Fractions égyptiennes

DR - FRACTIONS EGYPTIENNES
On appelle fraction égyptienne, l’inverse d’un nombre entier supérieur ou égal à 2.
Théorème Soit Nun entier supérieur ou égal à 2. Tout nombre rationnel positif peut s’écrire
comme somme d’un nombre fini de fractions égyptiennes distinctes inférieures ou égales à 1/N.
1) Nous commençons par étudier le cas d’un nombre rationnel p/q de l’intervalle ] 0,1 [ en prenant
N= 2.
Puisque la suite (1/r)r≥1converge vers 0, elle est inférieure à p/q à partir d’un certain rang. Soit rle
plus grand rang tel qu’il en soit ainsi. Puisque
1
r≤p q<1,
on a nécessairement r≥2. Alors 1/r est la plus grande fraction égyptienne inférieure à p/q. On a donc
1
r≤p q<1 r−1.
Si l’on a p
q=1 r,
la décomposition est effectuée.
Dans le cas contraire, on a 1
r<p q<1 r−1,
ou encore
r−1<q
p< r .
On considère la différence p
q−1 r=rp −q qr .
Si l’on pose
p′=rp −qet q′=qr ,
on a
rp −q=pr−q
p>0,
et
p−p′=p−rp +q=pq
p−(r−1)>0.

DR 2
Donc
0< p′< p .
D’autre part
p′
q′=p q−1 r<1 r−1−1 r=1 r(r−1) .
Donc si l’on recommence la même opération avec p′/q′, on trouvera un nombre r′tel que
1
r′≤p′ q′<1 r′−1,
et il en résulte que 1
r′<1 r(r−1) ≤1 r.
Donc
r′> r .
Puisque le numérateur de la nouvelle fraction p′/q′est strictement plus petit que celui de p/q, le nombre
d’opérations est fini et l’algorithme permet de décomposer tout nombre de l’intervalle ] 0,1 [ comme
somme d’un nombre fini de fractions égyptiennes distinctes.
Remarquons que dans le calcul précédent,
r= E q
p+ 1,
ce qui permet de programmer facilement l’algorithme.
Voici la procédure MAPLE donnant la décomposition en fraction égyptiennes par cet algorithme :
egy:=proc(A);
if floor(1/A)=1/A then RETURN(A);
else RETURN(1/(1+floor(1/A)),egy(A-1/(floor(1/A)+1)));
fi;
end;
2) Le cas général repose sur le fait que la série harmonique de terme général 1/n diverge. (On peut
d’ailleurs utiliser d’autres séries divergentes).
Soit p/q un nombre rationnel positif quelconque et, pour n≥N, posons
Sn=
n
X
k=N
1
k,
ainsi que
SN−1= 0 .

DR 3
Il existe un entier n0≥N−1tel que
Sn0≤p
q< Sn0+1 .
Si l’on a p
q=Sn0,
la décomposition est effectuée. Dans le cas contraire
0<p
q−Sn0< Sn0+1 −Sn0=1 n0+ 1 .
On applique alors la première partie au nombre
p′
q′=p q−Sn0.
Comme la plus grande fraction égyptienne inférieure à ce nombre est inférieure à 1/(n0+1), les nombres
entiers apparaissant dans la décomposition de p′/q′seront plus grand que n0+ 1 et donc distincts de
N, N + 1,...,n0. On obtient alors une décomposition de p/q en sommes de fractions égyptiennes dis-
tinctes plus petites que 1/N .
Voici la procédure MAPLE donnant la décomposition en fraction égyptiennes par l’algorithme complet :
egy:=proc(B,N);
if B=1/N then RETURN(1/N);
elif B>1/N then RETURN(1/N,egy(B-1/N,N+1));
elif floor(1/B)=1/B then RETURN(B);
else RETURN(1/(1+floor(1/B)),egy(B-1/(floor(1/B)+1),N));
fi;end;
Remarques
1) Il résulte de ce théorème qu’il n’y a pas unicité dans la décomposition d’un nombre rationnel en frac-
tions égyptiennes. De plus la décomposition donnée par le premier algorithme n’est pas nécessairement
la plus courte et n’utilise pas nécessairement les plus petits entiers possibles. Il donne par exemple
9
20 =1 3+1 9+1 180 ,
ce qui est encore la décomposition de l’algorithme général obtenu en prenant N= 2 ou N= 3. Par
contre pour N= 4, on a 9
20 =1 4+1 5,
et pour N= 5 9
20 =1 5+1 6+1 12 .

DR 4
2) Il est facile de décomposer le double d’une fraction égyptienne. On a en effet
2
2p+ 1 =1 p+ 1 +1 (p+ 1)(2p+ 1) ,
et bien sûr 2
2p=1 p.
Donnons quelques décompositions du nombre 1obtenues par l’algorithme :
1 = 1/2 + 1/3 + 1/6
= 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/20
= 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/230 + 1/57960
= 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/16 + 1/1047 + 1/1138151 + 1/3145940416080
= 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/32 + 1/1920 + 1/5765760