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Mines Physique 1 PSI 2010 — Énoncé 1/6
´
ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO(ISAE),ENSTAPARISTECH,
TELECOMPARISTECH,MINES PARISTECH,
MINESDESAINT–´ ETIENNE,MINESDENANCY,
T´ EL ´ ECOMBRETAGNE,ENSAEPARISTECH (FILI` ERE MP)
´
ECOLE POLYTECHNIQUE(FILI` ERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2010
PREMI ` ERE´ EPREUVEDEPHYSIQUE
Fili` ere PSI
(Dur´ ee del’´ epreuve:3heures)
L’usagedelacalculatrice estautoris´ e
Sujetmis ` adisposition desconcours:Cycle international, ENSTIM,TELECOMINT,TPE–EIVP
Lescandidats sontpri´ esdementionnerdefac¸on apparentesurla premi` erepagedelacopie:
PHYSIQUEI—PSI.
L’´ enonc´ ede cette´ epreuve comporte6 pages.
–Si, aucoursdel’´ epreuve,un candidatrep` ere ce quiluisemble ˆ etreune erreurd’´ enonc´ e,il estinvit´ e` ale
signalersursa copie et` apoursuivresa compositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’il aura´ et´ e
amen´ e` aprendre.
–Ilnefaudrapash´ esiter` aformulerlescommentaires(incluantdesconsid´ erationsnum´ eriques)quivous
semblerontpertinents,mˆ eme lorsquel’´ enonc´ enele demandepasexplicitement. Labar` eme tiendra compte
de cesinitiativesainsiquedesqualit´ esder´ edaction dela copie.
´
EL ´ EMENTSD’ASTROPHYSIQUE
Ce probl` emeseproposed’´ etudierdansun premiertempslaformation et l’´ evolution d’une´ etoile et
des’int´ eresserensuite` adiff´ erentsobjetsc´ elestestelsquelescom` etes,lespulsarset lesexoplan` etes.
Toutesles sous-parties sont ind´ ependantesentre elles.Lesdonn´ eesn´ ecessairesaux applications
num´ eriques sontrassembl´ ees` alafin du sujet.Lesvecteurs sontnot´ esavec un chapeaus’ils sont
unitairesb u,avec unefl` eche−→ vdansle casg´ en´ eral.Hormisi2=−1,lesnombrescomplexes sont
soulign´ es:z∈C.
I.—´ Etudephysiquedes´ etoiles
Danstoute cettepartieon consid` erequ’une´ etoile estunebouledemasseM,derayon R,demasse
volumique
ρ suppos´ ee constante etentour´ ee devide.
I.A.—´ Energiepotentielled’une´ etoilesph´ erique,th´ eor` emedu viriel
1—Onconsid` eredeux particulesponctuellesnot´ eesQ1etQ2demassesm1etm2s´ epar´ eespar
unedistance r.Donnerl’expression laforce d’interaction gravitationnelle−→ f1→2exerc´ ee parQ1sur
Q2.On utiliseralevecteurunitaireb u=−−−→ Q1Q2/r.En d´ eduirel’expression del’´ energiepotentiellede
gravitation Epassoci´ ee ` a cetteforce enfonction dem1,m2,retdela constantedegravitation G.On
fixeral’originedu potentieldetellemani` erequeEp=0lorsquer→+∞.
Onsouhaite exprimerl’´ energiepotentielledegravitation d’uneboulehomog` enedemasseM,de
centreO,derayon Retdemassevolumique
ρ suppos´ ee constante.Cette´ energie correspond ` a
l’´ energiede constitution delaboule enamenantsuccessivementdepuisl’infinidescouches sph´ eriques
concentriquesd’´ epaisseurdr.
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Mines Physique 1 PSI 2010 — Énoncé 2/6
2—Onconsid` ereun ´ etat interm´ ediaireBrdelabouledanslequelelleposs` edeun rayon rtel
que0<r<Retunemassemrtelleque0<mr<M.Justifierlefait quel’interaction entreBret
un corpsponctuelmassifKsitu´ ehorsdeBrest´ equivalente` a celle entreuneparticuleponctuelle
situ´ ee enOdemassemretK.Onajoute` aBrune couchesph´ eriqueCrdemassedmetd’´ epaisseur
dr.D´ eterminerl’´ energiepotentielledegravitation dEpentreBretCr.OnexprimeradEpenfonction
der,dretde
ρ .En d´ eduirequel’´ energiepotentielledegravitation delaboulederayon Rs’´ ecrit
Ep=
α GM2/Ro` u α estune constantenum´ eriquequel’on d´ eterminera.
Onconsid` ere` apr´ esentquel’´ etoile estconstitu´ ee d’un gaz parfait ,chaqueparticulede ce gaz ´ etant
un atomed’hydrog` ened’´ energie cin´ etiqueec=3
2kBTo`
ukB=R/Nest la constantedeBoltzmann,
Rest la constantedesgaz parfaitsetNlenombred’Avogadro.Lapression donn´ ee parlaloides
gaz parfaitsest iciuniquementd’origine cin´ etique eton netientdoncpascomptedelapression de
radiation.Dansce mod` ele,lapression Pet latemp´ eratureTsontdesfonctionsdelaseule coordonn´ ee
radialer,enfinlenombredeparticulesparunit´ edevolumenestconstant` al’int´ erieurdel’´ etoile.On
supposedeplusquel’´ etoile estentour´ ee devide,ainsiP(R)=0.
3—Exprimerl’´ energie cin´ etiquetotaleEcdesparticulesconstituant l’´ etoilesouslaformed’une
int´ egralefaisant intervenirlapression P(r).En´ ecrivant l’´ equation d’´ equilibrehydrostatique,eten
effectuantuneint´ egration parparties,montrerquel’on obtient larelation
2Ec=
κ Ep
o` u
κ estun facteurnum´ eriquequel’on d´ eterminera.Cetterelation constitueleth´ eor` emedu viriel,il
est tr` esutilis´ e enastrophysiquepourd´ ecrirelespropri´ et´ esd’objetstelsqueles´ etoilesou lesgalaxies.
I.B.—Pression et temp´ erature dansune´ etoile,r´ eactionsdefusion
4—Enint´ egrant l’´ equation d’´ equilibrehydrostatique,d´ eterminerlapression P(r)ausein de
l’´ etoile enfonction deM,G,Retr.Pourquellevaleurdercettepression est-ellemaximale ? Ex-
primercettevaleurmaximaleP
maxenfonction deG,MetRainsiquelatemp´
eraturemaximaleTmax
correspondante enfonction deG,M,R,Retdelamassemolairedel’hydrog` eneMH.Calculer
num´ eriquementP
maxetTmaxdansle casdu Soleil.
5—Onconsid` erequ’ausein del’´ etoile,chaque atomed’hydrog` eneoccupeunepetit cubed’arˆ ete
β .Exprimer ρ enfonction deMH,Net β ,en d´ eduireune expression deRenfonction deMH,N,
Met
β .Montreralorsquel’on peutmettrelamassedel’´ etoilesouslaforme:
M=K(
β Tmax)3/2(1)
o` ula constanteKned´ epend quede constantesfondamentales.Calculerlavaleurnum´ eriquedeK.
Pendantunegrandepartiedeleurexistence,les´ etoilestirent leur´ energieder´ eactionsdefusion
thermonucl´ eaire entredesatomesd’hydrog` enequiproduisentdesatomesd’h´ elium.Pourque ces
r´ eactionspuissents’amorceraucentredel’´ etoile,il fautquel’´ energied’agitation thermiquedes
atomes surpassel’´ energiepotentielleder´ epulsion coulombienne.Latemp´ eraturequir` egne aucentre
des´ etoilespermetdesupposerquelesatomesd’hydrog` enequifusionnentsontcompl` etement ionis´ es.
Onconsid´ ereraiciquel’´ energied’agitation thermiqued’un de cesatomesest´ egale` ason ´ energie
cin´ etiqueec=3
2kBT.
6—D´ eterminerl’´ energiepotentielle´ electrostatiqued’interaction upp entredeux protons s´ epar´ es
d’unedistance
β ,on fixeral’originedu potentieldetellemani` erequeupp =0lorsque β →∞.En
utilisant ler´ esultat(1)delaquestion 5,d´ eterminerlavaleurlimiteMℓdelamassedel’´ etoilepour
quelesr´ eactionsdefusion puissentavoirlieu.OnexprimeraMℓenfonction deK,kB,
ε
0etdela
charge´ el´ ementairee.V´ erifierquelamassedu Soleil estbiensuffisantepourpermettrelafusion de
l’hydrog` ene.L’homme a-t-il d´ ej` ar´ ealis´ edesr´ eactionsdefusion nucl´ eaire ?
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Mines Physique 1 PSI 2010 — Énoncé 3/6
FIN DELA PARTIEI
II.—Quelquesprobl` emesd’astrophysique
II.A.—Orientation delaqueued’une com` ete
Uneparticulesph´ eriquederayon
µ demassevolumique ρ
csitu´
ee dansl’espace interstellaire` ala
distance rdu Soleil rec¸oit delapartde cette´ etoileune´ energie
δ Wpendant l’intervalledetemps
dt.Si l’on consid` erequetoute cette´ energie estabsorb´ ee parlaparticule,celle-cisubit uneforce −→ F
radialer´ epulsive,due` alapression deradiation,dont lemodules’´ ecrit F=1
c
δ W
dto`
ucest la c´ el´ erit´ e
delalumi` eredanslevide.
7—D´ eterminerl’expression deFenfonction de µ ,r,cetdelapuissance PS´
emiseparleSoleil.
`
Aquelle condition sur
µ cetteforce est-ellesup´ erieure` alaforce degravitation exerc´ ee parleSoleil
surlaparticule ? Lavaleurlimite
µ
ℓsera exprim´
ee enfonction dePS,G,MS,
ρ
cetc.Calculerla
valeurnum´ eriquede
µ
ℓpourunevaleurdelamassevolumique
ρ
c=3,0×103kg.m−3.
8—Une com` ete estconstitu´ ee d’un noyau,d’une chevelure etdeplusieursqueuesdont l’une,
constitu´ ee definespoussi` eres,est toujours situ´ ee ` al’oppos´ edu Soleil par rapportau noyau.Comment
interpr´ etez-vouscesobservations?
II.B.—Mesure deladistance d’un pulsar par lam´ ethodededispersion
Axe de rotation
Axe
magnétique
jet
électromagnétique
Étoile
à neutron
FIG.1 – Sch´ emad’un pulsar.
Apr` esavoirconsomm´ etout leurcarburantnucl´ eaire,
laplupartdes´ etoilesmassives s’effondrentetforment
unestructuretr` escompacte compos´ ee deneutrons.On
parled’´ etoile` aneutrons.La conservation du moment
cin´ etiqueimposeunerotation tr` esrapide` a ce type
d’´ etoile,del’ordred’un tourparseconde.Lastruc-
turedipolairedu champmagn´ etiqueintenser´ egnantau-
tourdes´ etoiles` aneutrons,permet l’´ emission d’ondes
´
electromagn´ etiquesparlesr´ egionspolairesdu champ
magn´ etique.Si l’axederotation del’´ etoile` aneu-
tronsn’estpasalign´ e avec l’axedesym´ etriedu champ
magn´ etique,on peutalorsobserverun pulsar (voirfi-
gure1)depuislaTerre.Cetteonde estassoci´ ee ` aun
champ´ electrique~ Edont larepr´ esentation complexe
s’´ ecrit ~ E=~
E0ei(
ω t−
~
k.~r)o`
u~ E0estun vecteurconstant.
Cetteondesepropagedanslemilieuinterstellaireque
nousassimilerons` aun plasmahomog` eneglobalement
neutre etconstitu´ edeN´ electronsparm3etNionspar
m3libresdesed´ eplacer.
Lesions sontsuppos´ esimmobileset les´ electronsnesontsoumisqu’` alaforce impos´ ee parle champ
´
electromagn´ etiquedel’onde´ emiseparlepulsar.
9—Pourquoicetteonde est-ellerec¸uesurTerresouslaformed’un signal impulsionnelp´ eriodi-
que ? Quelle est lafr´ equence de cesimpulsions?
10 —Enappliquant leprincipefondamentaldeladynamique,´ ecrirel’´ equation v´ erifi´ ee parla
vitesse−→ ved’un ´ electron du plasmainterstellaire.Dansquelle condition laforce magn´ etique est-elle
n´ egligeable ? ´ Etablirlarelation dedispersion del’ondedansleplasmaliantk=
~
k
et
ω .Onfera
intervenirlapulsation plasma
ω
ptelleque
ω
2
p=Ne2/(me
ε
0).
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Mines Physique 1 PSI 2010 — Énoncé 4/6
11 —Si ω > ω
p,lavitessedepropagation del’´
energie,ou vitessedegroupe−→ vg,apourmodule
vg=d
ω
dk.Exprimervgenfonction dec,
ω et ω
p.Donneruneforme approch´
ee ` al’ordre2 de cette
expression dansler´ egime
ω ≫ ω
p.
12 —Unepartiedu signal´ emisparlepulsarsed´ ecompose enlasuperposition de2 ondes
´
electromagn´ etiquesdefr´ equencesdiff´ erentesf1etf2.Onconsid` ereque cesondes sont´ emisesau
mˆ emeinstantdansnotredirection pendantun intervalledetempstr` esbref.Apr` esavoirparcourula
distance ddansleplasmainterstellaire,ellesarriventsurTerre avec un d´ ecalagedansletemps
δ t.En
conservant l’hypoth` ese
ω ≫ ω
p,exprimerdenfonction de
δ t,f1,f2, ω
petc.
13 —Ladensit´ emoyenned’´ electronsdansleplasmainterstellaire estN=1,0×104´
electrons.m−3.
Dansle casdu pulsarPSR0950+08,on observeun d´ ecalage
δ t=0,05 sentredes signaux defr´ equences
f1=234 MHz etf2=405 MHz.Apr` esavoirv´ erifi´ el’hypoth` esedelaquestion 12,calculersadistance
denann´ ees-lumi` ere.
II.C.—Laplan` eteOsiris
En 1999,desastrophysiciensontobserv´ eunebaissep´ eriodiquedelaluminosit´ edel’´ etoileHD 209458
situ´ ee dansla constellation deP´ egase` a150 ann´ ees-lumi` eredelaTerre.Cette chutedeluminosit´ edure
quelquesheurespuislaluminosit´ ereprend savaleurhabituelle,leph´ enom` enesereproduit avec une
p´ eriodeT=3,5jours.Oninterpr` ete cettevariation parl’existence d’uneplan` ete,baptis´ ee Osiris,
tournantautourdel’´ etoile etdonton admettraqueleplan del’orbitepasseparlaTerre.Laluminosit´ e
delaplan` ete estsuppos´ ee n´ egligeablepar rapport` a celledel’´ etoile.Onsupposera´ egalementdansla
suitequelamassem2delaplan` eteOsirisest tr` esinf´ erieure` alamassem1del’´ etoileHD 209458 et
qu’Osirisest l’uniqueplan` etede cette´ etoile.
14 —Pourquoi labaissep´ eriodiquedeluminosit´ epeut-elles’interpr´ etercommel’existence d’une
plan` ete ? Sachantquelabaissep´ eriodiquedeluminosit´ eobserv´ ee estde1,7%,exprimerlerayon
R2d’Osirisenfonction du rayon R1deHD 209458.Pardesmesures spectrom´ etriques,on peut
d´ eterminerletypedel’´ etoileHD 209458 ce quipermetd’obtenir (en utilisantun mod` eled’´ etoile)
son rayon,on trouveR1=1,1RS.En d´ eduirelavaleurnum´ eriquedeR2quel’on exprimera en
fonction du rayon moyen deJupiterRJ.
15 —Leseffetsdemar´ ee conduisentrapidement` al’annulation del’excentricit´ edel’orbitede
laplan` etedansce typede configuration.Pr´ eciser,danscesconditions,letypedemouvementsuivi
parOsirisautourdeson ´ etoile.Pendant l’intervalledetempsn´ ecessaire aux diversesmesures,on
peutconsid´ ererquelesyst` emeHD 209458−Osirisestentranslation ` alavitesse−→ vtdansler´ ef´ erentiel
g´ eocentrique.La composanteradialede cettevitesse estmesurabledepuislaTerre en utilisant l’ef-
fetDoppler-Fizeau.Onremarqueque cettevitesseradialevariep´ eriodiquemententrelesvaleurs
extrˆ emesvr−=14,68 km.s−1etvr+=14,85 km.s−1.D´
eterminerlemodulev1delavitesseorbitalede
l’´ etoileHD 209458 dansler´ ef´ erentielRBbarycentriquedu syst` emeHD 209458−Osiris.
16 —On notev2lemoduledelavitesseorbitaledelaplan` eteOsirisdansRBsuppos´ egalil´ een.
Quellerelation existe-t-il entrem1,m2,v1etv2?Exprimerm2enfonction dev1,m1,Tetdela
constantedegravitation G.On pourran´ egligerm2devantm1.
17 —Sachantquem1=1,1MS,calculerlavaleurnum´ eriquedem2enfonction delamasseMJ
deJupiter.
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Mines Physique 1 PSI 2010 — Énoncé 5/6
II.D.—Le r´ eseau ´ echelette
Lad´ etection d’exoplan` etesdepetitesdimensionsn´ ecessite
depouvoirmesurerlavariation delavitesseradialed’une
´
etoile avec unegrandepr´ ecision.
Let´ elescopeHARPS(High AccuracyRadialVelocityfor
PlanetResearch)situ´ e` al’observatoiredeLaSilla auChili
mesurelavitesseradialed’une´ etoile avec unepr´ ecision de
l’ordrede1m.s−1ce qui luiapermisenavril 2007 de
d´ ecouvrirlapremi` erepetite exoplan` etenomm´ ee GLIESE
581c.Ce t´ elescopeutiliseun r´ eseau´ echelettequipermet
d’obtenirunetr` esbonneluminosit´ edansun ordred’in-
terf´ erence ´ elev´ e.
Ce typeder´ eseauestconstitu´ ed’un grand nombrende
petitesfacettesparfaitementr´ efl´ echissantesinclin´ eesd’un
angle
γ par rapportau plan du r´ eseauets´ epar´ eesd’unedis-
tance a.Chaquefacette,delargeurℓ=acos
γ ,est´ eclair´ ee
enincidence normaleparuneondeplanemonochromatique
delongueurd’onde
λ .
µ
°
O1
O2
O3
M
a
FIG.2 – Ler´ eseau´ echelette.
On observel’onder´ efl´ echie«` al’infini»dansladirection
θ grˆ ace ` aunelunette.Lescentresdes
facettesnot´ esOkpourk=1,··· ,nsontdoncdistantsdea,on noteraMun pointquelconqued’une
facette.Ledispositifestrepr´ esent´ esurlafigure2.
18 —Rappelerleprinciped’Huygens-Fresnel.
19 —On notexladistance entreun pointMsitu´ esurladeuxi` emefacette etO2.Exprimer,en
fonction dexet
θ ,ladiff´ erence demarche«` al’infini» δ (M/O2)entrelesrayonsissusdes sources
secondaires situ´ eesenO2etenM.Demˆ eme,exprimer,enfonction dea,
γ et θ ,ladiff´ erence de
marche«` al’infini»
δ (O2/O1)entrelesrayonsissusdeO1etO2.Led´ ephasage entre cesdeux
rayons seraparlasuitenot´ e
ϕ .
20 —Exprimerl’amplitudetotaledel’onde´ emisedue aux nfacettes.En d´ eduirel’intensit´ etotale
Iobserv´ ee «` al’infini».Montrerque celle-cipeutˆ etremisesouslaforme
I=I0sin2
c
π acos γ sin θ
λ
Fn(
ϕ )avec Fn( ϕ )="sinn
ϕ
2
sin
ϕ
2#
κ
o` ulafonction sinc(u)=(sinu)/ud´ esignelesinuscardinaldel’angleu,et κ estune constantequel’on
d´ eterminera.Comments’interpr` etephysiquementchacun desfacteursintervenantdansl’expression
deI.
21 —Quelle est lap´ eriodedelafonction Fn( ϕ )?Tracerl’alluredelafonction Fn( ϕ )pourn≫1.
22 —Pourquellevaleur θ
mde
θ lafonction sin2
c[
π acos( γ )sin( θ )/ λ ]admet-elleun maximum
global?Onremarqueque
θ
mcorrespond aux rayonsquisesontr´
efl´ echis selon lesloisdeSnell-
Descartesdelar´ eflexion.Onsouhaiteque,pour
θ = θ
mquicorrespond `
aun maximumd’intensit´ e,la
fonction Fn(
ϕ )ait un maximumcorrespondant` al’ordred’interf´ erence p=140.Ce r´ eseau´ echelette
permettradoncd’avoirun ordred’interf´ erence 140 tr` eslumineux pourunelongueurd’ondedonn´ ee.
D´ eterminerl’angle
γ correspondant,calculersavaleursi λ =431 nmetsi ler´ eseaucontient32
facettesparmillim` etre.
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