Chapitre 17 : Paramètres d`une série statistique

Seconde 1
2007 2008
Chapitre 17 : Paramètres d’une série statistique.
Page n ° 1
Aujourd'hui, aucune donnée ne semble échapper aux statistiques. Pour gérer la complexité des situations,
on essaie souvent de résumer les séries statistiques par quelques chiffres significatifs. Le plus utilisé est la
moyenne. Mais faire une moyenne a t-il toujours une signification ? Et n'existe t-il pas d'autres manières tout
aussi pertinentes de résumer des données statistiques ? Cette année, vous allez découvrir la médiane.
Vous en apprendrez d'autres en classe de première…
1 Moyenne .
La moyenne arithmétique simple de p nombres est obtenue en calculant la somme de ces p nombres, puis
en divisant cette somme par p.
M=
x 1 + x 2 + ... + x p
Le symbole
p
∑
=
1 p
× ∑ xi
p i =1
Somme des nombres
=
p
signifie faire la somme de tous les xi pour i variant de 1 à p.
Exemple : Les notes de maths de Tom sont 15 ; 18 ; 16 ; 12 ; 8 et 9. Calculer sa moyenne.
Soit une série statistique prenant les valeurs x1 , x2, …, xp avec les effectifs n1, n2, … , np,
la moyenne de la série est :
p
x =
n 1 x 1 + n 2 x 2 + ... + n p x p
n 1 + n 2 + ... + n p
Somme des nombres affectés de leurs coefficients
=
=
n 1 + n 2 + ... + n p
∑n x
i =1
p
i
∑n
i =1
i
i
Le symbole sigma signifie qu'il faut additionner tous les termes ni avec i prenant les valeurs de 1 jusqu'à p.
Valeur du caractère
Effectif
8
7
9
5
10
8
11
9
12
4
18
1
Exemple : calculer la moyenne de la série statistique résumée dans le tableau ci dessus.
Dans le cas d'une série dont les valeurs ont été regroupées en classes, les valeurs xi sont les centres des classes.
Lorsque dans une série statistique, il y a une valeur exceptionnelle, il peut être intéressant de calculer la
moyenne de cette série privée de la valeur exceptionnelle. On dit alors que l’on a calculé une moyenne élaguée.
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E1 Savoir calculer des moyennes.
1)
Dans le chapitre 16, exercice 1, nous avions une série de 34 notes.
On rappelle le tableau résumant la série :
notes xi
effectifs ni
4
1
5
3
6
2
7
6
8
2
9
3
10
6
11
1
12
3
13
2
14
3
15
1
19
1
total
34
Calculer la moyenne de cette classe à ce devoir.
2 ) Dans le chapitre 16, exercice 2, nous avions une étude statistique concernant la superficie de logement en m².
On rappelle le tableau résumant la série :
superficie
effectifs
[ 20 ; 30 [ [ 30 ; 40 [ [ 40 ; 60 [ [ 60 ; 80 [ [ 80 ; 100 [ [ 100 ; 140 [ [ 140 ; 200 [ total
110
130
208
160
129
212
51
1000
Calculer la superficie moyenne du logement sur cet échantillon de 1 000 foyers.
3)
Dans le livre p 143 n ° 18.
4)
Dans le livre p 143 n ° 19.
2 Linéarité.
Si x désigne la moyenne des nombres x1 , x2 , … , xn
Si y désigne la moyenne des nombres y1 , y2 , … , yn
Alors la moyenne m des nombres x1 + y1 , x2 + y2 , … , xn + yn est égale à x + y .
Démonstration : voir feuille annexe.
b est un réel quelconque.
Si x désigne la moyenne des nombres x1 , x2 , … , xn
Alors la moyenne des nombres x1 + b , x2 + b , … , xn + b est égale à x + b.
Autrement dit : lorsqu'on ajoute à chaque valeur d'une série statistique une même constante b,
Alors cette constante s'ajoute aussi à la moyenne.
a est un réel quelconque. Si x désigne la moyenne des nombres x1 , x2 , … , xn
Alors la moyenne des nombres ax1 , ax2 , … , axn est égale à
ax.
Autrement dit : lorsque l'on multiplie chaque valeur d'une série statistique par une constante a,
Alors la moyenne est aussi multipliée par cette constante a.
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Propriété : linéarité de la moyenne
Soient a et b deux réels quelconque.
Si x désigne la moyenne des nombres x1 , x2 , … , xp affectés des coefficients n1, n2, …np
alors la moyenne des nombres ax1 + b, ax2 + b, … , axp + b affectés respectivement des coefficients n1, n2, …, np
est le nombre réel a x + b.
Exemple : afin d'harmoniser des corrections de copies, le rectorat propose de remplacer les notes xi par les notes
yi = 2 xi − 6. Un correcteur a une moyenne de 8 avec des notes comprises entre 5 et 13. En appliquant les
consignes du rectorat, donner la nouvelle moyenne de ce correcteur ainsi que ses notes extrêmes.
E2 Savoir utiliser la linéarité de la moyenne.
P 142 n ° 4 et 5.
1.
2.
3.
Un professeur a corrigé 32 copies. La moyenne est égale à 9,5.
Les notes extrêmes sont 4 et 18.
Toutes les notes sont des nombres entiers.
Il envisage de remonter toutes les notes d'un point. Que devient la moyenne ?
Il envisage de remonter toutes les notes de 10 %. Que devient la moyenne ?
Il corrige la copie d'un élève retardataire à laquelle il attribue la note 13.
Que peut on dire de la nouvelle moyenne ?
3 Les moyennes des sous-groupes.
On répartit n nombres en deux sous-groupes disjoints l’un contenant p éléments et l’autre contenant q
éléments.
Si x est la moyenne des p nombres du premier sous-groupe et
si y est la moyenne des q nombres du second sous-groupe,
Alors la moyenne des n nombres est égale à M =
px + q y
p
q
= x+
y.
n
n
n
Dans la classe de seconde 1, il y a 35 élèves dont 17 filles et 18 garçons.
La moyenne de maths des filles du 2T est égale à 12,11.
La moyenne de maths des garçons du 2T est égale à 10,98.
Calculer la moyenne de la classe.
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On répartit n nombres en k sous-groupes disjoints.
Le premier groupe contient n1 éléments ; sa moyenne est égale à m1 ;
Le deuxième groupe contient n2 éléments ; sa moyenne est égale à m2 …
Le dernier groupe contient nk éléments ; sa moyenne est égale à mk.
Alors la moyenne des n nombres est égale à M =
n 1 m1 + n 2 m 2 + ... + n k m k
n
n
n
= 1 m1 + 2 m2 + … + k mk
n
n
n
n
E3 Savoir calculer la moyenne à partir des moyennes de sous-groupes.
P 143 n ° 20 ; n ° 23 et n ° 25.
4 La distribution des fréquences.
La fréquence correspondant à une valeur est le quotient de l'effectif ( correspondant à cette valeur ) par l'effectif
total : fréquence =
effectif
effectif total
Les fréquences sont souvent exprimées en pourcentage.
Une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1.
Exemple : dans la classe de seconde 1, il y a 26 élèves nés en 1992.
Quelle est la fréquence correspondant à l'année de naissance 1992 ?
valeur du caractère
effectif
n
fréquence fi = i
n
x1
n1
x2
n2
…
…
xp
np
f1
f2
…
fp
Si x est la moyenne de la série statistique donnée par le tableau ci-dessus,
Alors x = f1 x1 + f2 x2 + … + fp xp.
La somme des fréquences d'une série statistique est égale à 1.
Exemple : calculer la moyenne des salaires de tous les employés d'une entreprise sachant que 57 % des ouvriers
gagnent 1100 euros net par mois et 37 % des agents de maîtrise gagnent 1900 euros net par mois et 6 % des
cadres gagnent 2600 euros net par mois.
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E4 Savoir calculer la moyenne à partir de la distribution des fréquences.
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P 143 n ° 26 ; p 144 n ° 29.
5 Médiane.
La médiane d'une série statistique est le réel noté Me tel que :
Au moins 50 % des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Me
Au moins 50 % des valeurs de la série sont supérieures ou égales à Me.
Lorsque la série est donnée par les valeurs de caractère non regroupées en classes, on appelle médiane de la
série le nombre m obtenu de la manière suivante :
On range d’abord les valeurs du caractère par ordre croissant.
a1 ≤ a2 ≤…..≤ an.
Si n est impair, la médiane est le nombre situé au milieu.
Si n est pair, la médiane est la demi somme des deux valeurs centrales.
Lorsque la série est donnée par des valeurs du caractère regroupées en classe ( dans le cas d'un caractère
quantitatif continu ), une valeur approchée de la médiane est l'abscisse du point d'ordonnée 50 % du diagramme
des effectifs cumulés croissants.
Exemples : considérons les cinq nombres : 6 ; 3 ; 4 ; 13 et 11. Déterminer la médiane de cette série.
Considérons les six nombres 11 ; 13 ; 4 ; 3 ; 4 ; 15. Déterminer la médiane de cette série.
Une machine fabrique des écrous.
On a noté, sur une fabrication de 350 écrous, les résultats relatifs à leur diamètre intérieur sur le tableau ci
dessous. Déterminer la médiane m de cette série.
Diamètre en mm
Nombre d'écrous
5,8
8
5,85
27
5,9
81
5,95
114
6
75
6,05
31
6,1
12
6,15
2
Effectif cumulé croissant
E5 Savoir trouver la médiane d'une série.
P 142 n ° 6 et p 145 n ° 36.
6 Mode, classe modale, étendue.
On appelle mode d’une série statistique une valeur du caractère dont l’effectif associé est le plus grand.
Une série statistique peut admettre plusieurs modes.
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On appelle classe modale d’une série statistique classée, une classe ayant le plus grand effectif par unité
d'amplitude c'est à dire une classe donnant dans l'histogramme un rectangle ayant la plus grande
hauteur. Le mode est généralement le centre de la classe modale.
On appelle étendue d’une série statistique la différence entre la plus grande valeur du caractère et la plus petite.
L’étendue d’une série statistique traduit la dispersion de cette série.
On dit que c’est un paramètre de dispersion.
La moyenne, la médiane et le mode sont des paramètres de position.
E6 Mode, classe modale, et étendue.
P 142 n ° 2 ; n ° 7 ; n ° 9.
On rappelle l'exercice de l'annexe 2 sur la superficie des logements.
1
Compléter le tableau afin de trouver la classe modale.
superficie
effectifs
largeur en m²
effectifs par unité
d'amplitude
2
[ 20 ; 30 [ [ 30 ; 40 [ [ 40 ; 60 [ [ 60 ; 80 [ [ 80 ; 100 [ [ 100 ; 140 [ [ 140 ; 200 [
110
130
208
160
129
212
51
Démontrer qu'un encadrement de l'étendue est ] 110 ; 180 [.
E7 Moyenne, histogramme, médiane.
Dans une entreprise de 41 salariés, 10 ont un salaire compris dans l’intervalle [ 700 ; 1 000 [ ;
21 dans l’intervalle [ 1 000 ; 1 450 [ et les autres dans l’intervalle [ 1 450 ; 2 200 [.
1. Déterminer une estimation de la moyenne.
2. Tracer l’histogramme de cette série en prenant 1 cm pour 150 euros et 1 cm² pour 1 salarié.
3. Déterminer la médiane en précisant la méthode choisie et en expliquant.
E8 Menu stat de la calculatrice.
Distribution des salaires dans une entreprise :
Salaires en euros
[ 730 ; 790 [
[ 790 ; 850 [
[ 850 ; 910 [
[ 910 ; 970 ]
effectifs
Salaires en euros
8
[ 970 ; 1030 [
10
[1030 ; 1110 [
15
[ 1110 ; 1170 [
25
[ 1170 ; 1230 [
27
13
11
7
effectifs
Aller dans le menu STAT. En dessous de list 1 taper les centres des classes cad 760 ; 820….
En dessous de list 2 taper les effectifs correspondants cad 8 ; 10 …..
Ensuite appuyer sur CALC cad la touche F2. Puis régler les paramètres de la calculatrice cad set
En face de 1varX appuyer sur list 1puis mettre en surbrillance la deuxième ligne.
En face de l var F appuyer sur list 2 puis quit. Appuyer sur calc puis 1 var…
Remplir un tableau indiquant la notation lue sur la calculatrice, sa valeur et sa signification.
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Notation lue sur la calculatrice
x
∑x
∑x²
xσ n
x σ n-1
N
minX
Q1
Med
Q3
Max X
Mod
Chapitre 17 : Paramètres d’une série statistique.
Valeur lue sur la calculatrice
signification
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