Électromagnétisme en régime statique

D’Arsonval, PSI? 2016-2017
Colles semaine 10, sujet A
Électromagnétisme en régime statique
Questions de cours
Établir la condition d’évolution et d’équilibre d’un corps pur diphasé en termes des potentiels chimiques des deux
phases.
Exercice 1 : Fil conducteur creux
Un fil conducteur épais de rayon R et parcouru par un courant d’intensité I est modélisé par la réunion de N fils
fins parcourus par un courant i avec une densité surfacique de fils n = N/πR2 .
On suppose que ce fil est creux et présente une cavité cylindrique parallèle à l’axe du cylindre, décentrée d’une
distance a < R/2 par rapport à cet axe et de rayon r < R/2. Dans le reste du cylindre, la densité de fils est toujours
égale à n.
Montrer que le champ magnétique dans la cavité est uniforme.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
Voir le site de Matthieu Rigaut, exercice 6 du TD électromagnétisme 1 PCSI programme 2002 :
http://www.matthieurigaut.net/public/sup/elmg/cotdelmg01.pdf
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Colles semaine 10, sujet A : Électromagnétisme en régime statique
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D’Arsonval, PSI? 2016-2017
Colles semaine 10, sujet B
Électromagnétisme en régime statique
Questions de cours
Définir le flux propre d’une bobine et établir sa loi de comportement u = L
Exercice 1 : Émission radioactive
di
.
dt
[oral banque PT et Centrale]
Un amas d’atomes radioactifs, supposé ponctuel, émet à partir de l’instant t = 0 des particules α avec une vitesse
constante v0 . On suppose la distribution de la direction d’émission isotrope. On rappelle que les particules α sont
des noyaux d’hélium 42He, et on admet qu’à l’instant t la charge électrique de l’amas vaut
q(t) = Q0 e−t/τ − 1
avec Q0 > 0.
1 - Justifier qualitativement la forme de la loi q(t).
#”
2 - Calculer le champ magnétique B(M, t) en tout point M de l’espace.
#”
3 - Calculer le champ électrique E(M, t) en tout point M de l’espace.
4 - En exploitant judicieusement les symétries, exprimer les densités volumiques de charge ρ(M, t) puis de cou#”
rant j (M, t).
5 - Montrer que ces résultats sont compatibles avec les équations de Maxwell. En coordonnées sphériques, on donne
#”
pour un champ V = Vr (r, t) #”
ur
1 ∂r2 V
#”
# ” #” #”
div V = 2
et
rot V = 0 .
r ∂r
Éléments de correction de l’exercice 1 :
1 L’amas émet des charges positifs, donc sa charge décroît. Allure exponentielle typique de la radioactivité. À
l’instant initial q = 0 : logique !
#”
2 Étude des symétries : tout plan passant par O et M est plan de symétrie de la distribution de courant, et B(M, t)
#”
doit être perpendiculaire à tous ces plans là, donc forcément B = 0 en tout point de l’espace.
#”
#”
#”
3 Étude des symétries : idem B, sauf que E est inclus dans ces plans donc E = Er (M, t) #”
ur .
#”
Étude des invariances : pas de dépendance en θ et ϕ, donc E = E (r, t) #”
u .
r
r
Théorème de Gauss qui s’applique aussi en régime dépendant du temps :
Qint (t)
4πr Er (r, t) =
ε0
2
avec
r
Qint (t) = q t −
v0
Il faut un temps r/v0 pour qu’une particule α sorte de la sphère de rayon r, donc la charge contenue dans la sphère
à un instant t est la charge de l’amas à l’instant t − r/v0 . Penser à s’assurer qualitativement de la cohérence de la
solution.
4
Question plus compliquée.
Qint (r + dr, t) − Q(r) = 4πr2 drρ(r, t) =
∂Q
∂r
avec
r
Q(r, t) = q t −
v0
donc en faisant le calcul
1
r
Q0
exp
−
t
−
4πr2 τ v0
τ
v0
et comme toutes les particules ont la même vitesse,
#”
j (r, t) = ρ(r, t)v0 #”
ur .
ρ(r, t) =
5
Calcul calcul ...
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Colles semaine 10, sujet B : Électromagnétisme en régime statique
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D’Arsonval, PSI? 2016-2017
Colles semaine 10, sujet C
Électromagnétisme en régime statique
Question de cours
Établir l’équation de conservation de la charge à partir des équations de Maxwell.
Exercice 1 : Champ électromagnétique d’un faisceau de particules
[oral CCP]
On considère un faisceau homocinétique de particules chargées, de rayon R et infini le long d’un axe (Oz). Les
particules portent une charge q et se déplacent toutes à la même vitesse #”
v par rapport à un référentiel galiléen. La
densité volumique de particules est notée n.
1 - On s’intéresse pour commencer au champ magnétique.
#”
1.a - Définir la densité de courant j dans le faisceau.
1.b - Déterminer le champ magnétique en tout point de l’espace.
2 - On étudie ensuite le champ électrique.
2.a - Préciser l’expression de la densité volumique de charge ρ au sein du faisceau.
2.b - Déterminer le champ électrique en tout point.
#” #”
√
v , E, B qui soit valable en tout point. On utilisera c = 1/ ε0 µ0 .
3 - Proposer une relation vectorielle liant #”
4 - Reprendre ces questions dans le référentiel lié aux particules. Commenter.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
#” # ”
Même si les charges se déplacent, on est bien en régime statique car ρ = cte et j = cte. On utilise les coordonnées
cylindriques.
1.a
#”
j = nq #”
v.
1.b L L L Attention ! C’est la distribution de courant qui compte, et ses symétries et invariances n’ont a priori
pas de raison d’être les mêmes que celles de la distribution de charges.
#”
. Invariance de la distribution de courants par rotation autour de l’axe donc B indépendant de θ ;
. invariance de la distribution de courants par translation le long de l’axe donc indépendant de z ;
#”
. Plan passant par M et de normale #”
e z est plan d’antisymétrie de la distribution de charges, donc B(M ) est inclus
dans ce plan, donc Bz = 0 ;
#”
. Plan passant par M et de normale #”
e θ est plan de symétrie de la distribution de charges donc B est inclus dans ce
plan, donc Br = 0.
#”
Bilan : B = Bθ #”
eθ .
On applique ensuite le théorème d’Ampère à un cercle d’axe #”
e z et de rayon r, orienté par la règle de la main
droite par rapport à #”
e :
z
B × 2πr = µ0 Ienl (r)
Finalement,
2.a
avec
(
πr2 nqv
Ienl (r) =
πR2 nqv
 µ0 nqvr
#”
eθ
#”  2
B = µ nqvR2
#”
 0
eθ
2r
si r < R
si r ≥ R
si r < R
si r ≥ R
ρ = nq
2.b L L L Attention ! C’est la distribution de charges qui compte, et ses symétries et invariances n’ont a priori
pas de raison d’être les mêmes que celles de la distribution de courants. Analyse des symétries et invariances :
#”
. Invariance de la distribution de charges par rotation autour de l’axe donc E indépendant de θ ;
. invariance de la distribution de charges par translation le long de l’axe donc indépendant de z ;
#”
. Plan passant par M et de normale #”
e z est plan de symétrie de la distribution de charges, donc E(M ) est inclus
dans ce plan, donc Ez = 0 ;
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D’Arsonval, PSI? 2016-2017
Colles semaine 10, sujet C : Électromagnétisme en régime statique
. Plan passant par M et de normale #”
e θ est plan de symétrie de la distribution de charges donc Eθ = 0.
#”
Bilan : E = Er (r) #”
er .
On applique ensuite le théorème de Gauss à un cylindre d’axe #”
e de rayon r et de hauteur H quelconque.
z
(
Qint
E(r) × 2πr × H + 0 + 0 =
ε0
avec
Qint (r) =
nq π r2 h si r < R
nq π R2 h si r ≥ R
(flux nul sur les couvercles du cylindre car #”
e z · #”
e r = 0). Finalement,
 nq r
#”

er
si r < R

#”
2ε0
E(r) = nq R2
#”


e r si r ≥ R
2ε0 r
3
Les directions font penser à un produit vectoriel,
1
#”
#”
v ∧E
B = 2 #”
c
4 Le référentiel R0 est en translation à vitesse uniforme par rapport au référentiel R : il est donc galiléen, et on
peut y calculer les champs « normalement ».
#”
. Pour E rien ne change car la distribution de charge garde les mêmes propriétés dans le nouveau référentiel ;
#”
#”
#”
#”
#”
. Par contre tout change pour B parce que les particules sont fixes dans R0 , donc j 0 = 0 , donc B 0 = 0 !
#”
Moralité : le champ magnétique dépend du référentiel ! C’est vrai aussi pour E, mais on ne le montre pas ici. Par
#”
#”
contre la relation entre E et B demeure vraie.
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