1.5 Actions

28
CHAPITRE 1. GROUPES
1.5
1.5.1
Actions
Actions libres et transitives
Définition 1.64. Soient (G, ∗, eG ) un groupe et X un ensemble. On dit que G
agit sur X, s’il existe une application
· : G × X → X,
(x, g) $→ x · g,
telle que
– (g ∗ h) · x = g · (h · x), pour tout x ∈ X et tout g, h ∈ G ;
– eG · x = x, pour tout x ∈ X.
Le morphisme · : X × G → X, soumis aux conditions ci-dessus, est appelé une
action (gauche) de G sur X ; le couple (X, ·) est appelé un G-espace (droit), ou
simplement un G-ensemble.
Soient (X, ·) et (Y, ·) deux G-espaces. Un morphisme de G-espaces (ou un morphisme de G-ensembles, ou un morphisme de G-actions) de X dans Y est une
application f : X → Y telle que g · f (x) = f (g · x) pour tout x ∈ X et g ∈ G.
On donne quelques premiers exemples.
Exemples 1.65. (1) Tout groupe (G, ∗, eG ) est un G-espace avec l’action naturelle ∗.
G × G → G, (g, x) $→ g ∗ x = φg (x),
où on a utilisé la notation du Théorème de Cayley φ : G → Sym(G), g $→
φ(g) = φg . Cette action est appelée l’action par translation (à gauche).
(2) Plus généralement, considérons le groupe G = Sym(X). Alors X est un Gespace avec l’action naturelle suivante (évaluation)
· : G × X → X,
(φ, x) $→ φ · x = φ(x).
(3) Chaque groupe G agit aussi sur lui-même par conjugaison, c’est-à-dire, exp :
G × G → G, exp(g, x) = xg = g −1 xg est une action de G sur G.
Similairement au fait que tout groupe est un groupe de symétries, toute action
est aussi du type de l’exemple (2).
Théorème 1.66. Soit G un groupe. Alors G agit sur un ensemble X si et seulement s’il existe un morphisme de groupes χX : G → Sym(X). En outre, soient X
et Y deux ensembles sur lesquels G agit. Alors f : X → Y est un morphisme de
G-actions si et seulement si f ◦ χX (g) = χY (g) ◦ f , pour tout g ∈ G.
1.5. ACTIONS
29
Démonstration. Soit (X, ·) un G-espace. On définit χX par χX (g)(x) = g · x.
Vérifions que χX est un morphisme de groupes.
χX (g ∗ h)(x) = (g ∗ h) · x = g · (h · x) = χX (g) ◦ χX (h)(x).
D’autre part, si χX : G → Sym(X) est un morphisme de groupes, on peut facilement contrôler que
G × X → X, (g, x) $→ χX (g)(x)
est une action de G sur X.
On laisse la deuxième partie de la preuve en exercice.
Remarque 1.67. Il est aussi possible de définir des actions gauches, ou de manière
équivalente, des G-espaces droits. De la même façon que dans leThéorème 1.66, ils
correspondent à des morphismes χX : G → Sym(X)op . Ici le “op” indique qu’on
utilise la multiplication opposée ◦op dans Sym(X), c’est-à-dire, φ ◦op ψ = ψ ◦ φ pour
tout φ, ψ ∈ Sym(X).
Si on ne l’indique pas, une action dans ce texte signifie toujours une action gauche
(i.e. un espace droit).
On introduit quelque types d’actions.
Définitions 1.68. Soit (G, ∗, eG ) un groupe et (X, ·) un G-espace. On dit que
l’action de G sur X est
(i) transitive, ou que X est un G-espace homogène, ssi pour chaque couple
(x, y) ∈ X × X, il existe un élément g ∈ G tel que g · x = y.
(ii) simplement ou strictement transitive, ou X est un G-espace homogène principal, ssi pour chaque couple (x, y) ∈ X × X, il existe un unique élément
g ∈ G tel que g · x = y.
(iii) libre si et seulement s’il existe un x ∈ X tel que g · x = h · x, alors g = h.
(iv) fidèle ssi quels que soient g, h ∈ G différents, il existe un élément x ∈ X tel
que g · x '= h · x.
Exemples 1.69. (i) L’action par translation à gauche est libre et transitive.
(ii) L’action naturelle d’un groupe symétrique Sym(X) sur X est fidèle et transitive.
(iii) L’action
(Z, +) × (Q∗ , ·) → (Q∗ , ·), (n, r) $→ rn
est fidèle mais pas transitive.
(iv) L’action du groupe
!"
#
$
cos θ − sin θ
SO(2) =
| θ ∈ [0, 2π[
sin θ cos θ
(les rotations dans le plan) agit strictement transitivement sur les points du
cercle.
30
CHAPITRE 1. GROUPES
Définitions 1.70. Soit (G, ∗, eG ) un groupe et soit (X, ·) un G-espace.
(1) L’orbite d’un élément x ∈ X est l’ensemble
Ox = {g · x | g ∈ G}.
(2) Le stabilisateur d’un élément x ∈ X est l’ensemble des éléments qui laissent x
invariant sous leur action, c’est à dire
Gx = {g ∈ G | g · x = x} .
(3) L’orbite d’un sous-ensemble Y ⊂ X est l’union des orbites des éléments de Y .
Le stabilisateur de Y est l’intersection des stabilisateurs des éléments de Y .
OY = ∪y∈Y Oy ,
GY = ∩y∈Y Gy .
(4) Les points fixés d’un élément g ∈ G forment l’ensemble des éléments de X
invariants sous l’action de g, c’est à dire
Xg = {x ∈ X | g · x = x}.
(5) Un élément x ∈ X est appelé un point fixé de G si x ∈ Xg pour tout g ∈ G,
c’est-à-dire
XG = ∩g∈G Xg .
On a directement les propriétés suivantes.
Proposition 1.71. Soit G un groupe qui agit sur X.
(i) Considérons l’orbite Ox d’un élément x ∈ X. Alors on peut restreindre l’action de G sur Ox .
(ii) Considérons la relation suivante sur les éléments de X :
x∼y
⇔
x ∈ Oy .
Alors ∼ est une relation d’équivalence sur X. L’ensemble quotient est noté
X/G et consiste en toutes les orbites de X.
(iii) Soit x ∈ X, alors le stabilisateur Gx est un sous-groupe de G.
Démonstration. (i) Soit g · x ∈ Ox et h ∈ G. Il est clair que h · (g · x) ∈ Ox et ceci
nous donne une action de G sur Ox .
Exemples 1.72. (1) Considérons l’action par conjugaison d’un groupe G sur luimême. Alors les orbites sont exactement les classes de conjugaison. Le stabilisateur d’un élément g ∈ G est le centralisateur de g, CG (g).
1.5. ACTIONS
31
(2) Considérons l’action par translation à gauche d’un groupe G sur lui-même. Il
est clair que si A ⊂ G est un sous-ensemble et g ∈ G, alors g∗A = {g∗a | a ∈ A}
est de nouveau un sous-ensemble. Dès lors, G agit sur l’ensemble de ses sousemsembles par translation. Si H < G est un sous-groupe, alors, g ∗ H n’est
en général pas un sous-groupe, mais une classe latérale de H. Donc, l’orbite
d’un sous-groupe H est l’ensemble des classes latérales gauches de H. Par
le Lemme 1.71, on sait maintenant que même si H n’est pas un sous-groupe
normal, le quotient G/H (i.e. l’ensemble de toutes les classes latérales gauches)
est un G-espace (mais pas nécessairement un groupe). L’ensemble de toutes
les classes latérales droites est parfois noté G\H.
Le stabilisateur de H est H. Si on prend H = G, alors l’orbite de G contient
seulement G lui-même.
(3) Soient X = R2 le plan réel et G = SO(2) le groupe des rotations. Alors pour un
point P ∈ X différent de l’origine, l’orbite OP est un cercle avec centre l’origine
O et rayon |OP |. L’action sur cette orbite est l’action de l’Exemple 1.69(iv).
L’orbite de l’origine O est le singleton {O}. Le stabilisateur de P ne contient
que l’identité, et le stabilisateur de O est égal à G. Pour un élément g '= e
dans G, l’ensemble Xg ne contient que l’origine.
Les théorèmes suivantes sont facilement vérifiables ; on laisse les démonstrations
comme exercices.
Théorème 1.73 (caractérisation des actions fidèles). Soient G un groupe et X un
G-espace. Les conditions suivantes sont équivalentes.
(i) l’action de G sur X est fidèle ;
(ii) le morphisme χX : G → Sym(X) est injectif ;
(iii) pour tout g ∈ G, X = Xg ssi g = e.
1.74 (Création d’une action fidèle). Soit X un G-espace, et considérons le morphisme de groupes associé χX : G → Sym(X). Soit K le noyau de χX et G$ = G/K.
Alors il existe un morphisme naturel de groupes χ$X : G$ → Sym(X) ; ce morphisme
est injectif et le G$ -espace associé nous donne une action fidèle.
Théorème 1.75 (caractérisation des actions transitives). Soient G un groupe et
X un G-espace. Les conditions suivantes sont équivalentes.
(i) l’action de G sur X est transitive ;
(ii) Ox = X pour tout x ∈ X ;
(iii) Ox = X pour un certain x ∈ X.
Théorème 1.76 (caractérisation des actions libres). Soient G un groupe et X un
G-espace. Les conditions suivantes sont équivalentes.
32
CHAPITRE 1. GROUPES
(i) l’action de G sur X est libre ;
(ii) Xg '= ∅ ssi g = eG ;
(iii) pour chaque x ∈ X, Gx = {eG }.
En particulier, toute action libre est fidèle.
Définition 1.77. Un torseur est un G-espace X tel que l’application suivante est
bijective
can : G × X → X × X, (g, x) $→ can(g, x) = (g · x, x)
Théorème 1.78 (caractérisation des actions simplement transitives). Soient G
un groupe et X un G-espace. Les conditions suivantes sont équivalentes.
(i) l’action de G sur X est simplement transitive ;
(ii) l’action de G sur X est libre et transitive ;
(iii) l’action de G sur X est transitive et Gx = {e} pour chaque x ∈ X ;
(iv) X est un G-torseur.
Définition 1.79. Un troupeau est un ensemble X muni d’un opération ternaire
[−, −, −] : X × X × X → X, (x, y, z) $→ [x, y, z],
qui satisfait les conditions suivantes
– [x, y, [z, u, v]] = [[x, y, z], u, v], pour tout x, y, z, u, v ∈ X ;
– [x, y, y] = [y, y, x] = x pour tout x, y ∈ X.
Exemples 1.80. Le but du théorème suivant est de caractériser tous les torseurs
et troupeaux. Cependant, nous donnons déjà un exemple de troupeau. Si G un
groupe, alors G est un troupeau avec l’opération suivante :
[−, −, −] : G × G × G → G, (g, h, f ) $→ [g, h, f ] = gh−1 f.
D’autre part, si (X, [−, −, −]) est un troupeau et e ∈ X est un élément arbitraire,
on peut munir X de la structure d’un groupe avec élément neutre e en définissant
la composition
∗ : X × X → X, (x, y) $→ x ∗ y = [x, e, y].
On peut vérifier que ∗ est effectivement une composition associative pour X avec
élément neutre e. L’inverse d’un élément x ∈ X est donné par [e, x, e].
L’idée d’un troupeau est qu’il donne toute la structure d’un groupe, mais qu’on
doit encore choisir l’élément neutre. En effet, les troupeaux nous ont ‘libéré’ du
choix (arbitraire) d’un élément neutre dans un groupe, comme la théorie des espaces affins nous a libéré du choix d’un vecteur zéro (ou un origine) dans la théorie
des espaces vectoriels. En effet, les espaces affins sont exactement des exemples de
troupeaux où le groupe associé est un espace vectoriel. La relation précise entre
les espaces, les groupes et les troupeaux est donnée dans le théorème suivant.
On réfère à http ://math.ucr.edu/home/baez/torsors.html pour des exemples
motivés par la physique.
1.5. ACTIONS
33
Théorème 1.81 (caractérisation des troupeaux). Soit X une ensemble. Il existe
une correspondance bijective entre les structures suivantes sur X.
(i) Les opérations ternaires X × X × X → X telles que X est un troupeau.
(ii) Les groupes G (à isomorphisme près) tels que X est un G-torseur ;
Démonstration. (i) ⇒ (ii). On sait de l’Exemple 1.80 que si on fixe un élément
arbitraire e de X, on peut munir X de la structure d’un groupe. De plus, chaque
groupe agit par translation sur lui-même, c’est-à-dire
X × X → X, (x, y) $→ [x, e, y]
est une action simplement transitive. Donc X est un X-torseur.
(ii) ⇒ (i). Considérons le morphisme inverse can−1 : X × X → G × X. En combinant avec la projection canonique πG : G × X → G on obtient une application
πG ◦ can−1 : X × X → G. On définit
[−, −, −] : X × X × X → X, (x, y, z) $→ [x, y, z] = πG ◦ can−1 (x, y) · z.
On peut vérifier que cette opération donne la structure d’un troupeau sur X.
Maintenant, on doit encore contrôler que les deux constructions donnent une bijections entre les deux structures. Soit X un troupeau, et faisons les constructions
successives (i) ⇒ (ii) ⇒ (i). Dans ce cas, on peut computer πG ◦ can−1 (x, y) =
xy −1 = [x, e, [e, y, e]]. Alors
[[x, e, [e, y, e]], e, z] = [[x, e, e], y, e], e, z] = [[x, y, e], e, z]
= [x, y, [e, e, z]] = [x, y, z]
et la structure de troupeau sur X est la structure originale.
D’autre part, soit X un G-torseur pour un certain groupe G. Alors X est un
groupe lui-même par les constructions successives (ii) ⇒ (i) ⇒ (ii). On démontre
que G ∼
= X. Soit e ∈ X l’élément choisi dans la construction (i) ⇒ (i). On définit
f : G → X par f (g) = g · e. Alors f est un morphisme de groupes,
f (gg $ ) = (gg $ ) · e = g · (g $ · e) = πG ◦ can−1 (g · e, e) · (g $ · e) = [(g · e), e, (g $ · e)]
De plus, f est bijective parce qu’un inverse de f est donné par f −1 (y) = πG ◦
can−1 (y, e) pour tout y ∈ X.
Remarque 1.82. Il suit du Théorème 1.81 que pour chaque G-torseur X, G et X
sont en bijection. De plus, la structure d’un troupeau associé au groupe G comme
dans l’Exemple 1.80 est isomorphe avec le troupeau X. En effet, fixons un élément
a ∈ X et définissons α : G → X, α(g) = g · a. On vérifie que α est un morphisme
de troupeaux. Soient g, h, f ∈ G, alors
α[g, h, f ] = α(gh−1 f ) = (gh−1 f ) · a
[α(g), α(h), α(f )] = [g · a, h · a, f · a]
= πG ◦ can−1 (g · a, h · a) · (f · a) = gh−1 · (f · a)
34
CHAPITRE 1. GROUPES
où on a utilisé que (g · a, h · a) = (gh−1 h · a, h · a) = can(gh−1 , h · a).
1.83 (Création de troupeaux). Soit X un G-espace. S’il existe un point x ∈ X
avec un stabilisateur trivial Gx = {e}, alors l’action de G sur Ox est transitive et
libre. Par conséquent, Ox est un G-torseur et alors on peut construire le troupeau
associé. Remarquons que Ox est en bijection avec G. En effet, cette bijection est
un isomorphisme de G-espaces. Alors, si l’action initiale de G sur X est libre, toute
orbite est en bijection avec une copie de G. Comme les orbites de X constituent
une partition de X, on trouve que X est isomorphe à un nombre de copies de G,
ce nombre étant donné par le nombre d’orbites. Donc
X∼
= S × G,
où S est un ensemble d’ordre égal au nombre d’orbites différentes.
Par exemple, G = SO(2) agit sur le plan A2 . Si P '= O, alors, GP = {e} et
OP est un G-torseur. En outre, G agit librement sur le A2 \ {O}. Considérons une
“semi-droite” Y , bornée par O. Alors Y contient exactement un point de chaque
orbite de G sur lequel G agit librement. Alors, on trouve que
A2 \ {O} ∼
= Y × SO(2).
1.5.2
Formule des classes
Le théorème suivant est parfois appelé le théorème des Orbites-Stabilisateurs.
Théorème 1.84 (Formule des classe). Soit G un groupe et X un G-espace. Pour
chaque x ∈ X on a
|Ox | = [G : Gx ]
Démonstration. Il suffit de montrer qu’il existe une bijection
f : Ox → {gGx | g ∈ G} : gx $→ gGx .
D’abord, f est bien définie :
gx = hx ⇔ h−1 gx = x ⇔ h−1 g ∈ Gx ⇔ gGx = hGx .
Comme les implications sont valables dans les deux directions, f est injective. La
surjectivité de f est claire.
Corollaire 1.85. Soit G un groupe et soit X un G-espace. Si G est fini, alors le
nombre d’éléments dans une orbite est un diviseur de l’ordre du groupe.
Corollaire 1.86. Soient G un groupe et g ∈ G. Alors,
|C(g)| = [G : CG (g)].
1.5. ACTIONS
35
Démonstration. C’est une application du fait que la conjugaison est une action de
G sur G et pour cette action, l’orbite de g ∈ G est la classe de conjugaison et le
stablisateur de g est le centralisateur (vois Exemple 1.72)
On donne maintenant une formule pour le nombre des orbites. Cette formule
est inéressante pour caractériser les actions libres (voir 1.83)
Théorème 1.87. Soit G un groupe fini et soit X un G-espace fini. Soit r le nombre
des orbites dans X. Alors
%
r|G| =
|Xg |.
g∈G
Démonstration. On utilise la méthode de double comptage. Considérons l’ensemble
N = {(x, g) | x ∈ X, g ∈ G, gx = x},
et dénote n = |N |. Pour chaque &
g ∈ G, il existe |Xg | paires dans N avec g comme
deuxième composant. Donc n = g∈G |Xg |. De la même façon, pour chaque
& x ∈ X,
il existe |Gx | paires dans N avec x comme premier composant, donc n = x∈X |Gx |.
Par la formule des classes, on sait que
|Ox | = [G : Gx ] =
donc
|G|
,
|Gx |
% |G|
% 1
= |G|
.
|Ox |
|Ox |
x∈X
x∈X
&
= 1, pour chaque orbite Ox . Donc x∈X
n=
Mais
&
1
y∈Ox |Ox |
n=
%
g∈G
1
|Ox |
= r et
|Xg | = r|G|.
Remarque 1.88. Soit G un groupe fini et soit X un G-espace fini. Considérons
un sous-ensemble Y ⊂ X tel que Y contient exactement un élément de chaque
orbite qui contient plus d’un élément. Alors,
%
|X| = |XG | +
Oy .
y∈Y
Théorème 1.89. Soit G un groupe d’ordre pn (p un nombre premier) et soit X
un G-espace. Alors
|X| ≡| XG |(mod p)
36
CHAPITRE 1. GROUPES
Démonstration. On utilise les mêmes notations que dans la Remarque 1.88. On
sait que |Oy | est un diviseur de |G| = pn pour chaque y ∈ Y . Donc p est un
diviseur de |Oy | pour chaque y ∈ Y . Alors la formule de la Remarque 1.88 nous
dit que |X| −| XG | est divisible par p.
On termine ce chapitre sur la théorie des groupe avec un théorème qui donne
un inverse partiel pour la théorème de Lagrange. Il existe plus de théorèmes de ce
type, les plus connus sont les théorèmes de Sylow. On refère à la litérature ou aux
cours plus élevés pour plus d’information.
Théorème 1.90 (Cauchy). Soit p un nombre premier et G un groupe fini. Si p
divise l’ordre de G, alors G contient un élément d’ordre p.
Démonstration. Soit
X = {(g1 , . . . , gp ) | gi ∈ G, i = 1, . . . p, et g1 · · · gp = eG }.
Remarquons que X = {(g1 , . . . , gp ) | gi ∈ G, i = 1, . . . p, et gp = (g1 · · · gp−1 )−1 }.
Donc |X| = |G|p−1 . Comme |G| est divisible par p, |X| est divisible par p aussi.
Considérons σ = (1, 2, 3, . . . , p) ∈ Sp . Il y a une action
0σ1 × X → X
définie par
σ(g1 , . . . , gp ) = (g2 , . . . , gp , g1 ),
et σ i est défini itérativement.
Grâce au Théorème 1.89, |X| ≡ |X%σ& |(mod p). Puisque p divise |X|, on sait
que p divise |X%σ& |. De plus, (e, e, . . . , e) ∈ X, donc |X%σ& | ≥ p. Soit (e, e, . . . , e) '=
(g1 , g2 , . . . , gp ) ∈ X%σ& . Alors σ(g1 , g2 , . . . , gp ) = (g1 , g2 , . . . , gp ) et par conséquent
g1 = g2 = . . . = gp . Il suit que g1p = g1 g2 · · · gp = e, donc g1 ∈ G est un élément
d’ordre p.