1 - Droites : correction

TES AP1 : Corrigé
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TES AP 1 : Corrigé
1) Approche
Dans une ville, le tarif des taxis est le suivant : prise en charge 2 € et 1,5 € par kilomètre.
a) Compléter le tableau suivant :
Nombre de
kms
parcourus :
x
3
4
5
6
7
Prix de la
course en € :
y
2 3 1,5 6,5  
2 4 1,5 8  
2 5 1,5 9,5  
2 6 1,5 11  
2 7 1,5 12,5  
b) Donner, en fonction de x, le prix, noté
px
, à payer pour x kilomètres parcourus.
2 1,5p x x
La fonction p est une fonction affine.
c) Représenter graphiquement la fonction p dans le repère ci-dessous.
La représentation graphique de p est la droite d’équation :
2 1,5yx
d) Comment lit-on sur le graphique la prise en charge et le prix par kilomètre ?
La prise en charge est l’ordonnée du point d’abscisse 0 de la droite représentative de p, c'est-à-dire
l’ordonnée à l’origine de la droite.
Le prix par kilomètre est l’accroissement de l’ordonnée entre deux points dont la différence des
abscisses est égale à 1, c'est-à-dire le coefficient directeur de la droite.
prix en €
7,4
nombre de kms parcourus
Cp
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
-1
0 1
1

TES AP1 : Corrigé
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e) Le prix de la course est 13 €. On cherche à déterminer le nombre de kilomètres parcourus.
Graphiquement : On cherche l’abscisse du point de
p
C
d’ordonnée 13.
On lit graphiquement que pour une course de 13€, le nombre de kilomètres parcourus est environ 7,4.
Algébriquement : On résout l’équation
:2 1,5 13Ex
;
11 22
1,5 13 2 1,5 11 1,5 3 E x x x x        
.
22 7,33
3
arrondi à 10-2 , et le nombre de kilomètres parcourus pour une course de 13 € est d’environ
7,33. Le résultat est plus précis que par la lecture graphique.
2) Rappels
Soit
jiO ,;
un repère et D une droite :
 si D est parallèle à l’axe
;Oj
son équation est
xc
Exemple :
2x
 si D n’est pas parallèle à l’axe
;Oj
,
son équation est
y ax b
;
a est le coefficient directeur de D :
BA
BA
yy
axx
où
;
AA
A x y
et
;
BB
B x y
sont deux points
de D
b est l’ordonnée à l’origine : Exemple :
21yx
c’est l’ordonnée du point de D d’abscisse 0
3) Exercices
Exercice 1
On considère la droite D d’équation :
25yx  
.
1) Les points suivants sont-ils des points de D ?
0;5A
,
2;1B
,
1;6C
et
27; 59D
.
Par définition de l’ordonnée à l’origine, le point
0;5A
est un point de
D.
2 2 5 1   
donc le point
2;1B
est un point de D ;
2 1 5 7    
donc le point
1;6C
n’est pas un point de D ;
2 27 5 49    
donc
le point
27; 59D
n’est pas un point de D.
2) Tracer la droite D.
D
2 3 4-1
2
-1
0 1
1
D
2 3 4-1
2
-1
0 1
1
2 3 4-1-2
2
3
4
5
6
-1
-2
0 1
1
A
B

TES AP1 : Corrigé
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Exercice 2
1) Donner l’équation de la droite D2.
3x
2) Pour les droites D1, D3, D4 :
Lire graphiquement l’ordonnée à l’origine et le coefficient directeur,
puis donner l’équation
réduite.
3) a) Lire graphiquement le coefficient directeur de D5. Le coefficient directeur de D5 est égal à 5
b) En déduire que l’équation de D5 est :
5y x b
.
c) En utilisant le point de coordonnées
1,5;0
,calculer la valeur de b.
Le point de coordonnées
1,5;0
est un point de D5 donc b est tel que
0 5 1,5 b  
.
05 1,5 0 7 7b b b       
.
L’équation de D5 est :
57yx
.
Exercice 3
a) Tracer dans un repère les droites suivantes :
- D1 de coefficient directeur
1
2
passant par le point
1;2A
;
- D2 de coefficient directeur –3
passant par le point
1;2B
;
- D3 de coefficient directeur
3
4
passant par le point
3; 1C
;
- D4 d’équation
2y
;
- D5 d’équation
1x
b)
Déterminer graphiquement puis par le calcul les coordonnées du point d’intersection des droites D2 et
D3.
Graphiquement : le point I, intersection de D2 et D3, a pour coordonnées
2,2; 1,6
.
Ordonnée à l’origine
Coefficient directeur
Equation
D1
3
2
23yx  
D3
3
0
3y
D4
0
5
3
5
3
yx
D1
D2
D3D4D5
2 3-1-2-3-4-5
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0 1
1
D1
D2
D3
D4
D5
2345678-1-2-3-4-5-6
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 1
1
A B
C
I

TES AP1 : Corrigé
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Par le calcul :
On cherche d’abord l’équation de chaque droite par lecture graphique et / ou par calcul :
D2 :
35yx  
et D3 :
3 13
44
yx
.
Les coordonnées
;xy
de I sont solutions du système (S) :
35
3 13
44
yx
yx
.
On peut résoudre ce système par substitution.
3 5 3 5 35
3 13 3 13 12 20 3 13
35
4 4 4 4
y x y x yx
xx
y x x x
( obtenu en multipliant les deux membres
de la deuxième équation par 4)
11 8
35 35
3 5 3 5 55
33
20 13 12 3 33 15 11 11
15 55
yx yy
y x y x
x x x xxx
.
Le point I a donc pour coordonnées
11 8
;
55
soit
2,2; 1,6
.
Exercice 4
Déterminer l’équation réduite de la droite
AB
avec
3;5A
et
7; 5B
.
La droite
AB
n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. ( A et B n’ont pas la même abscisse. )
Son équation réduite est de la forme :
y ax b
.
Calcul du coefficient directeur a:
Le coefficient directeur a de cette droite est :
5 5 10 1
7 3 10
BA
BA
yy
axx
.
Calcul de l’ordonnée à l’origine b :
AB
a pour équation :
y x b  
et
3;5A
est un point de
AB
donc b est solution de l’équation :
53b   
.
5 3 5 3 2b b b        
.
Donc l’équation réduite de la droite
AB
est
2yx  
.