GEOMETRIE ELEMENTAIRE DANS L`ESPACE

GEOMETRIE ELEMENTAIRE DANS L’ESPACE 
I. REPERAGE DANS L’ESPACE
1. Bases et repère cartésiens
♦ Trois vecteurs non colinéaires de l’espace forment une base de l’espace (vectoriel).
Cette base est orthogonale si les trois vecteurs de la base sont orthogonaux deux à deux.
Cette base est orthonormée (ou orthonormale)si les trois vecteurs de la base sont orthogonaux deux à deux et si
chacun des deux vecteurs est unitaire (c’est à dire a une norme égale à 1)
Un repère cartésien de l’espace est constitué d’un point appelé origine du repère et d’une base.
GG GG
♦
Soit ( une base de l’espace et (O,,,)ijk
G
,,)ijk
G
un repère de l’espace :
--A tout vecteur , on peut faire correspondre un unique triplet (x,y,z) tel que u
G
x
ykjz=++G ui
G
G
G
(x,y,z) sont les coordonnées ou composantes de u
G
dans la base ( ij,,)k
G
G
G
-- A tout point M, on peut faire correspondre un unique triplet (x,y,z) tel que
x
ykOM i j z=++
J
JJJG G
G
G
(x,y,z) sont les coordonnées de M dans le repère (O, ij,,)k
G
G
G
, z est la cote de M.
Exemple : si A, B, C,D sont quatre points distincts non coplanaires (pas dans le même plan)
JJJJ JJJ JJJ JJJ
Si M est un point tel que , cela signifie que 23AM AB AC AD=+−
G G G G
a) dans la base
()
le vecteur a pour coordonnées (ou composantes) (2,3,-1) ,,AB AC AD
JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG
AM
JJJJG
b) dans le repère
(
le point M a pour coordonnées (2,3,-1)
)
♦
,,,AABACAD
JJJG
Représentations et coordonnées cartésiennes d’un point
Plaçons nous dans le cas où le repère (O, ij,,)k
G
GG
est orthogonal
x
z
O
y
x
z
i
Gj
G
k
G
y
1

Pour la représentation ci-dessous : les segments de même couleur sur le dessin de gauche sont de même longueur.
Pour représenter M(a,b,c) du dessin ci-dessous à gauche, on peut tracer successivement les segments rouge du dessin
de droite.
i
G
j
G
k
G
M(a,b,c)
c
b
a
z
y
x
z
x
c
b
y
i
Gj
G
k
G
M(a,b,c)
a
En liaison avec un point M(a,b,c), on peut définir 6
autres points de manière à visualiser un parallélépipède
(toutes les faces sont des rectangles)
Exemples de représentations de points dans l’espace :
A(2,-1,-4) B(-3,3,1)
z
j
G
k
G
y
i
G
-
3
B
A
2
M
(
a
,
b
,
c
)
O
B(a,b,0)
N
(0,b,c)
x
y
z
Q(a,0,c)
P
(
0
,
0
,
c
)
C(0,b,0)
j
G
i
G
k
G
A(a,0,0)
x
2

2. Orientation dans l’espace
♦ n simDéfinitio plifiée d’une base directe :
GG
Une base ( de l’espace est dite directe lorsque, en utilisant sa main droite, en plaçant le pouce suivant la
direction de , l’index suivant la direction de
,,)ijk
G
i
G
j
G
, on peut avoir k
G
suivant la direction donnée par le majeur.
G
GG
G
Un repère (O, ij est direct si la base (,,)k,,)ijk
GG
de l’espace est directe .
Les représentations ci-contre
rent des cas où la base
(
,,)k
G
ij
GG
est orthonormée directe
♦
is u
)
Orientation d’un plan dans l’espace
Pour orienter un plan P dans l’espace, il faut choisir une droite D
orthogonale à ce plan, pu n vecteur unitaire de D . Ensuite,
une base orthonormée du plan sera dite directe si la base
est directe.
w
G
(
,uv
GG
(
,,wuv G
GG
k
G
i
G
j
G
i
G
k
G
j
G
j
Gk
G
i
G
mont
u
G
P
D
w
G
v
G
+
)
3. Coordonnées cylindriques.
Soit R un repère (O, direct de l’espace, le plan xOy
étant orienté par l’axe Oz.
,,)ijk
G
GG
Soit M
(
)
,,
x
yz un point quelconque, et soit H
(
)
,,0
x
yle
projeté orthogonal de M sur le plan xOy.
En notant ( , )r
θ
un couple de coordonnées polaires pour H,
on a OH cos
rsin ()rijru θθ
θ
=+=
JJJJGGG
G.
On dit que ( , ,r)z
θ
est un triplet de coordonnées
cylindriques pour M.
On a donc
cos
sin
xr
yr
zz
θ
θ
=
=
=
et
222
tan 0
rxy
ypour x
x
θ
=+
=≠
Remarque : comme il n’y a pas unicité des coordonnées
polaires (cf. géométrie plane), il n’y a pas unicité des
coordonnées cylindriques.
En intégration, on utilise les coordonnées polaires et
cylindriques avec 0r>
z
x
y
i
G
j
G
k
G
( )u θ
G
H
θ
M(x,y,z)
3

4. Coordonnées sphériques
Soit R un repère (O, ij direct de l’espace, le plan xOy
étant orienté par l’axe Oz.
,,)k
G
GG
Soit M
(
)
,,
x
yz un point quelconque différent de l’origine, et
soit H
(
)
,,0
x
yle projeté orthogonal de M sur le plan xOy.
On note =OM, r
θ
la mesure en radians appartenant à
[]
0,
π
de
(
)
,kOM
J
JJJG
G
ϕ
la mesure en radians appartenant à
]]
;
π
π −de
(
)
,OHi
J
JJJG
G
θ
est appelée la colatitude de M et
ϕ
sa longitude.
Le triplet
(
,,r
θ
ϕ est un triplet de coordonnées sphériques
pour M.
Remarque : pour certains points, par exemple pour les points de
(Oz) le triplet de coordonnées sphériques définis ci-dessus
n’est pas unique, 0 ou
θ
θπ =et
ϕ
est quelconque.
x
y
z
i
Gj
G
k
G
M(x,y,z)
θ
ϕ
O
H
)
=
Avec les notations précédentes, on peut montrer facilement que
sin cos
sin sin
cos
xr
yr
zr
θ
ϕ
θ
ϕ
ϕ
=
=
=
(cf. exercice corrigé)
Remarque : on utilise parfois des cordonnées sphériques avec une définition légèrement différente : au lieu de
considérer la colatitude, on emploie la latitude, c’est à dire l’angle
(
)
,OH OM
J
JJJGJJJJG
avec une mesure dans ,
22
π
π
−
II. PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE
Comme deux vecteurs sont toujours dans le même plan (vectoriel), la définition et les propriétés du produit scalaire de
deux vecteurs dans l’espace sont les mêmes que dans le plan (cf. Géométrie plane)
La seule différence concerne :
1. Expression dans une base orthonormée
Soient ( une base orthonormée de l’espace, u,,)ijk
G
GG
G
de coordonnées (x,y,z) et v
G
de coordonnées (x’,y’,z’) dans la
G
GG
On en déduit que 222
.2
x
yzu=++=
GG G
uu or d’après la définition du produit scalaire 2 .u=uu
G
GG
base ( . Alors ,,)ijk .uv
GG=
x
xyyzz
′′
++
′
D’où 222
x
yzu=++
G
Applications :
• si dans un repère orthonormé, A
()
,,
AAA
x
yz et B
(
)
,,
BBB
x
yz , alors
()()()
22
BA BA BA
AB AB x x y y z z==−+−+−
JJJG2
4

• si u est un vecteur non nul, alors les deux vecteurs unitaires (c’est à dire dont la norme est égale à 1)
colinéaires à sont
G
u
G1u
u
G
G et 1u
u
−G
G. Donc si u
G
a pour coordonnées (x,y,z), alors le seul vecteur colinéaire à u
G
,
de même sens que u est
G
222 22
11
2
x
yz xyz++ ++
==
GG
vu
(
)
x
ykijz++
G
G
G
Le produit scalaire permet, au signe près, de préciser l’angle de deux vecteurs. En effet , de la définition, on déduit
()
.
cos ; uv
uv
uv =GG
GG
GG ssoit co pour u
G
(x,y,z) et (x’,y’,z’) v
G
()
222 2 22
'''
s ; xx yy zz
xyzx y z
uv ′′′
+ +
=++ ++
GG
Remarque :pour
(
,,
)
x
yz
G
udans ( base orthonormée de l’espace, ux,,)ijk
G
GG
iyjzk
+
+=G
G
G
G
donc
(
)
.zkix=
GG
.iiyjux++=
GGG
G et de même ..yjetzuu==k
G
G
GG
G
Chaque coordonnée de est égale au produit scalaire de u u
G
par le vecteur de la base correspondant.
Ceci peut se comprendre facilement en utilisant l’interprétation du produit scalaire en terme de projection.
2. Produit scalaire et projections
♦ Projection vectorielle sur un plan
Soit P un plan vectoriel dirigé par les vecteurs
uet unitaires, orthogonaux
Gv G
G
Soit un vecteur quelconque de l’espace. w
Le projeté ( )
w
π
Gde sur P est donné par w G
GG
GG
()
w
π
G=
()
(
)
..wwuu+ vv
GG
♦ Projection orthogonale (ponctuelle) sur un plan
Soit P un plan passant par un point A et dirigé par les vecteurs
u
G
v
G
A
M
M’
u
G
v
G
w
G
()w π
G
P
P
uet unitaires, orthogonaux
Gv G
Soit M un point quelconque de l’espace.
L rojet M ’ d sur P est donné par e p é p( )=M e M
AM ′
JJJJJG
=
(
)
(
)
..AM AM v vuu+
JJJJJG JJJJJGGG
GG
III. PRODUIT VECTORIEL
On se place ici dans le cas où l’espace est orienté (c’est à dire qu’on a choisit une base directe).
5