Activité algorithmique - Fractions egyptiennes

Terminale S Spécialité Les fractions égyptiennes
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Les anciens Égyptiens ne connaissaient, comme rationnels, que les inverses d'entiers.
Il s'agit de décomposer un rationnel de ]0 ; 1[ en une somme d'inverses d'entiers
strictement croissants.
On appelle fraction égyptienne toute fraction de numérateur égale à 1.
On s’intéresse aux décompositions des nombres rationnels p
q comme somme de telles
fractions où les dénominateurs sont des entiers naturels tous distincts.
I L’art de décomposer
Exemple 1 : décomposer 2
7.
2
7 = 1 7 + 1 7
Or 1
7 = 1 8 + 1 7×8 = 1 8 + 1 56 ; donc 2 7 = 1 7 + 1 8 + 1 56
1) Exprimer une relation générale découlant de 1
7 = 1 8 + 1 7×8 à partir de 1 n = …..
Démontrer cette relation.
2) Décomposer avec cette méthode 3
7.
3) Un premier algorithme : proposer un algorithme en pseudo-code décomposant selon
cette méthode une fraction du type p
q.
Idées générales de l’algorithme :
Si p = 1 alors
la décomposition est terminée : 1
q
Sinon
Transformer p
q en p fractions 1 q
fin  Faux
Tant que non(fin) Faire
Si deux fractions ont le même dénominateur alors
conserver la première fraction
transformer la 2
ème
fraction 1
q en 1 q + 1 + 1 q(q + 1)
Sinon
Fin  Vrai
FinSi
Fin TantQue
Afficher la liste des fractions décomposées obtenues
FinSi

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4) Implémenter cet algorithme sous AlgoBox et le tester avec 2
7 ; 3 7 et 5 23.
II Un algorithme efficace
Tout nombre rationnel peut être décomposé selon la méthode précédente.
Cette méthode est simple, mais a le défaut de ne pas économiser le nombre de fractions
égyptiennes utilisées. Ainsi, nous pouvons trouver une décomposition de 3
7 en trois fractions
suivantes : 3
7 = 1 3 + 1 15 + 1 35.
Un algorithme plus efficace pour décomposer un nombre rationnel x consiste à considérer le
plus petit entier n supérieur à 1
x, puis à recommencer sur la différence x – 1 n.
Exemple : Pour décomposer 3
7, cela donne successivement :
• le plus petit entier supérieur à 7
3 est 3
3
7 – 1 3 = 2 21
• le plus petit entier supérieur à 21
2 est 11.
2
21 - 1 11 = 1 231
On obtient la décomposition : 3
7 = 1 3 + 1 11 + 1 231.
1) Ecrire l’algorithme correspondant en pseudo-code ; l’implémenter avec AlgoBox et le
tester avec 2
7 ; 3 7 et 5 23.
2) Une preuve de cet algorithme : une descente infinie
Considérons un nombre rationnel x tel que 0 < x < 1.
. Posons x = x
1
et n
1
le plus petit entier supérieur à 1
x
1
.
Définissons ensuite x
2
par x = x
2
+ 1
n
1
et n
2
le plus petit entier supérieur à 1
x
1
, etc ..
De façon générale, nous obtenons :
x = x
p
+ 1
n
1
+ 1
n
2
+ … + 1
n
p-1
Ecrivons x
p
sous la forme d’une fraction irréductible, x
p
= r
p
s
p
. Nous avons donc :
x
p+1
= r
p+1
s
p+1
=x
p
– 1
n
p
= r
p
x
p
– 1
n
p
=r
p
n
p
– x
p
x
p
n
p
a) A partir des propriétés suivantes de la fonction partie entière :
• E(x) ≤ x < E(x) +1 ;
• x – 1 < E(x) ≤ x

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Montrer que :
(i) (x
p
) est une suite décroissante et tel que 0 < x
p
< 0.
(ii) n
p-1
< 1
x
p
≤ n
p
(iii) 0 ≤ r
p
n
p
– s
p
<r
p.
b) La fraction r
p+1
s
p+1
étant irréductible, on en déduit que r
p+1
< r
p
On construit ainsi une suite décroissante d’entiers strictement positifs.
On en déduit qu’il existe p inférieur au numérateur de x tel que r
p+1
= 1 et donc :
x = 1
n
1
+ 1
n
2
+ … + 1
n
p
Cet algorithme permet donc de décomposer un nombre rationnel p
q en au plus p
fractions égyptiennes.
III Des nombres pratiques
Lorsque le numérateur p est la somme de diviseurs distincts du dénominateur q, le
nombre p
q se décompose en fractions égyptiennes de dénominateurs inférieurs à q.
Un nombre q tels que pour tout p entier < q ; p est somme de diviseurs de q est appelé
un nombre pratique.
1) Donner la liste 10 premiers nombres pratiques.
2) Décomposer la fraction 9
20 en utilisant le fait que 20 est un nombre pratique.
IV Des multiples pratiques
Si le dénominateur d’un nombre rationnel n’est pas pratique, nous pouvons nous y
ramener s’il possède un multiple pratique.
En reprenant le cas de 3
7, on utilise le fait que 28 est pratique.
Donc 3
7 = 3×4 28 = 7 + 4 + 1 28 = 1 4 + 1 7 + 1 28.
Pour construire de tels multiples pratiques, nous disposons du théorème suivant :
Si q est un nombre entier et n un nombre entier pratique premier avec q tel que q <
2n, alors q×n est pratique.
Utiliser ce théorème pour décomposer 5
23 en somme de trois fractions égyptiennes
différentes de celles données par l’algorithme du II.

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V Pour aller plus loin
1) Décomposition en trois
Les exemples étudiés montrent des décompositions eu au plus trois fractions
égyptiennes. D’après l’algorithme décrit dans le paragraphe « Un algorithme
efficace », c’est le cas pour les nombres rationnels de la forme p
q avec p = 1, 2 ou 3.
Cela semble également être le cas si p = 4 ou 5.
Cependant, personne n’a pu prouver ces conjectures.
Elles sont dues à Erdös pour la première et Sierpinski pour la seconde.
2) Un algorithme « pratique » pour déterminer des nombres pratiques
Pour déterminer si un nombre un pratique, on peut utiliser la caractérisation
suivante :
Soit n un nombre qui admet c diviseurs est :
d
1
= 1, d
2
, …, d
c
n est pratique  Pour tout r compris entre 1 et c – 1,
∑
i=1
dd
r
≥ d
r+1
– 1
Utiliser ce théorème pour écrire un algorithme qui liste les nombres pratiques
compris entre 1 et 1000.