DS4 - Physique

BCPST 2
2016-2017
Devoir surveillé n°4
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Problème n°1 : le Millenium Bridge
(D’après Concours Mines Ponts PC 2016)
Pour marquer le millénaire, une nouvelle passerelle a
été construite au-dessus de la Tamise à Londres pour
un coût total de plus de 20 millions de Livres
Sterling. Quand elle fut ouverte aux piétons on
remarqua très vite qu’elle se balançait latéralement et
verticalement en cas de forte affluence. Avec un
grand nombre de piétons, son mouvement oblique
était tel que la plupart d’entre eux s’arrêtaient et
s’accrochaient aux rampes. Des images et des vidéos
ont montré que ces mouvements latéraux pouvaient
avoir une amplitude moyenne de 75 mm et qu’ils se
produisaient avec des fréquences de l’ordre du Hertz.
Le pont fut donc fermé deux jours après son
ouverture au public. Dix-huit mois de recherches
furent nécessaires pour résoudre le problème et faire
les modifications préconisées par les ingénieurs qui
furent donc finalement consultés.
L’objectif de ce problème est la compréhension de
certains problèmes posés par le Millennium Bridge
de Londres en se limitant au modèle d’un oscillateur
simple.
Les grandeurs complexes sont soulignées. Un point sur une grandeur indique la dérivée par rapport au
temps de cette grandeur :
dt
dx
x
.
Régime libre transitoire
Le Millenium Bridge est modélisé par l’oscillateur de la figure 1.
Cet oscillateur est constitué d’une masse m, dont le centre d’inertie G
est repéré par la position x dans le référentiel galiléen (O,
x
u
).
L’origine O se situe au niveau du sol. L’oscillateur est relié à un
support fixe par l’intermédiaire d’un ressort linéaire de raideur k et de
longueur à vide l0 ainsi que d’un amortisseur linéaire de viscosité α,
exerçant sur m une force de frottement
x
fuxF 
. À tout instant t,
on assimile la distance OG à la longueur l(t) du ressort. L’ensemble est
soumis à l’accélération de la pesanteur avec
x
ugg 
et
g = 9,81 m.s-2.
Figure 1 : oscillateur
1. Déterminer la position du point G à l’équilibre, notée xeq, en fonction de m, k, g et l0.
2. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique, déterminer l’équation différentielle
vérifiée par x lors du mouvement du point G.

3. On pose X = x – xeq. Montrer que l’équation différentielle vérifiée par X peut se mettre sous la
forme suivante :
02 2
00  XXX
On précisera les expressions et significations de ω0 et .
4. Dans le régime libre, le système est mis en vibration uniquement par des conditions initiales
non nulles X(0) = X0 ≠ 0 et
0
0VX
. Déterminer la solution complète X(t) dans le cas d’un
régime transitoire pseudo-périodique. en fonction de ω0, , X0, V0 et t.
5. Dans certains cas, le vent peut induire sur le système une force proportionnelle au vecteur
vitesse que l’on écrit
x
vuxF 
, avec β > 0. Quelle peut être la conséquence de ce
phénomène ?
Régime forcé
Différents cas peuvent être examinés pour l’excitation (ou forçage) F(t) de l’oscillateur étudié
précédemment. Nous nous placerons dans l’optique d’une passerelle piétonne.
L’action de la marche d’un piéton est caractérisée par un contact continu sur la surface du sol
puisque le second pied touche le sol avant que le premier ne le quitte. La force engendrée comprend
une composante verticale et une composante horizontale non prise en compte dans cette partie.
Dans le cadre d’un modèle simplifié, nous représenterons cette force verticale, appelée charge, par un
vecteur périodique
ftcosFFtF 2
10
.
Le vecteur
0
F
correspond à la force statique, c’est-à-dire au poids du piéton, la fréquence f correspond
à celle d’une marche normale. Nous considérerons que
01 40 F,F 
.Ces deux vecteurs seront supposés
constants et orientés comme
x
u
.
On note
00 FF 
le module de la force statique, Y = X + F0/mω02 la réponse en déplacement de
l’oscillateur et Y =Ym e jωt sa représentation complexe.
On admettra que la réponse en déplacement de l’oscillateur Y vérifie l’équation suivante :
)2cos(2 1
2
00 ft
m
F
YYY
6. Donner une interprétation de la grandeur Y. Quelle est l’équation différentielle vérifiée par la
grandeur complexe Y ?
7. On pose
tj
m
F
E exp
1
avec  = 2f, et on définit la fonction de transfert
E
Y
H
.
Déterminer l’expression de H en fonction de , 0 et .
8. Exprimer le gain en amplitude G = |H|. Expliquer ce qu’est le phénomène de résonance en
amplitude (par analogie avec le phénomène de résonance étudié en électrocinétique). Montrer
que si 2 << 1, alors la pulsation à la résonance, notée r, peut être confondue avec 0.
On donne dans les documents suivants :
 Figure 2 : évolution de la charge provoquée par la marche d’un piéton en fonction du
temps.
 Figure 3 : l’évolution du gain en amplitude de la fonction de transfert étudiée
précédemment et représentant le comportement du Millenium Bridge. On ne s’intéressera
qu’à la courbe 1 sans amortisseur harmonique.

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9. En analysant soigneusement les documents fournis, expliquer pourquoi cette passerelle
construite sur la Tamise se balançait lors du passage des piétons.
Figure 2 : forçage d’une passerelle par la marche d’un piéton
Figure 3 : réponse d’un oscillateur harmonique appliqué au modèle du Millenium Bridge.
L’axe des abscisses représente la pulsation . Pour des raisons pratiques, la grandeur portée en
ordonnée est le gain exprimé en décibel. Il n’est pas nécessaire de connaître sa définition mais il
suffit simplement de savoir que l’allure de cette courbe est exactement la même que celle du gain
G défini à la question 8. en fonction de la pulsation .
Problème n°2 : chute d’une goutte d’eau constituée
(D’après concours G2E 2016)
On considère la chute verticale d’une goutte d’eau constituée de masse constante de rayon
constant, dans l’air uniforme et dans le champ de pesanteur terrestre uniforme. Lors d’une averse, des
gouttes de 3 mm de diamètre se forment (à titre d’information il se trouve que les gouttes un peu plus
grosses se fragmentent dans leur chute).
10. Estimer par une méthode énergétique la vitesse d’une goutte de pluie au niveau du sol en
négligeant les forces de frottement. Ce modèle vous paraît-il réaliste ?
En réalité les gouttes atteignent une vitesse de 8 m.s-1 soit environ 30 km/h. On tient compte d’une
force de frottement fluide laminaire du type .
11. Estimer l’ordre de grandeur numérique du paramètre α.
12. Vous semble-t-il raisonnable de supposer que les gouttes de pluie chutent à vitesse constante ?