Chapitre 17 : Paramètres d`une série statistique

Seconde 1 Chapitre 17 : Paramètres d’une série statistique. Page n ° 1
2007 2008
Aujourd'hui, aucune donnée ne semble échapper aux statistiques. Pour gérer la complexité des situations,
on essaie souvent de résumer les séries statistiques par quelques chiffres significatifs. Le plus utilisé est la
moyenne. Mais faire une moyenne a t-il toujours une signification ? Et n'existe t-il pas d'autres manières tout
aussi pertinentes de résumer des données statistiques ? Cette année, vous allez découvrir la médiane.
Vous en apprendrez d'autres en classe de première…
1 Moyenne .
La moyenne arithmétique simple de p nombres est obtenue en calculant la somme de ces p nombres, puis
en divisant cette somme par p.
M = p
x...xx
p21
+++ =
pnombres des Somme
=
∑
=
×
p
1i i
x
p
1
Le symbole
∑
signifie faire la somme de tous les x
i
pour i variant de 1 à p.
Exemple : Les notes de maths de Tom sont 15 ; 18 ; 16 ; 12 ; 8 et 9. Calculer sa moyenne.
Soit une série statistique prenant les valeurs x
1
, x
2,
…, x
p
avec les effectifs n
1
, n
2
, … , n
p,
la moyenne de la série est :
x
=
p21
pp2211
n...nn
xn...xnxn
+++ +++
=
p21
n...nn tscoefficien leurs de affectés nombres des Somme +++
=
∑
∑
=
=p
1i i
p
1i ii
n
xn
Le symbole sigma signifie qu'il faut additionner tous les termes n
i
avec i prenant les valeurs de 1 jusqu'à p.
Valeur du caractère 8 9 10 11 12 18
Effectif 7 5 8 9 4 1
Exemple : calculer la moyenne de la série statistique résumée dans le tableau ci dessus.
Dans le cas d'une série dont les valeurs ont été regroupées en classes, les valeurs x
i
sont les centres des classes.
Lorsque dans une série statistique, il y a une valeur exceptionnelle, il peut être intéressant de calculer la
moyenne de cette série privée de la valeur exceptionnelle. On dit alors que l’on a calculé une moyenne élaguée.

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E1 Savoir calculer des moyennes.
1 ) Dans le chapitre 16, exercice 1, nous avions une série de 34 notes.
On rappelle le tableau résumant la série :
notes x
i
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 total
effectifs n
i
132623613231134
Calculer la moyenne de cette classe à ce devoir.
2 ) Dans le chapitre 16, exercice 2, nous avions une étude statistique concernant la superficie de logement en m².
On rappelle le tableau résumant la série :
superficie [ 20 ; 30 [ [ 30 ; 40 [ [ 40 ; 60 [ [ 60 ; 80 [ [ 80 ; 100 [ [ 100 ; 140 [ [ 140 ; 200 [ total
effectifs 110 130 208 160 129 212 51 1000
Calculer la superficie moyenne du logement sur cet échantillon de 1 000 foyers.
3 ) Dans le livre p 143 n ° 18.
4 ) Dans le livre p 143 n ° 19.
2 Linéarité.
Si
x
désigne la moyenne des nombres x
1
, x
2
, … , x
n
Si y désigne la moyenne des nombres y
1
, y
2
, … , y
n
Alors la moyenne m des nombres x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, … , x
n
+ y
n
est égale à
x
+ y .
Démonstration : voir feuille annexe.
b est un réel quelconque.
Si
x
désigne la moyenne des nombres x
1
, x
2
, … , x
n
Alors la moyenne des nombres x
1
+ b , x
2
+ b , … , x
n
+ b est égale à
x
+ b.
Autrement dit : lorsqu'on ajoute à chaque valeur d'une série statistique une même constante b,
Alors cette constante s'ajoute aussi à la moyenne.
a est un réel quelconque. Si
x
désigne la moyenne des nombres x
1
, x
2
, … , x
n
Alors la moyenne des nombres ax
1
, ax
2
, … , ax
n
est égale à a
x
.
Autrement dit : lorsque l'on multiplie chaque valeur d'une série statistique par une constante a,
Alors la moyenne est aussi multipliée par cette constante a.

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Propriété : linéarité de la moyenne
Soient a et b deux réels quelconque.
Si
x
désigne la moyenne des nombres x
1
, x
2
, … , x
p
affectés des coefficients n
1
, n
2
, …n
p
alors la moyenne des nombres ax
1
+ b, ax
2
+ b, … , ax
p
+ b affectés respectivement des coefficients n
1
, n
2
, …, n
p
est le nombre réel a
x
+ b.
Exemple : afin d'harmoniser des corrections de copies, le rectorat propose de remplacer les notes x
i
par les notes
y
i
= 2 x
i
− 6. Un correcteur a une moyenne de 8 avec des notes comprises entre 5 et 13. En appliquant les
consignes du rectorat, donner la nouvelle moyenne de ce correcteur ainsi que ses notes extrêmes.
E2 Savoir utiliser la linéarité de la moyenne.
P 142 n ° 4 et 5.
Un professeur a corrigé 32 copies. La moyenne est égale à 9,5.
Les notes extrêmes sont 4 et 18.
Toutes les notes sont des nombres entiers.
1. Il envisage de remonter toutes les notes d'un point. Que devient la moyenne ?
2. Il envisage de remonter toutes les notes de 10 %. Que devient la moyenne ?
3. Il corrige la copie d'un élève retardataire à laquelle il attribue la note 13.
Que peut on dire de la nouvelle moyenne ?
3 Les moyennes des sous-groupes.
On répartit n nombres en deux sous-groupes disjoints l’un contenant p éléments et l’autre contenant q
éléments.
Si
x
est la moyenne des p nombres du premier sous-groupe et
si y est la moyenne des q nombres du second sous-groupe,
Alors la moyenne des n nombres est égale à M =
n
yqxp +
= x
n
p
+
n
qy
.
Dans la classe de seconde 1, il y a 35 élèves dont 17 filles et 18 garçons.
La moyenne de maths des filles du 2T est égale à 12,11.
La moyenne de maths des garçons du 2T est égale à 10,98.
Calculer la moyenne de la classe.

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On répartit n nombres en k sous-groupes disjoints.
Le premier groupe contient n
1
éléments ; sa moyenne est égale à m
1
;
Le deuxième groupe contient n
2
éléments ; sa moyenne est égale à m
2
…
Le dernier groupe contient n
k
éléments ; sa moyenne est égale à m
k
.
Alors la moyenne des n nombres est égale à M =
n
mn...mnmn
kk2211
+++
=
n
n
1
m
1
+
n
n
2
m
2
+ … +
n
n
k
m
k
E3 Savoir calculer la moyenne à partir des moyennes de sous-groupes.
P 143 n ° 20 ; n ° 23 et n ° 25.
4 La distribution des fréquences.
La fréquence correspondant à une valeur est le quotient de l'effectif ( correspondant à cette valeur ) par l'effectif
total : fréquence =
totaleffectif
effectif
Les fréquences sont souvent exprimées en pourcentage.
Une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1.
Exemple : dans la classe de seconde 1, il y a 26 élèves nés en 1992.
Quelle est la fréquence correspondant à l'année de naissance 1992 ?
valeur du caractère x
1
x
2
… x
p
effectif n
1
n
2
… n
p
fréquence f
i
=
n
n
i
f
1
f
2
… f
p
Si
x
est la moyenne de la série statistique donnée par le tableau ci-dessus,
Alors
x
= f
1
x
1
+ f
2
x
2
+ … + f
p
x
p
.
La somme des fréquences d'une série statistique est égale à 1.
Exemple : calculer la moyenne des salaires de tous les employés d'une entreprise sachant que 57 % des ouvriers
gagnent 1100 euros net par mois et 37 % des agents de maîtrise gagnent 1900 euros net par mois et 6 % des
cadres gagnent 2600 euros net par mois.

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E4 Savoir calculer la moyenne à partir de la distribution des fréquences. P 143 n ° 26 ; p 144 n ° 29.
5 Médiane.
La médiane d'une série statistique est le réel noté Me tel que :
Au moins 50 % des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Me
Au moins 50 % des valeurs de la série sont supérieures ou égales à Me.
Lorsque la série est donnée par les valeurs de caractère non regroupées en classes, on appelle médiane de la
série le nombre m obtenu de la manière suivante :
On range d’abord les valeurs du caractère par ordre croissant. a
1
≤ a
2
≤ ….. ≤ a
n
.
Si n est impair, la médiane est le nombre situé au milieu.
Si n est pair, la médiane est la demi somme des deux valeurs centrales.
Lorsque la série est donnée par des valeurs du caractère regroupées en classe ( dans le cas d'un caractère
quantitatif continu ), une valeur approchée de la médiane est l'abscisse du point d'ordonnée 50 % du diagramme
des effectifs cumulés croissants.
Exemples : considérons les cinq nombres : 6 ; 3 ; 4 ; 13 et 11. Déterminer la médiane de cette série.
Considérons les six nombres 11 ; 13 ; 4 ; 3 ; 4 ; 15. Déterminer la médiane de cette série.
Une machine fabrique des écrous.
On a noté, sur une fabrication de 350 écrous, les résultats relatifs à leur diamètre intérieur sur le tableau ci
dessous. Déterminer la médiane m de cette série.
Diamètre en mm 5,8 5,85 5,9 5,95 6 6,05 6,1 6,15
Nombre d'écrous 8 27 81 114 75 31 12 2
Effectif cumulé croissant
E5 Savoir trouver la médiane d'une série. P 142 n ° 6 et p 145 n ° 36.
6 Mode, classe modale, étendue.
On appelle mode d’une série statistique une valeur du caractère dont l’effectif associé est le plus grand.
Une série statistique peut admettre plusieurs modes.