Colles semaine 10, sujet C D’Arsonval, PSI?2016-2017
Électromagnétisme en régime statique
Question de cours
Établir l’équation de conservation de la charge à partir des équations de Maxwell.
Exercice 1 : Champ électromagnétique d’un faisceau de particules [oral CCP]
On considère un faisceau homocinétique de particules chargées, de rayon Ret infini le long d’un axe (Oz). Les
particules portent une charge qet se déplacent toutes à la même vitesse #”
vpar rapport à un référentiel galiléen. La
densité volumique de particules est notée n.
1 - On s’intéresse pour commencer au champ magnétique.
1.a - Définir la densité de courant #”
jdans le faisceau.
1.b - Déterminer le champ magnétique en tout point de l’espace.
2 - On étudie ensuite le champ électrique.
2.a - Préciser l’expression de la densité volumique de charge ρau sein du faisceau.
2.b - Déterminer le champ électrique en tout point.
3 - Proposer une relation vectorielle liant #”
v , #”
E, #”
Bqui soit valable en tout point. On utilisera c= 1/√ε0µ0.
4 - Reprendre ces questions dans le référentiel lié aux particules. Commenter.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
Même si les charges se déplacent, on est bien en régime statique car ρ=cte et #”
j=# ”
cte. On utilise les coordonnées
cylindriques.
1.a
#”
j=nq #”
v.
1.b LLLAttention ! C’est la distribution de courant qui compte, et ses symétries et invariances n’ont a priori
pas de raison d’être les mêmes que celles de la distribution de charges.
Invariance de la distribution de courants par rotation autour de l’axe donc #”
Bindépendant de θ;
invariance de la distribution de courants par translation le long de l’axe donc indépendant de z;
Plan passant par Met de normale #”
ezest plan d’antisymétrie de la distribution de charges, donc #”
B(M)est inclus
dans ce plan, donc Bz= 0 ;
Plan passant par Met de normale #”
eθest plan de symétrie de la distribution de charges donc #”
Best inclus dans ce
plan, donc Br= 0.
Bilan : #”
B=Bθ
#”
eθ.
On applique ensuite le théorème d’Ampère à un cercle d’axe #”
ezet de rayon r, orienté par la règle de la main
droite par rapport à #”
ez:
B×2πr =µ0Ienl(r)avec Ienl(r) = (πr2nqv si r < R
πR2nqv si r≥R
Finalement,
#”
B=
µ0nqvr
2
#”
eθsi r < R
µ0nqvR2
2r
#”
eθsi r≥R
2.a ρ=nq
2.b L L L Attention ! C’est la distribution de charges qui compte, et ses symétries et invariances n’ont a priori
pas de raison d’être les mêmes que celles de la distribution de courants. Analyse des symétries et invariances :
Invariance de la distribution de charges par rotation autour de l’axe donc #”
Eindépendant de θ;
invariance de la distribution de charges par translation le long de l’axe donc indépendant de z;
Plan passant par Met de normale #”
ezest plan de symétrie de la distribution de charges, donc #”
E(M)est inclus
dans ce plan, donc Ez= 0 ;
5/6 Étienne Thibierge, 7 décembre 2016, www.etienne-thibierge.fr