le champ magnétique dans la cavité est uniforme.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
Voir le site de Matthieu Rigaut, exercice 6 du TD électromagnétisme 1 PCSI programme 2002 :
http://www.matthieurigaut.net/public/sup/elmg/cotdelmg01.pdf
1/6 Étienne Thibierge, 7 décembre 2016, www.etienne-thibierge.fr

Colles semaine 10, sujet A : Électromagnétisme en régime statique D’Arsonval, PSI?2016-2017
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Colles semaine 10, sujet B D’Arsonval, PSI?2016-2017
Électromagnétisme en régime statique
Questions de cours
Définir le flux propre d’une bobine et établir sa loi de comportement u=Ldi
dt.
Exercice 1 : Émission radioactive [oral banque PT et Centrale]
Un amas d’atomes radioactifs, supposé ponctuel, émet à partir de l’instant t= 0 des particules αavec une vitesse
constante v0. On suppose la distribution de la direction d’émission isotrope. On rappelle que les particules αsont
des noyaux d’hélium 4
2He, et on admet qu’à l’instant tla charge électrique de l’amas vaut
q(t) = Q0e−t/τ −1
avec Q0>0.
1 - Justifier qualitativement la forme de la loi q(t).
2 - Calculer le champ magnétique #” B(M, t)en tout point Mde l’espace.
3 - Calculer le champ électrique #” E(M, t)en tout point Mde l’espace.
4 - En exploitant judicieusement les symétries, exprimer les densités volumiques de charge ρ(M, t)puis de cou-
rant #” j(M, t).
5 - Montrer que ces résultats sont compatibles avec les équations de Maxwell. En coordonnées sphériques, on donne
pour un champ #” V=Vr(r, t)#” ur
div #” V=1
r2
∂r2V
∂r et # ”
rot #” V=#” 0.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
1L’amas émet des charges positifs, donc sa charge décroît. Allure exponentielle typique de la radioactivité. À
l’instant initial q= 0 : logique !
2Étude des symétries : tout plan passant par Oet Mest plan de symétrie de la distribution de courant, et #” B(M, t)
doit être perpendiculaire à tous ces plans là, donc forcément #” B= 0 en tout point de l’espace.
3Étude des symétries : idem #” B, sauf que #” Eest inclus dans ces plans donc #” E=Er(M, t)#” ur.
Étude des invariances : pas de dépendance en θet ϕ, donc #” E=Er(r, t)#” ur.
Théorème de Gauss qui s’applique aussi en régime dépendant du temps :
4πr2Er(r, t) = Qint(t)
ε0
avec Qint(t) = qt−r
v0
Il faut un temps r/v0pour qu’une particule αsorte de la sphère de rayon r, donc la charge contenue dans la sphère
à un instant test la charge de l’amas à l’instant t−r/v0. Penser à s’assurer qualitativement de la cohérence de la
solution.
4Question plus compliquée.
Qint(r+dr, t)−Q(r)=4πr2drρ(r, t) = ∂Q
∂r avec Q(r, t) = qt−r v0
donc en faisant le calcul
ρ(r, t) = Q0
4πr2τv0
exp −1
τt−r v0
et comme toutes les particules ont la même vitesse,
#”
j(r, t) = ρ(r, t)v0
#”
ur.
5Calcul calcul ...
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Colles semaine 10, sujet B : Électromagnétisme en régime statique D’Arsonval, PSI?2016-2017
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Colles semaine 10, sujet C D’Arsonval, PSI?2016-2017
Électromagnétisme en régime statique
Question de cours
Établir l’équation de conservation de la charge à partir des équations de Maxwell.
Exercice 1 : Champ électromagnétique d’un faisceau de particules [oral CCP]
On considère un faisceau homocinétique de particules chargées, de rayon Ret infini le long d’un axe (Oz). Les
particules portent une charge qet se déplacent toutes à la même vitesse #” vpar rapport à un référentiel galiléen. La
densité volumique de particules est notée n.
1 - On s’intéresse pour commencer au champ magnétique.
1.a - Définir la densité de courant #” jdans le faisceau.
1.b - Déterminer le champ magnétique en tout point de l’espace.
2 - On étudie ensuite le champ électrique.
2.a - Préciser l’expression de la densité volumique de charge ρau sein du faisceau.
2.b - Déterminer le champ électrique en tout point.
3 - Proposer une relation vectorielle liant #” v , #” E, #” Bqui soit valable en tout point. On utilisera c= 1/√ε0µ0.
4 - Reprendre ces questions dans le référentiel lié aux particules. Commenter.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
Même si les charges se déplacent, on est bien en régime statique car ρ=cte et #” j=# ” cte. On utilise les coordonnées
cylindriques.
1.a
#”
j=nq #” v.
1.b LLLAttention ! C’est la distribution de courant qui compte, et ses symétries et invariances n’ont a priori
pas de raison d’être les mêmes que celles de la distribution de charges.
Invariance de la distribution de courants par rotation autour de l’axe donc #” Bindépendant de θ;
invariance de la distribution de courants par translation le long de l’axe donc indépendant de z;
Plan passant par Met de normale #” ezest plan d’antisymétrie de la distribution de charges, donc #” B(M)est inclus
dans ce plan, donc Bz= 0 ;
Plan passant par Met de normale #” eθest plan de symétrie de la distribution de charges donc #” Best inclus dans ce
plan, donc Br= 0.
Bilan : #” B=Bθ
#”
eθ.
On applique ensuite le théorème d’Ampère à un cercle d’axe #” ezet de rayon r, orienté par la règle de la main
droite par rapport à #” ez:
B×2πr =µ0Ienl(r)avec Ienl(r) = (πr2nqv si r < R
πR2nqv si r≥R
Finalement,
#”
B=
µ0nqvr
2
#”
eθsi r < R
µ0nqvR2
2r
#”
eθsi r≥R
2.a ρ=nq
2.b L L L Attention ! C’est la distribution de charges qui compte, et ses symétries et invariances n’ont a priori
pas de raison d’être les mêmes que celles de la distribution de courants. Analyse des symétries et invariances :
Invariance de la distribution de charges par rotation autour de l’axe donc #” Eindépendant de θ;
invariance de la distribution de charges par translation le long de l’axe donc indépendant de z;
Plan passant par Met de normale #” ezest plan de symétrie de la distribution de charges, donc #” E(M)est inclus
dans ce plan, donc Ez= 0 ;
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