M101 : Fondements de l`algèbre

Notes de Cours
M101 : FONDEMENTS DE L’ALGÈBRE
Clément BOULONNE
Web : http://clementboulonne.new.fr
Mail : [email protected]
Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R de Mathématiques Pures et Appliquées
Licence de Mathématiques — Semestre 1

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Table des matières
1 Logique et théorie des ensembles 1
1.1 Notions de logique .......................... 1
1.1.1 Opérateurs logiques ..................... 1
1.1.2 Quantificateurs ....................... 4
1.1.3 Méthodes de démonstration ................ 6
1.2 Ensembles .............................. 8
1.2.1 Premières définitions et notations ............ 8
1.2.2 Opérations sur les ensembles ............... 9
1.3 Applications ............................. 12
1.3.1 Définitions .......................... 12
1.3.2 Restriction et prolongement ................ 13
1.3.3 Composition ......................... 14
1.3.4 Image directe et réciproque ................ 15
1.3.5 Injection, surjection et bijection .............. 17
1.3.6 Injectivité, surjectivité des fonctions composées . . . . 19
1.3.7 Injection, surjection et bijection dans le cas des en-
sembles finis ......................... 20
1.4 Dénombrements ........................... 21
1.5 Relations d’équivalence ....................... 23
1.6 Exercices ............................... 25
2 Arithmétique dans Z29
2.1 Divisibilité .............................. 29
2.2 Division euclidienne ......................... 30
2.3 Plus grand commun diviseur .................... 31
2.3.1 Plus grand commun diviseur ............... 31
2.3.2 Nombres premiers entre eux ................ 31
2.3.3 Algorithme d’Euclide pour le calcul du PGCD ...... 32
2.4 Théorème de Bezout ........................ 33
2.4.1 Théorème de Bezout .................... 33
2.4.2 Corollaires du théorème de Bezout ............ 34
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iv TABLE DES MATIÈRES
2.5 Équations diophantiennes linéaires ............... 35
2.6 Plus petit commun multiplicateur ................ 38
2.7 Nombres premiers .......................... 38
2.7.1 Définition des nombres premiers ............. 38
2.7.2 Lemme d’Euclide ...................... 39
2.7.3 Théorème d’Euclide ..................... 39
2.7.4 Crible d’Erastosthène .................... 40
2.7.5 Théorème fondamental de l’arithmétique ........ 42
2.8 Congruences ............................. 44
2.8.1 Premiers résultats ..................... 44
2.8.2 Équations de congruences linéaires ............ 45
2.8.3 Petit théorème de Fermat ................. 47
2.9 Exercices ............................... 48
3 Groupes, anneaux et corps 51
3.1 Groupes ................................ 51
3.1.1 Définitions et exemples ................... 51
3.1.2 Sous-groupes ......................... 53
3.1.3 Étude du groupe Z/nZ................... 54
3.1.4 Homomorphismes de groupes ............... 57
3.1.5 Groupes de permutations ................. 59
3.2 Anneaux ............................... 60
3.2.1 Anneaux ........................... 60
3.2.2 Sous-anneaux ........................ 60
3.3 Corps ................................. 61
3.3.1 Corps ............................. 61
3.3.2 Sous-corps .......................... 61
3.4 Exercices ............................... 61
4 Nombres complexes 63
4.1 Introduction ............................. 63
4.2 Définition de l’ensemble C..................... 63
4.3 Modules et arguments ....................... 65
4.4 Résolution algébrique ........................ 67
4.4.1 Racines carrées d’un nombre complexe .......... 67
4.4.2 Racines ned’un nombre complexe ............. 68
4.4.3 Équations du second degré ................. 69
4.5 Exercices ............................... 69

Programme du cours
Math101 : Fondements de l’algèbre [S1, 5 ECTS]
Prérequis : Aucun
– (14 h) Vocabulaire de théorie des ensembles.
Notions de logique : Connecteurs logiques, modes de raisonnement
(et, ou, négation, implication, équivalence, raisonnement par l’absurde,
raisonnement par récurrence). Quantificateurs. 1
Ensembles : Définition, sous-ensemble, intersection, réunion, complé-
mentaire, produit cartésien, ensemble des parties.
Applications, injection, surjection, bijection, exemples.
Dénombrement, combinaisons, arrangements, égalité de Pascal, formule
du binôme.
Relations d’équivalence : Définition, classes d’équivalence, partition
d’un ensemble, ensemble quotient, exemples simples.
– (16 h) Arithmétique dans Z.
Divisibilité : division euclidienne, PGCD , algorithme d’Euclide, Bezout,
Gauss, équations diophantiennes, PPCM . Nombres premiers : théorème
d’Euclide, crible d’Erastosthène, théorème fondamental d’arithmétique.
Congruences : propriétés, équations de congruence, « petit » théorème
de Fermat, l’ensemble Z/nZ. Les nombres rationnels et irrationnels.
– (12 h) Groupes - Anneaux - corps.
Définition d’un groupe. Exemples simples : Z , R , R∗ , Z/nZ , (Z/nZ)× ,
définition de la fonction φ d’Euler, un exemple de groupe non commutatif
S3 . Sous-groupes. Intersection de sous-groupes. La réunion n’est pas un
sous-groupe en général. Les sous-groupes de Z . Morphisme de groupes,
noyau, image, isomorphisme. Groupes cycliques : Si G est un groupe
cyclique d’ordre n , G est isomorphe à Z/nZ ; G admet φ(n) générateurs.
Définitions d’un anneau, d’un sous-anneau, d’un corps, d’un sous-corps.
Exemples simples : Z,R,Z/nZ,Z/pZ.
1 . Le chapitre « Arithmétique dans Z » présente un terrain idéal pour appliquer cette
partie de programme.
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