TD : Révisions d`algèbre linéaire

Lycée Jules Ferry, Cannes Classe préparatoire TSI 2e année
Année 2016-2017 Mathématiques - D. Broizat
TD : Révisions d’algèbre linéaire
I Questions de cours
Exercice 1 (Questions de cours sur les sous-espaces vectoriels)
Edésigne un K-espace vectoriel.
1. Montrer que si Fet Gsont deux sous-espaces vectoriels de E, alors F∩Gaussi.
2. Etant donnée une famille (Fi)i∈Ide sous-espaces vectoriels de E, montrer que Ti∈IFiest un
sev de E.
3. Dans E=R2: donner un exemple qui montre que la réunion de deux sev de En’est pas
forcément un sev de E.
Exercice 2 (Questions de cours sur les applications linéaires)
Eet Fdésignent deux K-espaces vectoriels.
1. Montrer que L(E;F)est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel FE(les fonctions E→F).
2. Montrer que la composée de deux applications linéaires est une application linéaire.
3. Soit f∈ L(E;F). Montrer que si fest bijective, alors son application réciproque f−1:F→E
est linéaire.
4. Soit f∈ L(E;F).
(a) Montrer que Ker(f)est un sous-espace vectoriel de E.
(b) Montrer que fest injective ssi Ker(f) = {0E}.
(c) Montrer que Im(f)est un sous-espace vectoriel de F.
(d) Montrer que fest surjective ssi Im(f) = F.
II Exercices calculatoires
Exercice 3 (Base et équations d’un sev)
Dans l’espace vectoriel E=R5, on considère u1=
1
2
3
4
1
, u2=
−1
1
−1
2
1
, u3=
1
5
5
10
3
.
On note F=V ect(u1, u2, u3).
1. La famille (ui)1≤i≤3est-elle libre ? Quel est son rang ?
2. Déterminer une base de F, notée B. Quelle est la dimension de F?
3. Déterminer un système d’équations cartésiennes du sous-espace F. A-t-on besoin de la base B
pour cela ?
4. A partir du système d’équations cartésiennes obtenu :
(a) obtenir un système d’équations paramétriques de F,
(b) puis retrouver une base de F. Quel avantage a cette base par rapport à B?
Exercice 4 (Etude d’un endomorphisme de R3)
Soit fl’application de E=R3dans lui-même définie par :
f(x, y, z)=(x−y+ 2z, y −z, 2x−y+ 3z).

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1. Etude de f
(a) Montrer en détail que fest un endomorphisme de E.
(b) Donner la matrice de fdans la base canonique de E.
(c) Déterminer une base de Ker(f).
(d) Déterminer une base de Im(f).
2. Etude d’une projection
(a) Montrer que H=R2× {0R}est un supplémentaire de Ker(f)dans E.
(b) Soit p:E→Ela projection sur Hparallèlement à Ker(f). Pour tout vecteur X=
(x, y, z)∈E, déterminer l’expression de p(X)en fonction de X.
(c) Donner la matrice de pdans la base canonique de E.
Exercice 5 (Exemple avec des polynômes)
Pour tout polynôme P∈R[X], on pose
f(P) = (X2+ 1)P00 −XP 0−3P.
1. Montrer en détail que fest un endomorphisme de R[X].
2. Montrer que F=R3[X]est stable par f(i.e. f(F)⊂F).
3. On note gla restriction de fàF; c’est donc un endomorphisme de F. Déterminer la matrice
de gdans la base canonique de F.
4. Déterminer une base de Ker(g).
5. Déterminer une base de Im(g).
Exercice 6 (Familles libres, liées)
On se place dans l’espace vectoriel Edes fonctions définies sur Ret à valeurs dans Ret on considère
les fonctions suivantes :
e1:x→1
e2:x→x
e3:x→x2
e4:x→x3
f1:x→1
f2:x→cos(x)
f3:x→cos(2x)
f4:x→cos2(x)
g1:x→1
g2:x→x3+ 1
g3:x→ |x3|
.
1. La famille (e1, e2, e3, e4)est-elle libre ou liée ?
2. La famille (f1, f2, f3, f4)est-elle libre ou liée ?
3. La famille (g1, g2, g3)est-elle libre ou liée ?
Exercice 7 (Calculs de bases et de dimension)
Montrer que les ensembles suivants sont des espaces vectoriels puis en déterminer une base et la
dimension :
1. A={(x, y, z, t)∈R4/2x−y+ 2z−t= 0 et y+z−t= 0}.
2. B={P∈Rn[X]/P (1) = 0}(n∈N∗).
3. C=V ect(f1, f2, f3)avec f1(x) = x+ 1,f2(x) = x−1,f3(x)=2−x.
Exercice 8 (Changements de bases divers)
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension 3, et B= (e1, e2, e3)une base de E.
On considère les deux autres bases : C= (e2, e1, e3)et D= (e1+e2, e2, e3),et l’endomorphisme
u∈ L(E)tel que MatB(u) = A1=
a b c
d e f
g h i
.
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1. Exprimer les matrices suivantes
A2=MatB,C(u), A3=MatC(u), A4=MatC,B(u),
A5=MatC,D(u), A6=MatB,D(u), A7=MatD,C(u), A8=MatD(u).
en fonction de A1et des matrices de passage P=MatB(C)et Q=MatC(D).
2. Vérifier les formules obtenues pour A2et A8.
Exercice 9 (Calcul du rang d’une famille de vecteurs)
Soit aun réel et soient −→ x= (1,1, a),−→ y= (1, a, 1) et −→ z= (a, 1,1) trois vecteurs de R3.
Déterminer le rang de la famille (−→ x , −→ y , −→ z)(on sera amené à distinguer plusieurs valeurs de a).
Exercice 10 (Calcul de rang de matrices)
Déterminer le rang des matrices suivantes :
A=
1234
2345
3456
, B =
a0 0 b
b a 0 0
0b a 0
0 0 b a
(a, b ∈R∗).
Exercice 11 (Exemple rectangulaire)
Soit fl’application R3→R2définie par
f(x, y, z) = (3x−y+z, −2x+y+ 3z).
1. Sans démontrer la linéarité de f, donner la matrice Ade fdans les bases canoniques de R3et
R2(que l’on notera respectivement Bet C).
2. Soit B0= (b0
1, b0 2, b0 3)la famille de vecteurs de R3définie par :
b0
1= (1,−2,3), b0 2= (−1,0,1), b0 3= (1,1,−1)
et C0= (c0
1, c0 2)la famille de vecteurs de R2définie par :
c0
1= (2,1), c0 2= (3,1).
Montrer que B0est une base de R3et C0une base de R2.
3. Déterminer la matrice A0de fdans les bases B0et C0.
Exercice 12 (Puissance de matrice)
En utilisant la formule du binôme, calculer les puissances de la matrice A=
1−3 1
012
001
.
Exercice 13 (Puissance de matrice bis)
On souhaite calculer les puissances de la matrice A=
1 2 1
0 1 1
0 0 −1
.
1. Peut-on utiliser la formule du binôme ? Pourquoi ?
2. Calculer les premières puissances, conjecturer une formule pour Anpuis la démontrer par récur-
rence.
Exercice 14 (Puissance de matrice avec polynôme annulateur)
On considère la matrice A=1−1
2 4 .
1. Trouver un polynôme annulateur de A, c’est-à-dire un polynôme P=a0+a1X+a2X2∈R2[X]
tel que P(A) = 0M2(R), c’est-à-dire a0I2+a1A+a2A2= 0M2(R).
2. Montrer que Aest inversible et exprimer A−1en fonction de I2et A.
3. Pour tout entier n≥2, déterminer le reste de la division euclidienne de Xnpar P. En déduire
l’expression de Anpour tout n∈N.
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III Exercices plus abstraits
Exercice 15 (Un classique)
Soit Aune matrice fixée de Mn(R), où nest un entier naturel non nul.
On considère l’ensemble E={M∈ Mn(R)/AM =MA}.
Montrer que Eest un espace vectoriel.
Exercice 16 (Exemples et contre-exemples de sev)
Parmi les ensembles suivants, lesquels sont, pour les lois usuelles, des R-espaces vectoriels ?
E1={(x, y)∈R2, xy ≥0}, E2={(x, y)∈R2, x ≤y}, E3={(un)∈RN, un=o(1/n)}
E4={f∈RR, f(R)⊂[0,1]}, E5={f∈RR, f(2) = 0}, E6={f∈RR, f(0) = 1}.
On rappelle que RNest l’ensemble des suites réelles (ou des fonctions N→R, cela revient au même),
et que RRest l’ensemble des fonctions R→R.
Exercice 17 (Réunion de deux sous-espaces vectoriels)
Soit Eun K-espace vectoriel et soit F, G deux sev de E.
Montrer que F∪Gest un sev de Esi et seulement si F⊂Gou G⊂F.
Exercice 18 (Calcul d’inverse en dimension n)
Vérifier que la matrice suivante est inversible et calculer son inverse :
A=
1 1 0 . . . 0
0 1 1 . . . 0
.
.
...........
.
.
0 0 1 1
0. . . . . . 0 1
∈ Mn(Q).
Exercice 19 (L’opérateur de différence dans les polynômes)
Pour n∈N, on considère ϕnl’application définie sur Rn[X]par
∀P∈Rn[X], ϕn(P) = P(X+ 1) −P(X).
1. Vérifier que ϕnest un endomorphisme de Rn[X].
2. Calculer Ker(ϕn).
3. Calculer Im(ϕn).
On considère maintenant l’endomorphisme ϕ:R[X]→R[X]défini par
∀P∈R[X], ϕ(P) = P(X+ 1) −P(X).
4. Calculer le(s) antécédent(s) par ϕdu polynôme X.
On cherchera d’abord le degré de ces antécédents.
5. Calculer Ker(ϕ)et Im(ϕ).
Exercice 20 (Endomorphisme en dimension infinie)
Soit E=RNle R-espace vectoriel des suites réelles. Pour tout u= (un)n∈Ndans E, on pose f(u) =
(vn)n∈Net g(u) = (wn)n∈Ndéfinies par les relations
∀n∈N, vn=un+1, wn+1 =un, w0= 0.
1. Montrer que fet gsont deux endomorphismes de E.
2. Montrer que fest surjective et non injective.
3. Montrer que gest injective et non surjective.
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