GEOMETRIE ELEMENTAIRE DANS L`ESPACE

GEOMETRIE ELEMENTAIRE DANS L’ESPACE
I. REPERAGE DANS L’ESPACE
1. Bases et repère cartésiens
♦ Trois vecteurs non colinéaires de l’espace forment une base de l’espace (vectoriel).
Cette base est orthogonale si les trois vecteurs de la base sont orthogonaux deux à deux.
Cette base est orthonormée (ou orthonormale)si les trois vecteurs de la base sont orthogonaux deux à deux et si
chacun des deux vecteurs est unitaire (c’est à dire a une norme égale à 1)
♦ Un repère cartésien de l’espace est constitué d’un point appelé origine du repère et d’une base.
G G G
G G G
Soit ( i , j , k ) une base de l’espace et (O, i , j , k ) un repère de l’espace :
G
G
G
G
G
--A tout vecteur u , on peut faire correspondre un unique triplet (x,y,z) tel que u = xi + yj + zk
G G G
G
(x,y,z) sont les coordonnées ou composantes de u dans la base ( i , j , k )
JJJJG
G
G
G
-- A tout point M, on peut faire correspondre un unique triplet (x,y,z) tel que OM = xi + yj + zk
G G G
(x,y,z) sont les coordonnées de M dans le repère (O, i , j , k ) , z est la cote de M.
Exemple : si A, B, C,D sont quatre points distincts non coplanaires (pas dans le même plan)
JJJJG
JJJG JJJG JJJG
Si M est un point tel que AM = 2 AB + 3 AC − AD , cela signifie que
(
JJJG JJJG JJJG
)
JJJJG
a) dans la base AB, AC , AD le vecteur AM a pour coordonnées (ou composantes) (2,3,-1)
(
JJJG JJJG JJJG
)
b) dans le repère A, AB, AC , AD le point M a pour coordonnées (2,3,-1)
♦ Représentations et coordonnées cartésiennes d’un point
G G G
Plaçons nous dans le cas où le repère (O, i , j , k ) est orthogonal
z
z
G
k
G
j
G
i
O
y
y
x
x
1
Pour la représentation ci-dessous : les segments de même couleur sur le dessin de gauche sont de même longueur.
Pour représenter M(a,b,c) du dessin ci-dessous à gauche, on peut tracer successivement les segments rouge du dessin
de droite.
z
c
G
k
G
k
M(a,b,c)
G
j
G
i
z
c
G
i
b
a
M(a,b,c)
G
j
b
a
y
y
x
x
Exemples de représentations de points dans l’espace :
A(2,-1,-4) B(-3,3,1)
En liaison avec un point M(a,b,c), on peut définir 6
autres points de manière à visualiser un parallélépipède
(toutes les faces sont des rectangles)
z
z
P(0,0,c)
-3
N(0,b,c)
Q(a,0,c)
G
k
G
k
G
j
G
i
G
i
M(a,b,c)
G
j
2
O
C(0,b,0)
A(a,0,0)
y
x
y
x
B
A
B(a,b,0)
2
2. Orientation dans l’espace
♦ Définition simplifiée d’une base directe :
G G G
Une base ( i , j , k ) de l’espace est dite directe lorsque, en utilisant sa main droite, en plaçant le pouce suivant la
G
G
G
direction de i , l’index suivant la direction de j , on peut avoir k suivant la direction donnée par le majeur.
G G G
G G G
Un repère (O, i , j , k ) est direct si la base ( i , j , k ) de l’espace est directe .
G
k
Les représentations ci-contre
G
i
montrent des cas où la base
G G G
( i , j , k ) est orthonormée directe
G
j
G
j
G
i
G
j
G
i
G
k
G
k
D
♦ Orientation d’un plan dans l’espace
P
Pour orienter un plan P dans l’espace, il faut choisir une droite D
G
orthogonale à ce plan, puis un vecteur w unitaire de D . Ensuite,
G G
une base orthonormée ( u , v ) du plan sera dite directe si la base
G
u
G G G
( u , v , w ) est directe.
G
w
G
v
+
3. Coordonnées cylindriques.
G G G
Soit R un repère (O, i , j , k ) direct de l’espace, le plan xOy
étant orienté par l’axe Oz.
Soit M ( x, y , z ) un point quelconque, et soit H ( x, y ,0 ) le
projeté orthogonal de M sur le plan xOy.
En notant (r ,θ ) un couple de coordonnées polaires pour H,
JJJJG
G
G G
on a OH = r cos θ i + r sin θ j = ru (θ ) .
On dit que (r ,θ , z ) est un triplet de coordonnées
cylindriques pour M.
 x = r cos θ

On a donc  y = r sin θ
z = z

r 2 = x 2 + y 2

et 
y
pour x ≠ 0
 tan θ =
x

Remarque : comme il n’y a pas unicité des coordonnées
polaires (cf. géométrie plane), il n’y a pas unicité des
coordonnées cylindriques.
En intégration, on utilise les coordonnées polaires et
cylindriques avec r > 0
z
G
k
G
i
x
M(x,y,z)
G
j
θ
G
u (θ )
y
H
3
4. Coordonnées sphériques
G G G
Soit R un repère (O, i , j , k ) direct de l’espace, le plan xOy
étant orienté par l’axe Oz.
Soit M ( x, y, z ) un point quelconque différent de l’origine, et
z
soit H ( x, y,0 ) le projeté orthogonal de M sur le plan xOy.
On note r =OM,
G JJJJG
(
(
θ la mesure en radians appartenant à [ 0, π ] de k , OM
G JJJJG
ϕ la mesure en radians appartenant à ]−π ; π ] de i ,OH
θ
)
)
G
k
θ est appelée la colatitude de M et ϕ sa longitude.
Le triplet ( r ,θ ,ϕ ) est un triplet de coordonnées sphériques
G
i
pour M.
Remarque : pour certains points, par exemple pour les points de
(Oz) le triplet de coordonnées sphériques définis ci-dessus
n’est pas unique, θ = 0 ou θ = π et ϕ est quelconque.
x
M(x,y,z)
O
G
j
ϕ
y
H
 x = r sin θ cos ϕ

Avec les notations précédentes, on peut montrer facilement que  y = r sin θ sin ϕ
 z = r cos ϕ

(cf. exercice corrigé)
Remarque : on utilise parfois des cordonnées sphériques avec une définition légèrement différente : au lieu de
JJJJG JJJJG
 π π
considérer la colatitude, on emploie la latitude, c’est à dire l’angle OH , OM avec une mesure dans  − , 
 2 2
(
)
II. PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE
Comme deux vecteurs sont toujours dans le même plan (vectoriel), la définition et les propriétés du produit scalaire de
deux vecteurs dans l’espace sont les mêmes que dans le plan (cf. Géométrie plane)
La seule différence concerne :
1. Expression dans une base orthonormée
G G G
G
G
Soient ( i , j , k ) une base orthonormée de l’espace, u de coordonnées (x,y,z) et v de coordonnées (x’,y’,z’) dans la
G G G
base ( i , j , k ) .
GG
u.v = xx′ + yy′ + zz′
Alors
GG
GG
G
G
On en déduit que u .u = u 2 = x 2 + y 2 + z 2 or d’après la définition du produit scalaire u .u = u
G
D’où u =
x2 + y2 + z 2
Applications :
• si dans un repère orthonormé, A ( x A , y A , z A ) et B ( xB , yB , z B ) , alors
JJJG
AB = AB =
( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A )
2
2
4
2
2
G
si u est un vecteur non nul, alors les deux vecteurs unitaires (c’est à dire dont la norme est égale à 1)
•
G
1 G
1 G
u
u
G
G
colinéaires à u sont G u et − G u . Donc si u a pour coordonnées (x,y,z), alors le seul vecteur colinéaire à u ,
G
G
de même sens que u est v =
1
x2 + y 2 + z 2
G
u=
1
x2 + y2 + z 2
(
G G G
xi + yj + zk
)
Le produit scalaire permet, au signe près, de préciser l’angle de deux vecteurs. En effet , de la définition, on déduit
GG
G G
G G
u.v
cos ( u ; v ) = G G ssoit cos ( u ; v ) =
u v
xx′ + yy′ + zz ′
x +y +z
2
2
2
G
x' + y' + z'
2
2
2
G
pour u (x,y,z) et v (x’,y’,z’)
G G G
G
G G
G
G
Remarque :pour u ( x, y, z ) dans ( i , j , k ) base orthonormée de l’espace, u = xi + yj + zk donc
G G
G G
GG
GG
GG
u.i = xi + yj + zk .i = x et de même y = u. j et z = u.k
(
)
G
G
Chaque coordonnée de u est égale au produit scalaire de u par le vecteur de la base correspondant.
Ceci peut se comprendre facilement en utilisant l’interprétation du produit scalaire en terme de projection.
G
w
2. Produit scalaire et projections
♦ Projection vectorielle sur un plan
Soit P un plan vectoriel dirigé par les vecteurs
G G
u et v unitaires, orthogonaux
G
Soit w un vecteur quelconque de l’espace.
G
G
Le projeté π ( w) de w sur P est donné par
GG G
GG G
G
π ( w) = ( w.u ) u + ( w.v ) v
G
π ( w)
G
v
G
u
P
M
♦ Projection orthogonale (ponctuelle) sur un plan
Soit P un plan passant par un point A et dirigé par les vecteurs
G G
u et v unitaires, orthogonaux
Soit M un point quelconque de l’espace.
Le projeté p(M)=M’ de M sur P est donné par
JJJJJG JJJJJG G G JJJJJG G G
AM ′ = AM .u u + AM .v v
(
) (
M’
A
G
v
)
P
G
u
III. PRODUIT VECTORIEL
On se place ici dans le cas où l’espace est orienté (c’est à dire qu’on a choisit une base directe).
5
G
G
Le produit vectoriel de u et v est le vecteur défini par :
G G
G G
---si u et v sont colinéaires alors u ∧ v =0
G G
---sinon u ∧ v est tel que
G G
G
G
… u ∧ v est orthogonal à u et à v
G G G
G G
u ∧v
G
…la base ( u , v , u ∧ v ) est directe
G
v
G G
G G
G G
G G
… u ∧ v = u v sin(u , v ) = Det ( u , v )
G
u
P
G
G G G
G
G
G
G
G
G
G
G
Exemple : si ( i , j , k ) est orthonormée directe alors i ∧ j = k ; j ∧ k = i ; i ∧ k = − j
♦ Propriétés :
G G G G
• v ∧ u = -u ∧ v (antisymétrie)
G G G G
G G
G
• ∀α ∈ \
(α u1 + u2 ) ∧ v = α u1 ∧ v + u2 ∧ v (1) (bilinéarité)
G
G
G G
G G
(α u1 ) ∧ v = α ( u1 ∧ v ) découle de (1) avec u2 =0
donc 
G G
G G G G G
et ( u1 + u2 ) ∧ v = u1 ∧ v + u2 ∧ v découle de (1) avec α =1
•
G
G
G G
G
Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si u ∧ v = 0
JJJG
JJJG
G
Conséquence : trois points distincts A, B et C sont alignés si et seulement si AB ∧ AC = 0
G
G
G
G
•
L’aire du parallélogramme construit sur u et v est égale à u ∧ v
•
L’aire du triangle construit sur u et v est égale à
G
G
1 G G
u ∧v
2
G
v
G
u
♦ Le produit vectoriel dans une base orthonormée directe de l’espace
G G G
G
G
Soient ( i , j , k ) une base orthonormée directe de l’espace, u de coordonnées (x,y,z) et v de coordonnées (x’,y’,z’)
G G G
G
G
(
G
G
G
) (
G
y
y′
G
G
)
dans la base ( i , j , k ) . u ∧ v = xi + yj + zk ∧ x′i + y′j + z ′k , on peut ensuite développer en utilisant la
G G G G G G
propriété de bilinéarité du produit vectoriel et le fait que i ∧ i = 0 ; i ∧ j = k ,……
G G y y ′ G x x′ G x x′ G
On trouve ainsi que u ∧ v =
i−
j+
k
z
z′
z
z′
Pour retrouver cette formule, on peut utiliser le
moyen formel qui consiste à considérer un
« faux » déterminant et à le développer suivant
 x   x′  x
G G    
u ∧ v =  y  ∧  y′  = y
 z   z′  z
   
G
x′ i
G y
y′ j =
G z
z′ k
y′ G x
i−
z′
z
x′ G x
j+
z′
y
la dernière colonne.
(c’est un« faux » déterminant car certaines colonnes sont écrites avec des réels, et d’autres avec des vecteurs)
Double produit vectoriel : pour tous vecteurs
G G G
u, v, w
:
G G
G
GG G GG G
(u ∧ v ) ∧ w = ( u.w) .v - ( v.w) .u
6
x′ G
k
y′
IV. PRODUIT MIXTE
G G G
♦ Le produit mixte de trois vecteurs u , v , w est le réel défini
G G G
G
G
G G G
G G G
u , v , w = ( u ∧ v ) .w
par :
G
♦ Propriété : u , v , w =0 si seulement si w est orthogonal à u ∧ v .
G G G
G G
G
G
G G G
Or u ∧ v est un vecteur orthogonal à u et à v donc u , v , w =0 si seulement si u , v et w sont coplanaires.
♦ Le produit mixte dans une base orthonormée
u
1
G G G
[ u , v , w] = u2
u
3
directe de l’espace:
G
G
G
Pour u (u1 , u2 , u3 ) ; v (v1 , v2 , v3 ) ; w( w1 , w2 , w3 )
v
1
v
2
v
3
w
1
w
2
w
3
En raison des propriétés des déterminants, il est facile de voir que :
G G G
G G G
G G G
G G G
G G G
[u , v , w] = [v , w, u ] = [ w, u , v ] le produit mixte est invariant par permutation circulaire et [u , w, v ] = − [u , v , w] ……
G G G
♦ Remarque : soient u , v , w trois vecteurs non nuls ,
G G
u ∧v
G G G
G G G
de u , v , w = ( u ∧ v ) .w , on déduit que :
G G G
G G
u , v , w >0 si, par rapport au plan contenant u et v ,
G
w
G G
G
w est dans le demi-espace contenant u ∧ v
G G G
G
v
G
G
u , v , w <0 si, par rapport au plan contenant u et v ,
G G
G
w n’est pas dans le demi-espace contenant u ∧ v
G
u
P
G G
u ∧v
Volume d’un parallélépipède : le volume d’un parallélépipède ( pavé)
construit sur trois vecteurs non nuls est égal à la valeur absolue du
G
w
produit mixte de ces trois vecteurs
G
u
G
v
V. DROITES ET PLANS DANS L’ESPACE : GEOMETRIE ANALYTIQUE
1. Représentation paramétrique d’une droite
G
Soit D est une droite passant par un point A ( x A , y A , z A ) et dirigée par u (α , β , γ )
JJJJG
G
M ( x, y, z ) ∈ D si et seulement AM et u sont colinéaires
7
JJJJG
G
Donc M ( x, y, z ) ∈ D si et seulement si il existe un réel k tel que AM =k u
 x = x A + kα

Donc M ( x, y, z ) ∈ D si et seulement si il existe un réel k tel que  y = y A + k β
 z = z + kγ
A

 x = x A + kα

 y = y A + k β ( k ∈ \ ) est une représentation paramétrique de D
 z = z + kγ
A

Remarques : on obtient une représentation paramétrique du segment [ AB ] en écrivant :
JJJJG
JJJG
M ( x, y, z ) ∈ [ AB ] si et seulement si il existe un réel k ∈ [ 0;1] tel que AM =k AB
♦ Dans l’espace, une seule équation ne peut pas définir une droite
2. Equation
cartésienne d’un plan
G
G G
Soit (O, i , j , k ) un repère orthonormé R de l’espace.
21.Plan donné par un point et deux vecteurs
G
G
Soient A un point de coordonnées ( x A , y A , z A ) dans R, u (u1 , u2 , u3 ) et v (v1 , v2 , v3 ) deux vecteurs non colinéaires.
G
G
Soit P le plan passant par A, dirigé par u et v .
JJJJG G
G
M ( x, y, z ) ∈ P si et seulement si les vecteurs AM , u et v sont coplanaires.
JJJJG G G
Donc M ( x, y, z ) ∈ P ⇔  AM , u , v  = 0

D'où
M ( x, y , z ) ∈ P ⇔

x − xA
u1
v1
y − yA
z − zA
u2
u3
v2 = 0
v3
A
G
u
En développant ce déterminant, on trouve une équation
cartésienne du type ax + by + cz + d = 0
G
v
P
22. Plan donné par un point et un vecteur normal
G
G G
Soient A ( x A , y A , z A ) , et n (a, b, c) , n ≠ 0 . Soit P le plan passant par A
G
tel que n soit un vecteur normal à P.
G
n
JJJJG
G
M ( x, y, z ) ∈ P si et seulement si les vecteurs AM et n sont orthogonaux.
JJJJG G
Donc M ( x, y, z ) ∈ P ⇔ AM .n = 0
D’où M ( x, y, z ) ∈ P ⇔ a ( x − x A ) + b( y − y A ) + c( z − z A ) = 0
On en déduit que : M ( x, y, z ) ∈ P ⇔
G
ax + by + cz − ax A − by A − cz A = 0
A
P
Si n (a, b, c) est un vecteur normal à P, alors l’équation de P est du type ax + by + cz + d = 0
G
Réciproquement, si l’équation de P est du type ax + by + cz + d = 0 alors n (a, b, c) est un vecteur normal à P
8
23. Plan donné par trois points
Soit P un plan passant par trois points A,B et C non alignés.
Pour trouver une équation du plan (ABC) :
---on peut se ramener au cas où P est un plan donné par un point et deux vecteurs, en effet P passe par A et P est
JJJG
JJJG
dirigé par AB et AC .
---ou on peut se ramener au cas où P est un plan donné par un point et un vecteur normal, en effet P passe par A et
G JJJG JJJG
n = AB ∧ AC est un vecteur normal à P.
---cas particulier : dans le cas où P un plan passant par trois
z
C(0,0,c)
points A,B et C chacun d’eux appartenant à l’un des axes :
A (a, 0, 0), B (0, b, 0), C (0, 0, c) :
x y z
+ + =1
une équation de P est
a b c
P
G
k
Remarque : pour visualiser un plan, il peut être intéressant de
représenter les points d’intersection de ce plan avec les trois
axes de coordonnées et le triangle ainsi obtenu comme sur la
figure ci-contre.
G
i
G
j
B(0,b,0)
A(a,0,0)
y
x
3. Représentation paramétrique d’un plan
G
G
Soit P le plan passant par A, dirigé par u et v .
JJJG
G
G
M ( x, y, z ) ∈ P si et seulement il existe des réels λ et µ tels que AM = λu + µ v
 x = x A + λ u1 + µ v1

M ( x, y, z ) ∈ P si et seulement il existe des réels λ et µ tels que  y = y A + λ u2 + µ v2
 z = z + λu + µ v
3
3
A

 x = x A + λ u1 + µ v1

 y = y A + λ u2 + µ v2 ( λ ∈ \, µ ∈ \ ) est une représentation paramétrique du plan P
 z = z + λu + µ v
3
3
A

4. Compléments
41.Distance d’un point à un plan
Soit P un plan d’équation ax + by + cz + d = 0 avec ( a, b ) ≠ ( 0, 0 ) et M 0 ( x0 ; y0 ) un point quelconque.
Alors la distance de M 0 au plan P est égale à
d ( M 0 ; P) =
42.Angle de deux plans
G
G
Soient P1 et P2 deux plans de vecteurs normaux respectifs n1 et n2
ax0 + by0 + cz0 + d
a 2 + b2 + c2
G G
n .n
G G
L’angle V des deux plans P1 et P2 est l’angle ( n1 , n2 ) . On a donc cos V = G 1 G2
n1 n2
9
10