MT 282 Groupes et Arithmétique Chapitres choisis

MT 282
Groupes et Arithmétique
Chapitres choisis
B. Keller

Table des matières
1 Construction de Z à partir de N 4
2 La division euclidienne et ses conséquences 9
3 Congruences 14
4 Critères de divisibilité 16
5 Généralisation à d’autres systèmes de numération 18
6 L’algorithme d’Euclide-Bézout 20
7 Une autre approche de l’équation de Bézout 24
8 Interprétation géométrique 26
9 Le lemme chinois en termes de congruences 28
10 Systèmes de congruences 30
11 Classes de congruence inversibles 32
12 Anneaux, groupes et lemme chinois 33
13 Notion d’ordre d’un élément d’un groupe 38
14 Algorithme de calcul rapide des puissances 43
15 Calcul de l’ordre d’un élément 45
16 Groupes cycliques 47
17 Racines de l’unité 49
18 Structure du groupe des classes inversibles modulo un nombre premier 51
19 Structure du groupe des classes inversibles modulo une puissance d’un nombre premier 53
20 L’indicatrice de Carmichael 55
21 Résidus quadratiques 57
22 Le symbole de Legendre 59
23 Démonstration de la conjecture d’Euler 62
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24 Bibliographie 64
3 Auteur

Chapitre 1
Construction de Z à partir de N
En supposant connues les propriétés élémentaires de l’ensemble Net de l’addition des entiers naturels, nous allons
donner une construction rigoureuse de Zet de l’addition des entiers relatifs. Dans cette construction, Zapparaîtra
sous forme d’un quotient de N×Npar une relation d’équivalence. Ce paragraphe est aussi l’occasion de rappeler les
notions de relation d’équivalence et d’ensemble quotient, notions centrales pour le reste du cours.
Définition 1 Soit Xun ensemble. Une relation sur Xest un ensemble R⊂X×Xde couples d’éléments
de X. On écrit xRx0au lieu de (x, x0)∈R. Une relation Rest une relation d’équivalence si elle est
a) réflexive (i.e. pour tout x∈X, on a xRx)
b) symétrique (i.e. on a équivalence entre xRx0et x0Rx quels que soient x, x0∈X)
c) transitive (i.e. les conditions xRx0et x0Rx00 impliquent que xRx00 quels que soient x, x0, x00 ∈X)
Exemples 2
1) Soit Vl’ensemble des villes de France. On définit une relation Rsur Ven déclarant que vRv0signifie que vet v0
se trouvent dans la même région. Il est facile de vérifier qu’il s’agit d’une relation d’équivalence.
2) Soit X=N×Net définissons Rpar
(x, y)R(x0, y0)⇔x+y0=y+x0.
Par exemple, on a (0,1)R(1,2) et (1,2)R(2,3). La réflexivité et la symétrie de Rrésultent de la commutativité de
l’addition des entiers positifs. Montrons que Rest transitive. En effet, par définition, les conditions (x, y)R(x0, y0)et
(x0, y0)R(x00, y00)équivalent aux équations
x+y0=y+x0
x0+y00 =y0+x00
En rajoutant la première à la seconde on obtient
x+y0+x0+y00 =y+x0+y0+x00
ou encore
x+y00 + (x0+y0) = x00 +y+ (x0+y0).
Or on sait que la loi d’addition sur Nest régulière c’est-à-dire qu’une égalité a+c=b+cimplique a=bquels
que soient a, b, c ∈N. Il s’ensuit que x+y00 =x00 +yc’est-à-dire que (x, y)R(x00, y00). Notons que dans cette
démonstration, nous avons utilisé l’associativité, la commutativité et la régularité des entiers naturels.
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Définition 3 Soit Xun ensemble et Rune relation d’équivalence sur X. Pour x∈X, on pose
Rx={x0∈X|xRx0} ⊂ X
et on appelle classe d’équivalence de xpar rapport à Rcette partie de X. Par définition, l’ensemble X/R
est formé des classes Rxd’éléments x∈X. On appelle X/R le quotient de Xpar la relation d’équivalence
R. On définit l’application quotient (=la projection canonique)q:X→X/R par q(x) = Rx. Une partie
de Xest un système de représentants pour Rsi elle contient un élément de chaque classe d’équivalence et
un seul.
Exemples 4
1) Dans l’exemple des villes de France (voir ci-dessus) la classe d’équivalence d’une ville vest formée de toutes les
villes qui se trouvent dans la même région que v. En particulier deux classes vet v0sont égales ssi vet v0se trouvent
dans la même région. Les éléments de V/R sont des ensembles de villes, deux villes étant regroupé dans un même
ensemble ssi elles se trouvent dans la même région. On a donc une bijection
X/R ∼ → {régions de France}, v 7→ la région où se trouve v.
Il existe beaucoup de systèmes de représentants. Par exemple, l’ensemble V0formé des capitales des régions en est
un. L’ensemble V1formé des villes les plus éloignées de la capitale dans leur région en est un autre.
2) Dans le cas de l’exemple X=N×Net de la relation Rintroduite ci-dessus on vérifie que (x, y)R(x0, y0)si et
seulement si l’une des deux conditions suivantes est remplie
– il existe d∈Ntel que x0=x+det y0=y+d
– il existe d∈Ntel que x=x0+det y=y0+d.
Ainsi, deux éléments appartiennent à une même classe d’équivalence si on peut passer de l’un à l’autre en ajoutant
un même entier naturel aux deux coordonnées. Les classes sont donc des ‘parties diagonales’ du plan N×N:
Il y a beaucoup de systèmes de représentants. Par exemple
X0={0} × N∪N× {0}={. . . , (0,3),(0,2),(0,1),(0,0),(1,0),(2,0), . . .}
en est un. On définit l’ensemble Zax (Zaxiomatique) comme étant l’ensemble quotient (N×N)/R.
Lemme 5 (Propriété universelle de X/R)Soit Xun ensemble, Rune relation d’équivalence sur Xet
f:X→Yune application constante sur les classes d’équivalence par rapport à R(c’est-á-dire qu’on a
f(x) = f(x0)à chaque fois que xRx0). Alors il existe une application g:X/R →Yet une seule telle que
f=g◦q. Réciproquement, toute application de la forme g◦qest constante sur les classes d’équivalence.
X
X/R
Y
ZZ
Z~ 
>
-
q g
f
Remarque 6 Le lemme signifie que la règle g(x) = f(x)définit une application g:X/R →Ysi et seulement si on
af(x) = f(x0)quels que soient x, x0∈Xvérifiant xRx0.
Démonstration. On pose g(x) = f(x). Il s’agit de vérifier que f(x)est indépendant du représantant xde la classe x.
Or si x0en est un autre, c’est-à-dire que x=x0, alors par définition, on a xRx0et donc f(x) = f(x0).√
Exemple 7 Il existe une application g:Zax →Zet une seule telle que g((x, y)) = x−y. En effet, si (x, y)R(x0, y0)
alors x+y0=y+x0et donc x−y=x0−y0. L’application gest bijective : En effet, elle est surjective car si
n∈Z, on a n=g((n, 0)) si n≥0et n=g((0,−n)) si n < 0. Elle est injective car si on a x−y=x0−y0, alors
x+y0=x0+yc’est-à-dire que (x, y)R(x0, y0)et que (x, y) = (x0, y0).
5 Auteur