énoncé

ECE 2 - Mathématiques
Quentin Dunstetter - ENC-Bessières 2015\2016
ECE 1 - DM Vacances
DM Vacances
Exercice 1
On considère la fonction f dénie par
∀x ∈ R×
+,
f (x) = x2 − x ln(x) − 1
et f (0) = −1.
ainsi que la fonction ϕ dénie par :
∀x ∈ R×
+,
ϕ(x) =
2
+ ln(x)
x
On donne le tableau de valeurs de f :
x=
f (x) '
0, 5
−0, 4
1
0
1, 5
0, 6
2
1, 6
2, 5
3
3
4, 7
3, 5
6, 9
4
9, 5
1. Montrer que f est continue sur R+ .
2. Étudier la dérivabilité de la fonction f en 0. En donner une interprétation graphique.
3. Étudier la convexité de f sur R∗+ , puis dresser son tableau de variations en précisant la limite de
f (x) lorsque x tend vers l'inni.
4. Montrer que f réalise une bijection de R∗+ sur un intervalle J que l'on précisera.
5. Quel est le sens de variation de f −1 ? Déterminer la limite de f −1 (x) lorsque x tend vers l'inni.
6. (a)
(b)
(c)
(d)
Justier que pour tout entier naturel k, il existe un unique réel xk positif tel que f (xk ) = k.
Donner la valeur de x0 .
Utiliser le tableau de valeurs de f pour déterminer un encadrement de x1 et x2 .
Exprimer xk à l'aide de f −1 puis justier que la suite (xk ) est croissante et déterminer sa limite
lorsque k tend vers l'inni.
7. On dénit la suite (un ) par : u0 =
3
et ∀n ∈ N,
2
un+1 = ϕ(un )
(a) Dresser le tableau de variation de ϕ sur R∗+ (on rappelle que te tableau de variation doit contenir
toutes les limites aux bornes et les valeurs au bout des èches).
3
3
;2
⊂
;2 .
2
2
3
2
(c) En étudiant les variations de ϕ0 , montrer que : ∀x ∈ ; 2 , |ϕ0 (x)| 6 .
2
9
(d) Montrer que les équations x = ϕ(x) et f (x) = 1 sont équivalentes. En déduire que le réel x1 est
l'unique solution de l'équation x = ϕ(x).
(e) Montrer successivement que pour tout entier n :
n
3
2
2
6 un 6 2 ; |un+1 − x1 | 6 |un − x1 | ; |un − x1 | 6
.
2
9
9
3
2
(b) On donne ϕ( ) ' 1, 73 et ϕ(2) ' 1, 69. Montrer que ϕ
(f) En déduire la limite de la suite (un ).
(g) Compléter la procédure scilab suivante pour qu'elle permette de calculer la valeur de u10000 :
function y=phi(x)
y=---endfunction
---for i=1:10000 do
u=---end
1
ECE 2 - Mathématiques
Quentin Dunstetter - ENC-Bessières 2015\2016
ECE 1 - DM Vacances
Exercice 2
On considère la famille de fonctions (fn )n∈N∗ sur ] − 1, +∞[ et la suite (Un )n∈N∗ dénies par :
et
fn (x) = xn ln(1 + x)
Z1
Un =
fn (x) dx.
0
Calcul de U1 .
1. Prouver l'existence de trois réels a, b, c tels que :
c
x2
= ax + b +
.
x+1
x+1
∀x ∈ [0, 1],
2. En déduire la valeur de l'intégrale :
Z1
x2
dx.
x+1
0
1
4
3. Montrer que U1 = .
Convergence de la suite (Un )n∈N .
∗
4. Montrer que la suite (Un )n∈N∗ est monotone.
5. Justier la convergence de la suite (Un )n∈N∗ . (On ne demande pas sa limite.)
6. Démontrer que :
∀n ∈ N∗ ,
0 6 Un 6
ln 2
.
n+1
7. En déduire la limite de la suite (Un )n∈N∗ .
Exercice 3
Pour chacune des suites récurrentes dénies ci-après, déterminer l'expression de un pour tout n > 0 puis
déterminer si la série
+∞
P
n=2
un converge et, le cas échéant, sa valeur.
1. u0 = 2, u1 = 1 et pour tout n > 0,
un+2 =
1
3
un+1 − un .
4
8
2. u0 = 1, u1 = 3 et pour tout n > 0,
un+2 = 4un+1 − 4un .
3. u0 = −2 et pour tout n > 0,
un+1 = 2un − 3.
Exercice 4
Soit A la matrice :
A=
3
−1
−1
3
et f l'application qui, à toute matrice de M2 (R), associe :
f (M ) = A2 M − AM.
1. Montrer que f est linéaire.
2. Montrer que pour tout M ∈ M2 (R), f (M ) ∈ M2 (R). On dit alors que f est un endomorphisme.
3. Déterminer l'image de f : on en donnera une expression explicite la plus simple possible (avec le
moins de vecteur possible dans Vect[...]).
4. Déterminer le noyau de f : on en donnera une expression explicite la plus simple possible (avec le
moins de vecteur possible dans Vect[...]).
2
ECE 2 - Mathématiques
Quentin Dunstetter - ENC-Bessières 2015\2016
ECE 1 - DM Vacances
Exercice 5
On considère les matrices carrées d'ordre 3 suivantes :

1

−1
P =
0
1
1
−1

1
1 ,
2

1

A= 1
1
1
1
1

1
1 ,
3

0

D= 0
0
0
1
0

0
0 .
4
1. Compléter la ligne scilab suivante pour qu'elle permette de dénir la matrice A :
A=[ones(---,---);ones(---,---),---]
2. Sans calcul, justier que A n'est pas inversible.
3. En en cherchant une réduite triangulaire à l'aide de la méthode du pivot de Gauss, déterminer les
valeurs de λ réelles telles que A − λI ne soit pas inversible.
On prendra garde à la validité des pivots utilisés.
 
x
4. Résoudre les équations AX = 0, AX = X et AX = 4X avec X = y  ∈ M3,1 (R).
z
On écrira à chaque fois l'espace vectoriel des solutions sous forme explicite (S = Vect[...]).
5. Démontrer que P est inversible et calculer P −1 .
6. Démontrer que A = P DP −1 .
7. Déterminer alors An en fonction de P , D et n pour tout n > 0 (on prouvera le résultat).
8. Ecrire Dn en fonction de P , A et n.
On pose E et F les ensembles suivants :
E = {M ∈ M3 (R) tel que AM = M A}
et


3a + 2b + c −3a + 2b + c −2b + 2c

F = M = −3a + 2b + c 3a + 2b + c −2b + 2c tel que (a, b, c) ∈ R3


−2b + 2c
−2b + 2c
2b + 2c



9. Montrer que E et F sont des sous-espaces vectoriels de M3 (R).
10. Montrer que F ⊂ E .
11. On cherche à présent à prouver que E = F .
(a) Soit M une matrice de M3 (R), on pose N = P −1 M P . Montrer que :
M ∈ E ⇐⇒ DN = N D.
(b) Résoudre l'équation DN = N D, avec N une matrice quelconque de M3 (R).
(c) En déduire nalement une expression explicite de E , et conclure quant à l'objectif de la question.
Exercice 6
(
1 − |x| si x ∈ [−1; 1]
1. On considère la fonction f dénie pour tout x réel par : f (x) =
0 sinon
.
0
(a) Calculer 01 f (x) dx. En déduire sans calcul −1
f (x) dx.
(b) Vérier que f est une densité de probabilité.
R
R
On considère dorénavant une variable aléatoire X , dénie sur un espace probabilisé (Ω, A, P), et admettant
f comme densité.
3
ECE 2 - Mathématiques
Quentin Dunstetter - ENC-Bessières 2015\2016
ECE 1 - DM Vacances
2. Établir l'existence de l'espérance de X , puis donner sa valeur.
3. Montrer que la fonction de répartition de X , notée FX , est dénie par :

0 si x < −1




x2
1


si − 1 6 x 6 0
 +x+
2
2
FX (x) =
2
1
x


+x−
si 0 < x 6 1



2
2


1 si x > 1
Indication : on fera, comme indiqué par la résultat de la question, 4 cas diérents pour
le calcul d'intégrale.
On pose Y = |X| et on admet que Y est une variable aléatoire à densité, elle aussi dénie sur l'espace
probabilisé (Ω, A, P). On note FY sa fonction de répartition.
4. (a) Donner la valeur de FY (x) lorsque x est strictement négatif.
(b) Pour tout réel x positif ou nul, justier l'égalité des évènements suivants :
et
(Y 6 x)
(−x 6 X 6 x)
puis exprimer FY (x) à l'aide de la fonction FX .
(c) En déduire qu'une densité de Y est la fonction g dénie par :
g(x) =


2(1 − x) si x ∈ [0; 1]


0 sinon
(d) Montrer que Y possède une espérance et la déterminer.
5. On considère deux variables aléatoires U et V , elles aussi dénies sur (Ω, A, P), indépendantes et
suivant toutes les deux la loi uniforme sur [0; 1].
On pose I = inf(U, V ), c'est-à-dire que, pour tout ω de Ω, on a I(ω) = min( U (ω), V (ω) ).
On rappelle les commandes scilab suivantes : si a et b sont deux vecteurs matrices de même taille,
la commande min(a, b) renvoie une matrice de même taille que a et b dont chaque coecient est le
plus petit des coecients de a et b à la même position.
On admet que I est une variable aléatoire à densité, elle aussi dénie sur (Ω, A, P), et on rappelle
que, pour tout réel x, on a P(I > x) = P( [U > x] ∩ [V > x] ).
Pour nir, on note FI la fonction de répartition de I .
(a) Expliciter FI (x) pour tout réel x.
(b) En déduire que I suit la même loi que Y .
(c) Compléter alors la procédure suivante pour qu'elle eectue 10000 simulations de la loi de Y :
u=grand(1,10000,'unf',0,1)
v=------y=
Exercice 7
1. Montrer que l'intégrale
R 2x
x
√ 1
t2 +1
est dénie pour tout réel x.
On considère désormais la fonction f dénie par :
Z
2x
∀x ∈ R, f (x) =
x
√
1
dt
t2 + 1
2. Établir que f est impaire.
4
ECE 2 - Mathématiques
Quentin Dunstetter - ENC-Bessières 2015\2016
ECE 1 - DM Vacances
3. (a) Montrer que f est de classe C 1 sur R.
(b) Montrer que pour tout x réel,
f 0 (x) = √
1
2
−√
.
2
2
4x + 1
x +1
(c) En déduire que f est strictement croissante sur R.
4. (a) En utilisant la relation t2 6 t2 + 1 6 t2 + 2t + 1, valable pour tout t positif ou nul, montrer que
l'on a l'encadrement suivant :
∀x ∈ R∗+ , ln(2x + 1) − ln(x + 1) 6 f (x) 6 ln 2
(b) Donner alors la limite de f (x) lorsque x tend vers +∞.
(c) Dresser le tableau de variation complet de f .
(d) Résoudre l'équation f (x) = 0.
5