"presque-othogonales" d`operateurs sur un espace de hilbert

Proceedings of the International Congress of Mathematicians
Berkeley, California, USA, 1986
Opérateurs de Calderón-Zygmund
GUY DAVID
I. Introduction. Des opérateurs d'intégrale singulière apparaissent natur-
ellement dans de nombreux problèmes, notamment d'équations aux dérivées
partielles ou de théorie du potentiel. Nous nous bornerons dans cet exposé à
étudier une classe d'opérateurs d'intégrale singulière introduite par Calderón et
Zygmund [CZ]. Les méthodes utilisées pour prouver la continuité sur L2 de tels
opérateurs sont souvent très proches de celles avec lesquelles on traite d'autres
intégrales singulières (comme la transformée de Hilbert le long d'une courbe, ou
certaines intégrales oscillantes, ou encore la fonction maximale sphérique). Nous
renvoyons à ce sujet à l'exposé de E. M. Stein.
Précisons un peu le type d'opérateurs dont nous allons parler. Par "noyau
standard" sur Rn, nous entendrons une fonction K, définie sur Rn x Rw privé
de la diagonale, et telle que, pour un G > 0 et un S e]0, 1],
\K(x,y)\<C\x-y\-n, (1)
et \K(x',y) - K(x, y)\ + \K(y,x') - K(y,x)\ < C\x' -
x\8/\x - y\n+s (2)
pour \x' -x\< \\x -y\.
DEFINITION 1. Nous appellerons dans la suite opérateur d'intégrale singulière
(en abrégé SIO) tout opérateur linéaire continu de C£°(Rn) dans (CQ>(Rn))' qui
a la propriété suivante: il existe un noyau standard K tel que, si / et g sont deux
fonctions-test à supports disjoints, la distribution Tf appliquée à g soit donnée
par (Tf,g) = Jf K(x,y)f(y)g(x)dxdy.
Cette définition, introduite par Coifman et Meyer, a l'avantage sur la définition
habituelle d'être bien plus flexible. Notons que l'identité est un SIO, associé au
noyau K = 0.
Il est maintenant classique que, si T est un SIO et si de plus T est continu sur
L2 (c.à.d. peut être prolongé en un opérateur borné sur L2), alors T est aussi
continu sur Lp pour 1 < p < +oo, peut être étendu en un opérateur continu de
l'espace atomique H1 dans L1 et, dualement, de L°° dans BMO (les fonctions à
oscillation moyenne bornée de John et Nirenberg). Il faut encore pouvoir décider
si un opérateur donné est borné sur L2.
© 1987 International Congress of Mathematicians 1986
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OPÉRATEURS DE CALDERÓN-ZYGMUND 891
IL Le théorème de Coifman, Mcintosh et Meyer. L'exemple fondamen-
tal est donné par le noyau de Cauchy sur un graphe lipschitzien. Si A\ R —• R
est une fonction lipschitzienne, l'opérateur de Cauchy sur le graphe de A peut
être défini par
ÛAf(x) = v.p. [x-y + i(A(x) - A(y))]~1f(y) dy pour / assez régulière.
Après des résultats partiels de Calderón [Cl], Coifman-Meyer [CM1] et
Calderón [C2], Coifman, Mcintosh et Meyer ont montré en 1981 le résultat
suivant.
THÉORÈME 1 [CMM]. L'opérateur CA est borné sur L2(R) pour toute fonc-
tion lipschitzienne A.
Ce résultat a une importance considérable car, en plus de ses conséquences
directes (citons par exemple l'existence, pour toute fonction / de carré integrable
sur le graphe de A, d'une décomposition / = /+ + /_, où /+ (resp. /_) s'étend
en une fonction analytique au-dessus (resp. au-dessous) du graphe) il permet
de démontrer la continuité de nombreux autres opérateurs, comme le poten-
tiel de double-couche associé à un graphe lipschitzien C Rn+1 (voir [CDM]).
Le théorème 1 a eu très rapidement de nombreuses applications, notamment à
la solution d'équations aux dérivées partielles sur des domaines peu réguliers.
Citons seulement [DK1, DKV1, DKV2, VI].
En plus des démonstrations originales de [C2] et [CMM], on dispose main-
tenant de plusieurs manières d'aborder la continuité de CA- Signalons une
démonstration de S. Semmes, qui ne donne pour le moment que le cas où ||-A'||oo
est assez petite, mais qui peut être utilisée pour d'autres problèmes. Donnons
une idée de la stratégie.
Soient T le graphe de A et H+(T) (resp. H?L(T)) l'espace de Hardy des traces
sur T de fonctions analytiques au-dessus (resp. au-dessous) de T, et qui sont
uniformément dans L2(T + ie) pour e positif (resp. négatif). La continuité de CA
est équivalente à l'existence, pour toute fonction / E L2(T), d'une décomposition
/ = /++/-, où f± G H± (r). La fonction F, égale au-dessus de T à l'extension de
/+ et au-dessous de T à l'extension de — /_, est donc analytique hors de T et a un
saut égal à / sur T. On décide de chercher F sous la forme F = Go/j-1, où p est
un homéomorphisme bi-lipschitzien de C qui envoie R sur T. Soit p, = dp(dp)~1
la dilatation complexe de p\ la fonction G vérifie alors (d — pd)G = 0 hors de R,
et a le saut g = / o p"1 sur R, On appelle C(g) l'intégrale de Cauchy de g; C(g)
est donc analytique hors de R; on note G(g)f sa dérivée et h(z) = p(z)C(g)f(z)
pour z ^ R. Alors H = G-G(g) n'a plus de saut sur R, et vérifie (d-pd)H = h.
Il s'avère aussi qu'on peut choisir p assez régulière pour que p vérifie certaines
estimations quadratiques du type "mesures de Carleson," qui à leur tour permet-
tent de résoudre l'équation (d - pd)H = h quand g EL2. Voir [Sel] pour plus
de détails.
On sait aussi démontrer le théorème 1, à partir du cas où HA'Hoo est assez
petit, par une méthode de perturbations. L'idée est de trouver, pour tout A

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et tout intervalle compact, une fonction A telle que HÂ'Hoo < ïoll^-'lloo? et qui
coincide avec A sur une part significative de l'intervalle. Si l'on sait déjà que C^
est borné dès que ||A'||oo < IOII^'IIOOJ
on peut
en déduire un contrôle local de
ÇA, que l'on transforme en contrôle global en utilisant des inégalités aux bons
A, ou tout autre outil équivalent. Cette idée, déjà utilisée dans [CM4] pour
l'étude des courbes corde-arc, puis dans [Dv] pour les graphes lipschitziens, a
été bien perfectionnée par T. Murai et P. Tchamitchian. C'est ainsi que T. Murai
démontre le
THÉORÈME 2 [Mu2]. La norme de CA sur L2(K) est inférieure à
G(l + \\A'\U^.
Notons que cette estimation est la meilleure possible. Il est assez surprenant
que, de toutes les méthodes connues pour prouver la continuité de CA> ce soit
une méthode de perturbations successives qui donne le meilleur résultat. Comme
l'a remarqué S. Semmes, le théorème 2 permet de montrer que le noyau
\(A(x) — A(y))(x — y)_1\(x — y)-1 définit un opérateur borné sur L2(R) lorsque
A: R —• R est lipschitzienne.
III. Critères de continuité sur L2. Une autre voie de recherches est
de trouver des conditions générales qui entraînent la continuité sur L2 d'un
opérateur d'intégrale singulière T. Lorsque T n'est pas un opérateur de convo-
lution, on ne peut pas appliquer Plancherel directement. On peut par contre
utiliser avec une certaine efficacité le lemme de Cotlar, Knapp et Stein sur les
sommes "presque-othogonales" d'opérateurs sur un espace de Hilbert (il était
déjà question d'appliquer ce lemme à des opérateurs d'intégrale singulière dans
[F]). On obtient ainsi un premier critère de continuité sur L2.
THÉORÈME 3 [DJ]. Soit T un SIO. Alors T s'étend en un opérateur borné
sur L2(Rn) si et seulement si TI G BMO,
lT\
G BMO et T est faiblement
borné.
Rappelons que, bien que 1 ne soit pas à support compact, Tl peut être défini
à une constante additive près; le transposé *T est donné par (*T/, g) = (Tg,f).
Enfin, pour x G Rn et t > 0, notons A(x,t) l'opérateur de translation-dilatation
défini par A(x,t)f(y) = t~n/2f((y — x)/t). Nous dirons que T est faiblement
borné si les opérateurs A_1(x,t)TA(x,t), (x,t) G R++1, sont uniformément
bornés de C£°(Rn) dans (C£°(Rn))'. Ainsi, "T est faiblement borné" traduit
seulement une certaine stabilité, vis à vis à des translations et des dilatations,
des inégalités qui permettent de définir T.
Disons deux mots de la démonstration du théorème 3. On commence par
soustraire à T deux opérateurs que l'on sait traiter (des paraproduits, par ex-
emple), pour se réduire au cas où Tl = *T1 = 0 dans BMO. Ensuite, fidèle à
la tradition, on découpe T en petits morceaux de la manière suivante. On se
donne une fonction (p G C£°(Rn) positive, radiale, d'intégrale 1 et l'on note Pt
l'opérateur de convolution par (pt(x) = t~n<p(x/t) et Qt = —t(dPt/dt). Ainsi,

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Qt est l'opérateur de convolution par la fonction ipt(x) = t~niß(x/t), où I/J est
une fonction semblable à (p, mais d'intégrale nulle.
On écrit
T = lim PtTPt = - / irAPtTPt) dt = / QtTPt- + / PtTQ
*->o Jo
dt
Jo
t
Jo
dt
Les propriétés Tl = 0 et *T1 = 0 permettent de montrer que le découpage de
l'opérateur
rQtTpS en W'"QtTPtT
satisfait aux hypothèses du lemme de Cotlar-Knapp-Stein; on en déduit le théo-
rème.
Notons que, bien que le théorème 3 permette de réduire à quelques intégrations
par parties la démonstration de la continuité de CA lorsque \\Af ||oo est assez petit,
il ne permet pas de traiter le cas général où ||J4'||OO < +oo,
On peut aller plus loin dans la direction du théorème 3. A. Mcintosh et
Y. Meyer ont remarqué que, si ò G L°° est une fonction telle que, pour un 6 > 0,
Reb(x) > 6 pour tout x, alors on a le résultat suivant [McM]. Si T est un
SIO, si Tb = 0 et
lTb
= 0, et si {b}T{b} est faiblement borné (où {b} désigne
l'opérateur de multiplication par b(x)), alors T est borné sur L2. Ce résultat
entraîne le théorème 1: on prend b = 1 + %A! et on remarque que Tb =
lTb
= 0
par la formule de Cauchy.
En fait, on peut démontrer un résultat un peu plus général encore. On dit que
la fonction bornée b: Rn —• C est "para-accrétive" si, pour tout x G Rn et tout
d > 0, il existe un cube Q, dont le centre x' vérifie la;' — x\ < Cd, dont le côté r
vérifie (1/G)d < r < Gd, et tel que |(1/|Q|) JQ b(u) du\ > 6. (Bien entendu, les
constantes G et 6 > 0 sont indépendantes de x et de d.)
THÉORÈME 4 [DJS]. Soient 6i et 62 deux fonctions para-accrétives et T un
SIO. Alors T est borné sur L2(Rn) si et seulement siTb1 G BMO,
lTb2
G BMO
et {&2}T{öi} est faiblement borné.
Ce théorème se démontre un peu comme le théorème 3. Il faut cependant
remplacer les opérateurs Pt et Qt définis plus haut par des décompositions de
l'identité adaptées aux fonctions 6^, ce qui soulève quelques difficultés techniques.
On est ainsi amené à utiliser les techniques de décomposition de Littlewood-Paley
sur un espace de nature homogène, et à modifier un peu le lemme de Cotlar-
Knapp-Stein.
IV. Opérateurs multilinéaires et estimations polynomiales. La man-
ière la plus classique d'attaquer l'opérateur CA est de le décomposer en série de
puissances (les commutateurs de Calderón). Ainsi,
CAf = ÎTikTk(A',...,A',f),
fc=0

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OÙ
Th{ai,a,2,...,ak,f) =v.p. /
A1(x)-A1(y) Ak(x)-Ak(y) f(y)
x—y x — y x—y
où l'on a noté Ai(x) = f£ o,i(t) dt.
Lorsqu'on applique le théorème 3 dans cette situation, on utilise le fait que
remplacer / par 1 permet de ramener l'étude d'un opérateur (k -f- l)-linéaire à
celle d'un opérateur fc-linéaire, ce qui donne une chaîne d'estimations comme
\\Tk(A',...,A',.)\\L2iL2<C\\Tk(A',..., A',1)||BMO
= G\\Tk-1(Af,...,Af)\\BMO
<C\\Tk-1(A',...iA'i.)\\LaotBMO
<CC'\\Tk-M',-'.iÄ,.)\\L2iL*<..-.
On obtient une majoration de Tk en k étapes et, à chaque étape, on perd une
constante multiplicative. On pourrait donc craindre que ce type de démonstra-
tion ne puisse fournir que des estimations de normes en Ck. Il n'en est rien, et
M. Christ et J.-L. Journé ont pu, avec des méthodes similaires, obtenir des
estimations polynomials en k de la norme certains opérateurs fc-linéaires (dont
le k ième commutateur de Calderón).
Assez curieusement, certaines améliorations du formalisme jouent un rôle im-
portant. Ainsi, on a vu que pour prouver que T est continu, on avait envie
d'écrire T = /0°° Tt dt/t avec, par exemple, Tt = PtTQt + QtTPt. On a en fait
intérêt à étudier directement ce que les auteurs de [CJ] appellent une e-famille.
DÉFINITION 2. Soit 0 < e < 1. On appelle e-famille une famille T = (Tt)t>o
d'opérateurs donnés par leur noyau Tt(x,y), où
lT^)l<C(f
+ |^y|)w+£, (3)
et
|r,(*,g)-r,(^)|<C(J^),((
+ |;;y|)„t,
(4)
pour tous x, y, et y1 G Rn tels que \y' -y\ < \(t + \x-y\).
On dira que T est bornée si, pour tout / G L2, /0°° \\Ttf\\l dt/t < C||/|||.
Il y a une correspondance entre SIO faiblement bornés d'une part, et e-
familles d'autre part. Ainsi si T est un SIO faiblement borné, alors (QtTPt)t>o
et (PtTQt)t>o sont des e-familles. Réciproquement, si (Tt)t>o est une famille
d'opérateurs donnés par des noyaux Tt(x,y) vérifiant (3) et
|v.r«(.iy)| + |v,2i(*,i,)| < j{t
+ ìx^yì)n+e,
(5)
alors T = fTt dt/t est un SIO faiblement borné.
Le Théorème 3 a un analogue dans le langage des e-familles.
THÉORÈME 5 [CJ]. Soit T = (Tt)t>o une e-famille. Alors T est bornée
si et seulement si p = \Ttl(x)\2dxdt/t est une mesure de Carleson sur R"+1