1 - Droites : correction

TES
AP 1 : Corrigé
1) Approche
Dans une ville, le tarif des taxis est le suivant : prise en charge 2 € et 1,5 € par kilomètre.
a) Compléter le tableau suivant :
Nombre de
kms
parcourus :
x
3
4
5
6
7
Prix de la
course en € :
y
2  3 1,5  6,5
2  4 1,5  8
2  5 1,5  9,5
2  6 1,5  11
2  7 1,5  12,5
b) Donner, en fonction de x, le prix, noté p  x  , à payer pour x kilomètres parcourus.
p  x   2  1,5x
La fonction p est une fonction affine.
c) Représenter graphiquement la fonction p dans le repère ci-dessous.
14
prix en €
Cp
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
nombre de kms parcourus
0
1
2
3
4
5
6
7 7,4 8
9
10
11
12
13
14
15
16
-1
La représentation graphique de p est la droite d’équation : y  2  1,5 x
d) Comment lit-on sur le graphique la prise en charge et le prix par kilomètre ?
La prise en charge est l’ordonnée du point d’abscisse 0 de la droite représentative de p, c'est-à-dire
l’ordonnée à l’origine de la droite.
Le prix par kilomètre est l’accroissement de l’ordonnée entre deux points dont la différence des
abscisses est égale à 1, c'est-à-dire le coefficient directeur de la droite.
1
TES
AP1 : Corrigé
e) Le prix de la course est 13 €. On cherche à déterminer le nombre de kilomètres parcourus.
Graphiquement : On cherche l’abscisse du point de C p d’ordonnée 13.
On lit graphiquement que pour une course de 13€, le nombre de kilomètres parcourus est environ 7,4.
Algébriquement : On résout l’équation  E  : 2  1,5x  13 ;
 E   1,5 x  13  2  1,5 x  11  x 
11
22
x
.
1,5
3
22
 7,33 arrondi à 10-2 , et le nombre de kilomètres parcourus pour une course de 13 € est d’environ
3
7,33. Le résultat est plus précis que par la lecture graphique.
2) Rappels
 
D
2
Soit O; i , j un repère et D une droite :



si D est parallèle à l’axe  O; j 
1
-1
son équation est x  c
0
1
2
3
4
-1
Exemple : x  2

si D n’est pas parallèle à l’axe  O; j  ,
2
son équation est y  ax  b ;
1
a est le coefficient directeur de D :
y  yA
a B
où A  xA ; y A  et B  xB ; yB  sont deux points
xB  x A
de D
b est l’ordonnée à l’origine :
D
-1
0
1
2
3
4
-1
Exemple : y  2 x  1
c’est l’ordonnée du point de D d’abscisse 0
3) Exercices
Exercice 1
On considère la droite D d’équation : y  2 x  5 .
1) Les points suivants sont-ils des points de D ? A  0;5 , B  2;1 ,
6
C  1;6 et D  27; 59 .
5
Par définition de l’ordonnée à l’origine, le point A  0;5 est un point de
4
3
D.
2  2  5  1 donc le point B  2;1 est un point de D ; 2   1  5  7
2
donc le point C  1;6 n’est pas un point de D ; 2  27  5  49 donc
le point D  27; 59 n’est pas un point de D.
A
B
1
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
2) Tracer la droite D.
-2
2
TES
AP1 : Corrigé
Exercice 2
1) Donner l’équation de la droite D2. x  3
2) Pour les droites D1, D3, D4 :
Lire graphiquement l’ordonnée à l’origine et le coefficient directeur,
puis donner l’équation
réduite.
D1
D3
Ordonnée à l’origine
3
3
D4
0
Coefficient directeur
2
0
5
3
D1 4
D2
2
1
-5
Equation
y  2 x  3
y  3
5
y x
3
3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-1
-2
-3
D3
D5
-4
D4
3) a) Lire graphiquement le coefficient directeur de D5. Le coefficient directeur de D5 est égal à 5
b) En déduire que l’équation de D5 est : y  5 x  b .
c) En utilisant le point de coordonnées 1,5;0  ,calculer la valeur de b.
Le point de coordonnées 1,5;0  est un point de D5 donc b est tel que 0  5 1,5  b .
05  1,5  b  0  7  b  7  b .
L’équation de D5 est : y  5 x  7 .
Exercice 3
a) Tracer dans un repère les droites suivantes :
1
- D1 de coefficient directeur
2
passant par le point A  1;2  ;
- D2 de coefficient directeur –3
passant par le point B 1;2  ;
6
D5
-
3
A
D3 de coefficient directeur
D4 d’équation y  2 ;
D5 d’équation x  1
5
4
3
4
passant par le point C  3; 1 ;
-
D1
2
D4
B
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
I
-2
-3
D2
-4
-5
C
D3
-6
b)
Déterminer graphiquement puis par le calcul les coordonnées du point d’intersection des droites D2 et
D3.
Graphiquement : le point I, intersection de D2 et D3, a pour coordonnées  2, 2; 1,6 .
3
TES
AP1 : Corrigé
3
Par le calcul :
On cherche d’abord l’équation de chaque droite par lecture graphique et / ou par calcul :
3
13
D2 : y  3x  5 et D3 : y  x  .
4
4
 y  3x  5

Les coordonnées  x; y  de I sont solutions du système (S) : 
3
13 .
y

x


4
4
On peut résoudre ce système par substitution.
 y  3x  5
 y  3x  5
 y  3x  5


( obtenu en multipliant les deux membres

3
13  
3
13  
12 x  20  3x  13
 y  4 x  4
3x  5  4 x  4
de la deuxième équation par 4)
11
8


y  3   5
y
 y  3 x  5


 y  3 x  5
 y  3 x  5



5
5





.
33
20

13

12
x

3
x
33

15
x
11
11
x






x
x
15


5
5
 11 8 
Le point I a donc pour coordonnées  ;   soit  2, 2; 1,6 .
 5 5
Exercice 4
Déterminer l’équation réduite de la droite  AB  avec A  3;5 et B  7; 5 .
La droite  AB  n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. ( A et B n’ont pas la même abscisse. )
Son équation réduite est de la forme : y  ax  b .
Calcul du coefficient directeur a:
Le coefficient directeur a de cette droite est : a 
yB  y A
5  5
10


 1 .
xB  x A 7   3 10
Calcul de l’ordonnée à l’origine b :
 AB  a pour équation : y   x  b et A  3;5 est un point de  AB  donc b est solution de l’équation :
5    3  b .
5    3  b  5  3  b  2  b .
Donc l’équation réduite de la droite  AB  est y   x  2 .
4
TES
AP1 : Corrigé