Feuille TD 3

INSTITUT SUPÉRIEUR D' ÉCONOMIE ET DE MANAGEMENT
Université de Nice-Sophia Antipolis
ANNÉE UNIVERSITAIRE :
2013-2014
REF.
L1
MATIÈRE : STATISTIQUES ET OBSERVATIONS ECONOMIQUES II
PROFESSEUR : Julien BARRÉ
THÈME DE LA SÉANCE : Lois discrètes usuelles
ANNÉE D'ÉTUDE :
Fiche TD 3 - L1 Économie-Gestion
:
Une urne contient 6 boules blanches et 4 boules noires. On tire dans cette urne 3 fois une boule
avec remise entre chaque tirage. On note X la variable nombre de boules blanches obtenues.
Déterminer la loi de X , donner E(X) et V(X).
Exercice 1
:
Un groupe de TD contient 10 lles et 15 garçons. Soit l'épreuve qui consiste à choisir au hasard
un étudiant pour représenter le groupe. On considère la variable aléatoire Y prenant la valeur
1 si l'étudiant choisi est une lle, et 0 sinon.
Déterminer la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire Y , son espérance et sa variance.
Exercice 2
:
Un snack à kébab eectue des livraisons à domicile après appel des clients, chaque appel étant
indépendant des précédents. On considère qu'il peut se produire des retards de livraisons avec
une probabilité de 0,30. On considère que 10 clients appellent le snack chaque soir. Soit X la
variable aléatoire représentant le nombre de clients ayant subi un retard. Déterminer la loi de
X, E(X) et V(X).
Exercice 3
:
Neuf pour cent des étudiants en licence ont un solde créditeur supérieur à 7000 euros. Dix étudiants en licence sont sélectionnés de façon aléatoire pour être interrogés sur leurs ressources
nancières.
1. Quelle loi probabiliste s'applique à cette expérience ? Expliquer.
2. Quelle est la probabilité que deux des dix étudiants aient un solde créditeur supérieur à 7000
euros ?
3. Quelle est la probabilité qu'aucun n'ait un solde supérieur à 7000 euros ?
4. Quelle est la probabilité qu'au moins trois étudiants aient un solde supérieur à 7000 euros ?
Exercice 4
:
Selon une enquête menée par TD Ameritrade, un investisseur sur quatre a des obligations
échangeables dans son portefeuille. Pour un échantillon de 20 investisseurs, répondre aux questions suivantes :
1. Calculer la probabilité qu'exactement quatre investisseurs aient des obligations échangeables
dans leur portefeuille.
Exercice 5
Calculer la probabilité qu'au moins deux des investisseurs aient des obligations échangeables
dans leur portefeuille.
3. Si vous trouvez exactement douze des investisseurs qui ont des obligations échangeables dans
leur portefeuille, douteriez-vous de la véracité des résultats de l'enquête ?
4. Calculer le nombre espéré d'investisseurs qui ont des obligations échangeables dans leur portefeuille.
2.
Exercice 6
Deux personnes lancent chacune une pièce de monnaie. L'une des pièces est équilibrée et l'autre
est biaisée avec une probabilité d'avoir Pile égale à 1/3. On dit que l'épreuve est un succès si
elles obtiennent toutes les deux face.
1. Ces personnes répètent l'expérience 8 fois. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre
de succès. Déterminer la loi de X , E(X) et V(X).
2. Ces personnes répètent l'expérience jusqu'à ce qu'elles obtiennent un succès. Soit Y la variable aléatoire représentant le nombre de lancer pour obtenir un succès. Déterminer la loi de
Y , E(Y ) et V(Y ).
Exercice 7
Plus de 50 millions de personnes ont séjourné en chambres d'hôte l'année dernière. Le site web
nord-américain de Bed and Breakfast Inns, qui reçoit en moyenne 7 visiteurs par minute, permet à de nombreux B&B d'attirer des clients.
1. Calculer la probabilité qu'aucun visiteur ne se connecte au site web durant une période d'une
minute.
2. Calculer la probabilité qu'au moins deux visiteurs se connectent au site durant une période
d'une minute.
3. Calculer la probabilité qu'au moins un visiteur se connecte au site web durant une période
de 30 secondes.
4. Calculer la probabilité qu'au moins cinq visiteurs se connectent au site web durant une période d'une minute.
Exercice 8
Soit l'expérience aléatoire qui consiste à lancer indéniment un dé non pipé. Soit X la variable
aléatoire qui indique le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le numéro 3.
1. Déterminer la loi de la variable aléatoire X .
2. Calculer la probabilité d'obtenir le numéro 3 au 12e lancer. Donner les valeurs de E(X) et
V(X).
Exercice 9
La probabilité pour qu'un tireur atteigne une cible est de 14 .
1. En supposant qu'il tire sept fois, quelle est la probabilité p pour qu'il atteigne la cible au
moins deux fois ?
2. Exprimer la loi de probabilité décrivant le nombre de tirs nécessaires à l'apparition du premier succès (atteindre la cible). Donner l'espérance et la variance de cette loi.
Exercice 10
On considère que la probabilité d'être allergique à la pénicilline est de 0,0001. On considère une
population de 20 000 personnes. Déterminer la probabilité que trois personnes prises au hasard
dans cette population soient allergiques à la pénicilline.