"presque-othogonales" d`operateurs sur un espace de hilbert

Proceedings of the International Congress of Mathematicians
Berkeley, California, USA, 1986
Opérateurs de Calderón-Zygmund
GUY DAVID
I. Introduction. Des opérateurs d'intégrale singulière apparaissent naturellement dans de nombreux problèmes, notamment d'équations aux dérivées
partielles ou de théorie du potentiel. Nous nous bornerons dans cet exposé à
étudier une classe d'opérateurs d'intégrale singulière introduite par Calderón et
Zygmund [CZ]. Les méthodes utilisées pour prouver la continuité sur L2 de tels
opérateurs sont souvent très proches de celles avec lesquelles on traite d'autres
intégrales singulières (comme la transformée de Hilbert le long d'une courbe, ou
certaines intégrales oscillantes, ou encore la fonction maximale sphérique). Nous
renvoyons à ce sujet à l'exposé de E. M. Stein.
Précisons un peu le type d'opérateurs dont nous allons parler. Par "noyau
standard" sur R n , nous entendrons une fonction K, définie sur R n x R w privé
de la diagonale, et telle que, pour un G > 0 et un S e]0, 1],
\K(x,y)\<C\x-y\-n,
(1)
et
\K(x',y)
- K(x, y)\ + \K(y,x') - K(y,x)\
< C\x' - x\8/\x - y\n+s
(2)
pour \x' -x\< \\x -y\.
DEFINITION 1. Nous appellerons dans la suite opérateur d'intégrale singulière
(en abrégé SIO) tout opérateur linéaire continu de C£°(R n ) dans (CQ>(Rn))' qui
a la propriété suivante: il existe un noyau standard K tel que, si / et g sont deux
fonctions-test à supports disjoints, la distribution Tf appliquée à g soit donnée
par (Tf,g) = Jf
K(x,y)f(y)g(x)dxdy.
Cette définition, introduite par Coifman et Meyer, a l'avantage sur la définition
habituelle d'être bien plus flexible. Notons que l'identité est un SIO, associé au
noyau K = 0.
Il est maintenant classique que, si T est un SIO et si de plus T est continu sur
L2 (c.à.d. peut être prolongé en un opérateur borné sur L2), alors T est aussi
continu sur Lp pour 1 < p < +oo, peut être étendu en un opérateur continu de
l'espace atomique H1 dans L1 et, dualement, de L°° dans BMO (les fonctions à
oscillation moyenne bornée de John et Nirenberg). Il faut encore pouvoir décider
si un opérateur donné est borné sur L2.
© 1987 International Congress of Mathematicians 1986
890
OPÉRATEURS DE CALDERÓN-ZYGMUND
891
IL Le théorème de Coifman, M c i n t o s h et Meyer. L'exemple fondamental est donné par le noyau de Cauchy sur un graphe lipschitzien. Si A\ R —• R
est une fonction lipschitzienne, l'opérateur de Cauchy sur le graphe de A peut
être défini par
ÛAf(x) = v.p.
[x-y
+ i(A(x) - A(y))]~1f(y)
dy
pour / assez régulière.
Après des résultats partiels de Calderón [Cl], Coifman-Meyer [CM1] et
Calderón [C2], Coifman, Mcintosh et Meyer ont montré en 1981 le résultat
suivant.
THÉORÈME 1 [CMM]. L'opérateur CA est borné sur L2(R) pour toute fonction lipschitzienne A.
Ce résultat a une importance considérable car, en plus de ses conséquences
directes (citons par exemple l'existence, pour toute fonction / de carré integrable
sur le graphe de A, d'une décomposition / = /+ + / _ , où /+ (resp. / _ ) s'étend
en une fonction analytique au-dessus (resp. au-dessous) du graphe) il permet
de démontrer la continuité de nombreux autres opérateurs, comme le potentiel de double-couche associé à un graphe lipschitzien C R n + 1 (voir [CDM]).
Le théorème 1 a eu très rapidement de nombreuses applications, notamment à
la solution d'équations aux dérivées partielles sur des domaines peu réguliers.
Citons seulement [DK1, D K V 1 , D K V 2 , VI].
En plus des démonstrations originales de [C2] et [CMM], on dispose maintenant de plusieurs manières d'aborder la continuité de CA- Signalons une
démonstration de S. Semmes, qui ne donne pour le moment que le cas où ||-A'||oo
est assez petite, mais qui peut être utilisée pour d'autres problèmes. Donnons
une idée de la stratégie.
Soient T le graphe de A et H+(T) (resp. H?L(T)) l'espace de Hardy des traces
sur T de fonctions analytiques au-dessus (resp. au-dessous) de T, et qui sont
uniformément dans L2(T + ie) pour e positif (resp. négatif). La continuité de CA
est équivalente à l'existence, pour toute fonction / E L2(T), d'une décomposition
/ = / + + / - , où f± G H± (r). La fonction F, égale au-dessus de T à l'extension de
/+ et au-dessous de T à l'extension de — / _ , est donc analytique hors de T et a un
saut égal à / sur T. On décide de chercher F sous la forme F = G o / j - 1 , où p est
un homéomorphisme bi-lipschitzien de C qui envoie R sur T. Soit p, = dp(dp)~1
la dilatation complexe de p\ la fonction G vérifie alors (d — pd)G = 0 hors de R,
et a le saut g = / o p"1 sur R, On appelle C(g) l'intégrale de Cauchy de g; C(g)
est donc analytique hors de R; on note G(g)f sa dérivée et h(z) = p(z)C(g)f(z)
pour z ^ R. Alors H = G-G(g) n'a plus de saut sur R, et vérifie (d-pd)H = h.
Il s'avère aussi qu'on peut choisir p assez régulière pour que p vérifie certaines
estimations quadratiques du type "mesures de Carleson," qui à leur tour permettent de résoudre l'équation (d - pd)H = h quand g EL2. Voir [Sel] pour plus
de détails.
On sait aussi démontrer le théorème 1, à partir du cas où HA'Hoo est assez
petit, par une méthode de perturbations. L'idée est de trouver, pour tout A
892
GUY DAVID
et tout intervalle compact, une fonction A telle que HÂ'Hoo < ïoll^-'lloo? et qui
coincide avec A sur une part significative de l'intervalle. Si l'on sait déjà que C^
est borné dès que ||A'||oo < IOII^'IIOOJ o n peut en déduire un contrôle local de
ÇA, que l'on transforme en contrôle global en utilisant des inégalités aux bons
A, ou tout autre outil équivalent. Cette idée, déjà utilisée dans [CM4] pour
l'étude des courbes corde-arc, puis dans [Dv] pour les graphes lipschitziens, a
été bien perfectionnée par T. Murai et P. Tchamitchian. C'est ainsi que T. Murai
démontre le
THÉORÈME
2
[Mu2]. La norme de CA sur L2(K)
est inférieure à
G(l + \\A'\U^.
Notons que cette estimation est la meilleure possible. Il est assez surprenant
que, de toutes les méthodes connues pour prouver la continuité de CA> ce soit
une méthode de perturbations successives qui donne le meilleur résultat. Comme
l'a remarqué S. Semmes, le théorème 2 permet de montrer que le noyau
\(A(x) — A(y))(x — y)_1\(x — y)-1 définit un opérateur borné sur L2(R) lorsque
A: R —• R est lipschitzienne.
III. Critères de continuité sur L2. Une autre voie de recherches est
de trouver des conditions générales qui entraînent la continuité sur L2 d'un
opérateur d'intégrale singulière T. Lorsque T n'est pas un opérateur de convolution, on ne peut pas appliquer Plancherel directement. On peut par contre
utiliser avec une certaine efficacité le lemme de Cotlar, Knapp et Stein sur les
sommes "presque-othogonales" d'opérateurs sur un espace de Hilbert (il était
déjà question d'appliquer ce lemme à des opérateurs d'intégrale singulière dans
[F]). On obtient ainsi un premier critère de continuité sur L2.
THÉORÈME 3 [DJ]. Soit T un SIO. Alors T s'étend en un opérateur borné
sur L2(Rn) si et seulement si TI G BMO, lT\ G BMO et T est faiblement
borné.
Rappelons que, bien que 1 ne soit pas à support compact, T l peut être défini
à une constante additive près; le transposé *T est donné par (*T/, g) = (Tg,f).
Enfin, pour x G R n et t > 0, notons A(x,t) l'opérateur de translation-dilatation
défini par A(x,t)f(y) = t~n/2f((y — x)/t). Nous dirons que T est faiblement
borné si les opérateurs A_1(x,t)TA(x,t),
(x,t) G R + + 1 , sont uniformément
bornés de C£°(R n ) dans (C£°(R n ))'. Ainsi, "T est faiblement borné" traduit
seulement une certaine stabilité, vis à vis à des translations et des dilatations,
des inégalités qui permettent de définir T.
Disons deux mots de la démonstration du théorème 3. On commence par
soustraire à T deux opérateurs que l'on sait traiter (des paraproduits, par exemple), pour se réduire au cas où T l = *T1 = 0 dans BMO. Ensuite, fidèle à
la tradition, on découpe T en petits morceaux de la manière suivante. On se
donne une fonction (p G C£°(R n ) positive, radiale, d'intégrale 1 et l'on note Pt
l'opérateur de convolution par (pt(x) = t~n<p(x/t) et Qt = —t(dPt/dt). Ainsi,
OPÉRATEURS DE CALDERÓN-ZYGMUND
893
Qt est l'opérateur de convolution par la fonction ipt(x) = t~niß(x/t),
une fonction semblable à (p, mais d'intégrale nulle.
On écrit
T = lim PtTPt = - /
*->o
Jo
irAPtTPt) dt = /
Jo
dt
QtTPt-
t
+ /
Jo
où I/J est
PtTQ
dt
Les propriétés T l = 0 et *T1 = 0 permettent de montrer que le découpage de
l'opérateur
rQtTpS
en W ' " Q t T P t T
satisfait aux hypothèses du lemme de Cotlar-Knapp-Stein; on en déduit le théorème.
Notons que, bien que le théorème 3 permette de réduire à quelques intégrations
par parties la démonstration de la continuité de CA lorsque \\Af ||oo est assez petit,
il ne permet pas de traiter le cas général où ||J4'||OO < +oo,
On peut aller plus loin dans la direction du théorème 3. A. Mcintosh et
Y. Meyer ont remarqué que, si ò G L°° est une fonction telle que, pour un 6 > 0,
Reb(x) > 6 pour tout x, alors on a le résultat suivant [McM]. Si T est un
SIO, si Tb = 0 et lTb = 0, et si {b}T{b} est faiblement borné (où {b} désigne
l'opérateur de multiplication par b(x)), alors T est borné sur L2. Ce résultat
entraîne le théorème 1: on prend b = 1 + %A! et on remarque que Tb = lTb = 0
par la formule de Cauchy.
En fait, on peut démontrer un résultat un peu plus général encore. On dit que
la fonction bornée b: R n —• C est "para-accrétive" si, pour tout x G R n et tout
d > 0, il existe un cube Q, dont le centre x' vérifie la;' — x\ < Cd, dont le côté r
vérifie (1/G)d < r < Gd, et tel que |(1/|Q|) JQ b(u) du\ > 6. (Bien entendu, les
constantes G et 6 > 0 sont indépendantes de x et de d.)
THÉORÈME 4 [DJS]. Soient 6i et 62 deux fonctions para-accrétives et T un
SIO. Alors T est borné sur L2(Rn) si et seulement siTb1 G BMO, lTb2 G BMO
et {&2}T{öi} est faiblement borné.
Ce théorème se démontre un peu comme le théorème 3. Il faut cependant
remplacer les opérateurs Pt et Qt définis plus haut par des décompositions de
l'identité adaptées aux fonctions 6^, ce qui soulève quelques difficultés techniques.
On est ainsi amené à utiliser les techniques de décomposition de Littlewood-Paley
sur un espace de nature homogène, et à modifier un peu le lemme de CotlarKnapp-Stein.
IV. Opérateurs multilinéaires et estimations polynomiales. La manière la plus classique d'attaquer l'opérateur CA est de le décomposer en série de
puissances (les commutateurs de Calderón). Ainsi,
ÎTikTk(A',...,A',f),
CAf =
fc=0
894
GUY DAVID
OÙ
Th{ai,a,2,...,ak,f)
=v.p. /
A1(x)-A1(y)
Ak(x)-Ak(y)
x—y
x— y
f(y)
x—y
où l'on a noté Ai(x) = f£ o,i(t) dt.
Lorsqu'on applique le théorème 3 dans cette situation, on utilise le fait que
remplacer / par 1 permet de ramener l'étude d'un opérateur (k -f- l)-linéaire à
celle d'un opérateur fc-linéaire, ce qui donne une chaîne d'estimations comme
\\Tk(A',...,A',.)\\L2iL2<C\\Tk(A',...,
=
A',1)||BMO
G\\Tk-1(Af,...,Af)\\BMO
<C\\Tk-1(A',...iA'i.)\\LaotBMO
<CC'\\Tk-M',-'.iÄ,.)\\L2iL*<..-.
On obtient une majoration de Tk en k étapes et, à chaque étape, on perd une
constante multiplicative. On pourrait donc craindre que ce type de démonstration ne puisse fournir que des estimations de normes en Ck. Il n'en est rien, et
M. Christ et J.-L. Journé ont pu, avec des méthodes similaires, obtenir des
estimations polynomials en k de la norme certains opérateurs fc-linéaires (dont
le k ième commutateur de Calderón).
Assez curieusement, certaines améliorations du formalisme jouent un rôle important. Ainsi, on a vu que pour prouver que T est continu, on avait envie
d'écrire T = /0°° Tt dt/t avec, par exemple, Tt = PtTQt + QtTPt. On a en fait
intérêt à étudier directement ce que les auteurs de [CJ] appellent une e-famille.
DÉFINITION 2. Soit 0 < e < 1. On appelle e-famille une famille T = (Tt)t>o
d'opérateurs donnés par leur noyau Tt(x,y), où
l T ^)l<C (f + | ^ y | ) w + £ ,
(3)
et
|r,(*, g )-r,(^)|< C (J^) , (( + | ; ; y | ) „ t ,
(4)
pour tous x, y, et y1 G R n tels que \y' -y\ < \(t +
\x-y\).
On dira que T est bornée si, pour tout / G L2, /0°° \\Ttf\\l dt/t < C | | / | | | .
Il y a une correspondance entre SIO faiblement bornés d'une part, et efamilles d'autre part. Ainsi si T est un SIO faiblement borné, alors (QtTPt)t>o
et (PtTQt)t>o sont des e-familles. Réciproquement, si (Tt)t>o est une famille
d'opérateurs donnés par des noyaux Tt(x,y) vérifiant (3) et
|v.r«(. iy )| + |v,2i(*,i,)| < j { t
+ ìx^yì)n+e,
(5)
alors T = fTt dt/t est un SIO faiblement borné.
Le Théorème 3 a un analogue dans le langage des e-familles.
THÉORÈME 5 [CJ]. Soit T = (Tt)t>o une e-famille. Alors T est bornée
si et seulement si p = \Ttl(x)\2dxdt/t
est une mesure de Carleson sur R " + 1
OPÉRATEURS DE CALDERÓN-ZYGMUND
895
(c.à.d. que \\p\\c = swpB p(Bx]0, r[)/|£?|, où la borne supérieure est prise sur
toutes les boules de B de Rn et où r est le rayon de B, est fini). De plus,
\Tta(x)\
idxdt
tdxdt
\Ttl(x)f
< a
+ G\\a\U
(6)
où la constante C dépend des estimations (3) et (4).
Nous attirons l'attention du lecteur sur le fait que, dans (6), le premier terme
du second membre n'est précédé d'aucune constante. C'est un peu comme si,
dans le théorème 3, on avait montré que ||T||LOO J B M O < ||T1||BMO + C pour,
disons, tout SIO antisymétrique faiblement borné!
La démonstration du théorème 5 est encore une application relativement directe du lemme de Cotlar-Knapp-Stein.
On peut maintenant donner une idée de la manière dont Christ et Journé obtiennent des estimations polynômiales en k sur la norme du fcième commutateur
de Calderón. On considère la forme (k + 2)-linéaire F définie par
F(fi» - • • ? fk> / M - I > //c+2) = (Tk(fi,...,
f[[Xfi(t)dt
= lim//
£\0jJ\x-y\>£
fk, /jb+1), /jb+a)
//c+i(y)//c+2(z)
[fJ[Jy
dydx
(x-y) fc+i'
On remarque aisément que, dans la forme F, les (fc + 2) fonctions jouent des
rôles semblables. Plus précisément, si l'on fixe k d'entre elles dans L°°, alors
F définit une forme bilinéaire entre les deux dernières fonctions, et cette forme
bilinéaire provient d'un SIO. (Dans le langage des auteurs de [CJ], F est une
forme (fc + 2)-linéaire d'intégrale singulière.)
On transforme maintenant Tk(a, a,...,a,.)
en somme d'e- familles en écrivant
(Tk(a,a,...,a,f),g)
=
F(a,...,a,f,g)
i
f°°
fOO
=J
00 g
t^[F{Pta,Pta,.
.,Pta,PtftPtg)]j
dt
f°°
F(QtaiPta,...>Ptg)j + --- + J
dt
F(Pta,... ,Ptf,Qtg)j.
On peut maintenant utiliser le fait que F est une forme (fc + 2)-linéaire
d'intégrale singulière pour appliquer le théorème 5 en cascade et remplacer les
fonctions a par 1 les unes après les autres. Pour chacun des (fc + 2) termes de la
somme, il faut moins de (fc+1) applications du théorème 5 pour se réduire au cas
où a = 1. De plus, les constantes qui interviennent dans (3) et (4) sont de l'ordre
de (1 + fc)2e; on obtient donc une estimation (1 + fc)2+2e|H|£o pour la norme du
fcième commutateur de Calderón. En utilisant un peu mieux l'antisymétrie des
commutateurs, les auteurs de [CJ] obtiennent en fait
||r fc (a,o,...,o,.)||L«.x.» <Gfi(l + *) 1 + 6 ||o||*,
(7)
pour tout 6 > 0. Cette estimation est d'ailleurs la meilleure connue actuellement.
896
GUY DAVID
Le lecteur a deviné que le théorème 5 peut être appliqué à d'autres opérateurs
multilinéaires. On peut même, avec plus de travail, l'utiliser pour contrôler des
opérateurs dont le noyau ne vérifie pas (2).
On se place en dimension n > 2, et on se donne un opérateur de convolution
de Calderón-Zygmund T. On note K(x — y) son noyau-distribution (hors de
la diagonale, K(x — y) est une fonction qui vérifie (1) et (2), et de plus T
est borné sur L2). Pour toute fonction bornée a et tous x,y G R n , on note
m[Xiy]a = ft=Q a(x + t(y — x)) dt la moyenne de a sur le segment [x, y]. Bien que
m
[x,y]Q> soit en général une fonction très peu régulière de x et de y, le théorème
5 permet de démontrer le résultat suivant.
THÉORÈME 6 [CJ]. Si ai,...,
alors la formule
ak sont k fonctions bornées définies sur Rn,
k
(Tkf,g) = jj K(x,y) n^w]^
f(y)g(x)dxdy
U=i
définit un opérateur borné sur Lp pour 1 < p < +oo, et
k
||Tfc||LP,LP < C(p, 6)(1 + k)2+s n IKIloo
pour tout 6 > 0.
V. Ondelettes et algèbre de Lemarié. Rappelons que la famille des opérateurs d'intégrale singulière T bornés sur L2(Rn), et tels que T l = *T1 = 0
dans BMO, est une algèbre, que nous noterons A (voir [Ll] ou [Ml]). La
découverte par Y. Meyer d'une nouvelle base de L2 a permis de construire
quelques opérateurs non banaux de A.
Soient iß: R —• C une fonction, et J = [k2~3, (k+l)2~3] un intervalle dyadique.
Nous noterons ißj(x) = 23l2iß(23x —fc)(cette notation peut être justifiée par le
fait que si iß était à support dans [0,1], alors ißi serait à support dans I).
THÉORÈME 7 [LM]. // existe une fonction iß G S(R) telle que les ißj, I
intervalle dyadique, forment une base orthonormée de L2(R).
Si on oubliait la contrainte "iß est dans classe de Schwartz," le système de
Haar conviendrait. Signalons aussi qu'on ne peut pas choisir iß G C£°(R).
Pour faciliter l'exposé, nous avons pris le parti de rester en dimension 1.
Toutefois, les résultats que nous mentionnons sont encore valables en dimension
n > 2. On construit une base de L 2 ( R n ) à partir de iß comme on le fait avec le
système de Haar. La base en question est obtenue à partir de (2 n — 1) fonctions
de base, qui sont elles-mêmes des produits tensoriels de fc fonctions ip (pour
1 < fc < n) et de (n —fc)fonctions <p, où (p est une autre fonction de S(R), mais
qui vérifie f (p = 1 alors que / iß = 0. (La fonction (p joue le rôle de l[ 0j i] dans
le système de Haar.)
L'avantage principal des ißi (qu'il est convenu d'appeler une base d'ondelettes)
sur le système de Haar, par exemple, est que les ißi sont dans tous les espaces
OPÉRATEURS DE OALDERÓN-ZYGMUND
897
fonctionnels raisonnables. On en déduit aisément que (ißj)i est aussi une base
inconditionnelle de Lp, 1 < p < +00, et même de l'espace atomique H1. De
même, l'appartenance d'une fonction / à un espace fonctionnel donné est, pour
la plupart des espaces fonctionnels usuels, caractérisée de manière simple par la
taille (ou la décroissance) des coefficients /
f(x)ißj(x)dx.
Revenons à l'algèbre A, et donnons un exemple d'opérateur d'intégrale singulière qui peut être construit à partir d'ondelettes. Il s'agit d'un opérateur T G
A, inversible sur L 2 (R), mais dont l'inverse n'est pas un opérateur d'intégrale
singulière, et n'est d'ailleurs pas continu sur Lp pour un p ^ 2 fixé à l'avance.
(Le premier exemple d'un tel opérateur a été construit, toujours en utilisant des
ondelettes, par P. Tchamitchian [T2]; nous présentons ici un exemple de P. G.
Lemarié.)
Soit ißi, I intervalle dyadique, la base du théorème 7. Pour tout intervalle
dyadique J, on note 7 le fils de gauche de I (c.à.d. que si I = [k2~3, (fc + 1)2~3],
alors 7 = [k2~3, (fc+ ^)2~3]). Soit S l'opérateur de L2(R) défini par S(fa) = ißj
pour tout I dyadique; S est clairement une isométrie de L2(R) sur son image,
On vérifie aisément que le noyau de S est
K(x,y) = ^ißjWMv)
I
= Y^J22J^(2Hlx
j
- M)iß(23y - fc)
k
et est un noyau standard. Comme iß est d'intégrale nulle, on a aussi S I = *JS1 =
0, donc S E A.
Choisissons T = 1 - rS. Clairement, T G A, et T est inversible sur £ 2 ( R )
pour \r\ < 1. De plus,
T~l(iß) = iß + rS(iß) + r2S2(iß) + • • •
= ^ + ^ [ o , i ] + ^ [ 0 j i ] + -"Si p > 2 est fixé à l'avance, on peut choisir r assez proche de 1 pour que
T~ 1 (^) ne soit pas dans LP(R), et T est le contre-exemple cherché.
BIBLIOGRAPHIE
[Bd] G. Bourdaud, Sur les opérateurs pseudo-différentiels à coefficients peu réguliers,
Thèse d'Etat, Univ. Paris VII, 1983.
[Bl] J. Bourgain, High dimensional maximal Junctions associated to convex sets (à
paraître).
[B2]
, On the spherical maximal function in the plane (à paraître).
[Cl] A. P. Calderón, Commutators of singular integral operators^ Proc. Nat. Acad. Sci.
U.S.A. 53 (1965), 1092-1099.
[C2]
, Cauchy integrals on Lipschitz curves and related operators^ Proc. Nat. Acad.
Sci. U.S.A. 74 (1977), 1324-1327.
[C3]
, Commutators, singular integrals on Lipschitz curves and applications, Proc.
Internat. Congr. Math. (Helsinki, 1978), Acad. Sci. Fennica, Helsinki, 1980, pp. 85-96.
[CZ] A. P. Calderón et A. Zygmund, On the existence of certain singular integrals, Acta
Math. 88 (1952), 85-139.
[C...W] H. Carlsson, M. Christ, A. Cordoba, J. Duoandikoetxea, J.-L. Rubio de Francia, J. Vance, S. Wainger et D. Weinberg, Lp-estimates for maximal functions and Hilbert
transforms along flat convex curves in R 2 , Bull, Amer. Math. Soc. 14 (1986), 263-267.
898
GUY DAVID
[Ch] M. Christ, Hilbert transforms along curves. E: A flat case, Amer. J. Math, (à
paraître).
[CJ] M. Christ et J.-L. Journé, Polynomial growth estimates for multilinear
singular
integral operators, Acta Math, (à paraître).
[CGI] J. Cohen et J. Cosselin, The Dirichlet problem for the biharmonic equation in a
bounded C1 domain in the plane, Indiana Univ. Math. J. 32 (1985), 635-685.
[CG2]
, Adjoint boundary value problems for the biharmonic equation on C1 domains in the plane, Ark. Mat. 2 3 (1985), 217-240.
[CDM] R. R. Coifman, G. David et Y. Meyer, La solution des conjectures de Calderón,
Adv. in Math. 48 (1983), 144-148.
[CDeM] R. R. Coifman, P. G. Deng et Y. Meyer, Domaine de la racine carrée de certains
opérateurs différentiels accrétifs, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 3 3 (1983), no. 2, 123-134.
[ C M M ] R. R. Coifman, A. Mcintosh et Y. Meyer, L'intégrale de Cauchy définit un
opérateur borné sur L2 pour les courbes lipschitziennes, Ann. of Math. 116 (1982), 3 6 1 388.
[CM1] R. R. Coifman et Y. Meyer, Commutateurs d'intégrales singulières et opérateurs
multilinéaires, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 28 (1978), no. 3, 177-202.
[CM2]
, Au-delà des opérateurs pseudo-différentiels, Astérisque 57, Société Mathématique de France, Paris, 1978.
[CM3]
, Le théorème de Calderón par les méthodes de variable réelle, C. R. Acad.
Sci. Paris Sér. A-B 289 (1979), no. 7, 425-428.
[CM4]
, Une généralisation du théorème de Calderón sur l'intégrale de Cauchy,
Actes de la Conférence d'Analyse de Fourier, El Escoriai, 1979.
[Dh] B. Dahlberg, Weighted norm inequalities for the Lusin integral and the nontangential maximal function for functions harmonic in a Lipschitz domain, Studia Math.
6 7 (1980), 297-314.
[DFK] B. Dahlberg, E. Fabes et C. Kenig, A Fatou theorem for solutions of the porous
medium equation, Proc. Amer. Math. Soc. 91 (1984), 205-212.
[DJK] B. Dahlberg, D. Jerison et C. Kenig, Area integral estimates for elliptic differential operators with non-smooth coefficients, Ark. Mat. 22 (1984), 97-108.
[DK1] B. Dahlbert et C. Kenig, Hardy spaces and the Lp-Neumann problem for Laplace }s equation in a Lipschitz domain, Preprint.
[DK2]
, Area integral estimates for higher order boundary value problems on Lipschitz domains (à paraître).
[DKV1] B. Dahlberg, C. Kenig et C. Verchota, Boundary value problems for the systems
of linear elastostatics on Lipschitz domains, Preprint.
[DKV2]
, The Dirichlet problem for the bilaplacian in a Lipschitz domain, Ann.
Inst. Fourier (Grenoble) (à paraître).
[Dv] G. David, Opérateurs intégraux singuliers sur certaines courbes du plan complexe,
Ann. Sci. École Norm. Sup. 17 (1984), 157-189.
[DJ] G. David et J-L. Journé, A boundedness criterion for generalized
Calderón-Zygmund operators, Ann. of Math. 120 (1984), 371-397.
[DJS] G. David, J-L. Journé et S. Semmes, Opérateurs de Calderón-Zygmund,
fonctions
para-accrétives et interpolation, Rev. Math. Ibero-Americana (à paraître).
[DxR] J. Duoandikoetxea et J-L. Rubio de Francia, Maximal and singular integral operators via Fourier transform estimates, Invent. Math. 84 (1986), fase. 3, 541-561.
[FJK] E. Fabes, D. Jerison et C. Kenig, Multilinear Littlewood-Paley
estimates
with
applications to partial differential equations, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 79 (1982), 57465750.
[FJR] E. Fabes, M. Jordeit et N. Rivière, Potential techniques for boundary value problems on C1 domains, Acta Math. 141 (1978), 165-186.
[F] C. Fefferman, Recent progress in classical Fourier Analysis, Proc. Internat. Congr.
Math. (Vancouver, B.C., 1974), Vol. 1, Canad. Math. Congress, Montreal, Que., 1975, pp.
95-118.
[JN] F. John et L. Nirenberg, On functions of bounded mean oscillation, Comm. Pure
Appi. Math. 14 (1961), 415-426.
OPÉRATEURS DE CALDERÓN-ZYGMUND
899
[Jl] J-L. Journé, Calderón-Zygmund
operators, pseudo-differential
operators, and the
Cauchy integral of Calderón, Lecture Notes in Math., Vol. 994, Springer-Verlag, 1983.
[KS] A. W. Knapp et E. M. Stein, Intertwining operators on semisimple Lie groups,
Ann. Math. 93 (1971), 489-578.
[LI] P. G. Lemarié, Algèbre d'opérateurs et semi-groupes de Poisson sur un espace de
nature homogène, Thèse de 3ème Cycle, Orsay, 1984.
[L2]
, Continuité sur les espaces de Besov des opérateurs définis par des intégrales
singulières, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 35 (1985), fase. 4, 175-187.
[LM] P. G. Lemarié et Y. Meyer, Ondelettes et bases hilbertiennes, Rev. Math. IberoAmericana (à paraître).
[McM] A. Mcintosh et Y, Meyer, Algèbre d'opérateurs définis par des intégrales singulières, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 3 0 1 (1985), no. 8, 395-397.
[Ml] Y. Meyer, Les nouveaux opérateurs de Calderón-Zygmund, Colloque en l'honneur
de L. Schwartz, Vol. 1, Astérisque 131 (1985), 237-254.
[M2]
, Intégrales singulières, opérateurs multilinéaires, analyse complexe et équations aux dérivées partielles, Proc. Internat. Congr. Math, (Varsovie, 1982), Polish Scientific
Publishers.
[M3]
, Real analysis and operator theory, Proceedings Notre-Dame 1984, Sympos.
(à paraître).
[Mul] T. Murai, Boundedness of singular integral operators of Calderón type V, Adv,
in Math. 59 (1986), 71-81.
[Mu2] T. Murai, Boundedness of singular integral operators of Calderón type VI, Preprint Series, College of General Education, Nagoya, no. 12, 1984.
[ N V W W ] A. Nagel, J. Vance, S. Wainger et D. Weinberg, Hilbert transforms for convex
curves, Duke Math. J. 50 (1983), 735-744.
[R] J-L. Rubio de Francia, A. Littlewood-Paley
inequality for arbitrary intervals, Rev,
Math. Ibero-Americana, 1 (1985), no. 2, 1-13.
[Sel] S. Semmes, Estimates for (d — pd)~x
and Calderón's theorem on the Cauchy
integral and Quasiconformai mappings and chord-arc curves, Trans. Amer. Math. Soc. (à
paraître).
[Se2]
, The Cauchy integral, chord-arc curves and quasiconf ormai mappings, Proceedings of the Symposium on the Occasion of the Proof of the Bieberbach Conjecture, Math.
Surveys Monogr., Vol. 21, 1986, pp. 167-184.
[St] E. M. Stein, Singular integrals and differentiability properties of functions, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1970.
[SW] E. M. Stein et S. Wainger, Problems in harmonic analysis related to curvature,
Bull. Amer. Math. Soc. 84 (1978), 1239-1295.
[Tl] P. Tchamitchian, Estimations précises des normes de certains opérateurs d'intégrales singulières, preprint, Ecole Polytechnique 91128 Palaiseau Cedex, France.
[T2]
, Calcul symbolique sur les opérateurs de Calderóne Zygmund et bases inconditionnelles de L 2 ( R ) , C. R. Acad. Sci. Paris (à paraître).
[VI] G. Verchota, Layer potentials and boundary value problems for Laplace's equation
in Lipschitz domains, Thesis, Univ. of Minnesota, 1982; J. of Funct. Anal. 59 (1984), 572-611.
[V2]
, The dirichlet problem for polyharmonic functions on Lipschitz
domains,
Preprint,
C E N T R E D E M A T H é M A T I Q U E S , E C O L E P O L Y T E C H N I Q U E , 91128 P A L A I S E A U C E D E X ,
FRANCE