´
ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT´
ETIENNE, MINES DE NANCY,
T´
EL´
ECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILI`
ERE MP)
´
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILI`
ERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2010
PREMI`
ERE ´
EPREUVE DE PHYSIQUE
Fili`
ere PSI
(Dur´
ee de l’´
epreuve: 3 heures)
L’usage de la calculatrice est autoris´
e
Sujet mis `
a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE–EIVP
Les candidats sont pri´
es de mentionner de fac¸on apparente sur la premi`
ere page de la copie :
PHYSIQUE I — PSI.
L´
enonc´
e de cette ´
epreuve comporte 6 pages.
Si, au cours de l’´
epreuve, un candidat rep`
ere ce qui lui semble ˆ
etre une erreur d’´
enonc´
e, il est invit´
e`
a le
signaler sur sa copie et `
a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura ´
et´
e
amen´
e`
a prendre.
Il ne faudra pas h´
esiter `
a formuler les commentaires (incluant des consid´
erations num´
eriques) qui vous
sembleront pertinents, mˆ
eme lorsque l’´
enonc´
e ne le demande pas explicitement. La bar`
eme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualit´
es de r´
edaction de la copie.
´
EL´
EMENTS D’ASTROPHYSIQUE
Ce probl`
eme se propose d’´
etudier dans un premier temps la formation et l’´
evolution d’une ´
etoile et
de s’int´
eresser ensuite `
a diff´
erents objets c´
elestes tels que les com`
etes, les pulsars et les exoplan`
etes.
Toutes les sous-parties sont ind´
ependantes entre elles. Les donn´
ees n´
ecessaires aux applications
num´
eriques sont rassembl´
ees `
a la fin du sujet. Les vecteurs sont not´
es avec un chapeau s’ils sont
unitaires b
u, avec une fl`
eche
vdans le cas g´
en´
eral. Hormis i2=1, les nombres complexes sont
soulign´
es : zC.
I. — ´
Etude physique des ´
etoiles
Dans toute cette partie on consid`
ere qu’une ´
etoile est une boule de masse M, de rayon R, de masse
volumique
ρ
suppos´
ee constante et entour´
ee de vide.
I.A. — ´
Energie potentielle d’une ´
etoile sph´
erique, th´
eor`
eme du viriel
1 — On consid`
ere deux particules ponctuelles not´
ees Q1et Q2de masses m1et m2s´
epar´
ees par
une distance r. Donner l’expression la force d’interaction gravitationnelle
f12exerc´
ee par Q1sur
Q2. On utilisera le vecteur unitaire b
u=
Q1Q2/r. En d´
eduire l’expression de l’´
energie potentielle de
gravitation Epassoci´
ee `
a cette force en fonction de m1,m2,ret de la constante de gravitation G. On
fixera l’origine du potentiel de telle mani`
ere que Ep=0 lorsque r+.
On souhaite exprimer l’´
energie potentielle de gravitation d’une boule homog`
ene de masse M, de
centre O, de rayon Ret de masse volumique
ρ
suppos´
ee constante. Cette ´
energie correspond `
a
l’´
energie de constitution de la boule en amenant successivement depuis l’infini des couches sph´
eriques
concentriques d’´
epaisseur dr.
´
El´
ements d’astrophysique
2 — On consid`
ere un ´
etat interm´
ediaire Brde la boule dans lequel elle poss`
ede un rayon rtel
que 0 <r<Ret une masse mrtelle que 0 <mr<M. Justifier le fait que l’interaction entre Bret
un corps ponctuel massif Ksitu´
e hors de Brest ´
equivalente `
a celle entre une particule ponctuelle
situ´
ee en Ode masse mret K. On ajoute `
aBrune couche sph´
erique Crde masse dmet d’´
epaisseur
dr. D´
eterminer l’´
energie potentielle de gravitation dEpentre Bret Cr. On exprimera dEpen fonction
de r, dret de
ρ
. En d´
eduire que l’´
energie potentielle de gravitation de la boule de rayon Rs’´
ecrit
Ep=
α
GM2/Ro`
u
α
est une constante num´
erique que l’on d´
eterminera.
On consid`
ere `
a pr´
esent que l’´
etoile est constitu´
ee d’un gaz parfait , chaque particule de ce gaz ´
etant
un atome d’hydrog`
ene d’´
energie cin´
etique ec=3
2kBTo`
ukB=R/Nest la constante de Boltzmann,
Rest la constante des gaz parfaits et Nle nombre d’Avogadro. La pression donn´
ee par la loi des
gaz parfaits est ici uniquement d’origine cin´
etique et on ne tient donc pas compte de la pression de
radiation. Dans ce mod`
ele, la pression Pet la temp´
erature Tsont des fonctions de la seule coordonn´
ee
radiale r, enfin le nombre de particules par unit´
e de volume nest constant `
a l’int´
erieur de l’´
etoile. On
suppose de plus que l’´
etoile est entour´
ee de vide, ainsi P(R) = 0.
3 — Exprimer l’´
energie cin´
etique totale Ecdes particules constituant l’´
etoile sous la forme d’une
int´
egrale faisant intervenir la pression P(r). En ´
ecrivant l’´
equation d’´
equilibre hydrostatique, et en
effectuant une int´
egration par parties, montrer que l’on obtient la relation
2Ec=
κ
Ep
o`
u
κ
est un facteur num´
erique que l’on d´
eterminera. Cette relation constitue le th´
eor`
eme du viriel, il
est tr`
es utilis´
e en astrophysique pour d´
ecrire les propri´
et´
es d’objets tels que les ´
etoiles ou les galaxies.
I.B. — Pression et temp´
erature dans une ´
etoile, r´
eactions de fusion
4 — En int´
egrant l’´
equation d’´
equilibre hydrostatique, d´
eterminer la pression P(r)au sein de
l’´
etoile en fonction de M,G,Ret r. Pour quelle valeur de rcette pression est-elle maximale ? Ex-
primer cette valeur maximale Pmax en fonction de G,Met Rainsi que la temp´
erature maximale Tmax
correspondante en fonction de G,M,R,Ret de la masse molaire de l’hydrog`
ene MH. Calculer
num´
eriquement Pmax et Tmax dans le cas du Soleil.
5 — On consid`
ere qu’au sein de l’´
etoile, chaque atome d’hydrog`
ene occupe une petit cube d’arˆ
ete
β
. Exprimer
ρ
en fonction de MH,Net
β
, en d´
eduire une expression de Ren fonction de MH,N,
Met
β
. Montrer alors que l’on peut mettre la masse de l’´
etoile sous la forme :
M=K(
β
Tmax)3/2(1)
o`
u la constante Kne d´
epend que de constantes fondamentales. Calculer la valeur num´
erique de K.
Pendant une grande partie de leur existence, les ´
etoiles tirent leur ´
energie de r´
eactions de fusion
thermonucl´
eaire entre des atomes d’hydrog`
ene qui produisent des atomes d’h´
elium. Pour que ces
r´
eactions puissent s’amorcer au centre de l’´
etoile, il faut que l’´
energie d’agitation thermique des
atomes surpasse l’´
energie potentielle de r´
epulsion coulombienne. La temp´
erature qui r`
egne au centre
des ´
etoiles permet de supposer que les atomes d’hydrog`
ene qui fusionnent sont compl`
etement ionis´
es.
On consid´
erera ici que l’´
energie d’agitation thermique d’un de ces atomes est ´
egale `
a son ´
energie
cin´
etique ec=3
2kBT.
6 — D´
eterminer l’´
energie potentielle ´
electrostatique d’interaction upp entre deux protons s´
epar´
es
d’une distance
β
, on fixera l’origine du potentiel de telle mani`
ere que upp =0 lorsque
β
. En
utilisant le r´
esultat (1)de la question 5, d´
eterminer la valeur limite Mde la masse de l’´
etoile pour
que les r´
eactions de fusion puissent avoir lieu. On exprimera Men fonction de K,kB,
ε
0et de la
charge ´
el´
ementaire e. V´
erifier que la masse du Soleil est bien suffisante pour permettre la fusion de
l’hydrog`
ene. L’homme a-t-il d´
ej`
a r´
ealis´
e des r´
eactions de fusion nucl´
eaire?
Page 2/6
Physique I, ann´
ee 2010 — fili`
ere PSI
FIN DE LA PARTIE I
II. — Quelques probl`
emes d’astrophysique
II.A. — Orientation de la queue d’une com`
ete
Une particule sph´
erique de rayon
µ
de masse volumique
ρ
csitu´
ee dans l’espace interstellaire `
a la
distance rdu Soleil rec¸oit de la part de cette ´
etoile une ´
energie
δ
Wpendant l’intervalle de temps
dt. Si l’on consid`
ere que toute cette ´
energie est absorb´
ee par la particule, celle-ci subit une force
F
radiale r´
epulsive, due `
a la pression de radiation, dont le module s’´
ecrit F=1
c
δ
W
dto`
ucest la c´
el´
erit´
e
de la lumi`
ere dans le vide.
7 — D´
eterminer l’expression de Fen fonction de
µ
,r,cet de la puissance PS´
emise par le Soleil.
`
A quelle condition sur
µ
cette force est-elle sup´
erieure `
a la force de gravitation exerc´
ee par le Soleil
sur la particule? La valeur limite
µ
sera exprim´
ee en fonction de PS,G,MS,
ρ
cet c. Calculer la
valeur num´
erique de
µ
pour une valeur de la masse volumique
ρ
c=3,0×103kg.m3.
8 — Une com`
ete est constitu´
ee d’un noyau, d’une chevelure et de plusieurs queues dont l’une,
constitu´
ee de fines poussi`
eres, est toujours situ´
ee `
a l’oppos´
e du Soleil par rapport au noyau. Comment
interpr´
etez-vous ces observations?
II.B. — Mesure de la distance d’un pulsar par la m´
ethode de dispersion
Axederotation
Axe
magnétique
jet
électromagnétique
Étoile
àneutron
FIG. 1 – Sch´
ema d’un pulsar.
Apr`
es avoir consomm´
e tout leur carburant nucl´
eaire,
la plupart des ´
etoiles massives s’effondrent et forment
une structure tr`
es compacte compos´
ee de neutrons. On
parle d’´
etoile `
a neutrons. La conservation du moment
cin´
etique impose une rotation tr`
es rapide `
a ce type
d’´
etoile, de l’ordre d’un tour par seconde. La struc-
ture dipolaire du champ magn´
etique intense r´
egnant au-
tour des ´
etoiles `
a neutrons, permet l’´
emission d’ondes
´
electromagn´
etiques par les r´
egions polaires du champ
magn´
etique. Si l’axe de rotation de l’´
etoile `
a neu-
trons n’est pas align´
e avec l’axe de sym´
etrie du champ
magn´
etique, on peut alors observer un pulsar (voir fi-
gure 1) depuis la Terre. Cette onde est associ´
ee `
a un
champ ´
electrique ~
Edont la repr´
esentation complexe
s’´
ecrit ~
E=~
E0ei(
ω
t
~
k.~r)o`
u~
E0est un vecteur constant.
Cette onde se propage dans le milieu interstellaire que
nous assimilerons `
a un plasma homog`
ene globalement
neutre et constitu´
e de N´
electrons par m3et Nions par
m3libres de se d´
eplacer.
Les ions sont suppos´
es immobiles et les ´
electrons ne sont soumis qu’`
a la force impos´
ee par le champ
´
electromagn´
etique de l’onde ´
emise par le pulsar.
9 — Pourquoi cette onde est-elle rec¸ue sur Terre sous la forme d’un signal impulsionnel p´
eriodi-
que? Quelle est la fr´
equence de ces impulsions?
10 — En appliquant le principe fondamental de la dynamique, ´
ecrire l’´
equation v´
erifi´
ee par la
vitesse
ved’un ´
electron du plasma interstellaire. Dans quelle condition la force magn´
etique est-elle
n´
egligeable? ´
Etablir la relation de dispersion de l’onde dans le plasma liant k=
~
k
et
ω
. On fera
intervenir la pulsation plasma
ω
ptelle que
ω
2
p=Ne2/(me
ε
0).
Page 3/6 Tournez la page S.V.P.
´
El´
ements d’astrophysique
11 — Si
ω
>
ω
p, la vitesse de propagation de l’´
energie, ou vitesse de groupe
vg, a pour module
vg=d
ω
dk . Exprimer vgen fonction de c,
ω
et
ω
p. Donner une forme approch´
ee `
a l’ordre 2 de cette
expression dans le r´
egime
ω
ω
p.
12 — Une partie du signal ´
emis par le pulsar se d´
ecompose en la superposition de 2 ondes
´
electromagn´
etiques de fr´
equences diff´
erentes f1et f2. On consid`
ere que ces ondes sont ´
emises au
mˆ
eme instant dans notre direction pendant un intervalle de temps tr`
es bref. Apr`
es avoir parcouru la
distance ddans le plasma interstellaire, elles arrivent sur Terre avec un d´
ecalage dans le temps
δ
t. En
conservant l’hypoth`
ese
ω
ω
p, exprimer den fonction de
δ
t,f1,f2,
ω
pet c.
13La densit´
e moyenne d’´
electrons dans le plasma interstellaire est N=1,0×104´
electrons.m3.
Dans le cas du pulsar PSR0950+08, on observe un d´
ecalage
δ
t=0,05 s entre des signaux de fr´
equences
f1=234 MHz et f2=405 MHz. Apr`
es avoir v´
erifi´
e l’hypoth`
ese de la question 12, calculer sa distance
den ann´
ees-lumi`
ere.
II.C. — La plan`
ete Osiris
En 1999, des astrophysiciens ont observ´
e une baisse p´
eriodique de la luminosit´
e de l’´
etoile HD 209458
situ´
ee dans la constellation de P´
egase `
a 150 ann´
ees-lumi`
ere de la Terre. Cette chute de luminosit´
e dure
quelques heures puis la luminosit´
e reprend sa valeur habituelle, le ph´
enom`
ene se reproduit avec une
p´
eriode T=3,5 jours. On interpr`
ete cette variation par l’existence d’une plan`
ete, baptis´
ee Osiris,
tournant autour de l’´
etoile et dont on admettra que le plan de l’orbite passe par la Terre. La luminosit´
e
de la plan`
ete est suppos´
ee n´
egligeable par rapport `
a celle de l’´
etoile. On supposera ´
egalement dans la
suite que la masse m2de la plan`
ete Osiris est tr`
es inf´
erieure `
a la masse m1de l’´
etoile HD 209458 et
qu’Osiris est l’unique plan`
ete de cette ´
etoile.
14 — Pourquoi la baisse p´
eriodique de luminosit´
e peut-elle s’interpr´
eter comme l’existence d’une
plan`
ete? Sachant que la baisse p´
eriodique de luminosit´
e observ´
ee est de 1,7% , exprimer le rayon
R2d’Osiris en fonction du rayon R1de HD 209458. Par des mesures spectrom´
etriques, on peut
d´
eterminer le type de l’´
etoile HD 209458 ce qui permet d’obtenir (en utilisant un mod`
ele d’´
etoile)
son rayon, on trouve R1=1,1RS. En d´
eduire la valeur num´
erique de R2que l’on exprimera en
fonction du rayon moyen de Jupiter RJ.
15 — Les effets de mar´
ee conduisent rapidement `
a l’annulation de l’excentricit´
e de l’orbite de
la plan`
ete dans ce type de configuration. Pr´
eciser, dans ces conditions, le type de mouvement suivi
par Osiris autour de son ´
etoile. Pendant l’intervalle de temps n´
ecessaire aux diverses mesures, on
peut consid´
erer que le syst`
eme HD 209458Osiris est en translation `
a la vitesse
vtdans le r´
ef´
erentiel
g´
eocentrique. La composante radiale de cette vitesse est mesurable depuis la Terre en utilisant l’ef-
fet Doppler-Fizeau. On remarque que cette vitesse radiale varie p´
eriodiquement entre les valeurs
extrˆ
emes vr=14,68 km.s1et vr+=14,85 km.s1. D´
eterminer le module v1de la vitesse orbitale de
l’´
etoile HD 209458 dans le r´
ef´
erentiel RBbarycentrique du syst`
eme HD 209458Osiris.
16 — On note v2le module de la vitesse orbitale de la plan`
ete Osiris dans RBsuppos´
e galil´
een.
Quelle relation existe-t-il entre m1,m2,v1et v2? Exprimer m2en fonction de v1,m1,Tet de la
constante de gravitation G. On pourra n´
egliger m2devant m1.
17 — Sachant que m1=1,1MS, calculer la valeur num´
erique de m2en fonction de la masse MJ
de Jupiter.
Page 4/6
Physique I, ann´
ee 2010 — fili`
ere PSI
II.D. — Le r´
eseau ´
echelette
La d´
etection d’exoplan`
etes de petites dimensions n´
ecessite
de pouvoir mesurer la variation de la vitesse radiale d’une
´
etoile avec une grande pr´
ecision.
Le t´
elescope HARPS (High Accuracy Radial Velocity for
Planet Research) situ´
e`
a l’observatoire de La Silla au Chili
mesure la vitesse radiale d’une ´
etoile avec une pr´
ecision de
l’ordre de 1 m.s1ce qui lui a permis en avril 2007 de
d´
ecouvrir la premi`
ere petite exoplan`
ete nomm´
ee GLIESE
581c. Ce t´
elescope utilise un r´
eseau ´
echelette qui permet
d’obtenir une tr`
es bonne luminosit´
e dans un ordre d’in-
terf´
erence ´
elev´
e.
Ce type de r´
eseau est constitu´
e d’un grand nombre nde
petites facettes parfaitement r´
efl´
echissantes inclin´
ees d’un
angle
γ
par rapport au plan du r´
eseau et s´
epar´
ees d’une dis-
tance a. Chaque facette, de largeur =acos
γ
, est ´
eclair´
ee
en incidence normale par une onde plane monochromatique
de longueur d’onde
λ
.
µ
°
O1
O2
O3
M
a
FIG. 2 – Le r´
eseau ´
echelette.
On observe l’onde r´
efl´
echie «`
a l’infini »dans la direction
θ
grˆ
ace `
a une lunette. Les centres des
facettes not´
es Okpour k=1,··· ,nsont donc distants de a,on notera Mun point quelconque d’une
facette. Le dispositif est repr´
esent´
e sur la figure 2.
18 — Rappeler le principe d’Huygens-Fresnel.
19 — On note xla distance entre un point Msitu´
e sur la deuxi`
eme facette et O2. Exprimer, en
fonction de xet
θ
, la diff´
erence de marche «`
a l’infini »
δ
(M/O2)entre les rayons issus des sources
secondaires situ´
ees en O2et en M. De mˆ
eme, exprimer, en fonction de a,
γ
et
θ
, la diff´
erence de
marche «`
a l’infini »
δ
(O2/O1)entre les rayons issus de O1et O2. Le d´
ephasage entre ces deux
rayons sera par la suite not´
e
ϕ
.
20 — Exprimer l’amplitude totale de l’onde ´
emise due aux nfacettes. En d´
eduire l’intensit´
e totale
Iobserv´
ee «`
a l’infini ». Montrer que celle-ci peut ˆ
etre mise sous la forme
I=I0sin2
c
π
acos
γ
sin
θ
λ
Fn(
ϕ
)avec Fn(
ϕ
) = "sinn
ϕ
2
sin
ϕ
2#
κ
o`
u la fonction sinc(u) = (sinu)/ud´
esigne le sinus cardinal de l’angle u, et
κ
est une constante que l’on
d´
eterminera. Comment s’interpr`
ete physiquement chacun des facteurs intervenant dans l’expression
de I.
21 — Quelle est la p´
eriode de la fonction Fn(
ϕ
)? Tracer l’allure de la fonction Fn(
ϕ
)pour n1.
22 — Pour quelle valeur
θ
mde
θ
la fonction sin2
c[
π
acos(
γ
)sin(
θ
)/
λ
]admet-elle un maximum
global? On remarque que
θ
mcorrespond aux rayons qui se sont r´
efl´
echis selon les lois de Snell-
Descartes de la r´
eflexion. On souhaite que, pour
θ
=
θ
mqui correspond `
a un maximum d’intensit´
e, la
fonction Fn(
ϕ
)ait un maximum correspondant `
a l’ordre d’interf´
erence p=140. Ce r´
eseau ´
echelette
permettra donc d’avoir un ordre d’interf´
erence 140 tr`
es lumineux pour une longueur d’onde donn´
ee.
D´
eterminer l’angle
γ
correspondant, calculer sa valeur si
λ
=431 nm et si le r´
eseau contient 32
facettes par millim`
etre.
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