sur les suites d`entiers deux a deux premiers entre eux - E

SUR LES SUITES D'ENTIERS DEUX A DEUX
PREMIERS ENTRE EUX
Autor(en):
Sierpiski, W.
Objekttyp:
Article
Zeitschrift:
L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 10 (1964)
Heft 1-2:
L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am:
25.05.2017
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-39418
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SUR LES SUITES D'ENTIERS DEUX A DEUX
PREMIERS ENTRE EUX
par W. Sierpi?ski
Le but de cet article est de donner plusieurs théorèmes
concernant les suites d'entiers deux à deux premiers entre eux.
Ces théorèmes sont simples et leurs démonstrations sont élé
mentaires, mais je ne les ai pas trouvés dans la littérature mathé
matique qui m/ était accessible.
Théorème 1. Tout entier >6
>1 premiers entre eux.
est une somme de deux entiers
Démonstration. Si n est un nombre impair >3, on a
et (2, n?2) =l. Le
et, évidemment
théorème 1 est donc vrai pour les nombres impairs >3.
Voici maintenant la démonstration, due à M. A. M4KOWSKI,
pour les nombres n pairs >6.
Si n est un entier divisible par 4, 72? 4/c, où, d'après ft>6,
k est un entier >1, on a n=(2k-l) + (2k+l), oii2k+l >2k-l >1
et les nombres 2k ? 1 et 2/c+l, en tant que deux entiers impairs
consécutifs, sont premiers entre eux.
Si, enfin, n=4/c+2, où k est un entier >1 (puisque ra>6),
on a n=(2k+3) + (2k-\) et les nombres 2/c+3 et
sont premiers entre eux, puisque si o<d\2k ?1 et d\2k-\-3
on a d\(2k+3) ? (2k ? 1), donc d|4 et, comme d est un diviseur
du nombre impair, on en conclut que d=l.
Le théorème 1 se trouve ainsi démontré. Or, M. A. M4KOWSKI
a remarqué aussi qu'il résulte sans peine d'une remarque de
M. H. L. Adler que le nombre g (n) de toutes les décompositions
d'un nombre naturel n>6 en une somme de deux entiers,
n = a+b, oùl<a<bet(a,b) = 1 est égal à g (n) = i[q> (n) -2],
où cp (n) est la fonction bien connue d'Euler.
En effet, M. Adler a remarqué que, pour n entier >1,
est le nombre de tous les systèmes de deux nombres
cp (n)
n=2 + (n?2)
n-2>l
2k-l>l
1
l<
x< net (x, n) = 1 = (y, n). 1 )
x+y =
1
si
Or, x-\ry = n, on a (x, y) = dans ce cas et seulement dans ce
cas, où(#, ra) = (?/, ri) = 1. Il en résulte que (pour n>l),q> (n) est
le nombre de toutes les décompositions du nombre n en une
somme de deux entiers positifs premiers entre eux. Si Ton exclut
les décompositions n = l+(n ?l) et n == (ra-l)
alors, dans
les <p (n) ?2 décompositions qui resteront, les nombres x et y
seront tous les deux >1, d ; où la formule pour g (n). Or, puisque,
comme on le sait, cp (n) >2 pour n entiers >6, il en résulte aussi
tout de suite le théorème 1. M. A. M4KOWSKI a remarqué aussi
que, vu que lim q> (n)
+ 00, il en résulte aussi que
naturels x, y, tels que
nll<:xn
1
:
t
+l,
n
lim
n
= 00
g (n)
=
? 00
?
-\- 00.
Théorème 2. Tout nombre naturel est, d'une infinité de manières,
différence de deux nombres naturels premiers entre eux.
Démonstration. Pour démontrer le théorème 2 il suffit de
remarquer que si n est un nombre naturel donné, on a pour
k = 1, 2, 3,... la décomposition
où
Théorème 3. Toutentier > 17 est une somme de trois entiers >1,
deux à deux premiers entre eux.
Démonstration. Si n est un nombre pair >B,ona n ?= 6/c,
= 6A;+2, ou bien n = 6/c-j-4 et, comme n >8, nous pouvons
admettre que dans les deux premiers cas k est un entier >1 et
que dans le troisième cas k est un entier >0. Vu les formules
oun
on conclut sans peine que n est une somme de trois entiers >1,
deux à deux premiers entre eux.
i) H. L. Adler, A generalization
65 (1958), p. 690-692.
of the Euler <p-funclion, Amer. Math. MontMy
Voici maintenant la démonstration de M. A. M4KOWSKI
pour n impairs >17. Vu que 19 = 3+s+ 11, nous pouvons
même supposer que n est un nombre impair >19. Si n est un
tel nombre, onaw = 12/c+y, où y = 1, 3, 5, 7, 9 ou 11, et
où k est un entier positif et même, pour y<7, k>ï. Vu les
identités
on conclut que n est toujours une somme de trois entiers >1.
Les nombres dans les parenthèses sont, dans chacune de ces
six égalités, premiers par rapport aux nombres 3 et 9 et premiers
entre eux, puisque ils sont tous impairs, non divisibles par 3,
et leur différence est respectivement 6, 2, 12, 12, 2 et 6. On a
donc dans chacun de ces six cas la décomposition du nombre
impair n>ï (è en une somme de trois entiers >1, deux à deux
premiers entre eux.
Le théorème 3 est ainsi démontré.
Or, on démontre sans peine que le nombre 17 n'est pas une
somme de trois entiers >1, deux à deux premiers entre eux.
Or, on peut démontrer que le nombre 30 n ; est pas une somme
de quatre entiers >\, deux à deux premiers entre eux, mais
que tout entier >30 est une telle somme. Il se pose le problème
si, pour tout entier s>4, tout entier suffisamment grand est
une somme de s entiers >1, deux à deux premiers entre eux.
Il
existe des progressions arithmétiques aussi
Théorème 4.
longues que Von veut, formées de nombres naturels >1, deux à deux
premiers entre eux.
Démonstration. Soit n un entier donné quelconque >1 et
soit a = n\ Les n nombres
sont deux à deux premiers entre eux. En effet, si, pour les
entiers k et l, tels que o<k<l<n, les nombres ka+l et la+l
n'étaient pas premiers entre eux, ils auraient un diviseur premier
commun p et on aurait p\(l-k)a, donc soit p\l ?k, soit p\a.
Mais, comme l? k<K,n, on a (l?k)\n\ = a. On a donc toujours
p|a, ce qui est impossible, vu que p\ka-\-l.
Le théorème 4 est ainsi démontré.
Il est à remarquer qu'il n'existe aucune progression arithmé
tique ak-\-b (k = 1, 2, ...), où a et b sont des entiers positifs,
dont tous les termes seraient deux à deux premiers entre eux.
Nous démontrerons ici le théorème plus général suivant:
5. Si î (x) est un polynôme en x aux coefficients
où
le
entiers,
coefficient de la plus grande puissance de x est positif,
les termes de la suite infinie
Théorème
ne peuvent pas être deux à deux premiers entre eux.
Démonstration. Le coefficient de la plus haute puissance de x
dans le polynôme f (x) étant >0, il existe un entier n>o, tel
que m = f(n)>ï. Mais alors, comme on voit sans peine, le nombre
/ (m-^-ri) est divisible par m et les nombres / (n) et / (m-\-n)
ont un diviseur commun m>ï et par suite ne sont pas premiers
entre eux. Le théorème 5 est ainsi démontré.
6. Si f (x) est un polynôme en x aux coefficients
le
où
coefficient de la plus grande puissance de x est positif,
entiers,
la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une infinité
des entiers positifs x l9 x 2 , x 3 , ..., tels que tous deux des nombres
f (xj, f (x 2 ), f (x 3 ), ... soient premiers entre eux, est la condition C
suivante :
Théorème
C.
n'existe aucun nombre entier d>l tel qu'on ait d|f (x)
quel que soit V entier positif x.
La nécessité de la condition C étant évidente, nous démon
trerons seulement leur suffisance. Dans ce but nous démontrerons
le lemme suivant:
Il
Lemme. s étant un entier positif et q x , q 2 , ..., 5 des nombres
premiers distincts pour lesquels il existe des entiers positifs t l7 1 2 , ..,
q5q
t s , tels que q f/ ff (t t ) pour i==l,2, ..., s, il
t tel que q^f (t) pour i = 1, 2, ..., s.
existe un entier positif
Démonstration du lemme. Le lemme est évident pour s =1.
Soit maintenant s un nombre naturel donné et supposons que le
lemme est vrai pour s nombres. Soient q x , q 2 , ???, q s , s +i des
nombres premiers distincts, pour lesquels il existe des entiers
positifs *!, t 2 , ??-, * s +i, tels que qt jff (tt ) pour
.., s+l.
Le lemme étant par hypothèse, vrai pour s nombres, il existe
un entier positif £ 0 , tel que q t )(f (t 0 ) pour
..., s. Or, on
a s+1 )(f (t s+l ). Les nombres premiers q^ q 2i ..., s+1 étant tous
distincts, on a (q 1 q 2 ... 5 , s+1 ) =1, d'où il résulte, comme
on sait, qu'il existe des nombres naturels k et l tels que
*0 + &?l?2"-? s = tt
+ +l
+l + ks+ 1- Soit «=*o+ A#i?2---?s =
On aura
qq
i=l,2,
i=l,2,
qs+lq
qs+l)(fq
g5,g
qs+l)q
'
S
d'où, vu que q t jff (t 0 ) pour î= 1, 2, ..., set &+l/T/ (* s+ i),
il résulte que q^f (t) pour i = 1, 2, ..., 5, s-\-\. Le lemme est
donc vrai pour s+l nombres. Il se trouve ainsi démontré par
V induction.
Démonstration du théorème 6. Supposons que le polynôme
à la condition C. Le coefficient de la plus grande
de
x étant dans le polynôme / (x) positif, il existe un
puissance
nombre naturel x 1 tel que f (x 1 )>l. Soit maintenant n un entier
donné >1 et supposons que nous avons déjà déterminé les n
nombres naturels x x , x2i ..., xn tels que (dans le cas où n>i)
les nombres f (x^, f (x 2 ), ???, / (x n ) sont deux à deux premiers
entre eux. Soient q t (i = 1, 2, ..., s) tous les diviseurs premiers
du nombre f (x ± ) f (x 2 )... f(xn ). Le polynôme f (x) satisfaisant
àla condition C, il existe des entiers positifs 1: t 2 , .., ts , tels
1, 2, ..., s, d'où, d'après notre lemme,
que qiJff {t t ) pour
nous concluons qu'il existe un nombre naturel # n+l , tel que
/
i J( f(x n+l ) pour i =1, 2, ..., 5. Vu la définition des nombres
q t (i = 1, 2, ..., 5), il en résulte tout de suite que (/(#
n+l ),
/(#i) /fe) ??? /te)) = 1- Les nombres
/ (x) satisfait
t1:t
i=
qiJ(/f(q
sont donc premiers deux
à
deux.
Les nombres x n (n
et la suitei nfinie
= 1,2,...)
sont ainsi définis par l'induction
est telle que leurs termes sont deux à deux premiers entre eux.
Nous avons ainsi démontré que la condition C est suffisante.
Le théorème 6
se
trouve ainsi démontré.
Théorème 7. Si 1? u^ ... est la suite infinie de Fibonacci
(c'est-à-dire la suite définie par les conditions: u 1 = 2 ? 1
et u n +2. = u n Jru n+l pour n = 1, 2, ...), il existe une suite infinie
des entiers positifs croissants
l5 n 2 , ..., telle que les nombres de
la suite infinie
u1?u
u2u
nlsn
(1)
sont deux à deux premiers entre eux.
Démonstration de M. A. Rotkiewicz. Gomme on sait, si
sont des entiers positifs, on a (w m , u n ) = w (m , X) 1 ). Comme
résulte tout de suite que si 1} n 2i ... est une suite
u±
des entiers positifs deux à deux premiers
croissante
infinie
entre eux, les termes de la suite infinie (1) sont deux à deux
premiers entre eux. On peut prendre ici, par exemple n k = p k
(k = 1,2, ...), où p k est le k- ième nombre premier, ou bien
2fc
prendre nk = Fk = 2 +l, où k =1,2, ...
M. A. Rotkiewicz a remarqué aussi qu'il résulte de la
formule pour (um) u n ), que si ±1 n 2 , ... est une suite infinie
croissante d'entiers positifs, les nombres de la suite infinie (1)
sont dans ce cas et seulement dans ce cas deux à deux premiers
entre eux, si, quels que soient les entiers k et /, tels que l</c<Z,
on a (%, ftj)<2.
metn
=I,ilen
wl}w
n±ln
Remarque. Dans la suite infinie de tous les nombres consé
cutifs de Fermât, Fn = "+l (n = 1,2, ...), les termes de
cette suite sont, comme on le démontre sans peine, deux à deux
premiers entre eux. Dans la suite de nombres de Mersenne,
Mn = n
(n = 1,2, ...) les nombres de la suite M pk (k =1,2, ...)
où p k est le k - ième nombre premier, sont deux à deux premiers
entre eux. On peut aussi démontrer que les termes de la suite
22"+l2
2n-l2
2
-l
i) Voir, par. exemple, mon livre Teoria Liczb
L'édition anglaise de ce livre est sous presse.
11,
Warszawa 1959. p. 280, exercice
5
infinie MFn = MM 2 n +i =
deux premiers entre eux.
22
c
22 " +1
-l
(n
== 1,
2, ....) sont deux à
étant des entiers positifs, si V équation
a une solution en nombres entiers x, y, elle a une
Théorème 8. a,
ax+by =
2222
b et c
solutions en nombres entiers x, y premiers entre eux.
Démonstration. Nous pouvons admettre que (a, b) ? 1,
puisque, si d = (a, b), a = da^ b =db^ alors, d'après ax~\-by = c
on trouve d|c, donc c =dc 1 , et notre équation est équivalente
à Téquation r x-\-b-{u = c ± , où (a 1? &i) =1.
Supposons donc que a, b et c sont des entiers positifs, (#,#) = 1
et qu ; il existe des entiers x 0 et y 0 tels que ax o -\-by o =c.On
aura donc aussi a (x o -\-bt)-\-b (y 0 ?at) = c, quel que soit V entier t.
Comme {a,b) = 1, il existe, comme on sait, des entiers
u et ç tels que au+bv = 1.
infinité
de
arx-\-b-{ua
Posons
(2)
rentier positif k
de sorte que rentier (2) soit
les k suffisamment grands.
subsiste
tous
qui
positif,
pour
Il résulte de (2) que
en choisissant
ce
(3)
Soit d un entier positif tel que d\x o +bt et d\y o ?at. Il
en résulte que d\ax o -{-by o = c et, comme au+bv = 1, on a
On a donc d\c et d\x o v?y o u+t, d ; où il résulte, d'après (3),
que d = 1. Les entiers x = x o +bt et y = y o -at sont donc
premiers entre eux et on a ax+by = c. Le théorème 8 se trouve
ainsi démontré.
D'après une remarque de M. A. Schinzel le théorème 8
peut être déduit sans peine d'un théorème de M. T. Skolem,
publié dans Norsk Mat. Tidsskrift 15, p. 25-27 (cf. aussi Jahrbuch
über die Fortschritte der Math. 59 (1933), Sonderheft 11, p. 129).
f
W. Sierpinski
Konopczynskiego 5/7 m.
Warszawa 1.
(Reçu le
3£
8
novembre 1962.'