TD : Révisions d`algèbre linéaire

Lycée Jules Ferry, Cannes
Année 2016-2017
Classe préparatoire TSI 2e année
Mathématiques - D. Broizat
TD : Révisions d’algèbre linéaire
I
Questions de cours
Exercice 1 (Questions de cours sur les sous-espaces vectoriels)
E désigne un K-espace vectoriel.
1. Montrer que si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E, alors F ∩ G aussi.
T
2. Etant donnée une famille (Fi )i∈I de sous-espaces vectoriels de E, montrer que i∈I Fi est un
sev de E.
3. Dans E = R2 : donner un exemple qui montre que la réunion de deux sev de E n’est pas
forcément un sev de E.
Exercice 2 (Questions de cours sur les applications linéaires)
E et F désignent deux K-espaces vectoriels.
1. Montrer que L(E; F ) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel F E (les fonctions E → F ).
2. Montrer que la composée de deux applications linéaires est une application linéaire.
3. Soit f ∈ L(E; F ). Montrer que si f est bijective, alors son application réciproque f −1 : F → E
est linéaire.
4. Soit f ∈ L(E; F ).
(a) Montrer que Ker(f ) est un sous-espace vectoriel de E.
(b) Montrer que f est injective ssi Ker(f ) = {0E }.
(c) Montrer que Im(f ) est un sous-espace vectoriel de F .
(d) Montrer que f est surjective ssi Im(f ) = F .
II
Exercices calculatoires


Exercice 3 (Base et équations d’un sev)

5
Dans l’espace vectoriel E = R , on considère u1 = 


1
2
3
4
1






 , u2 = 




−1
1
−1
2
1






 , u3 = 




1
5
5
10
3



.


On note F = V ect(u1 , u2 , u3 ).
1. La famille (ui )1≤i≤3 est-elle libre ? Quel est son rang ?
2. Déterminer une base de F , notée B. Quelle est la dimension de F ?
3. Déterminer un système d’équations cartésiennes du sous-espace F . A-t-on besoin de la base B
pour cela ?
4. A partir du système d’équations cartésiennes obtenu :
(a) obtenir un système d’équations paramétriques de F ,
(b) puis retrouver une base de F . Quel avantage a cette base par rapport à B ?
Exercice 4 (Etude d’un endomorphisme de R3 )
Soit f l’application de E = R3 dans lui-même définie par :
f (x, y, z) = (x − y + 2z, y − z, 2x − y + 3z) .
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1. Etude de f
(a) Montrer en détail que f est un endomorphisme de E.
(b) Donner la matrice de f dans la base canonique de E.
(c) Déterminer une base de Ker(f ).
(d) Déterminer une base de Im(f ).
2. Etude d’une projection
(a) Montrer que H = R2 × {0R } est un supplémentaire de Ker(f ) dans E.
(b) Soit p : E → E la projection sur H parallèlement à Ker(f ). Pour tout vecteur X =
(x, y, z) ∈ E, déterminer l’expression de p(X) en fonction de X.
(c) Donner la matrice de p dans la base canonique de E.
Exercice 5 (Exemple avec des polynômes)
Pour tout polynôme P ∈ R[X], on pose
f (P ) = (X 2 + 1)P 00 − XP 0 − 3P.
1. Montrer en détail que f est un endomorphisme de R[X].
2. Montrer que F = R3 [X] est stable par f (i.e. f (F ) ⊂ F ).
3. On note g la restriction de f à F ; c’est donc un endomorphisme de F . Déterminer la matrice
de g dans la base canonique de F .
4. Déterminer une base de Ker(g).
5. Déterminer une base de Im(g).
Exercice 6 (Familles libres, liées)
On se place dans l’espace vectoriel E des fonctions définies sur R et à valeurs dans R et on considère
les fonctions suivantes :



f1 : x → 1
e1 : x → 1




 g1 : x → 1


f2 : x → cos(x)
e2 : x → x
g2 : x → x3 + 1 .

 f3 : x → cos(2x)
 e3 : x → x2


g3 : x → |x3 |


f4 : x → cos2 (x)
e4 : x → x3
1. La famille (e1 , e2 , e3 , e4 ) est-elle libre ou liée ?
2. La famille (f1 , f2 , f3 , f4 ) est-elle libre ou liée ?
3. La famille (g1 , g2 , g3 ) est-elle libre ou liée ?
Exercice 7 (Calculs de bases et de dimension)
Montrer que les ensembles suivants sont des espaces vectoriels puis en déterminer une base et la
dimension :
1. A = {(x, y, z, t) ∈ R4 /2x − y + 2z − t = 0 et y + z − t = 0}.
2. B = {P ∈ Rn [X]/P (1) = 0} (n ∈ N∗ ).
3. C = V ect(f1 , f2 , f3 ) avec f1 (x) = x + 1, f2 (x) = x − 1, f3 (x) = 2 − x.
Exercice 8 (Changements de bases divers)
Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3, et B = (e1 , e2 , e3 ) une base de E.
On considère les deux autres bases: C = (e2 , e1 , e3 ) et D = (e1 + e2 , e2 , e3 ), et l’endomorphisme
a b c
u ∈ L(E) tel que M atB (u) = A1 =  d e f .
g h i
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1. Exprimer les matrices suivantes
A2 = M atB,C (u),
A5 = M atC,D (u),
A3 = M atC (u),
A6 = M atB,D (u),
A4 = M atC,B (u),
A7 = M atD,C (u),
A8 = M atD (u).
en fonction de A1 et des matrices de passage P = M atB (C) et Q = M atC (D).
2. Vérifier les formules obtenues pour A2 et A8 .
Exercice 9 (Calcul du rang d’une famille de vecteurs)
−
−
−
Soit a un réel et soient →
x = (1, 1, a), →
y = (1, a, 1) et →
z = (a, 1, 1) trois vecteurs de R3 .
→
−
→
−
→
−
Déterminer le rang de la famille ( x , y , z ) (on sera amené à distinguer plusieurs valeurs de a).
Exercice 10 (Calcul de rang de matrices)
Déterminer le rang des matrices suivantes :

1
A= 2
3
2
3
4
3
4
5

4
5 ,
6

a
 b
B=
 0
0
0
a
b
0
0
0
a
b

b
0 

0 
a
(a, b ∈ R∗ ).
Exercice 11 (Exemple rectangulaire)
Soit f l’application R3 → R2 définie par
f (x, y, z) = (3x − y + z, −2x + y + 3z).
1. Sans démontrer la linéarité de f , donner la matrice A de f dans les bases canoniques de R3 et
R2 (que l’on notera respectivement B et C).
2. Soit B 0 = (b01 , b02 , b03 ) la famille de vecteurs de R3 définie par :
b01 = (1, −2, 3),
b02 = (−1, 0, 1),
b03 = (1, 1, −1)
et C 0 = (c01 , c02 ) la famille de vecteurs de R2 définie par :
c01 = (2, 1),
c02 = (3, 1).
Montrer que B 0 est une base de R3 et C 0 une base de R2 .
3. Déterminer la matrice A0 de f dans les bases B 0 et C 0 .

1
Exercice 12 (Puissance de matrice)
En utilisant la formule du binôme, calculer les puissances de la matrice A =  0
0
−3
1
0

1
2 .
1


1 2 1
Exercice 13 (Puissance de matrice bis)
On souhaite calculer les puissances de la matrice A =  0 1 1  .
0 0 −1
1. Peut-on utiliser la formule du binôme ? Pourquoi ?
2. Calculer les premières puissances, conjecturer une formule pour An puis la démontrer par récurrence.
Exercice 14 (Puissance dematrice avec polynôme annulateur)
1 −1
On considère la matrice A =
.
2 4
1. Trouver un polynôme annulateur de A, c’est-à-dire un polynôme P = a0 + a1 X + a2 X 2 ∈ R2 [X]
tel que P (A) = 0M2 (R) , c’est-à-dire a0 I2 + a1 A + a2 A2 = 0M2 (R) .
2. Montrer que A est inversible et exprimer A−1 en fonction de I2 et A.
3. Pour tout entier n ≥ 2, déterminer le reste de la division euclidienne de X n par P . En déduire
l’expression de An pour tout n ∈ N.
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III
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Exercices plus abstraits
Exercice 15 (Un classique)
Soit A une matrice fixée de Mn (R), où n est un entier naturel non nul.
On considère l’ensemble E = {M ∈ Mn (R)/AM = M A}.
Montrer que E est un espace vectoriel.
Exercice 16 (Exemples et contre-exemples de sev)
Parmi les ensembles suivants, lesquels sont, pour les lois usuelles, des R-espaces vectoriels ?
E1 = {(x, y) ∈ R2 , xy ≥ 0},
E2 = {(x, y) ∈ R2 , x ≤ y},
E4 = {f ∈ RR , f (R) ⊂ [0, 1]},
E3 = {(un ) ∈ RN , un = o(1/n)}
E5 = {f ∈ RR , f (2) = 0},
E6 = {f ∈ RR , f (0) = 1}.
On rappelle que RN est l’ensemble des suites réelles (ou des fonctions N → R, cela revient au même),
et que RR est l’ensemble des fonctions R → R.
Exercice 17 (Réunion de deux sous-espaces vectoriels)
Soit E un K-espace vectoriel et soit F, G deux sev de E.
Montrer que F ∪ G est un sev de E si et seulement si F ⊂ G ou G ⊂ F .
Exercice 18 (Calcul d’inverse en dimension n)
Vérifier que la matrice suivante est inversible et calculer son inverse :


1 1
0 ... 0
 0 1
1 ... 0 


 .. . .
..  ∈ M (Q).
..
.
.
A= .
n
. . 
.
.


 0
0
1 1 
0 ... ...
0 1
Exercice 19 (L’opérateur de différence dans les polynômes)
Pour n ∈ N, on considère ϕn l’application définie sur Rn [X] par
∀P ∈ Rn [X],
ϕn (P ) = P (X + 1) − P (X).
1. Vérifier que ϕn est un endomorphisme de Rn [X].
2. Calculer Ker(ϕn ).
3. Calculer Im(ϕn ).
On considère maintenant l’endomorphisme ϕ : R[X] → R[X] défini par
∀P ∈ R[X],
ϕ(P ) = P (X + 1) − P (X).
4. Calculer le(s) antécédent(s) par ϕ du polynôme X.
On cherchera d’abord le degré de ces antécédents.
5. Calculer Ker(ϕ) et Im(ϕ).
Exercice 20 (Endomorphisme en dimension infinie)
Soit E = RN le R-espace vectoriel des suites réelles. Pour tout u = (un )n∈N dans E, on pose f (u) =
(vn )n∈N et g(u) = (wn )n∈N définies par les relations
∀n ∈ N,
vn = un+1 ,
wn+1 = un ,
w0 = 0.
1. Montrer que f et g sont deux endomorphismes de E.
2. Montrer que f est surjective et non injective.
3. Montrer que g est injective et non surjective.
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