sur les suites d`entiers deux a deux premiers entre eux - E

SUR LES SUITES D'ENTIERS DEUX A DEUX
PREMIERS ENTRE EUX
Autor(en): Sierpiski, W.
Objekttyp: Article
Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 10 (1964)
Heft 1-2: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
Persistenter Link: http://doi.org/10.5169/seals-39418
PDF erstellt am: 25.05.2017
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SUR LES SUITES D'ENTIERS DEUX ADEUX
PREMIERS ENTRE EUX
par W. Sierpi?ski
Le but de cet article est de donner plusieurs théorèmes
concernant les suites d'entiers deux àdeux premiers entre eux.
Ces théorèmes sont simples et leurs démonstrations sont élé
mentaires, mais je ne les ai pas trouvés dans la littérature mathé
matique qui m/était accessible.
Théorème 1. Tout entier >6 est une somme de deux entiers
>1 premiers entre eux.
Démonstration. Si nest un nombre impair >3, on a
n=2+(n?2) et, évidemment n-2>l et (2, n?2)=l. Le
théorème 1est donc vrai pour les nombres impairs >3.
Voici maintenant la démonstration, due àM. A. M4KOWSKI,
pour les nombres npairs >6.
Si nest un entier divisible par 4, 72?4/c, où, d'après ft>6,
kest un entier >1, on an=(2k-l)+(2k+l), oii2k+l >2k-l >1
et les nombres 2k ?1et 2/c+l, en tant que deux entiers impairs
consécutifs, sont premiers entre eux.
Si, enfin, n=4/c+2, où kest un entier >1 (puisque ra>6),
on an=(2k+3)+(2k-\) et les nombres 2/c+3 et 2k-l>l
sont premiers entre eux, puisque si o<d\2k ?1 et d\2k-\-31
on ad\(2k+3) ?(2k ?1), donc d|4 et, comme dest un diviseur
du nombre impair, on en conclut que d=l.
Le théorème 1se trouve ainsi démontré. Or, M. A. M4KOWSKI
aremarqué aussi qu'il résulte sans peine d'une remarque de
M. H. L. Adler que le nombre g(n) de toutes les décompositions
d'un nombre naturel n>6 en une somme de deux entiers,
n=a+b, oùl<a<bet(a,b) =1est égal àg(n) =i[q> (n) -2],
où cp (n) est la fonction bien connue d'Euler.
En effet, M. Adler aremarqué que, pour nentier >1,
cp (n) est le nombre de tous les systèmes de deux nombres

naturels x, y, tels que x+y =nll<:xn 1l<:x<tnet (x, n) =1=(y, n).1)
Or, si x-\ry =n, on a(x, y) =1dans ce cas et seulement dans ce
cas, où(#, ra) =(?/, ri) =1. Il en résulte que (pour n>l),q> (n) est
le nombre de toutes les décompositions du nombre nen une
somme de deux entiers positifs premiers entre eux. Si Ton exclut
les décompositions n=l+(n?l) et n== (ra-l)+l, alors, dans
les <p (n) ?2 décompositions qui resteront, les nombres xet y
seront tous les deux >1, d;où la formule pour g(n). Or, puisque,
comme on le sait, cp (n) >2 pour nentiers >6, il en résulte aussi
tout de suite le théorème 1. M. A. M4KOWSKI aremarqué aussi
que, vu que lim q> (n) ?+00, il en résulte aussi que
n?00
lim g(n) =-\- 00.
n=00
Théorème 2. Tout nombre naturel est, d'une infinitéde manières,
différence de deux nombres naturels premiers entre eux.
Démonstration. Pour démontrer le théorème 2il suffit de
remarquer que si nest un nombre naturel donné, on apour
k=1, 2, 3,... la décomposition
où
Théorème 3. Toutentier >17 est une somme de trois entiers >1,
deux àdeux premiers entre eux.
Démonstration. Si nest un nombre pair >B,ona n?= 6/c,
oun =6A;+2, ou bien n=6/c-j-4 et, comme n>8, nous pouvons
admettre que dans les deux premiers cas kest un entier >1 et
que dans le troisième cas kest un entier >0. Vu les formules
on conclut sans peine que nest une somme de trois entiers >1,
deux àdeux premiers entre eux.
i) H. L. Adler, Ageneralization of the Euler <p-funclion, Amer. Math. MontMy
65 (1958), p. 690-692.

Voici maintenant la démonstration de M. A. M4KOWSKI
pour nimpairs >17. Vu que 19 =3+s+11, nous pouvons
même supposer que nest un nombre impair >19. Si nest un
tel nombre, onaw =12/c+y, où y=1, 3, 5, 7, 9ou 11, et
où kest un entier positif et même, pour y<7, k>ï. Vu les
identités
on conclut que nest toujours une somme de trois entiers >1.
Les nombres dans les parenthèses sont, dans chacune de ces
six égalités, premiers par rapport aux nombres 3et 9et premiers
entre eux, puisque ils sont tous impairs, non divisibles par 3,
et leur différence est respectivement 6, 2, 12, 12, 2et 6. On a
donc dans chacun de ces six cas la décomposition du nombre
impair n>ï(
èen une somme de trois entiers >1, deux àdeux
premiers entre eux.
Le théorème 3est ainsi démontré.
Or, on démontre sans peine que le nombre 17 n'est pas une
somme de trois entiers >1, deux àdeux premiers entre eux.
Or, on peut démontrer que le nombre 30 n;est pas une somme
de quatre entiers >\, deux àdeux premiers entre eux, mais
que tout entier >30 est une telle somme. Il se pose le problème
si, pour tout entier s>4, tout entier suffisamment grand est
une somme de sentiers >1, deux àdeux premiers entre eux.
Théorème 4. Il existe des progressions arithmétiques aussi
longues que Von veut, formées de nombres naturels >1, deux àdeux
premiers entre eux.
Démonstration. Soit nun entier donné quelconque >1 et
soit a=n\ Les nnombres

sont deux àdeux premiers entre eux. En effet, si, pour les
entiers ket l, tels que o<k<l<n, les nombres ka+l et la+l
n'étaient pas premiers entre eux, ils auraient un diviseur premier
commun pet on aurait p\(l-k)a, donc soit p\l ?k, soit p\a.
Mais, comme l?k<K,n, on a(l?k)\n\ =a. On adonc toujours
p|a, ce qui est impossible, vu que p\ka-\-l.
Le théorème 4est ainsi démontré.
Il est àremarquer qu'il n'existe aucune progression arithmé
tique ak-\-b (k =1, 2, ...), où aet bsont des entiers positifs,
dont tous les termes seraient deux àdeux premiers entre eux.
Nous démontrerons ici le théorème plus général suivant:
Théorème 5. Si î(x) est un polynôme en xaux coefficients
entiers, où le coefficient de la plus grande puissance de xest positif,
les termes de la suite infinie
ne peuvent pas être deux àdeux premiers entre eux.
Démonstration. Le coefficient de la plus haute puissance de x
dans le polynôme f(x) étant >0, il existe un entier n>o, tel
que m=f(n)>ï. Mais alors, comme on voit sans peine, le nombre
/(m-^-ri) est divisible par met les nombres /(n) et /(m-\-n)
ont un diviseur commun m>ï et par suite ne sont pas premiers
entre eux. Le théorème 5est ainsi démontré.
Théorème 6. Si f(x) est un polynôme en xaux coefficients
entiers, où le coefficient de la plus grande puissance de xest positif,
la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une infinité
des entiers positifs xl9 x2,x3,..., tels que tous deux des nombres
f(xj, f(x2), f(x3), ... soient premiers entre eux, est la condition C
suivante :
C. Il n'existe aucun nombre entier d>l tel qu'on ait d|f (x)
quel que soit Ventier positif x.
La nécessité de la condition Cétant évidente, nous démon
trerons seulement leur suffisance. Dans ce but nous démontrerons
le lemme suivant:
Lemme. sétant un entier positif et qx,q2,..., q5q5des nombres
premiers distincts pour lesquels il existe des entiers positifs tl7 12,..,