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Le monde mathématique
Une Série d’exercices qui développe les compétences de l’élève
Ben Amar
Faouzi
Mathématiques 1A
Année scolaire
2013-2014
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BIEN DEBUTER
Un nombre est divisible par 2 si ………………………………………………………………….………………………………………..
Un nombre est divisible par 3 si ………………………………………….……………………..………………………………………..
Un nombre est divisible par 4 si …………………………………………………………………..……………………………………..
Un nombre est divisible par 5 si …………………………………………………………………….…………………………………..
Un nombre est divisible par 9 si ………………………………………………………………….……………………………………..
Un nombre est divisible par 25 si …………………………………………………………….………………………………………..
Un nombre est divisible par 6 si ………………………………………………………………………………………………………..
Un nombre est divisible par 15 si ……………………………………………………………………….……………………………..
Calculer mentalement en t’aidant des puissances de 10 :
p
An
A n x A p = ......................
=
An
.....................
=
.................
Ap
( )
A n xB n =..................
23 x 32 x 52 = ……………………………………………………………………..…………………………..………………………………..
25 x 72 x 54 = ……………………………………………………………………………………….…………………………………………..
Un nombre pair s’écrit sous la forme …………………………………………….…………………………………………………
Un nombre impair s’écrit sous la forme ……………………………………………..……………………………………………
Un nombre premier est ………………………………………………………………………..………………………………………….
a = 23 x 32 x5 x7
b = 24 x 3 x 52 x11
P.G.C.D (a,b) = ……………………………………………….........................................…………..………………………………
P.P.C.M (a,b) = ……………………………………………….........................................……………………………………………
Si le P.G.C.D (x,y) = 1 alors x et y sont deux nombres ………………………………….…………………………………….
Simplifier les fractions suivantes :
126
= ……………………………………………
60
7 2 x33 x2 5
= ……………………………………………..………
7 3 x 2 4 x3 2
a et b deux entiers naturels non nul. Effectuer la division euclidienne de a par b c’est déterminer le couple
d’entiers ( q , r ) tels que a = ……………………………… avec 0 ≤ r < b .
a est le ………………… ……..
b est le ……………..………… q est le ………….……..…… r est le ………….….………
* L’égalité200 = 17 x11 + 13 traduit t’elle la division euclidienne de 200 par 11 justifier la réponse
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
* On divise un entier x par 14 il reste 12. Si on divise x par16 le quotient ne change pas et le reste est nul
Calculer x
…………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………
………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………..
1
Mathématiques 1A
Année scolaire
2013-2014
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BIEN DEBUTER
1/ Compléter les phrases suivantes:
C
A
C
B
A
C
A
B
C
A
B
B
ABC est un triangle
ABC est un triangle
ABC est un triangle
ABC est un triangle
………………………..…
…………………………
……………………………
………………………………..
A
H
Ces deux droites sont
Ces deux droites sont
Ces deux droites sont
H s’appelle………………….
………………………………..
………………………………..
………………………………..
………………………………….
H
M
N
A
B
I
x
O
K
C
Δ s’appelle la………………..
Deux droites
Si deux droites sont //
perpendiculaires à une
alors toute droite ⊥ à
même troisième sont
la ………………….…
…..
l’une est ……………………
Deux droites
………………………
O est
[Ax) s’appelle
………………………………
le……………….……….
………………..
La droite (MI) est …………………………..… au segment [AB] en son
M
…………..…………. Alors (MI) est la
……………………………………………………………………………………………
A
I
B
Tout point de la ………………………………….est
………………………………………………..
(AD) est // à (BE) et (AB) la sécante alors les angles
ˆ et ABE
ˆ sont …………………………………………………….……donc égaux.
BAD
et par suite …………………………………………………………………………………….
2
Mathématiques 1A
Année scolaire
2013-2014
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(AB) est // à (DC) et (AD) la sécante alors les angles
x E
B
A
ˆ et ADC
ˆ sont …………………………………………………….……donc égaux.
x
EAB
C
et par suite …………………………………………………………………………………….
x
D
La somme des angles dans un triangle est égale à……………………………………………
A
AB̂C + BÂC + AĈB = ........................
AĈD + AĈB = ...........................
B
C
D
AĈD s’appelle ………………………………………………………………..……………………..
Dessin
Exemple1
ABC est un triangle
A
ABC est isocèle alors……………………………..………….
isocèle en A et I le
I est le milieu de [BC] alors …………………….…………..
milieu de [BC].
D’où (AI) est …………………………….…………………..
Montrer que (AI) est
Et par suite ……………………………………..….………..
perpendiculaire à (BC).
B
C
Exemple2
ξ est un cercle de centre o et A un point de ce cercle
Dessin
A
x
et Δ est la tangente au cercle en un point B.
H est le projeté orthogonal de A sur Δ.
1/ Montrer que (AH) est parallèle à (BO).
x
2/ Montrer que OÂB = OB̂A .
B
3/ Montrer que HÂB = OB̂A .
4/ Déduire que [AB) est la bissectrice de [AH, AO].
Réponse
1) Δ est tangente au cercle en B alors ………………….……… et puisque H est le projeté orthogonal de A sur Δ
alors ………………….…….…et par suite…………………………………………………………………………………...………….……..
2/ OA = OB car ce sont ……………………………………………………………………………………………………….………….……
Alors le triangle OAB est isocèle de sommet principal O alors ………………………………………….………………….…...
ˆ et ABO
ˆ sont deux angles
3/ (AH) et (OB) sont ……………………………..……….. et (AB) une sécante alors HAB
……………………………………….……donc égaux et par suite
…………………………………………………..…………..
4/ Comme OÂB = OB̂A et HÂB = OB̂A alors …………………………….……………….…….. et par suite [AB) est la
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Deux angles complémentaires sont
…………………………………………….……………………………………………………………
Deux angles Supplémentaires sont
…………………………………………………….……………………………………………………
3
Mathématiques 1A
Année scolaire
2013-2014
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BIEN DEMARRER
Exercice N°1
Calculer mentalement en t’aidant des puissances de 10 :
23 x 32 x 52 = ………………………………………………………………………………………………………………………………………..
25 x 72 x 54 = ………………………………………………………………………………….…………………………………………………..
Comment faut-il choisir a et b pour que le nombre suivant :
23a2 soit divisible par3 :…………………………………………………………………………….………………………….…………….
2a76b soit divisible par4 et 9 à la fois :……………………………………………………..………… ……………….…………….
7a8b soit divisible par3 et 5 à la fois :…………………………………………………….…………… ……………….…………….
7a8b soit divisible par2 ,5 et 9 à la fois :……………………………………………………………… ……………….…………….
Exercice N°2 : Compléter
1/ *
*
a.b = .........................
b 2 = ...................................... ( a - b ) ( a + b ) = ...................................
( 3 - Π ) 2 = ................................. a 8 = .................................( 2 + 1) ( 2 - 1 ) = ......................................
* ( 3 + 2 ) ( 3 - 2 ) = .....................................
*
1
( 2 + 1)
+
1
( 3 + 2)
+
1
( 4 + 3)
( 4 + 3 ) ( 4 - 3 ) = ....................................................
= . . . .....................................................................................................
Exercice N°3
1/ Dans la division euclidienne de 245 et 149 par b (b est ≠0) on obtient les restes respectifs 13 et 41.
Déterminer les valeurs possibles de b.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
2/ Soit x un entier naturel , si on divise x par 232 on trouve un quotient égal à q et un reste égale à 3 et dans la
division euclidienne de x par 230 on trouve le même quotient q et un reste égal à 29 déterminer q et x.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
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Mathématiques 1A
Année scolaire
2013-2014
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercice N°4
1/ Calculer les expressions suivantes :
A =
(1 +
=
B
=
C
1
1 1
2 3
1
2
1
)x
+ ( 5 - 5 x ) - 2 =……………………………………………………………………………..
3
3
2
+
1
=…………………………………………………………………………………………..………
1 1
x -
2 3
3 (2-Π )-(Π -1)(-2- 3)-Π (2- 3) =…………………………………………………………………………………
2/ a ∈ ℜ - et b ∈ ℜ + écrire plus simplement l’expression A = (b - a) 2 + 49 a 2 - a 2 b 4
A=…………………………………………………………………………………………………………………………………………
3/ On pose B = a -4 - 3 a 2 b -1 calculer B pour a = - 2 et b =
-4
.
3
B= …………………………………………………………………………………………………………………………………………
4/ On pose A = x 3 y -1 - xy -
1 2
y
2
a) Calculer A dans le cas où x = -
3
1
et y =
2
2
A = …………………………………………………………….………………………………………………………………………….
5/ Simplifier A = 3 52 - 5 108 + 27 13
B = ( 3 5 - 2 )2 - ( 3 - 2 5 )2
A = ……………………………………………………………………………………………………………………………………….
B= ………………………………………………………………………………………………………………………………………..
6/ Soient C et D deux réels tels que C = 5 + 2 6 et D = - 2 6 + 5 ; Montrer que C =
1
.
D
C x D = …………………………………………………………………………………………………………………………………
7/ Calculer l’expression suivante S = 3 - x - x - 2 2 pour x = 2 + 1 .
S= …………………………………………………………………………………………………………………………………………
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Mathématiques 1A
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2013-2014
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------POUR BIEN DEMARRER (2)
BIEN DEMARRER (2)
Exercice N°1
2/ x et y sont deux réels tels que x ∈ [ 3 , 5] et y ∈ [ - 1 , 2]
a) encadrer x + y et x – y puis en déduire que x 2 - y 2 ≠ 0 .
3/ x est un réel tel que x ∈
]-3
*/ Montrer que y = 2 +
; 2[ et y =
4x + 1
2x - 5
11
puis en déduire un encadrement de y.
2x - 5
Exercice N°2 Rappel : compléter
Distributivité (a+b) ( c+d) = ……………………………………………………………………………..
A et B sont inverses signifie que ………………………………………………………………………….
Identités remarquables : (a+b)2 = …………………………………(a-b)2 = ……………………………
(a+b)3 = …………….……………………..………(a-b)3 = …………………………….………………
factorisation de : a2 – b2 = ………………………………….….
a3 – b3 = …………………………………..………. a3 + b3 = ……………….……………..…………….
a2-2ab+b2 = ……………………………..……..……… a2+2ab+b2 = …………………………….……….
a3+3a2b+3ab2+b3 = ………………………………… a3-3a2b+3ab2-b3 = ……………………………..……
Exercice N°3
1/ Développer ( 2 - 7 ) 2 et ( 2 + 7 ) 2 puis écrire plus simplement x = 11 - 4 7 - 11 + 4 7
2/ Soit le réel y =
9 - 45 + 9 + 45 Calculer y2 puis écrire plus simplement y .
3/ Factoriser les expressions suivantes :
* A = 4xy4 – 9x3y2
* D = 4x2 + (2x+3)2 -9
* E = 8x3 + 36x2 + 54x +27
* B = a2 + b2 -16 +2ab
* C = 25 (x+4)2 – (x+3)2
* F = (3x-5)2-(x+4)2-(4x2-81)
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Mathématiques 1A
Année scolaire
2013-2014
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BIEN DEMARRER (3)
Exercice N°1
ABC est un triangle isocèle de sommet principal A et I le milieu de [AB]
Montrer que (AI) est perpendiculaire à (BC).
Exercice N°2
ξ est un cercle de centre o et A un point de ce cercle et Δ est la tangente au cercle en un point B.
H est le projeté orthogonal de A sur Δ.
1/ Montrer que (AH) est parallèle à (BO).
2/ Montrer que OÂB = OB̂A .
3/ Montrer que HÂB = OB̂A .
ˆ .
4/ Déduire que [AB) est la bissectrice de HAO
Exercice N°3
(AY) et (XX’) sont deux droites parallèles coupées par une sécante (BZ)
Déterminer la mesure des angles
Z
X
ˆ
1/ BCX'
ˆ .
2/ BCX
C
126°
X'
Y
B
ˆ .
3/ XCZ
A
Exercice N°4
ˆ = 48° et ADC
ˆ = 63°
ABCD est un trapèze tel que AB = BC et BCD
ˆ .
ˆ et BAC
1/ Calculer CBX
x
B
A
ˆ = 93° .
2/ Montrer que DAC
63°
48°
D
C
Exercice N°5
ABC est un triangle isocèle de sommet principale A.
ˆ coupe (AC) en E et la parallèle à (BC) passant par E coupe (AB) en F.
La bissectrice de ABC
ˆ = EBC
ˆ .
1/ Montrer que BEF
2/ Montrer que BEF est un triangle isocèle.
3/ Montrer que AF = AE.
ˆ + AFE
ˆ =
ˆ .
4/ Montrer que EAF
FEC
ˆ .
5/ Placer un point I sur [CB) tel que I ∉ [ BC] puis montrer que ABˆ I = FEC
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Mathématiques 1A
Année scolaire
2013-2014
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EVALUATION
Exercice n°1 :
On divise a par 7 on trouve un quotient q et un reste égal à 2
On divise b par 7 on trouve un quotient q et un reste égal à 5
1/ quel est le quotient et le reste de la division euclidienne de a+b par 7
Exercice n°2 :
1/ n désigne un entier naturel et X et Y sont deux nombres tel que : X = 9n + 23
et
Y= 36n + 706
a/ Quel est le reste de la division euclidienne de chacun des nombres X et Y par 9
b/ Montrer que X + Y n’est pas premier.
2/ Si on divise un entier naturel a par un entier naturel b on trouve un quotient égale à 7 et un reste égale à 15.
Trouver a et b sachant que leur somme est 167.
Exercice n°3 :
1/ calculer le P.G.C.D et le P.P.C.M de 180 et 504.
2/ a = 3 x 6 x 49
2
2
et
b = 99 x 175
a/ décomposer en produit de facteur premier le P.P.C.M (a, b) et le P.G.C.D (a, b).
b/ rendre indivisible le rationnel
a
.
b
Exercice n°4 :
Calculer
5
5
X = 3 x + 3 2 + (3 − 2)(1 + 2) et Y =
2
2
a/ Montrer que X et Y sont inverses
−
2 1
+
5
4
4 3
5 2
b/ Calculer
X13 Y14
Exercice n°5 :
a/ vérifier que pour tout n ∈ IΝ
2n + 18
10
=2+
n+4
n+4
b/En déduire les valeurs de n tel que
2n + 18
soit un entier naturel.
n+4
Exercice n°7:
ˆ < 90° et O le centre de son cercle circonscrit ζ .
Soit un triangle ABC isocèle en A tel que ABC
Les tangentes à ζ en B et C se coupe en I.
1/ a)
montrer que IBC est isocèle
b) En déduire que les points O, A et I sont alignés
2/ A’ le projeté orthogonal de A sur (IC) et H = B*C
a)
ˆ
ˆ et ACA'
Comparer. ABC
b) Comparer les triangles AHC et AA’C.
3/ Soit E le point tel que C = H*E. Montrer que EA’H est rectangle.
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Mathématiques 1A
Année scolaire
2013-2014
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SERIE N°1
1/ Division euclidienne
Effectuer la division euclidienne de a par b c’est déterminer le couple d’entiers (q,r) tels que a = ………….
avec a le ……………….……… b ……….…….……….. q………….………………. r……………………..( r est toujours <…….)
L’égalité200 = 17 x11 + 13 ne traduit pas la division euclidienne de 200 par 11 car …………………………..
*On divise un entier x par 14 il reste 12. Si on divise x par16 le quotient ne change pas et le reste est nul Calculer
x
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
* n désigne un entier naturel et X et Y sont deux nombres tel que : X = 9n + 23 et
Y= 36n + 706
a/ Quel est le reste de la division euclidienne de chacun des nombres X et Y par 9
b/ Montrer que X + Y n’est pas premier.
……………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………..
2/ Diviseur d’un entier
b divise a si le reste de la division euclidienne de a par b est …………………………………………………………………
D6 = {.................................} D 20 = {.................................} D8 = {.................................} D36 = {.................................}
Comment choisir l’entier naturel n pour que les expressions suivantes soient des entiers naturels ?
8
∈ signifie ...........................................................................................................................
n
8
∈ signifie ...........................................................................................................................
n
n+6
∈ signifie ...........................................................................................................................
n
n+11
∈ signifie ...........................................................................................................................
n+1
n
∈ signifie ...............................................................................................................................
6
2n+18
2n+18
2n+8+.........
∈ signifie
=
=........................................................................................
n+4
n+4
n+4
3/ Proportionnalité
a et b et c sont proportionnels à d , e et f signifie ………………………………………………………………………………..
2/ a et b sont proportionnels à 3 et 5 sachant que 2a + 3b = 84 ; Calculer a et b.
………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
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Mathématiques 1A
Année scolaire
2013-2014
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4/ Nombres premiers
Un entier naturel est premier s’il est différent de ………… et s’il possède exactement 2 diviseurs 1 et ………
231 n’est pas premier car ……………………………………………………………………………..…………………………………..…
5/ PGCD et PPCM
Le PGCD de deux nombres est le plus …………………………………………………………………………………………………
Le PPCM de deux nombres est le plus …………………………………………………………………………………………………
Si le PGCD de deux nombres est 1 on dit que ces deux nombres sont ………………………………………………….
2/ On donne les entiers a = 9 x 28 x 35, b = 12 x 70.
a) Déterminer le PPCM (a, b) et le PGCD (a, b).
a = …………………………………………..
b= ……………………………………
PPCM (a, b) = ………………………………………………………
b) Rendre la fraction
PGCD (a, b) = ……………………………………..…………..
a
a
irréductible : =………………………………………………………………………………
b
b
Si a est multiple de b alors PPCM (a,b) = ………………….… et PGCD (a,b) = ………………………………………………
PPCM (a,b) x PGCD(a,b) = …………………………….
a = ………………………………………………………
6/ Notation scientifique
Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme a.10n où a est un décimal ayant un seul chiffre non nul avant la
virgule et n un entier relatif. Cette écriture a.10n s’appelle notation scientifique du nombre décimal.
152000000 = 1,52 x10..
0,0000231 = 2,31 x 10..
723000= ……………………………………………..
7/ Valeurs approchées valeurs arrondies
7 = 2, 645751311.....
* La valeur approchée par défaut de
7 à l’unité prés est ………………………………………………………………..
* La valeur approchée par excès de
7 à l’unité prés est ………………………………………………………………..
* La valeur approchée par défaut de
7 à 10-1 prés est ………………………………………………………………..
* La valeur approchée par excès de
7 à 10-1 prés est ………………………………………………………………..
* La valeur approchée par défaut de
7 à 10-3 prés est ………………………………………………………………..
Pour trouver l’arrondi d’un nombre on conserve ces chiffres jusqu'au rang indiquée si le chiffre suivant est < 5
on conserve ce nombre pour trouver l’arrondi si non on lui ajoute 1
* L’arrondi de
7 à l’unité est ……………..
* L’arrondi de
7 à 10-1 prés est ………
* L’arrondi de
7 à 10-3 prés est ……………..
* L’arrondi de
7 à 10-5 prés est ………
10
Mathématiques 1A
Année scolaire
2013-2014
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SERIE N°2
(AD) est // à (BE) et (AB) la sécante alors les angles
ˆ et ABE
ˆ sont …………………………………………………….……donc égaux.
BAD
et par suite …………………………………………………………………………………….
x
A
(AB) est // à (DC) et (AD) la sécante alors les angles
E
B
ˆ et ADC
ˆ sont …………………………………………………….……donc égaux.
EAB
x
C
D
et par suite …………………………………………………………………………………….
x
ˆ et ABE
ˆ sont deux angles alternes internes égaux formés par les droites (AD) et (BE) et la sécante (AB)
* Si BAD
alors ………………………………………………………………..………………………………………………………………………..
ˆ et ADC
ˆ sont deux angles correspondants égaux formés par les droites (AB) et (DC) et la sécante (AD)
* Si EAB
alors ………………………………………………………………..……………………………………………………….……………..
Angles inscrits et angles au centre
Un angle ayant son sommet sur le cercle et ses cotés recoupent le cercle en un arc s’appelle ………………..
Un angle ayant son sommet le centre du cercle recoupe le cercle en un arc s’appelle ……………………..……..
A
M
K
x
x
L
B
O
C
C
B
ˆ est un angles inscrits dans le cercle
BMC
ˆ , BKC
ˆ et BLC
ˆ
BAC
sont des angles inscrits dans le cercle
interceptant l'arc BC
ˆ est un angles au centre du cercle
BOC
interceptant l'arc BC
Alors..................................................
interceptant l'arc BC
alors.....................................................
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Mathématiques 1A
Année scolaire
2013-2014
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------A
A
x
C
O
B
C
B
D
Si [AB] est un diamètre du cercle et C un point
Si Bet C sont fixes et le triangle ABC est isocèle
du cercle . alors le triangle ACB est un triangle
de sommet principale A alors.
…..…
Alors A varie sur ……………………………………….
Si A et B sont fixes et ABC est un triangle
Si A et C sont fixes et le triangle ABC est isocèle
rectangle en C alors C varie sur …………………….
de sommet principale A alors.
Alors B varie sur …………………………………………
A
65°
C
I
x
D
B
ˆ :
1) Evaluer CDA
………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………….
ˆ puis BOC
ˆ .
2) Calculer BOD
………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………….
ˆ .
3) Montrer que [DC) est la bissectrice de ADB
………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………….
ˆ en déduire ABE
ˆ .
4) E le point diamétralement opposé à B calculer EDA
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..….
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Mathématiques 1A
Année scolaire
2013-2014
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EXEMPLE DE DEVOIR 1
Exercice N°1
1/ Comment faut-il choisir a et b pour que le nombre : 7a8b soit divisible par3 et 5 à la fois.
2/ Si on divise un entier naturel a par un entier naturel b on trouve un quotient égale à 7 et un reste égale à 15.
Trouver a et b sachant que leur somme est 167.
3/ Déterminer les entiers naturels qui divisés par 3 donnent un quotient égale au double du reste.
4) On désigne par x = 8n+13 et y = 44n+207. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de x et
y par 4.
5/ Montrer que x+y n’est pas premier.
Exercice n°2 :
2n + 18
10
=2+
n+4
n+4
a/ vérifier que pour tout n ∈ IΝ
b/En déduire les valeurs de n tel que
2n + 18
soit un entier naturel.
n+4
Exercice n°3 :
1/ *Montrer que la somme de 4 entiers impairs consécutifs et divisible par 8.
2/ Les entiers 900 et 378 sont-ils premiers entre eux ? justifier la réponse.
3/ en déduire une écriture irréductible du rationnel
4/ le rationnel
900
378
900
est –il un décimal ? Justifier.
378
5/ Donner l’arrondi à 10-2 prés de
900
.
378
Exercice n°4 :
ABC un triangle isocèle de sommet principal A et ζ le cercle circonscrit à ce triangle ; M un point variable de l’arc
qui ne contient pas B. et D le projeté orthogonal de B sur (AM). Les droites (BD) et (CM) se coupent en P.
AC
ˆ = ABC.
ˆ
1/ Montrer que AMB
ˆ et ABC
ˆ sont supplémentaires.
2/ Montrer que AMC
ˆ = ABC.
ˆ
3/ En déduire que AMP
ˆ
4/ Montrer que [ MD ) est la bissectrice de l'angle BMP.
5/ Déduire que le triangle MPB est isocèle.
6/ Que décrit le point D lorsque M varie sur le cercle ζ .
13
Mathématiques 1A
Année scolaire
2013-2014
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Corrigé de l’exemple 1
Exercice N°1
1/ b = 0 ou b = 5 Si b=0 alors a = 0 ou 3 ou 6 ou 9 et Si b= 5 alors a= 1 ou 4 ou 7.
2/ a= 7b+15 et a+b=167 si on remplace a par 7b+15 on trouve 8b+15=167 soit b= 19 et a= 148.
3/ a = 3 x 2r +r = 7r avec r = 0 ou 1 ou 2 (dans une division par 3 le reste est <3)
Si r=0 →a =0
Si r =1 →a =7
Si r =2 →a =14
4/X = 8n+13 = 4x2n+4x3 +1 = 4 (2n+3)+1 alors le reste de la division euclidienne de X par 4 est 1.
Y = 44n+207 = 4x11n+4x51 +3 = 4 (11n+51)+3 alors le reste de la division de Y par 4 est 3.
5/ X+Y = 4(2n+3)+1+4(11n+51)+3 = 4(13n+55) alors X+Y est divisible par4 d’où X+Y n’est pas premier.
Exercice N°2
2n + 18
2n + 2 x4 +10
2(n + 4 )+10
2(n + 4 ) 10
10
.
=
=
=
+
=2+
n+4
n+4
n+4
n+4
n+4
n+4
2n + 18
b)
naturel si n+4 ∈ D10 n+4 ∈ {1, 2,5,10} n ∈ {−3, −2,1, 6} et comme n ∈ IN alors n = 1 ou n = 6
n+4
a)
Exercice N°3
1/ les 4 entiers impaires consécutifs s’écrient sous forme 2n+1 , 2n+3 , 2n+5 et 2n+7.
2n+1+2n+3+2n+5+2n+7= = 8 ( n+2) alors la somme de 4 entiers impairs consécutifs et divisible par 8.
2 2 2
3
2
2/900 = 2 x3 x5 et 378 = 2 x 3 x 7 alors le PGCD ( 900,378) = 2 x3 =18 ≠ 1
d’où 900 et 378 ne sont pas premiers entre eux.
900 22 x32 x52
3/ =
=
378
2x33 x7
( 2 x3 x5 ) : ( 2x3
)
=
( 2x3 x7 ) : ( 2x3 )
2
2
2
3
2
2
2x52 50
=
3x7 21
4/ le dénominateur n’est pas une puissance de 10 alors
5/
900
n’est pas décimal.
378
900
900
-2
=2,380952 d’où l’arrondi à 10 prés de
est égale à 2,38.
378
378
Exercice N°4
1/
ˆ car ce sont deux angles inscrits interceptant l'arc AB
ˆ
AMB=ACB
ˆ
ˆ car ABC est un triangle isocele de sommet principale A
ACB=ABC
ˆ = ABC
ˆ
Alors AMB
2/
ˆ
ˆ ( Profitez des angles inscrits interceptant le même arc)
ˆ
ˆ
ˆ = ACB+BAC
AMC=AMB+BMC
(
)
ˆ
ˆ +ABC
ˆ
ˆ = ACB+BAC
ˆ = 180°( la somme des angles dans un triangle).
alorts AMC+ABC
ˆ
ˆ
ˆ et ABC
ˆ sont supplémentaires
AMC+ABC=180°
alors AMC
3/
ˆ
ˆ
AMP+AMC=
180° ( angle plat puisque P,M et C sont alignés)
ˆ
ˆ
ABC+AMC=
180°( car ces 2 angles sont supplémentaires d'aprés 2)
ˆ =ABC
ˆ
alors AMP
4/
ˆ ( angles inscrits) et AMP
ˆ = ABC
ˆ
ˆ =ABC
ˆ et ACB
ˆ (car ABC est isocéle )
AMB=ACB
ˆ
ˆ et par suite [ MD ) est la bissectrice de BMP
ˆ
alors AMB=AMP
5/
ˆ et comme [MD) est perpendiculaire à (BP) car D est un projeté orthogonale de B sur
[MD) est bissectrice de BMP
(AM).D’ou (MD) est aussi hauteur et médiatrice du segment [BP].
Alors le triangle BMP est isocèle de sommet principale M.
6/Le triangle ADB est rectangle en D quel que soit la position du point M sur le cercle et comme A et B sont fixes D varie
alors sur le cercle de diamètre [AB].
14
Mathématiques 1A
Année scolaire
2013-2014
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SERIE N°2
Exercice N°1
1/ Soit a un réel positif et b un réel négatif simplifier l’expression B =
166 -812
2/ Calculer les expressions A = 5
8 ( 2 6 - 86 )
3/
9 a 2 b2 - 6 a b2 + 5 b a 2
a 2 b2
.
45-7 x 39
.
B=
15−6
5-2 5
a) Simplifier les deux expressions X =
et y =
5
5 ( 2 +1 ) + 2 2 − 5
2
b) Montrer que X et Y sont inverses.
c) Calculer alors X5Y7
Exercice N°2
1/ Calculer les expressions suivantes.
A = (-2)-3 x
D=
2
5−2
1
x ( - 2 )8 x ( -2 ) 4
23
-
3 2
5− 2
E=
25 x 10-6
4 x 10-4
B=
C=
-0,003 x 0,4
12x ( 102 )-3
32 − 18 + 2
2 2
Exercice N°3
1/ x et y sont deux réels tels que
x 2 + 4xy
11
x
1
== - Montrer que 2
2
10
y
3
x +y
2/ Simplifier A = 3 52 - 5 108 + 27 13
3/ Soit x ∈ IR + et y ∈ IR *- Simplifier
B = ( 3 5 - 2 )2 - ( 3 - 2 5 )2 .
x2
y2
36 y8 + 9 (xy3 ) 2 .
Exercice N°4
Soit ABC un triangle, I = B*C et M un point de [AI]. Tracer la parallèle à (AB) passant par M qui coupe [AC] en E et
[BC] en F et la parallèle à (AC) passant par M qui coupe [AB] en G et [BC] en H.
1/ Faire une figure.
2/ Montrer que
IF
IH
, en déduire que I = F*H et que BH = FC.
=
IB
IC
3/ Montrer que
BG
CE
, en déduire que (GE) est parallèle à (BC).
=
BA
CA
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Mathématiques 1A
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SERIE N°3
Exercice N°1
Soit ABC un triangle tel que AB = 6 ; BC = 4 et AC = 5.
ˆ coupe [AC] en D. La parallèle à (BC) passant par D coupe (AB) en E.
La bissectrice de ABC
1/ Montrer que le triangle BDE est isocèle de base [BD].
2/ Montrer que :
AE
6 - AE
. En déduire AE.
=
6
4
3/ Calculer AD et DC.
Exercice N°2
Soit un triangle ABC tel que AB = 3 et BC = 5 et AC = 7. Soit M un point de [BC] tel que BM =1. La parallèle à (AB)
passant par M coupe (AC) en O.
1/ Calculer OM et OA.
2/ La parallèle à (AB) passant par C coupe (BO) en D et la droite (OM) coupe (AD) en N.
a) Montrer que
CM DN
=
CB DA
b) En déduire que O est le milieu de [MN].
3/ Montrer que
CO DO
.
=
CA DB
4/ Soit J le point de [AB] tel que
AJ 1
= Montrer que les droites (JO) et (BC) sont parallèles.
AB 5
Exercice N°3
1/ Construire un triangle ABC tel que AB = 9 cm ; AC = 6 cm et BC = 7.5 cm .
Placer le point R du segment [AB] tel que BR = 6 cm et le point S du segment [AC] tel que AS = 2cm.
2/ Montrer que (RS) // (BC). Puis calculer RS
3/ Soit H le projeté orthogonal de S sur (AB) et K le projeté orthogonal de C sur (AB).
a) Montrer que
AH
AR
=
AK
AB
b) Calculer la proportion de l’aire du triangle AHS par rapport à l’aire du triangle AKC.
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EXEMPLE 1 DE DEVOIR 1
Exercice N°1
Répondre par vrai ou faux sans justification :
1°/ PGCD ( 180 ; 20 ) = 20
2°/ PPCM ( 2012 ; 2013 ) = 2012 x 2013
3°/ L’entier 2013 est premier.
4°/ Les entiers 15 et 3902 sont premiers entre eux.
Exercice N°2
1°/ Montrer que la somme de deux entiers impairs est un entier pair.
2°/ Déterminer les entiers naturels qui ont pour quotient le double du reste dans la division euclidienne
par 3.
3°/ Déterminer le chiffre des unités a et celui des centaines b de l’entier 1 b 7 a sachant qu’il est
divisible par 5 et par 9.
Exercice N°3
ˆ = 60° ; [BD) est la bissectrice de
Dans la figure ci-contre : ABCD est un rectangle de centre E ; ABD
F
ˆ et BF = BC
l’angle CBF
B
A
E
60°
ˆ
1°/ Calculer EBC
D
C
2°/ Montrer que le triangle EBC est équilatéral.
3°/ Montrer que (BF) // (AC).
4°/ Montrer que (EF ) ⊥ ( AB ) .
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EXEMPLE 2 DE DEVOIR 1
Exercice N°1
1) Déterminer le PGCD(144,180).
2) rendre irréductible la fraction
180
.
144
3) En déduire une fraction égale à
180
et ayant pour dénominateur la plus petite puissance de 6 possible.
144
Exercice N°2
x et y désigne respectivement le chiffre des centaines et le chiffre des unités du nombre 3x2y.
Déterminer x et y pour que 3x2y soit divisible par 4 et par 9 à la fois.
Exercice N°3
Soit a et b 2 entiers naturels tel que b non nul . q et r désignent le quotient et le reste de la division
euclidienne de a par b . Calculer q sachant que q et r ne changent pas si on augmente a de 52 et b de
4.
Exercice N°4
Soit C un cercle de centre o et ABC un triangle isocèle de sommet principal A inscrit dans le cercle .
ne contenant pas B.
M un point de l’arc AC
ˆ .
ˆ = ACB
1) a) Montrer que AMB
ˆ = ABC
ˆ .
b) En Déduire que AMB
ˆ .
ˆ = ACM
2) La parallèle à (AB) passant par M coupe [BC] en H et le cercle C en D. Montrer que BMD
ˆ et MHC
ˆ ; BOC
ˆ .
ˆ = 40° Calculer AMB
3) Sachant que BAC
4) La tangente au cercle au point c coupe (AM) en E
ˆ .
Montrer que [CA) est la bissectrice de l’angle BCE
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EXEMPLE 3 DE DEVOIR 1
Exercice N°1
1) On donne a = 2 x 32 x 7 et b = 22 x 3 x 5
a) calculer PGCD (a, b).
b) a et b sont-ils premiers entre eux ?
c) Donner l’écriture irréductible de la fraction
a
.
b
2) Déterminer les chiffres x et y pour que 6 x 8 y soit divisible par 9 et que le reste de sa division
euclidienne par 5 est 1.
3) déterminer mes entiers naturels n tels que
n
10
soit un entier naturel et ∈ .
3
n-1
4) Lors d’une division euclidienne, si on augmente le dividende de 73 et le diviseur de 6, on constate
que le quotient ne change pas et le reste augmente de 1. Quel est ce quotient ?.
Exercice N°2
ne contenant
ABC un triangle équilatéral inscrit dans un cercle C de centre O. M un point de l’arc BC
pas A et n’appartient pas à (OA).
ˆ = 60° .
1) Montrer que AMC
2) La parallèle à (BM) passant par C coupe (AM) en N. et recoupe le cercle C en P.
ˆ = NMB
ˆ = 60° .
a) Montrer que CNM
b) en déduire que le triangle CMN est équilatéral.
3)
ˆ = BCM
ˆ et que ACP
ˆ = ABP
ˆ .
a) Montrer que ACP
b) En déduire que (AM) et (BP) sont parallèles.
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EXEMPLE 4 DE DEVOIR 1
Exercice N°1
( 45 ) x 39
−6
(15 )
−7
1) Calculer A =
2) a) Simplifier les réels x =
320 - 125 - 180
et B =
.
80+ 45
5-2 5
5
et y =
(
5
)
2 +1 + 2 2 - 5
2
.
b) Montrer que x et y sont deux nombres inverses.
c)Calculer x 5 y 7 .
3) Soit a un réel strictement positif et b un réel strictement négatif. Simplifier l’expression
C=
a2b 4 + 4a4b6 −
( ab
2
− 2a2b 3
)
2
Exercice N°2
1) a) les nombres 475 et 525 sont ils premiers entre eux.
b) calculer le PGCD(475,525).
c) rendre le rationnel
475
irréductible.
525
2) Montrer que la somme de 4 entiers impaire consécutifs est divisible par 8.
3) Déterminer les entiers naturels x tel que PGCD(90,x) = 15 et x < 90.
Exercice N°3
ABC un triangle isocèle de sommet principal A, on désigne par [BK] la hauteur issue de B.
Le cercle C de diamètre [BC] recoupe la droite (AB) en E. Soit O son centre.
1) Montrer que K appartient au cercle C.
2) Les droites (ZC) et (BK) se coupent en H, montrer que les points A,H et O sont alignés.
ˆ
ˆ
3) a) Montrer que BCE=KBC
b) Montrer que les droites (KE) et (BC) sont paralléles.
ˆ recoupe le cercle C en M.
4) La bissectrice de l’angle BKC
a) Montrer que le triangle MBC est isocèle.
ˆ et BKC
ˆ sont supplémentaires.
b) Montrer que les angles BMC
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EXEMPLE 5 DE DEVOIR 1
Exercice N°1
1) a) Trouver le P.P.C.M (105,280)
b) Déduire le P.G.C.D (105,280).
c) Trouver alors une écriture irréductible de la fraction
105
.
280
2) x et y désignent le chiffre des unités et des dizaines du nombre 702xy.
Trouver x et y pour que 702xy soit divisible par 5 et par 3 à la fois.
3) Soient a et b deux entiers naturels
Le reste de la division euclidienne de a par 7 est 2 , celui de b par 7 est 5.
Quel est le reste de la division euclidienne de (a+b) par 7. ( justifier)
Exercice N°2
Soit C un cercle de centre O et de diamètre [AB] et C’ un cercle de centre A et passant par O. C et C’
se coupent en C et D.
1) a) Montrer que ACO est un triangle équilatéral.
ˆ et CDA
ˆ .
b) Calculer CBA
ˆ
ˆ .
. En déduire que [BA) est la bissectrice de CBD
2) Vérifier que ACD=30°
3) La parallèle à (AB) passant par C coupe le cercle C en E. (AE) et (CB) se coupent en I
Montrer que AIB est un triangle isocèle.
21
Mathématiques 1A
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Activités algébriques
1/ Activités algébriques
a c
a c
= équivaut à ............................................... + =..........................................................
b d
b d
a
a
c
x ..................................... b =.....................................
c
b d
d
a
K. =.............................
b
et
A n xA p = ........................
(A n ) p = .....................
An
= ............................... A 0 = ...............
Ap
A n x Bn = ...................
A1 = .....................
(a+b) (c+d) = ……………………………………………………………………………………………………………
(a+b)2 = ……………………………………………………………….………………………………..…………………
(a-b)2=……………………………………………………………………………………………………….……………..
(a+b)3 = ……………………………………………………………………………………………….…………………..
(a-b)3=……………………………………………………………………………………….……………………………..
a2-b2 = …………………………………………………………….…………………………………………………………
a3-b3=………………………………………………………….……………………………………………………………..
a3+b3=……………………………………………….………………………………………………………………………
exemple1 développez
A=
( 2x + 1)
B=
( 2x + 1)
(
)(
)
2
− 3x − 2 3x + 2 − ( 4 − x ) =…………………………………………………………………………………..
3
− x − 2 x 2 + x 2 + 2 =………………………………………………………………………………………….
(
2
)(
)
exemple1 Factorisez
C = x 2 − 4 x + 4 = ............................
C = x 3 − 8 = ..........................
D=4x 2 -5=.........................
D=8x 3 -5 5=.......................
22
E = 4(x-1)2 -5=.........................
E = 125-(x-1)3 =.........................
Mathématiques 1A
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EXEMPLE 1 DE DEVOIR 2
Exercice N°1
1) a et b sont deux réels strictement négatifs simplifier l’expression : E =
(-a-2b-1 )5a2
.
(-a4b-3 )-3
2) Simplifier les réels suivants :
A=
(1- 2)2 + 3- 2
B = (1+ 2) −2 - (1- 2) −2 C =
8
25
32 +
1
50 .
5
Exercice N°2
1) Soit D =
5-2 6 + 5+2 6 calculer D2 puis déduire la valeur de D.
2) Déterminer chacun des ensembles suivants :
1 3
E= x ∈ et 3x- =
2 5
7
F= x ∈ et 1- 1 - x ≥
4
3/ x ∈ -2,1 et y ∈ 2,5 encadrer les réels -3x+4 ; x2 ;
1 1
G= x ∈ et 3x- = -3x
2 2
1
x-3
et
y
y
Exercice N°3
1) Soit un triangle ABC rectangle en A tels que :AB = 4cm et AC = 5cm. Soit E un point de [AC] tel que
AE = 3cm ; La perpendiculaire à la droite (AC) passant par E coupe [BC] en K.
1/ Comparer
CE CK
et
.
CA CB
2) Soit le point D de la demi droite [EK) tel que KD = AB . La droite (BD) coupe (AC) en un point N.
a) Montrer que
CA CE
=
.
CN CA
b) Déduire CN.
3/ Les droites (CD) et (AB) se coupent en F. Montrer que
23
CD CE
=
; déduire que (AD) // (FN).
CF CN
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EXEMPLE 2 DE DEVOIR 2
Exercice N°1
1) Soit a et b deux réels strictement positifs simplifier l’expression B =
2/
2 − 1) 2 et (
a) Développer les expressions (
1
b) Simplifier : C =
-
3-2 2
3/ Simplifier l’expression D = 2π -5 +
a 3 b + ab3
a 3 +b a
2 − 2) 2 .
1
6-4 2
(π − 4 )
2
-2 1-π
Exercice N°2
Soit un réel tel que : -
1
1
<x< .
2
2
1/ Encadrer : -2x+1 ; x2-1.
2/ Soit le réel A =
2x-1
x+1
a) Vérifier que x+1 ≠ 0.
b) Vérifier que A = 2 -
3
.
x+1
c) Encadrer A et A .
Exercice N°3
Soit ABCD un parallélogramme.
1/ Construire le point E de [AB] tel que AE =
2
AB .
5
2/ La parallèle à (BC) passant par E coupe (AC) en F.
a) Evaluer le rapport
AF
.
AC
b) Si BC = 4 calculer EF.
3/ La parallèle à (CD) passant par F coupe (AD) en G
a) Montrer que
AE AG
=
AB AD
b) Déduire que (GE) // (BD).
4/ Soit I = B*C et J = D * C Montrer que EGJI est un trapèze.
24
.
Mathématiques 1A
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EXEMPLE 3 DE DEVOIR 2
Exercice N°1
1/ Simplifier : A =
8
1
- 32 +
25
5
50 .
2/ Soit a et b deux réels strictement positifs simplifier l’expression B =
3/
1
a 3 +b a
.
2 − 1) 2 et ( 2 − 2) 2 .
a) Développer les expressions (
b) Simplifier : C =
a 3 b + ab3
-
3-2 2
1
6-4 2
Exercice N°2
Soit un réel tel que : -
1
1
<x< .
2
2
1/ Encadrer : -2x+1 ; x2-1.
2/ Soit le réel A =
2x-1
x+1
a) Vérifier que x+1 ≠ 0.
b) Vérifier que A = 2 -
3
.
x+1
c) Encadrer A et A .
Exercice N°3
Soit ABC un triangle tel que AB = 6 ; BC = 4 et AC = 5.
ˆ coupe [AC] en D. La parallèle à (BC) passant par D coupe (AB) en E.
La bissectrice de ABC
1/ Montrer que le triangle BDE est isocèle de base [BD].
2/ Montrer que :
AE
6 - AE
. En déduire AE.
=
6
4
3/ Calculer AD et DC.
25
Mathématiques 1A
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ENCADREMENT
Exercice °1
1/ Soit x et Y deux réels tels que x ≤ y comparer les réels a et b dans chacun des cas suivants :
a) a = -3x+ 3 et b = -3x +
b) a =
2
9
8
5
16
x+ y et b = x+ y .
7
3
3
7
2/ a et b sont deux réels tels que a ≤ b On pose t =
On pose t =
b - a et q = b − a
b - a et q = b − a
a) Calculer t2 et q2
b) Montrer que t 2 - q 2 = 2 q a
2/a et b sont deux réels strictement positifs. Comparer (a+b) et
c) comparer alors t et q.
4ab
.
a+b
Exercice °2
1/ On donne x ∈ [ -4 ; 1] et y ∈ [5 ; 6] .
a) Encadrer x + y ; x – y ; ( x+ y ) ( x – y ) et y2.
b) En déduire un encadrement de x2.
2/ Soit x un réel de l’intervalle [2, 4] et A =
5x-7
x-5
1/ Encadre 5x-7, x2 et -2x2 +3.
2/ Vérifier que A = 5 +
18
puis encadrer A
x-5
Exercice N°3
1/ Soit x et y deux réels tels que 0 < x < y
a) Comparer les réels 3x -5y et x-3y.
b) Comparer
x
2x
et
y
x+y
2
Exercice N°4
1/ x et y sont deux réels tels que x ∈ [ 3 , 5] et y ∈ [ - 1 , 2]
a) encadrer x + y et x – y puis en déduire que x 2 - y 2 ≠ 0
2/ soit x un réel de l’intervalle [ 3 ; 5] et y = - 2x2 + 12x -13.
Montrer y = -2 (x-3)2 +5 puis en déduire un encadrement de y.
3/ x est un réel tel que x ∈
4/ x est un réel tel que x ∈
]-5
] -1
; 2[ encadrer x2 puis (x-1)2
; 3[
Encadrer 5-2x et (5-2x) 2 puis montrer que −20 ≤ 4x 2 − 20x + 5 ≤ 29
26
x 2 +y 2
x+y
et
2
2
c) Comparer
Mathématiques 1A
Année scolaire
2013-2014
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Les identités remarquables
Exercice N°1
1/ A et B sont tels que A =
2
5 -2
-
3 2
32 - 18 + 2
et B =
5- 2
2/ vérifier que ( 3 + 2 2 )18 ( 3 - 2 2 ) 20
=
2 2
Montrer que A et B sont inverses
17 + 12 2 .
3/ Développer ( 2 - 7 ) 2 et ( 2 + 7 ) 2 puis écrire plus simplement x = 11 - 4 7 - 11 + 4 7
Exercice N°2
1/ Ecrire à l’aide d’un seul radical les expressions suivantes :
A = 2 5+6
B = 17 + 12 2
C = 37 − 20 3
D = 35 - 12 6
a
2/ on considère les réels a, b et c tels que a 2 = 16 + 6 7 et b 2 = 16 − 6 7 et c = .
b
a) Trouver les réels a, b, c, a.b, (a+b)2 et
E = 30 + 12 6
a+b
.
a-b
Exercice N°3
1/ Soit le réel y =
9 - 45 + 9 + 45 Calculer y2 puis écrire plus simplement y
2/ soit le réel F = 29 - 12 5 Ecrire F sous forme de (a-b)2 puis simplifier
F
Exercice N°4
1
1
1/ On donne A = (2x+ )3 -3x(2x+ ).
2
2
a) Développer et simplifier A.
1
b) Calculer A pour x = 4
3
2
2/ Soit E = x -8 + ( x +2x+4)(x 2 -5x+6) .
a) Factoriser E
b) Simplifier
E
sachant que x 2 -4x+4 ≠ 0
x -4x+4
2
Exercice N°4
1/ Développer les expressions suivantes :
A = (2x -1)3 – (x-2) (x2+2x+4) + (x-1)2.
B = (x+3)3 – (x-1)2 + (x-2)(x+2).
C = ( x 2 - 1 ) ( x 2 + x 2 + 1) ( x 2 + 1) ( x 2 - x 2 + 1) .
2/ Factoriser les expressions suivantes :
A = a 2 +b 2 -16 +2ab
B = 25 (x+4) 2 -(x+3) 2
C= (2 2 x 3 − 1) − (2x − 2)( x +
3 2
2
C= 81-a 2 +2ab-b 2
D = 8x 3 +27 - ( 4x 2 -9)x
3/ Montrer que 18883-18573 est divisible par 31 (sans calculatrice).
27
D= 4x 2 +(2x+3) 2 -9
E = 27x 3 +1-(3x+1)(6x+1)
Mathématiques 1A
Année scolaire
2013-2014
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Les identités remarquables2
Exercice N°1
1 3
1
1
Soit a ∈ + on suppose que a- =
Calculer α = a 2 + et β = a 3 -
a 2
a
a
2
Exercice N°2
Factorizez les expressions suivantes
A= x 2 - 3 + 2( 3 − x) − x 3 + 3 3
B = x 3 − (x − 4)(3x 2 + x + 16) − 64
C= ab(x 2 + y 2 ) + xy(a2 + b 2 )
Exercice N°3
Soit x un réel tel que
x
=
8-3 3 − 8+3 3
1)Vérifier que x ∈ −
2) Calculer x 2 puis en déduire une valeur de x.
Exercice N°4
Soit x et y 2 réels positifs tels que X =
On suppose que
x
+
y
y
et Y=
x
x y
+ =
3
y x
1) Calculer X 2 et Y 2
2) Déduire X et Y
Exercice N°5
1) Développez ( 1 -
3 )2
2) En déduire une Factorisation de :
=
A
x2 - 4 + 2 3
B=
(x - 1 ) 2 + 2 ( 1 -
3 ) (x - 1) +
(4 -
28
2
3
)
x
y
−
y
x
3
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------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Rapports trigonométriques d’un angle
Relations métriques dans un triangle rectangle
1/
B
Cos AB̂C = Cos B̂ = ……………………………………………….
Sin AB̂C = Sin B̂ = ……………………………………………….
Tan AB̂C = Tan B̂ = ……………………………………………….
A
C
Sin B̂
= …………….. = …………….. = …………….. = Tan B̂ .
Cos B̂
Cos2 B̂ + Sin2 B̂ = …………. + …………. = ………. + ………….. = 1 (relation fondamentale).
2/
3/ Sinus, cosinus et tangente des angles remarquables.
Angle x
30°
45°
60°
Sin x
Cos x
Tan x
Remarque : Si deux angles sont complémentaires
alors…………………………………………...........................................................................……
* Relations métriques
ABC est un triangle rectangle en A et [AH] est la hauteur issue de A on a
AB x AC = ……………………………….
AB2 + AC2 = ……………………………..
B
Cos AĈB = Cos AĈH =
AC2 = …………………….
H
A
AC CH
=
BC AC
AĈB = Sin AĈH =
AB AH
=
BC AC
AH x BC = …………………….
Cos AB̂C = Cos AB̂H =
C
Sin
AB BH
=
BC AB
AB2 = …………………….
Tan AĈB = Tan AĈH =
BH
AH
et Tan BÂH =
( BÂH + HÂC = 90° et AĈH + HÂC = 90°
AH
CH
alors AĈB = ………… et par suite
AH BH
=
alors AH2 = ……………………………….
CH AH
29
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2013-2014
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Rapports trigonométriques d’un angle aigu
Exercice N°1
On considère un cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB = 6.
ˆ
M est un point du cercle tel que BAM=
30° .
1/ Calculer les distances AM et BM.
2/ la tangente ∆ au cercle en B coupe (AM) en E . Calculer AE et BE.
3/ La perpendiculaire à (AE) passant par A coupe ∆ en F. Calculer BF.
Exercice N°2
ˆ puis en déduire BAC
ˆ .
ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 4 et BC= 8 Calculer cos BAC
Exercice N°3
ˆ
Un cercle de diamètre [AB] tel que AB= 8 et M est un point du cercle tel que BAM=
30° .
1/ Quel est la nature du triangle AMB ? Justifier.
2/ Calculer MA et MB.
3/ la tangente au cercle en B coupe (AM) en D.
ˆ et MBD.
ˆ puis Calculer MD et BD
a) Comparer les angles MAB
Exercice N°4
ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 4 et AC= 4
ˆ .
1/ Calculer tan ABC
ˆ .
2/ Calculer BC puis cos ABC
Exercice N°5
ˆ = 30° et AC = 5 cm. Calculer AB.
1/ Dans un triangle ABC rectangle en A on donne ABC
2/ Soit M le milieu de [BC] ; La médiatrice de [BC] coupe (AC) en N. Calculer MN et NC.
3/ Montrer que les droites (BN) et (MA) sont parallèles.
4/ Calculer le périmètre du trapèze AMBN.
Exercice N°6
Soit un triangle ABC rectangle en A de hauteur [AH] tel que AB = 5 cm et AC = 4 3 .
1/ Déterminer les angles du triangle ABC.
2/ Le cercle (C) de centre H passant par A coupe (AB) en D et (AC) en E.
Montrer que D, H, E sont alignés puis calculer AH.
3/ a) Calculer les angles du triangle ADE.
b) Déterminer le rayon du cercle (C) puis calculer les longueurs du triangle ADE.
4/ Le cercle (C) coupe la droite (BC) en I et J . Calculer CH ; CJ et CI.
30
Mathématiques 1A
Année scolaire
2013-2014
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
TRIGONOMETRIE
Exercice N°1
Dans la figure ci-contre ABC est un triangle rectangle en A , [AH] est la hauteur issue de A .
B
On donne AB = 5 et AH = 3
1/ Calculer BH.
2/ Calculer sin AB̂H , cos AB̂H et tan AB̂H .
H
3/ Calculer AC, BC et HC.
4/ Soit un point M de [AB] tel que AM=2 et N un point de [AH] tel que AM̂N = AB̂C .
A
C
a) Montrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
b) Montrer que
AM AN MN
=
=
AB AH BH
c) En déduire le calcul de AN et MN.
Exercice N°2
1/ ABC est un triangle rectangle en A tel que AB̂C = 60° et AB = 2 2 .1/ Calculer BC.
2/ Soit D le point de [AC] tel que AD = AB. Calculer ma distance CD.
3/ Soit E le projeté orthogonal de C sur (BD)
a) Evaluer l’angle ED̂C . En déduire la distance EC.B) Evaluer EB̂C en déduire sin 15°.
Exercice N°3
1/ Démontrer les égalités suivantes
* cos α
* cos2x –cos2y = sin2y –sin2x
1 + tan 2 α = 1
* cos2α (2+tg2 α) = 2 – sin2 α
* sin6x + cos6x + 3sin2xcos2x =1
2/a/ Montrer que 1 + tan2x =
1
cos 2 x
b ) x est un angle aigu tel que
3 sin x – cos x = 0
* calculer tan x, cos x et sin x. puis en déduire la valeur de x en degrés
Exercice N°4
1)
a) Montrer que (sin a + cos a)2 = 1 +2 sin a cos a.
b) Montrer que (sin a + cos a )2 + (sin a - cos a )2 =2
c) Montrer que Cos4 a – sin4 a = 2 cos2 a -1.
2) a) Montrer que 1 + tan2x =
1
1
. b) On donne tan x =
calculer cos x puis sin x
2
2
cos x
31
Mathématiques 1A
Année scolaire
2013-2014
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exemple1 de devoir de synthèse N°1
Proposé au lycée pilote – Sfax ( 12/2011)
Exercice N°1
Pour chacune des questions suivantes une seule réponse est correcte
Recopier en toute lettre sur votre copie la bonne réponse.
1) L’inverse de
a)
2-1 est :
1- 2
(3
2) Le réel
b)
5-2 7
)
a) 3 5+2 7
2
(1- 2 )
−1
c) 1+ 2
est égale à :
b)
c) 2 7-3 5
3 5-2 7
3) Pour tout entier naturel n, le réel 3n+3n+3n est égale à :
a) 3n+1
b)
33n
c) 9n
Exercice N°2
On donne A = (x – 1) 3 + (3 x2 – 4 x +1
B = (2x-1)2 – (x-2)2
C= x3-27 – (x-3)(3x+10).
1) Développer (x-1)3 En déduire que A = x3 – x.
2) a) Factoriser B et C.
b) En déduire que A = B + C.
Exercice N°3
Q
P
A
M
B
Dans la figure ci-contre [AB] est un segment de longueur 8 cm
AMP et MBQ sont deux triangles rectangles et isocèles Respectivement en P et Q ; On pose AM = x
32
Mathématiques 1A
Année scolaire
2013-2014
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1°) Montrer que PMQ est un triangle rectangle en M
2°) a) Exprimer MP et MQ à l’aide de x.
- x2 + 8 x
4
b) Montrer que l’aire du triangle MPQ est A =
c) Vérifier que A = -
1
2
( x - 4 ) +4
4
d) Donner un encadrement de A sachant que 1,5 < x < 3,5
Exercice N°4
On considère un segment [AB] tel que AB = 8 Soit le cercle ζ de diamètre [AB], O le centre de ζ et I
milieu de [OA].
La perpendiculaire à (AB) en I coupe ζ en C et E . La tangente à ζ en A coupe (BC) en F.
1°) a) Justifier que le triangle ABC est rectangle.
ˆ .
b) Montrer que le triangle OAC est équilatéral. En déduire la valeur de l’angle BAC
c) Calculer BC , CI et IB.
2) Comparer les rapports
BI
BC
, en déduire BF.
et
BA
BF
3) La perpendiculaire à (BE) passant par I coupe (BE) en H.
a) Comparer les rapports
BH
BI
.
et
BE
BA
b) Montrer que les droites (EF) et (CH) sont parallèles.
ˆ et CEB
ˆ sont égaux.
4) a) Montrer que les angles BAC
b) Déduire BE,EH, et HI.
33
Mathématiques 1A
Année scolaire
2013-2014
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exemple2 de devoir de synthèse N°1
Proposé au lycée Hédi chaker– Sfax ( 12/2012)
Exercice N°1(4points)
(- x y ) ( x y )
3
Soit x et y deux réels non nuls. A =
-2
2
y
4
et B = x - x ( 1 + y 2 ) .
1) Simplifier A et B.
2) Montrer que y A et x B sont opposés.
Exercice N°2(5points)
Soit
a=
2-
2
3-
5
+
2+3 2
3+ 5
et b =
(
2- 5
)
2
.
1) a) Montrer que a = 3 - 10 .
b) Simplifier b.
2) Déterminer le signe de a
3) Comparer a2 et b2
Exercice N°3(4points)
Dans la figure ci-contre, ABC est un triangle non isocéle
ˆ
Inscrit dans un cercle ζ de centre O et BAC=
45°
A
1) Reprendre la figure.
45°
2) Montrer que le triangle OBC est rectangle isocèle.
3) Soit H le projeté orthogonal de B sur (AC).
O
Montrer que O,B,C et H appartiennent à un même
cercle ζ ’ puis construire ζ ’
B
C
4) (BH) recoupe ζ en D
ˆ .
ˆ puis ACD
a) Calculer BDC
b) Déduire que (CD) // (AB).
34
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2013-2014
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercice N°4(7points)
Soit ABCD un parallélogramme tel que AD = 3cm et AB = 2 AD.
3
1) a) Construire le point E du segment [AB] tel que AE= AB
8
b) Calculer BE.
2) La parallèle à (AC) passant par E coupe (BC) en G et (CD) en F
a) Comparer
BG BE
et
BC BA
b) Montrer que CG =
c) Montrer que
9
.
8
CF AE
=
.
CD AB
3) Soit H le point tel que C soit le milieu de [FH]
a) Calculer
CH CG
et
CD CB
b) Déduire que (GH) et (BD) sont parallèles.
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2013-2014
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exemple3 de devoir de synthèse N°1
Proposé au lycée H.Maazoun– Sfax ( 12/2012)
Exercice N°1(4pts)
Soient X et Y tels que : X = 3 7 + 28 − 63
et
Y=
3 + 3 12 − 48
1) Montrer que X = 2 7 et Y = 3 3 puis déduire que X>Y.
2) Calculer X-2 x Y2 et (X+Y)2
3) Montrer que (X+Y) est l’inverse de (X-Y)
4) En déduire le calcul de (X+Y)7 (X-Y)5.
Exercice N°2(6pts)
1) On donne A = x3-27 – (x – 3) (x2+2x+10)
a) Factoriser x3-27.
b) Déduire que A = ( x-3) ( x-1)
2) On donne x ∈ -3 ; -1 et B = 1 - x +x+ x 4 +4 x 2
a) Donner un encadrement de (1-x) et de 2x.
b) Montrer que B = (x-1)2
c) Factoriser A-B puis comparer A et B.
Exercice N°3(4pts)
ˆ = 60° et AB = 4
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que ABC
1) Calculer BC et AC
2) Placer le point D sur [AC] tel que AD = AB puis calculer CD.
3) Soit E le projeté orthogonal de C sur (BD)
ˆ puis déduire que EC = 2 6-2 2
a) Donner la valeur de l’angle EDC
ˆ puis déduire la valeur exacte de cos 75°
b) Donner la valeur de l’angle ECB
Exercice N°4(4pts)
Soit ABC un triangle rectangle en B tel que AB = 6 et AC = 9 et soit le point I ∈ AB tel
que AI = 2 et le point J ∈ AC tel que CJ = 6.
1)
a) Montrer que (IJ) // (BC)
b) Calculer IJ et BJ.
2) Les droites (IC) et (BJ) se coupent en O
a) Montrer que OB = 3 OJ.
b) Calculer OB .
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------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exemple4 de devoir de synthèse N°1
Exercice N°1(11points)
1/ Calculer
A=
(
) (
2
2 +1 +
)
2 −1
2
B=
3 3−2 2
2 −1
−
3 3+2 2
2 +1
.
2/ Soit a et b deux réels proportionnels respectivement à 2 et 3
Déterminer a et b sachant que 4a – 5b = 14.
3/ Soit a et b deux réels strictement positifs comparer
3a - b
4a
.
et
a
a+b
3 +2 2 et y = 3 -2 2 .
4/ On donne : x =
a) Vérifier que x > y.
b) Montrer que x et y sont des inverses.
c) Calculer ( x+y)2 et (x-y)2.
d) Déduire la valeur de A =
5/ Soit B = (
x+y
.
x-y
2 + 1 ) x 2 - 2x - 2 .
a) Calculer B pour x =
2 −1
2 puis pour x =
b) Factoriser B.
6/ On donne : p = 3 -
7 et t = 8 − 3 7
a) Montrer que p2 = 2t.
b) Soit C =
-4 7 2 1
+ 2 + ; Simplifier C.
p
t
p
Exercice N°2(9points)
Soit un cercle ζ de centre O, ABC est un triangle isocèle de sommet principal A inscrit dans ζ ; La droite (OA)
coupe [BC] en D et recoupe le cercle ζ en M.
ˆ
1) Montrer que [MA) est la bissectrice de BMC
2) Soit E le projeté orthogonale de D sur (AB) et F le projeté orthogonal de D sur (AC).
Montrer que les points A, E , D et F appartiennent à un même cercle ζ1 de diamètre [AD]. Construire ζ1.
3) a) Montrer que (DE) // (BM) et comparer
AE
AD
.
et
AB
AM
b) Montrer que (EF) // (BC).
ˆ = EDB
ˆ
4) Montrer que : DAF
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------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exemple5 de devoir de synthèse N°1
Exercice N°1
1/ Simplifier les expressions suivantes : A = 3 18 - 4 8 + 50 . B =
9a 5 b 2 +4 ab 6
(a ∈ *− ) .
b a
2/ On considère les réels x et y tels que x = 17+12 2 et y = 17-12 2 .
a) Montrer que x et y sont inverses.
b) En déduire une écriture plus simple de chacun des réels suivants :
C=
1 1
x 3 +y3
.
+ - x - y et D =
x y
xy 2 +x 2 y
c) Calculer (3+2 2) 2 puis résoudre dans l'équation : x 2 -17 = 12 2
Exercice N°2
1/ Ecrire D sous la forme a b où a est un entier relatif et b un entier naturel. D = 200 − 2 50 + 3 32
2/ Calculer E = ( 3-2 5) 2 .
3/ Factoriser F = 9x2 – 49.
4/ Soit G = (x+1)2 -2 (x+1) (3x-4).
a) Développer et réduire G.
b) Factoriser G.
Exercice N°3
Soit un parallélogramme OABC et A’ un point de [OA]. La parallèle à (BA) passant par A’ coupe (OB) en B’ et la
parallèle à (BC) passant par B’ coupe (OC) en C’.
1/ Comparer les rapports
2/ En déduire que
OA'
OB'
OB'
OC'
.
et
puis
et
OA
OB
OB
OC
OA'
OC'
.
=
OA
OC
3/ Montrer que les droites (AC) et (A’C’) sont parallèles.
Exercice N°4
Soit x un angle aigu tel que cos x – sin x =
2
2
1/ Calculer (cosx – sin x)2 en déduire cos x. sin x.
2/ Montrer que 2 – (cos x – sin x) 2 = (cos x +sin x )2 en déduire la valeur de cos x+sin x
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2013-2014
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exemple 6 de devoir de synthèse N°1
Exercice N°1
1/ Factoriser les expressions suivantes :
A = x 2 - 9.
B = x 2 + 4x + 4
C = x 2 - 6x + 9 + ( x - 3 ) ( x + 1 ) + x 3 - 27
Simplifier alors l’expression
C-A
pour x = -2 .
B
2/ Simplifier les expressions suivantes :
D = (x – 1)3 – (x + 2)3.
E = 8 x3 + 12 x2 (1 – 2x) + 6x (1 – 2x)2 + (1 – 2x )3
Exercice N°2 (4points)
Soient les réels a =
6+ 2
et b =
4
1/ Calculer a2 + b2 , ab et
6− 2
.
4
a
.
b
2/ Montrer que a4 – b4 = a2 – b2.
3/ Calculer a3 + b3
Exercice N°3 (4points)
Soient les réels x ∈ ]-4 ; 2[ et y =
x+5
.
x 2 + 6x
1/ Encadrer (x+3)2 et déduire l’encadrement de x2+6x.
3
1
.
2/ Montrer que y ∈ ,9
8
Exercice N°4 (7points)
Soit ABC un triangle, I = B*C et M un point de [AI]. Tracer la parallèle à (AB) passant par M qui coupe [AC] en E et
[BC] en F et la parallèle à (AC) passant par M qui coupe [AB] en G et [BC] en H.
1/ Faire une figure.
2/ Montrer que
IF
IH
, en déduire que I = F*H et que BH = FC.
=
IB
IC
3/ Montrer que
BG
CE
, en déduire que (GE) est parallèle à (BC).
=
BA
CA
39
