physique 1

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ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT–´ ETIENNE, MINES DE NANCY,
T´ EL´ ECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILI` ERE MP)
´
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILI` ERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2010
PREMI` ERE ´ EPREUVE DE PHYSIQUE
Fili` ere MP
(Dur´ ee de l’´ epreuve: 3 heures)
L’usage de la calculatrice est autoris´ e
Sujet mis ` a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE–EIVP
Les candidats sont pri´ es de mentionner de fac¸on apparente sur la premi` ere page de la copie :
PHYSIQUE I — MP.
L’´ enonc´ e de cette ´ epreuve comporte 6 pages.
– Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui lui semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il est invit´ e` a le
signaler sur sa copie et ` a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura ´ et´ e
amen´ e` a prendre.
– Il ne faudra pas h´ esiter ` a formuler les commentaires (incluant des consid´ erations num´ eriques) qui vous
sembleront pertinents, mˆ eme lorsque l’´ enonc´ e ne le demande pas explicitement. La bar` eme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualit´ es de r´ edaction de la copie.
´
EL´ EMENTS D’ASTROPHYSIQUE
Ce probl` eme se propose d’´ etudier dans un premier temps la formation et l’´ evolution d’une ´ etoile et
de s’int´ eresser ensuite ` a diff´ erents objets c´ elestes tels que les com` etes, les pulsars et les exoplan` etes.
Toutes les sous-parties sont ind´ ependantes entre elles. Les donn´ ees n´ ecessaires aux applications
num´ eriques sont rassembl´ ees ` a la fin du sujet. Les vecteurs sont not´ es avec un chapeau s’ils sont
unitaires b u, avec une fl` eche −→ vdans le cas g´ en´ eral. Hormis i2=−1, les nombres complexes sont
soulign´ es : z∈C.
I. — ´ Etude physique des ´ etoiles
Dans toute cette partie on consid` ere qu’une ´ etoile est une boule de masse M, de rayon R, de masse
volumique ρ suppos´ ee constante et entour´ ee de vide.
I.A. — ´ Energie potentielle d’une ´ etoile sph´ erique, th´ eor` eme du viriel
1 — On consid` ere deux particules ponctuelles not´ ees Q1et Q2de masses m1et m2s´ epar´ ees par
une distance r. Donner l’expression la force d’interaction gravitationnelle −→ f1→2exerc´ ee par Q1sur
Q2. On utilisera le vecteur unitaire b u=−−−→ Q1Q2/r. En d´ eduire l’expression de l’´ energie potentielle de
gravitation Epassoci´ ee ` a cette force en fonction de m1,m2,ret de la constante de gravitation G. On
fixera l’origine du potentiel de telle mani` ere que Ep=0 lorsque r→+∞.
On souhaite exprimer l’´ energie potentielle de gravitation d’une boule homog` ene de masse M, de
centre O, de rayon Ret de masse volumique
ρ suppos´ ee constante. Cette ´ energie correspond ` a
l’´ energie de constitution de la boule en amenant successivement depuis l’infini des couches sph´ eriques
concentriques d’´ epaisseur dr.

´
El´ ements d’astrophysique
2 — On consid` ere un ´ etat interm´ ediaire Brde la boule dans lequel elle poss` ede un rayon rtel
que 0 <r<Ret une masse mrtelle que 0 <mr<M. Justifier le fait que l’interaction entre Bret
un corps ponctuel massif Ksitu´ e hors de Brest ´ equivalente ` a celle entre une particule ponctuelle
situ´ ee en Ode masse mret K. On ajoute ` aBrune couche sph´ erique Crde masse dmet d’´ epaisseur
dr. D´ eterminer l’´ energie potentielle de gravitation dEpentre Bret Cr. On exprimera dEpen fonction
de r, dret de
ρ . En d´ eduire que l’´ energie potentielle de gravitation de la boule de rayon Rs’´ ecrit
Ep=
α GM2/Ro` u α est une constante num´ erique que l’on d´ eterminera.
On consid` ere ` a pr´ esent que l’´ etoile est constitu´ ee d’un gaz parfait , chaque particule de ce gaz ´ etant
un atome d’hydrog` ene d’´ energie cin´ etique ec=3
2kBTo`
ukB=R/Nest la constante de Boltzmann,
Rest la constante des gaz parfaits et Nle nombre d’Avogadro. La pression donn´ ee par la loi des
gaz parfaits est ici uniquement d’origine cin´ etique et on ne tient donc pas compte de la pression de
radiation. Dans ce mod` ele, la pression Pet la temp´ erature Tsont des fonctions de la seule coordonn´ ee
radiale r, enfin le nombre de particules par unit´ e de volume nest constant ` a l’int´ erieur de l’´ etoile. On
suppose de plus que l’´ etoile est entour´ ee de vide, ainsi P(R) = 0.
3 — Exprimer l’´ energie cin´ etique totale Ecdes particules constituant l’´ etoile sous la forme d’une
int´ egrale faisant intervenir la pression P(r). En ´ ecrivant l’´ equation d’´ equilibre hydrostatique, et en
effectuant une int´ egration par parties, montrer que l’on obtient la relation
2Ec=
κ Ep
o` u
κ est un facteur num´ erique que l’on d´ eterminera. Cette relation constitue le th´ eor` eme du viriel, il
est tr` es utilis´ e en astrophysique pour d´ ecrire les propri´ et´ es d’objets tels que les ´ etoiles ou les galaxies.
I.B. — Pression et temp´ erature dans une ´ etoile, r´ eactions de fusion
4 — En int´ egrant l’´ equation d’´ equilibre hydrostatique, d´ eterminer la pression P(r)au sein de
l’´ etoile en fonction de M,G,Ret r. Pour quelle valeur de rcette pression est-elle maximale ? Ex-
primer cette valeur maximale Pmax en fonction de G,Met Rainsi que la temp´ erature maximale Tmax
correspondante en fonction de G,M,R,Ret de la masse molaire de l’hydrog` ene MH. Calculer
num´ eriquement Pmax et Tmax dans le cas du Soleil.
5 — On consid` ere qu’au sein de l’´ etoile, chaque atome d’hydrog` ene occupe une petit cube d’arˆ ete
β . Exprimer ρ en fonction de MH,Net β , en d´ eduire une expression de Ren fonction de MH,N,
Met
β . Montrer alors que l’on peut mettre la masse de l’´ etoile sous la forme :
M=K(
β Tmax)3/2(1)
o` u la constante Kne d´ epend que de constantes fondamentales. Calculer la valeur num´ erique de K.
Pendant une grande partie de leur existence, les ´ etoiles tirent leur ´ energie de r´ eactions de fusion
thermonucl´ eaire entre des atomes d’hydrog` ene qui produisent des atomes d’h´ elium. Pour que ces
r´ eactions puissent s’amorcer au centre de l’´ etoile, il faut que l’´ energie d’agitation thermique des
atomes surpasse l’´ energie potentielle de r´ epulsion coulombienne. La temp´ erature qui r` egne au centre
des ´ etoiles permet de supposer que les atomes d’hydrog` ene qui fusionnent sont compl` etement ionis´ es.
On consid´ erera ici que l’´ energie d’agitation thermique d’un de ces atomes est ´ egale ` a son ´ energie
cin´ etique ec=3
2kBT.
6 — D´ eterminer l’´ energie potentielle ´ electrostatique d’interaction upp entre deux protons s´ epar´ es
d’une distance
β , on fixera l’origine du potentiel de telle mani` ere que upp =0 lorsque β →∞. En
utilisant le r´ esultat (1)de la question 5, d´ eterminer la valeur limite Mℓde la masse de l’´ etoile pour
que les r´ eactions de fusion puissent avoir lieu. On exprimera Mℓen fonction de K,kB,
ε
0et de la
charge ´ el´ ementaire e. V´ erifier que la masse du Soleil est bien suffisante pour permettre la fusion de
l’hydrog` ene. L’homme a-t-il d´ ej` a r´ ealis´ e des r´ eactions de fusion nucl´ eaire?
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Physique I, ann´ ee 2010 — fili` ere MP
I.C. — Ph´ enom` enes convectifs
Depuis le d´ ebut de cette partie, nous avons suppos´ e que l’´ etoile ´ etait en ´ equilibre hydrostatique. Dans
le cas du Soleil, les couches externes (pour rcompris entre 0,7Ret R) sont le si` ege de mouvements
de convection dans la direction radiale, caus´ es par une variation rapide de la temp´ erature. On admet
que cette convection ne brise pas l’´ etat d’´ equilibre si le gradient de temp´ erature n’est pas trop grand,
et en particulier inf´ erieur en module ` a celui correspondant ` a une transformation isentropique.
7 — Exprimer la composante radiale du gradient de temp´ erature dT
dr au sein d’une ´
etoile sph´ erique
constitu´ ee d’un gaz parfait de coefficient
γ =cp/cven ´ evolution isentropique en fonction de la pres-
sion P(r), de la temp´ erature T(r)et de la composante radiale du gradient de pression.
I.D. — Puissance ´ emise et dur´ ee de vie du Soleil
Pour rendre compte de la puissance ´ emise par le Soleil, on n´ eglige la conduction et la convection
thermique et on ne retient que le processus d’´ echange thermique radiatif d´ ecrit ci-dessous.
Chaque sph` ere de rayon rau sein du Soleil c` ede, pendant dt, l’´ energie
δ Wr= φ (r)dt
o` u la quantit´ e
φ (r)est appel´ ee flux radiatif d’´ energie. Ce flux est radial et dirig´ e vers l’ext´ erieur. La
production d’´ energie dans le Soleil est assur´ ee par les r´ eactions nucl´ eaires au cœur de l’´ etoile, mais
selon un mod` ele tr` es simple, nous supposerons que la puissance
ε d´ egag´ ee par unit´ e de masse par ces
r´ eactions, d´ ecroˆ ıt lin´ eairement avec le rayon selon la relation
ε (r) = σ (1−r
RS)avec 0 <r<RS
L’unit´ e de
ε est le W.kg−1et σ est une constante. La masse du Soleil est not´ ee MS, son rayon RSet
sa masse volumique
ρ
Sest suppos´
ee constante dans ce mod` ele .
8 — En ´ ecrivant un bilan ´ energ´ etique sur une couche sph´ erique d’´ epaisseur dren r´ egime per-
manent, d´ eterminer
φ (r)si l’on fait l’hypoth` ese que le flux radiatif est nul en r=0. En d´ eduire la
puissance P=
φ (RS)´ emise par le Soleil dans tout l’espace en fonction de σ et de sa masse MS. Des
mesures depuis la Terre, ou depuis un satellite, indiquent que P=3,8×1026W, calculer la valeur
num´ erique de la constante
σ .
L’´ energie transport´ ee au sein du Soleil est produite par les r´ eactions de fusion de l’hydrog` ene en
h´ elium qui ont lieu en son cœur : la r´ egion centrale la plus chaude repr´ esentant 14% de sa masse.
Chacune de ces r´ eactions convertit 4 atomes d’hydrog` ene en un atome d’h´ elium et fournit l’´ energie
Ef=4,23×10−12J. On ´ evalue ` a 70% la masse du cœur susceptible de fusionner en h´ elium. On fait
l’hypoth` ese que la puissance ´ emise par le Soleil est constante.
9 — En utilisant une c´ el` ebre ´ equation d’Albert Einstein, d´ eterminer la valeur num´ erique de la
masse transform´ ee en ´ energie par le Soleil chaque seconde. En d´ eduire la valeur num´ erique de la
masse d’hydrog` ene transform´ ee en h´ elium par le Soleil chaque seconde. Combien de temps reste-t-il
au Soleil avant qu’il ait ´ epuis´ e tout son hydrog` ene? On exprimera ce temps en ann´ ees.
FIN DE LA PARTIE I
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´
El´ ements d’astrophysique
II. — Quelques probl` emes d’astrophysique
II.A. — Orientation de la queue d’une com` ete
Une particule sph´ erique de rayon
µ de masse volumique ρ
csitu´
ee dans l’espace interstellaire ` a la
distance rdu Soleil rec¸oit de la part de cette ´ etoile une ´ energie
δ Wpendant l’intervalle de temps
dt. Si l’on consid` ere que toute cette ´ energie est absorb´ ee par la particule, celle-ci subit une force −→ F
radiale r´ epulsive, due ` a la pression de radiation, dont le module s’´ ecrit F=1
c
δ W
dto`
ucest la c´ el´ erit´ e
de la lumi` ere dans le vide.
10 — D´ eterminer l’expression de Fen fonction de µ ,r,cet de la puissance P´ emise par le Soleil.
`
A quelle condition sur
µ cette force est-elle sup´ erieure ` a la force de gravitation exerc´ ee par le Soleil
sur la particule? La valeur limite
µ
ℓsera exprim´
ee en fonction de P,G,MS,
ρ
cet c. Calculer la
valeur num´ erique de
µ
ℓpour une valeur de la masse volumique
ρ
c=3,0×103kg.m−3.
11 — Une com` ete est constitu´ ee d’un noyau, d’une chevelure et de plusieurs queues dont l’une,
constitu´ ee de fines poussi` eres, est toujours situ´ ee ` a l’oppos´ e du Soleil par rapport au noyau. Comment
interpr´ etez-vous ces observations?
II.B. — Mesure de la distance d’un pulsar par la m´ ethode de dispersion
Axederotation
Axe
magnétique
jet
électromagnétique
Étoile
àneutron
FIG. 1 – Sch´ ema d’un pulsar.
Apr` es avoir consomm´ e tout leur carburant nucl´ eaire,
la plupart des ´ etoiles massives s’effondrent et forment
une structure tr` es compacte compos´ ee de neutrons. On
parle d’´ etoile ` a neutrons. La conservation du moment
cin´ etique impose une rotation tr` es rapide ` a ce type
d’´ etoile, de l’ordre d’un tour par seconde. La struc-
ture dipolaire du champ magn´ etique intense r´ egnant au-
tour des ´ etoiles ` a neutrons, permet l’´ emission d’ondes
´
electromagn´ etiques par les r´ egions polaires du champ
magn´ etique. Si l’axe de rotation de l’´ etoile ` a neu-
trons n’est pas align´ e avec l’axe de sym´ etrie du champ
magn´ etique, on peut alors observer un pulsar (voir fi-
gure 1) depuis la Terre. Cette onde est associ´ ee ` a un
champ ´ electrique ~ Edont la repr´ esentation complexe
s’´ ecrit ~ E=~
E0ei(
ω t−
~
k.~r)o`
u~ E0est un vecteur constant.
Cette onde se propage dans le milieu interstellaire que
nous assimilerons ` a un plasma homog` ene globalement
neutre et constitu´ e de N´ electrons par m3et Nions par
m3libres de se d´ eplacer.
Les ions sont suppos´ es immobiles et les ´ electrons ne sont soumis qu’` a la force impos´ ee par le champ
´
electromagn´ etique de l’onde ´ emise par le pulsar.
12 — Pourquoi cette onde est-elle rec¸ue sur Terre sous la forme d’un signal impulsionnel p´ eriodi-
que? Quelle est la fr´ equence de ces impulsions?
13 — En appliquant le principe fondamental de la dynamique, ´ ecrire l’´ equation v´ erifi´ ee par la
vitesse −→ ved’un ´ electron du plasma interstellaire. Dans quelle condition la force magn´ etique est-elle
n´ egligeable? ´ Etablir la relation de dispersion de l’onde dans le plasma liant k=
~
k
et
ω . On fera
intervenir la pulsation plasma ω
ptelle que
ω
2
p=Ne2/(me
ε
0).
14 — Si ω > ω
p, la vitesse de propagation de l’´
energie, ou vitesse de groupe −→ vg, a pour module
vg=d
ω
dk . Exprimer vgen fonction de c,
ω et ω
p. Donner une forme approch´
ee ` a l’ordre 2 de cette
expression dans le r´ egime
ω ≫ ω
p.
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Physique I, ann´ ee 2010 — fili` ere MP
15 — Une partie du signal ´ emis par le pulsar se d´ ecompose en la superposition de 2 ondes
´
electromagn´ etiques de fr´ equences diff´ erentes f1et f2. On consid` ere que ces ondes sont ´ emises au
mˆ eme instant dans notre direction pendant un intervalle de temps tr` es bref. Apr` es avoir parcouru la
distance ddans le plasma interstellaire, elles arrivent sur Terre avec un d´ ecalage dans le temps
δ t. En
conservant l’hypoth` ese
ω ≫ ω
p, exprimer den fonction de
δ t,f1,f2, ω
pet c.
16—La densit´ e moyenne d’´ electrons dans le plasma interstellaire est N=1,0×104´ electrons.m−3.
Dans le cas du pulsar PSR0950+08, on observe un d´ ecalage
δ t=0,05 s entre des signaux de fr´ equences
f1=234 MHz et f2=405 MHz. Apr` es avoir v´ erifi´ e l’hypoth` ese de la question 15, calculer sa distance
den ann´ ees-lumi` ere.
II.C. — La plan` ete Osiris
En 1999, des astrophysiciens ont observ´ e une baisse p´ eriodique de la luminosit´ e de l’´ etoile HD 209458
situ´ ee dans la constellation de P´ egase ` a 150 ann´ ees-lumi` ere de la Terre. Cette chute de luminosit´ e dure
quelques heures puis la luminosit´ e reprend sa valeur habituelle, le ph´ enom` ene se reproduit avec une
p´ eriode T=3,5 jours. On interpr` ete cette variation par l’existence d’une plan` ete, baptis´ ee Osiris,
tournant autour de l’´ etoile et dont on admettra que le plan de l’orbite passe par la Terre. La luminosit´ e
de la plan` ete est suppos´ ee n´ egligeable par rapport ` a celle de l’´ etoile. On supposera ´ egalement dans la
suite que la masse m2de la plan` ete Osiris est tr` es inf´ erieure ` a la masse m1de l’´ etoile HD 209458 et
qu’Osiris est l’unique plan` ete de cette ´ etoile.
17 — Pourquoi la baisse p´ eriodique de luminosit´ e peut-elle s’interpr´ eter comme l’existence d’une
plan` ete? Sachant que la baisse p´ eriodique de luminosit´ e observ´ ee est de 1,7% , exprimer le rayon
R2d’Osiris en fonction du rayon R1de HD 209458. Par des mesures spectrom´ etriques, on peut
d´ eterminer le type de l’´ etoile HD 209458 ce qui permet d’obtenir (en utilisant un mod` ele d’´ etoile)
son rayon, on trouve R1=1,1RS. En d´ eduire la valeur num´ erique de R2que l’on exprimera en
fonction du rayon moyen de Jupiter RJ.
18 — Les effets de mar´ ee conduisent rapidement ` a l’annulation de l’excentricit´ e de l’orbite de
la plan` ete dans ce type de configuration. Pr´ eciser, dans ces conditions, le type de mouvement suivi
par Osiris autour de son ´ etoile. Pendant l’intervalle de temps n´ ecessaire aux diverses mesures, on
peut consid´ erer que le syst` eme HD 209458−Osiris est en translation ` a la vitesse −→ vtdans le r´ ef´ erentiel
g´ eocentrique. La composante radiale de cette vitesse est mesurable depuis la Terre en utilisant l’ef-
fet Doppler-Fizeau. On remarque que cette vitesse radiale varie p´ eriodiquement entre les valeurs
extrˆ emes vr−=14,68 km.s−1et vr+=14,85 km.s−1. D´
eterminer le module v1de la vitesse orbitale de
l’´ etoile HD 209458 dans le r´ ef´ erentiel RBbarycentrique du syst` eme HD 209458−Osiris.
19 — On note v2le module de la vitesse orbitale de la plan` ete Osiris dans RBsuppos´ e galil´ een.
Quelle relation existe-t-il entre m1,m2,v1et v2? Exprimer m2en fonction de v1,m1,Tet de la
constante de gravitation G. On pourra n´ egliger m2devant m1.
20 — Sachant que m1=1,1MS, calculer la valeur num´ erique de m2en fonction de la masse MJ
de Jupiter.
FIN DE LA PARTIE II
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