F040 méthodes de calcul de probabilités

méthodes de calcul de probabilités
Exemple
Une urne contient 9 boules discernables , dont 4 rouges et 5 blanches . On tire 3 boules parmi les 9 .
Calculer la probabilité d'avoir dans un tirage exactement deux boules blanches .
a) tirage simultané des 3 boules .(convient quel que soit le nombre de couleurs)
Nombre de façons de tirer 3 boules parmi 9 :
9
3
Nombre de façons de tirer 2 blanches parmi 5 :
5
2
Nombre de façons de tirer 1 rouge parmi 4 :
4
1
La probabilité d'avoir 2 boules blanches est donc
4
1 ×
5
2
9
3
b) tirage successif des 3 boules avec remise .(2 couleurs)
On appelle S : "obtenir une boule blanche" . p(S) = 5
9 et p( S ) = 4 9
Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage de 3 boules associe le nombre de boules blanches tirées .
X suit une loi binomiale de paramètre 3 et 5
9 .
La probabilité d'avoir 2 boules blanches est p(X = 2) =
3
2 ×
5
9
2
× 4
9
b bis) tirage successif des 3 boules avec remise (2 couleurs) sans remise
Nombre de façons d'obtenir un tirage du type (B,B,R) : 5
2
× 4
1
…………………….. (5 × 4) × 4
Nombre de façons de placer les deux boules blanches parmi les 3 boules :
3
2
Nombre de façons de tirer 3 boules parmi 9 : 9
3
……………………….. 9 × 8 × 7
La probabilité d'avoir deux boules blanches est donc
3
2 × 5
2
× 4
1
9
3
…………………
3
2 × 5 × 4 × 4
9 × 8 × 7
b ter) comment faire avec p
lus de deux couleurs ? avec remise sans remise
Une urne contient 15 boules discernables , dont 4 rouges , 5 blanches et 6 noires .
On tire successivement avec remise 6 boules parmi les 15 .
Calculer la probabilité d'avoir dans un tirage 2 boules blanches , 3 boules rouges et 4 boules noires .
Nombre de tirages du type (B,B,R,R,R,N,N,N,N) : 5
2
× 4
3
× 6
4
…………… (5×4)(4×3×2)(6×5×4×3)
Nombre de façons de placer les couleurs : 9!
2! 3! 4!
Nombre de façons de tirer 9 boules parmi 15 : 15
9
……………….. (15 × 14 × ….. × 7)
La probabilité est donc
9!
2! 3! 4! × 5
2
× 4
3
× 6
4
15
9
…..
9!
2! 3! 4! × (5 × 4)(4
× 3 × 2)(6 × 5 × 4 × 3)
15 × 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7