Fractions égyptiennes

DR - FRACTIONS EGYPTIENNES
On appelle fraction égyptienne, l’inverse d’un nombre entier supérieur ou égal à 2.
Théorème
Soit N un entier supérieur ou égal à 2. Tout nombre rationnel positif peut s’écrire
comme somme d’un nombre fini de fractions égyptiennes distinctes inférieures ou égales à 1/N .
1) Nous commençons par étudier le cas d’un nombre rationnel p/q de l’intervalle ] 0, 1 [ en prenant
N = 2.
Puisque la suite (1/r)r≥1 converge vers 0, elle est inférieure à p/q à partir d’un certain rang. Soit r le
plus grand rang tel qu’il en soit ainsi. Puisque
p
1
≤ < 1,
r
q
on a nécessairement r ≥ 2. Alors 1/r est la plus grande fraction égyptienne inférieure à p/q. On a donc
p
1
1
≤ <
.
r
q
r−1
Si l’on a
1
p
= ,
q
r
la décomposition est effectuée.
Dans le cas contraire, on a
p
1
1
< <
,
r
q
r−1
ou encore
r−1 <
On considère la différence
q
< r.
p
rp − q
p 1
− =
.
q
r
qr
Si l’on pose
p′ = rp − q
on a
et q ′ = qr ,
q
rp − q = p r −
> 0,
p
et
′
p − p = p − rp + q = p
q
− (r − 1) > 0 .
p
DR 2
Donc
0 < p′ < p .
D’autre part
1
1
1
p 1
p′
− =
.
= − <
′
q
q
r
r−1 r
r(r − 1)
Donc si l’on recommence la même opération avec p′ /q ′ , on trouvera un nombre r ′ tel que
p′
1
1
≤
< ′
,
′
′
r
q
r −1
et il en résulte que
1
1
1
<
≤ .
′
r
r(r − 1)
r
Donc
r′ > r .
Puisque le numérateur de la nouvelle fraction p′ /q ′ est strictement plus petit que celui de p/q, le nombre
d’opérations est fini et l’algorithme permet de décomposer tout nombre de l’intervalle ] 0, 1 [ comme
somme d’un nombre fini de fractions égyptiennes distinctes.
Remarquons que dans le calcul précédent,
r=E
q
+1 ,
p
ce qui permet de programmer facilement l’algorithme.
Voici la procédure MAPLE donnant la décomposition en fraction égyptiennes par cet algorithme :
egy:=proc(A);
if floor(1/A)=1/A then RETURN(A);
else RETURN(1/(1+floor(1/A)),egy(A-1/(floor(1/A)+1)));
fi;
end;
2) Le cas général repose sur le fait que la série harmonique de terme général 1/n diverge. (On peut
d’ailleurs utiliser d’autres séries divergentes).
Soit p/q un nombre rationnel positif quelconque et, pour n ≥ N , posons
Sn =
n
X
1
,
k
k=N
ainsi que
SN −1 = 0 .
DR 3
Il existe un entier n0 ≥ N − 1 tel que
S n0 ≤
Si l’on a
p
< Sn0 +1 .
q
p
= S n0 ,
q
la décomposition est effectuée. Dans le cas contraire
0<
p
1
− Sn0 < Sn0 +1 − Sn0 =
.
q
n0 + 1
On applique alors la première partie au nombre
p
p′
= − S n0 .
′
q
q
Comme la plus grande fraction égyptienne inférieure à ce nombre est inférieure à 1/(n0 +1), les nombres
entiers apparaissant dans la décomposition de p′ /q ′ seront plus grand que n0 + 1 et donc distincts de
N, N + 1, . . . , n0 . On obtient alors une décomposition de p/q en sommes de fractions égyptiennes distinctes plus petites que 1/N .
Voici la procédure MAPLE donnant la décomposition en fraction égyptiennes par l’algorithme complet :
egy:=proc(B,N);
if B=1/N then RETURN(1/N);
elif B>1/N then RETURN(1/N,egy(B-1/N,N+1));
elif floor(1/B)=1/B then RETURN(B);
else RETURN(1/(1+floor(1/B)),egy(B-1/(floor(1/B)+1),N));
fi;end;
Remarques
1) Il résulte de ce théorème qu’il n’y a pas unicité dans la décomposition d’un nombre rationnel en fractions égyptiennes. De plus la décomposition donnée par le premier algorithme n’est pas nécessairement
la plus courte et n’utilise pas nécessairement les plus petits entiers possibles. Il donne par exemple
1 1
1
9
= + +
,
20
3 9 180
ce qui est encore la décomposition de l’algorithme général obtenu en prenant N = 2 ou N = 3. Par
contre pour N = 4, on a
1 1
9
= + ,
20
4 5
et pour N = 5
9
1 1
1
= + +
.
20
5 6 12
DR 4
2) Il est facile de décomposer le double d’une fraction égyptienne. On a en effet
2
1
1
=
+
,
2p + 1
p + 1 (p + 1)(2p + 1)
et bien sûr
1
2
= .
2p
p
Donnons quelques décompositions du nombre 1 obtenues par l’algorithme :
1 = 1/2 + 1/3 + 1/6
= 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/20
= 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/230 + 1/57960
= 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/16 + 1/1047 + 1/1138151 + 1/3145940416080
= 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/32 + 1/1920 + 1/5765760