BCPST1B Exemples préliminaires : I) Probabilité conditionnelle

BCPST1B
2015/2016
Conditionnement et indépendance.
Exemples préliminaires :
1) Une urne contient deux boules rouges et trois boules vertes.
On tire successivement et sans remise deux boules de l'urne.
a. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge au premier tirage ?
b. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule rouge au deuxième tirage sachant que l'on a tiré une
boule rouge au premier tirage ?
c. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?
2) Une urne contient deux boules noires et trois boules blanches.
On prend une boule au hasard dans l'urne, si la boule est blanche on la retire de l'urne sinon on la remet
dans l'urne, on procède alors à un deuxième tirage.
a. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules blanches ?
b. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules noires ?
I) Probabilité conditionnelle
1) Dénition
Dénition et proposition :
Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé ni et A un événement de probabilité non nulle.
P (A ∩ B)
est une probabilité sur l'espace probabilisable (Ω, P(Ω))
P (A)
L'application PA est appelée probabilité sachant A (probabilité conditionnelle relative à A).
L'application PA : P(Ω) → R qui à B 7→
Démonstration :
• Pour tout événement B on a : A ∩ B \ A donc P (A ∩ B) 6 P (A) et comme une probabilité est
P (A ∩ B)
positive, on a bien 0 6
61
P (A)
PA : P(Ω) → [0, 1]
• PA (Ω) =
P (A ∩ Ω)
P (A)
=
P (A)
P (A)
PA (Ω) = 1
• Soit B1 et B2 deux événements tels que : B1 ∩ B2 = ∅,
PA (B1 ∪ B2 ) = · · · = PA (B1 ) + PA (B2 )
Remarques :
• Toutes les propriétés énoncées sur P sont encore valables pour PA
par exemple :
PA (B ∪ C) = PA (B) + PA (C) − PA (B ∩ C)
• PA (A) = 1
Remarques :
• On note aussi : PA (B) = P B /A
• Attention à cette notation P B /A car B /A n'est pas un événement.
• P (A ∩ B) = P (A) × PA (B)
1
PA (B)
A H
HH
H
P (A)
B
B
Ω
@
@
@
@
B
A H
HH
H
• Si P est la probabilité uniforme alors PA (B) =
d'univers.
B
card(A ∩ B)
, tout se passe comme si on changeait
card(A)
Exemples :
1. On lance un dé équilibré : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
On note : A l'événement "obtenir 2 ou 4" (A = {2, 4})
et B l'événement "obtenir un nombre impair" (B = {1, 3, 5})
Donner ci-dessous la probabilité des événements élémentaires pour les probabilité PA et PB .
ω
1 2 3 4 5 6
P ({ω})
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
PA ({ω})
PB ({ω})
2. On a une urne contenant 9 boules rouges et 6 boules vertes.
On tire successivement et sans remise trois boules de cette urne.
Le modèle classique pour cette expérience est
P uniforme sur Ω : l'ensemble des arrangements de trois boules de l'ensemble des 15 boules.
On note : A1 : "Obtenir une boule rouge au premier tirage"
A2 : "Obtenir une boule rouge au deuxième tirage"
A3 : "Obtenir une boule rouge au troisième tirage"
Calculer les cardinaux suivant : (on ne simpliera pas les calculs )
card (Ω) =.................
card (A3 ) =.................
card (A1 ) =.................
card (A1 ∩ A3 ) =.................
card (A1 ∩ A2 ) =.................
card (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) =.................
Déterminer les probabilités suivantes : (on simpliera les calculs )
P (A1 ∩ A2 ) =.................
P (A1 ) =.................
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) =.................
PA1 ∩A2 (A3 ) =.................
PA1 (A2 ) =.................
PA1 ∩A3 (A2 ) =.................
PA1 (A2 ) =.................
PA1 (A2 ) =.................
2
PA1 ∩A2 (A3 ) =.................
PA1 ∩A2 (A3 ) =.................
P (A2 ∩ A3 ) =.................
P (A2 ) =.................
PA1 ∩A3 (A2 ) =.................
P (A3 ) =.................
PA2 (A1 ) =.................
PA1 ∩A3 (A2 ) =.................
2) Formule des probabilités composées (conditionnements successifs )
On peut enchainer les conditionnements,
avec trois événements
P (A ∩ B ∩ C) = P (A) PA (B ∩ C) = P (A) PA (B) (PA )B (C)
Pour pouvoir écrire cela il faut P (A) 6= 0 et PA (B) 6= 0
Remarque :
(PA )B (C) =.......................................................
PA∩B (C) =.......................................................
donc
(PA )B (C) = PA∩B (C)
Soit A et B deux événements tels que P (A ∩ B) 6= 0, on a :
P (A ∩ B ∩ C) = P (A) PA (B) PA∩B (C)
Remarque : Comme A ∩ B ⊂ A, si P (A ∩ B) 6= 0 alors P (A) 6= 0.
Théorème : (Formule des probabilités composées )
Pour A1 , . . . , Ak , k événements (k > 2) vériant P (A1 ∩ . . . ∩ Ak−1 ) > 0,
on a :
P (A1 ∩ . . . ∩ Ak ) = P (A1 ) × PA1 (A2 ) × · · · × PA1 ∩...∩Ak−1 (Ak )
Démonstration :
Illustration avec un arbre.
3
Exemple :
Une urne contient quatre boules rouges et trois boules vertes.
On tire successivement et sans remise trois boules de l'urne.
a. Quelle est la probabilité d'obtenir trois boules rouges ?
b. Quelle est la probabilité d'avoir une boule verte et deux boules rouges dans un ordre quelconque ?
c. Quelle est la probabilité d'avoir une boule rouge au troisième tirage sachant qu'on a eu une boule
rouge au premier tirage ?
3) Formule des probabilités totales
Dénitions :
Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé ni et {A1 , . . . , Ak } k événements. (k > 1)
{A1 , . . . , Ak } est un système complet d'événements non négligables pour P ssi
{A1 , . . . , Ak } est une partition de l'univers et ∀i ∈ [[1, k]], P (Ai ) 6= 0.
Théorème : (Formule des probabilités totales)
Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé ni et (A1 , . . . , Ak ) une liste de k événements.
À Si (A1 , . . . , Ak ) un système complet d'événements alors pour tout événement B on a :
P (B) = P (A1 ∩ B) + P (A2 ∩ B) + · · · + P (Ak ∩ B)
ou encore :
P (B) =
k
X
P (Ai ∩ B)
i=1
Á Si (A1 , . . . , Ak ) un système complet d'événements non négligeables pour P alors pour tout événement B on a :
P (B) = P (A1 ) × PA1 (B) + P (A2 ) × PA2 (B) + · · · + P (Ak ) × PAk (B)
ou encore :
P (B) =
k
X
P (Ai ) × PAi (B)
i=1
Démonstration :
Cette formule vient du fait que : B = (A1 ∩ B) ∪ · · · ∪ (Ak ∩ B) et les (Ai ∩ B) sont deux à deux
incompatibles.
Ce qui donne :
P (B) = P (A1 ∩ B) + · · · + P (Ak ∩ B)
Illustration avec un arbre.
4
Remarque :
On a en particulier lorsque P (A) 6∈ {0, 1} : (A, A) est un système complet d'événements non négligeable
pour P .
P (B) = P (A) PA (B) + P (A) PA (B)
Illustration avec un arbre.
Exemples :
Ê Une urne contient deux boules noires et trois boules blanches.
On prends une boule au hasard dans l'urne, si la boule est blanche on la retire de l'urne sinon on la remet
dans l'urne, on procède alors à un deuxième tirage.
a. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule noire au deuxième tirage ?
b. On fait de même après le deuxième tirage : si la boule est blanche on la retire de l'urne sinon on la
remet dans l'urne, on procède alors à un troisième tirage.
Quelle est la probabilité que la boule soit noire au troisième tirage ?
Ë Soit n ∈ N∗ , on dispose d'urnes numérotées de 1 à n, plus précisément :
- on dispose d'une urne U1
- on dispose de deux urnes U2
..
.
- on dispose de n urnes Un
a. Quel est le nombre N d'urnes dont nous disposons ?
Dans chaque urne Uk , il y a k blanches et k(k − 1) boules rouges.
On choisit une urne au hasard, puis on tire une boule de cette urne.
On note pour tout k ∈ [[1, n]], Uk l'événement : "l'urne choisie porte le numéro k".
b. Soit k ∈ [[1, n]], déterminez la probabilité de Uk .
c. Calculer la probabilité que la boule tirée suivant la méthode décrite soit blanche.
d. On constate que la boule tirée est blanche. Calculez pour tout k ∈ [[1, n]], la probabilité que cette boule
provienne d'une urne portant le numéro k.
Solution :
a. Il y a 1 urne U1 , 2 urnes U2 , . . . , n urnes Un donc
N = 1 + 2 + ··· + n
Le nombre d'urnes est N =
n(n + 1)
2
Dans chaque urne Uk , il y a k blanches et k(k − 1) boules rouges.
On choisit une urne au hasard, puis on tire une boule de cette urne.
On note pour tout k ∈ [[1, n]], Uk l'événement : "l'urne choisie porte le numéro k".
b. On choisit une urne au hasard parmi N urnes et il y a k urnes Uk donc
P (Uk ) =
k
2k
ou P (Uk ) =
N
n(n + 1)
5
c. On note B : "la boule tirée est blanche".
Les événements U1 , U2 , . . ., Un forment un système complet d'événements (non négligeable pour la
probabilité P ) donc on a d'après la formule des probabilités totales :
n
X
P (B) =
P (Uk )PUk (B)
k=1
or dans l'urne Uk , il y a k blanches et k(k − 1) boules rouges donc PUk (B) =
P (B) =
1
k
donc
2 =
k
k
n
X
1
n
k
× =
N
k
N
k=1
la probabilité que la boule tirée suivant soit blanche est égale à
2
n+1
d. On veut ici calculer la probabilité PB (Uk )
on a :
2k
1
P (Uk ∩ B)
P (Uk )PUk (B)
n(n + 1) k
PB (Uk ) =
=
=
P (B)
P (B)
2
n+1
pour tout k ∈ [[1, n]], PB (Uk ) =
1
n
4) Formule de Bayes
Remarque : Si P (A) 6= 0 et P (B) 6= 0 alors :
PA (B) P (A) = PB (A) P (B)
PA (B)
A
P (A)
H
H
B
PB (A)
B
HH
@
@
P (B)
B
A
HH
HH
HH
A
A
@
@
B
A
@
@
B
@
@
HH
B
−−→
?
Proposition :
HH
HH
A
Soit (A1 , . . . , Ak ) un système complet d'événements non négligeables pour P et B un événement également non
négligeable pour P alors :
pour tout j ∈ {1, . . . , k},
PB (Aj ) =
P (Aj ) × PAj (B)
k
X
i=1
Démonstration :
6
P (Ai ) × PAi (B)
Illustration.
En particulier :
PB (A) =
P (A) × PA (B)
P (A) × PA (B) + P (A) × PA (B)
Exemple
On dispose de trois urnes U1 , U2 et U3 .
U1 contient 3 boules rouges et 1 blanche, U2 contient 1 boule rouge et 3 blanches et U3 contient 2 boules
rouges et 2 blanches.
On choisit au hasard une urne et on tire une boule.
On obtient une boule rouge, quelle est, alors, la probabilité que cette boule vienne de l'urne U1 ?
5) Rédaction.
À
Á
Â
Ã
Ä
Å
Commencer par bien lire l'énoncé.
Reconnaitre un exercice utilisant les probabilités conditionnelles(on ne cherche pas à dénir Ω...)
Donner des noms aux événements utiles à la résolution de l'exercice.
Traduire l'énoncé avec ces notations.
Utiliser les théorèmes du cours.
Conclure.
Exemple :
Un test sanguin a une probabilité de 0,95 de détecter un certain virus lorsque celui-ci est eectivement
présent. Il donne néanmoins un faux résultat positif pour 1% des personnes non infectées. Si 0,5% de la
population est porteuse du virus, quelle est la probabilité qu'une personne ait le virus sachant qu'elle a un
test positif ?
Que pensez-vous de ce résultat ?
Quel protocole proposez-vous pour avoir un test ecace ?
Correction :
On note T : "Le test est positif" et V : " la personne est infectée".
On cherche la probabilité : PT (V ),
Sachant que V et V forment un système complet, on a :
PT (V ) =
P (V ) × PV (T )
P (V ) × PV (T ) + P (V ) × PV (T )
ce qui donne :
PT (V ) =
0,005 × 0,95
0,005 × 0,95 + 0,995 × 0,01
La probabilité qu'une personne ait le virus sachant qu'elle a un test positif est d'environ 0,32
L'information donnée par ce test est insusant. Lorsque le test est positif il est plus probable que la personne
ne soit pas infectée ! !
7
Si on fait deux tests consécutifs, en supposant que les deux résultats sont indépendants.
On cherche la probabilité : PT1 ∩T2 (V ),
Sachant que V et V forment un système complet, on a :
PT1 ∩T2 (V ) =
P (V ) × PV (T1 ) × PV (T2 )
P (V ) × PV (T1 ) × PV (T2 ) + P (V ) × PV (T1 ) × PV (T2 )
ce qui donne :
PT1 ∩T2 (V ) =
0,005 × 0,95 × 0,95
≈ 0,97
0,005 × 0,95 × 0,95 + 0,995 × 0,01 × 0,01
C'est beaucoup mieux, mais le modèle considérant l'indépendance des deux tests sur le même individu est
contestable.
II) Evénements indépendants
1) Indépendance de deux événements.
Dénition :
Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé ni et A et B deux événements,
Dire que A et B sont indépendants signie que : P (A ∩ B) = P (A)P (B)
Exemples :
1. On tire une carte d'un jeu de 52 cartes.
Les événements A :"la carte tirée est un pique" et B : "la carte tirée est un roi" sont-ils indépendants ?
démontrez-le.
Solution :
P (A) =
1
1
1
, P (B) =
et P (A ∩ B) =
4
13
52
donc on a bien
P (A ∩ B) = P (A)P (B)
Les événements A et B sont indépendants.
On enlève du jeu l'as de c÷ur et on recommence l'expérience. Les événements A :"la carte tirée est un
pique" et B : "la carte tirée est un roi" sont-ils indépendants ?
Solution :
P (A) =
8
4
1
, P (B) =
et P (A ∩ B) =
51
51
52
donc on a
P (A ∩ B) 6= P (A)P (B)
Les événements A et B ne sont pas indépendants.
2. Ê On prend un nombre au hasard dans {1, 2, 3, 4, 5, 6}
On note A : "obtenir un nombre pair" et B : "obtenir un nombre multiple de trois".
Montrer que A et B sont deux événements indépendants.
Solution :
P (A) =
3
1
2
1
1
= , P (B) = =
et P (A ∩ B) =
6
2
6
3
6
donc on a bien
Les événements A et B sont indépendants.
8
P (A ∩ B) = P (A)P (B)
Ë On prend un nombre au hasard dans {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
On note A : "obtenir un nombre pair" et B : "obtenir un nombre multiple de trois".
Montrer que A et B sont deux événements indépendants.
Solution :
P (A) =
4
1
2
1
1
= , P (B) = =
et P (A ∩ B) =
8
2
8
4
8
donc on a bien
P (A ∩ B) = P (A)P (B)
Les événements A et B sont indépendants.
Ì Est-ce encore vrai en prenant un nombre au hasard dans {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Solution :
P (A) =
3
2
1
, P (B) = et P (A ∩ B) =
7
7
7
donc on a
P (A ∩ B) 6= P (A)P (B)
Les événements A et B ne sont pas indépendants.
Remarques.
• Ne pas confondre incompatibles et indépendants.
• L'indépendance est une relation symétrique.
• Cette notion dépend de P .
Exemple :
Un joueur lance une pièce trois fois.
On modélise cette expérience par : P la probabilité uniforme sur l'univers Ω = {0 ; 1}3 . (pile :1, face :0)
On considère les événements :
E : "le troisième lancer donne pile"
G : "le deuxième lancer donne pile"
C : "le premier lancer donne pile"
D : "le joueur obtient au moins une fois pile au cours des deux derniers lancers"
a. Montrer que E et G sont indépendants pour la probabilité P et indépendants pour la probabilité PC .
Solution :
P (E) =
1
1
1
, P (G) = et P (E ∩ G) =
2
2
4
donc on a bien
P (E ∩ G) = P (E)P (G)
Les événements E et G sont indépendants pour la probabilité P .
PC (E) =
1
1
1
, P (G) = et PC (E ∩ G) =
2 C
2
4
donc on a bien
PC (E ∩ G) = PC (E)PC (G)
Les événements E et G sont indépendants pour la probabilité PC .
b. Montrer que E et G ne sont pas indépendants pour la probabilité PD .
Solution :
card(E ∩ D)
4
2
card(G ∩ D)
4
2
= = , PD (G) =
= =
et
card(D)
6
3
card(D)
6
3
card(E ∩ G ∩ D)
2
1
PD (E ∩ G) =
= =
donc on a PD (E ∩ G) 6= PD (E)PD (G)
card(D)
6
3
PD (E) =
9
Les événements E et G ne sont pas indépendants pour la probabilité PD .
c. Montrer que E et D sont indépendants pour la probabilité PG mais ne sont pas indépendants pour la
probabilité P .
C'est la même idée.
• Certains événements paraissent a priori non indépendants mais peuvent le devenir avec cette dénition.
Exemple :
Considérons les diérentes répartitions possibles des sexes des enfants d'une famille ayant n enfants et notons
Fn l'ensemble de ces répartitions. On a par exemple, avec des notations évidentes, F2 = {(f, f ), (f, g), (g, f ), (g, g)}.
Il est clair que le cardinal de Fn est 2n et nous supposerons que toutes les répartitions possibles sont équiprobables.
Considérons l'événement M :"la famille a des enfants des deux sexes" et l'événement F : "la famille a au
plus une lle"
Etudier l'indépendance de ces deux événements dans le cas n = 2, n = 3 et enn pour un entier n quelconque
de N∗ .
Solution : Dans le cas de n quelconque dans N∗ .
M : "la famille n'a que des lles ou que des garçons"
Seuls deux résultats réalisent M : (f, · · · , f ) et (g, · · · , g)
2
donc P (M ) = n et ainsi :
2
P (M ) = 1 −
1
n−1
2
En posant A :"La famille n'a pas de lle" et B :"La famille a exactement une lle"
On a : A = {(g, · · · , g)} donc P (A) =
1
2n
et B = {(f, g · · · , g), (g, f, g · · · , g), . . . , (g, g · · · g, f )} donc P (B) =
n
2n
or F = A ∪ B (réunion disjointe ) donc
P (F ) =
1
n
n+1
+ n =
2n
2
2n
et F ∩ M = {(f, g · · · , g), (g, f, g · · · , g), . . . , (g, g · · · g, f )} donc
P (F ∩ M ) =
n
2n
On peut alors armer que :
F et M sont indépendants si, et seulement si,
or
n
n+1
×
n =
2
2n
1−
1
2n−1
n
n+1
1
=
×
1
−
2n
2n
2n−1
!
2n−1 − 1
!
⇐⇒
n = (n + 1) ×
⇐⇒
n2n−1 = n2n−1 + 2n−1 − n − 1
⇐⇒
2n−1 = n + 1
⇐⇒
n=3
2n−1
Les événements M et F sont indépendants si, et seulement si, n = 3
10
Remarque : la dernière équivalence n'est peut-être pas évidente pour tout le monde.
Deux explications possibles :
À Connaissant bien les courbes des fonctions usuelles x 7→ x + 1 et x 7→ 2x−1 , nous pouvons armer qu'ils
n'ont qu'un point d'intersection sur R∗+ .
Á En posant un = 2n − n − 1 on montre assez facilement que (un ) est strictement croissante pour n > 2 et
comme u1 6= 0 et u3 = 0 on en déduit que u3 est le seul terme nul de cette suite.
Proposition :
Soient A et B deux événements ,
Si A et B sont indépendants
alors
• A et B indépendants.
• A et B indépendants.
• A et B indépendants.
Démonstration :
On suppose A et B sont indépendants, on a alors :
P (A ∩ B) = P (A) − P (A ∩ B) = P (A) − P (A)P (B) car A et B sont indépendants.
on en déduit P (A ∩ B) = P (A)(1 − P (B)) = P (A)P (B)
et ainsi que A et B sont indépendants.
Dénitions :
Soit pour A1 , . . . , An , n événements sur Ω,
Dire que que ces événements sont 2 à 2 indépendants signie que
∀i, j ∈ {1, . . . , n}, i < j,
P (Ai ∩ Aj ) = P (Ai )P (Aj )
Remarque :
Pour vérier que A1 , . . . , An sont 2 à 2 indépendants, il faut faire
n
vérications.
2
Exemple :
On lance deux dés parfaits et on considère les événements :
A1 : "le premier dé amène un nombre pair",
A2 : "le deuxième dé amène un nombre pair",
A3 : "la somme des nombres obtenus est paire".
Etudier l'indépendance 2 à 2 de ces trois événements.
Solution.
On a plusieurs façon de calculer les probabilités ici.
On va utiliser le modèle probabiliste : Ω = [[1; 6]]2 associé à la probabilité uniforme. (card(Ω) = 62 )
card(A1 ) = |{z}
3 ×
un pair
6
|{z}
card(A3 ) =
quelconque
3×3
| {z }
+
deux pairs
3×3
| {z }
deux impairs
On peut aussi écrire tous les éléments de Ω dans un tableau et déterminer les résultats qui réalisent chaque
événement.
P (A1 ) =
3×6
62
=
1
2
P (A2 ) =
3×6
62
=
1
2
P (A3 ) =
3×3+3×3
62
=
1
2
de plus :
A1 ∩ A2 = A1 ∩ A3 = A2 ∩ A3 : " les deux faces sont pairs" donc ils ont tous pour cardinal |{z}
3 × |{z}
3
un pair
donc
P (A1 ∩ A2 ) =
1
4
P (A1 ∩ A3 ) =
11
1
4
P (A2 ∩ A3 ) =
1
4
un pair
on a bien :
P (A1 ∩ A2 ) = P (A1 )P (A2 )
P (A1 ∩ A3 ) = P (A1 )P (A3 )
P (A2 ∩ A3 ) = P (A2 )P (A3 )
Les événements A1 , A2 et A3 sont 2 à 2 indépendants.
2) Indépendance mutuelle de n événements.
Dénitions :
Soit pour A1 , . . . , An , n événements sur Ω,
Dire que ces événements sont mutuellement indépendants signie que :

∀J ⊂ [[1, n]],
P

\
Aj  =
j∈J
La probabilité d'une intersection
quelconque
Y
P (Aj )
j∈J
de Ai distincts est égale au produit des probabilités.
Remarque : Pour vérier que A1 , . . . , An sont mutuelles indépendants, il faut faire
n
n
n
n
+
+
+ ···
= 2n − n − 1
2
3
4
n
vérifications
Proposition :
Si n événements sont mutuellement indépendants alors ils sont 2 à 2 indépendants.
Remarque : ce n'est qu'une implication.
Exemple :
On lance deux dés parfaits et on considère les événements :
A1 : "le premier dé amène un nombre pair",
A2 : "le deuxième dé amène un nombre pair",
A3 : "la somme des nombres obtenus est paire".
Etudier l'indépendance mutuelle de ces trois événements.
Solution
On a montré ci dessus que ces événements sont 2 à 2 indépendants, il reste à vérier si oui ou non on a
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ).
A1 ∩ A2 ∩ A3 : " les deux faces sont pairs" donc P (A1 ∩ A2 ∩ A3 )
1
4
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) 6= P (A1 )P (A2 )P (A3 )
Les événements A1 , A2 et A3 ne sont pas mutuellement indépendants.
12
III) Expériences indépendantes
Introduction (Wikipédia )
"On considère une expérience 1 conduisant à la création d'un univers Ω1 muni d'une probabilité P1 , et d'une
expérience 2 conduisant à la création d'un univers Ω2 muni d'une probabilité P2 . La conjonction des deux
expériences conduit à la création d'un univers produit Ω formé de couples d'éléments de Ω1 et Ω2 , cet univers se
note Ω1 × Ω2 . On dira que les expériences sont indépendantes si on peut créer sur Ω une probabilité P produit
des deux précédentes telle que P (A × B) = P1 (A) × P2 (B), pour tous événements A de Ω1 et B de Ω2 ."
Exemple :
On considère trois expériences aléatoires :
E1 : modélisée par l'univers Ω1 = {1; 2; 3} et la probabilité P1 dénie par :
ω
1
P1 ({ω}) 1/2
2
1/4
3
1/4
E2 : modélisée par l'univers Ω2 = {1; 2; 3; 4; 5; 6} et la probabilité P2 dénie par :
ω
1
P2 ({ω}) 1/3
2
1/3
3
4
5
6
1/12 1/12 1/12 1/12
E3 : modélisée par l'univers Ω3 : l'ensemble des combinaisons de deux éléments de [[1; 10]] et la probabilité uniforme
P3 (Remarque : card(Ω3 ) = 45).
On observe les trois expériences, ce qui constitue ainsi une grande expérience E .
On considère que les expériences E1 , E2 et E3 sont indépendantes.
1) Donner un univers Ω pour décrire l'expérience aléatoire E .
2) Donner un événement élémentaire de Ω et sa probabilité.
3) Quelle est la probabilité de n'observer que des nombres pairs ? (Pour E3 on observe une paire de nombres
pairs )
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
On considère une expérience aléatoire E se décomposant en n sous-expériences (ou épreuves) aléatoires : E1 ,
E2 , . . . , En
Chacune de ces expériences est modélisée par des espaces probabilisées :
(Ω1 , P(Ω1 ), P1 ) ,
(Ω2 , P(Ω2 ), P2 ) ,
. . . , (Ωn , P(Ωn ), Pn )
Que signie : les expériences sont indépendantes ?
Dénition :
Dire que E1 , E2 , . . . , En sont indépendantes, c'est modéliser E par l'univers Ω = Ω1 × Ω2 × · · · × Ωn associé à la
probabilité P dénie par :
∀(ω1 , ω2 , · · · , ωn ) ∈ Ω1 × Ω2 × · · · × Ωn ,
P ({(ω1 , ω2 , · · · , ωn )}) = P1 ({ω1 }) × P2 ({ω2 }) × · · · × Pn ({ωn })
La probabilité d'une liste de résultats est égale au produit des probabilités de chacun d'entre-eux.
Démonstration : On admet que l'on dénit bien ainsi une probabilité.
Remarque : Il n'y a pas toujours la remarque disant que les expériences sont indépendantes.
Exemple :
Un jeu consiste à tirer, au hasard,
− une boule dans une urne U1 contenant : 3 boules rouges et 2 vertes,
− puis une boule dans une urne U2 contenant : 2 boules rouges et 3 vertes.
1) Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?
2) Quelle est la probabilité d'obtenir des boules des deux couleurs ?
13
Remarque : Cette indépendance peut être conditionnée.
Exemple :
Dans cet exercice on considère deux dés :
- un dé E équilibré avec les faces 1,2,3,4,5,6.
- un dé F équilibré mais avec une face 1, deux faces 3 et trois faces 6.
On choisit un dé au hasard et on le lance 2 fois. (Une fois le dé choisi les lancers sont indépendants )
1) Quelle est la probabilité d'obtenir 2 six ?
2) Les événements "Obtenir six au deuxième tirage" et "Obtenir six au premier tirage" sont-ils indépendants ?
Proposition :
Si E1 , E2 , . . . , En sont indépendantes, on a alors les propositions suivantes :
Ê si A est un événement de l'expérience Ei alors P (A) = Pi (A).
Ë si A1 , A2 , . . ., Ap sont p événements de p expériences distinctes 2 à 2 alors les événements A1 , A2 , . . ., Ap
sont mutuellement indépendants.
en particulier :
P (A1 ∩ · · · ∩ Ap ) = P (A1 ) × · · · × P (Ap )
Démonstration : On admet ces propositions.
Exemple :
On a deux jeux de cartes, un premier de 32 cartes et un deuxième de 52 cartes.
On prend simultanément deux cartes dans chacun des deux jeux.
1) Quelle est la probabilité d'obtenir deux rois avec le jeu de 32 cartes ?
2) Quelle est la probabilité d'obtenir quatre rois ?
3) Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux rois ?
4) Quelle est la probabilité que les deux tirages donnent la même paire ?
Solution :
1) Les deux tirages sont indépendants donc dans cette question nous nous intéressons qu'au tirage de deux
cartes dans le jeu de 32.
Le modèle choisit pour ce tirage est :
Pour univers Ω l'ensemble des combinaisons de deux
cartes du jeu de 32,
associé à la probabilité uniforme. (card(Ω) =
32
).
2
On note : A l'événement : "obtenir deux rois avec le jeu de 32".
4
A est l'ensemble des combinaisons de deux cartes parmi les 4 rois donc card(A) =
2
4
4×3
3
La probabilité d'obtenir deux rois avec le jeu de 32 vaut 2 =
=
32
32 × 31
248
2
2) En notant B l'événement : "obtenir deux rois avec le jeu de 52".
On cherche ici : P (A ∩ B) et comme les deux tirages sont indépendants on a P (A ∩ B) = P (A)P (B)
4
Pour calculer P (B) on raisonne comme pour P (A) on obtient alors P (B) = 2 52
2
La probabilité d'obtenir quatre rois vaut cc =
14
3
54808
3) En notant :
C l'événement : "obtenir aucun roi avec le jeu de 32".
D l'événement : "obtenir aucun roi avec le jeu de 52".
E l'événement : "obtenir exactement un roi avec le jeu de 32".
F l'événement : "obtenir exactement un roi avec le jeu de 52".
On cherche ici : P ((A ∩ D) ∪ (C ∩ B) ∪ (E ∩ F )),
Ces trois événements sont deux à deux incompatibles donc :
P ((A ∩ D) ∪ (C ∩ B) ∪ (E ∩ F )) = P (A ∩ D) + P (C ∩ B) + P (E ∩ F )
de plus, les tirages sont indépendants donc :
P ((A ∩ D) ∪ (C ∩ B) ∪ (E ∩ F )) = P (A)P (D) + P (C)P (B) + P (E)P (F )
ce qui donne :
48
28
4
4
4 × 28 4 × 48
2
2
2
2
P ((A ∩ D) ∪ (C ∩ B) ∪ (E ∩ F )) = + + × 32
52
32
52
32
52
2
2
2
2
2
2
la probabilité d'obtenir exactement deux rois est égale à
2545
54808
≈ 0,05
4) Les paires possibles sont uniquement celles du jeu de 32 cartes.
Rédaction :
Soit ω une paire quelconque du jeu de 32.
1
1
La probabilité de l'événement élémentaire {(ω, ω)} est égale à : .
32
2
52
2
La probabilité de l'événement : "obtenir deux paires identiques" est égale à la somme de cette probabilité
sur l'ensemble des paires du jeu de 32.
donc
la probabilité que les deux tirages donnent la même paire est égale à
1
1
1
32
=
32
52
2
1326
2
2
Une autre approche dicile à rédiger qui conrme notre résultat :
La probabilité de tirer une paire (deux cartes quelconques) dans le jeu de 32 vaut 1 et la probabilité d'obtenir
1
le même résultat dans le jeu de 52 est égale à .
52
2
1
1
la probabilité que les deux tirages donnent la même paire est égale à 1 × =
52
2
Remarque sur la rédaction :
À
Á
Â
Ã
Ä
Å
1326
Commencer par bien lire l'énoncé.
Reconnaitre un exercice utilisant les expériences indépendantes (on ne cherche pas à dénir Ω...)
Donner des noms aux événements de la forme Ak : " ....... au k−ième lancers".
Traduire l'énoncé avec ces notations.
Utiliser les théorèmes du cours.
Conclure.
15
Cas particulier :
L'expérience est souvent constituée de n expériences (ou épreuves) identiques et indépendantes.
On retrouve cette situation dans le cas des tirages successifs avec remises.
"Les expériences sont identiques" signie qu'elles sont modélisées par le même espace probabilisé (Le même
univers et la même probabilité ).
Exemples :
Ex 1 : On lance 20 fois un dé équilibré.
1) Ecrire une fonction Python qui permet de simuler cette expérience.
2) Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair au dernier lancer ?
3) On note E : "on obtient exactement une face 6 au cours des 20 lancers".
Ecrire un programme Python qui fait 1000 simulations de cette expérience et évaluer P (E).
4) Quelle est la probabilité de E ?
5) Soit k un entier compris entre 0 et 20,
quelle est la probabilité d'obtenir exactement k faces 6 au cours des 20 lancers ?
Solution.
1) La fonction suivante simule le lancer de 20 dés équilibrés.
from random import randint
def simul():
"""None->list(1 à 6)
simulation du lancer de 20 dés équilibrés"""
S=[]
for k in range(20):
x=randint(1,6)
S+=[x]
return(S)
Un résultat de cette fonction sera par exemple :
[5, 3, 3, 3, 4, 3, 6, 1, 2, 1, 5, 2, 4, 3, 1, 5, 2, 1, 3, 4]
Cette liste représente un résultat de cette expérience.
2) Les lancers sont indépendants donc il sut de "regarder" la dernière expérience.
La probabilité d'obtenir un nombre pair au dernier lancer est égale à :
3
1
= .
6
2
3) Commençons par faire (comme toujours) une fonction test qui vérie si oui ou non un résultat de l'expérience
réalise l'événement E .
def Test_E(L):
"""List->bool
retourne vrai ssi il y a exactement un 6 dans la liste"""
nb=0
for i in range(len(L)):
if L[i]==6:
nb+=1
if nb==1:
return True
else:
return False
Et ensuite on fait 1000 simulations et on ache la fréquence de réalisation de l'événement E .
N=1000
nb=0
for k in range(N):
L=simul()
if Test_E(L):
nb+=1
print(nb/N)
16
Le programme ache : des nombres proches de 0,1
Il semble en faisant 1000 simulations de cette expérience que P (E) ≈ 0,1
4) Deux rédactions :
Rédaction 1 :
Avec du dénombrement :
On prends pour modèle :
L'univers Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}20 , associé à la probabilité uniforme (card(Ω) = 620 )
E est l'ensemble des listes dans lesquelles il y a exactement un 6, donc :
card(E) =
20
×
1
|{z}
1
| {z }
possibilités pour
20−1
|5 {z }
×
le 6
possibilités pour les autres valeurs
place du 6
P (E) =
20 × 519
≈ 0,1043
620
Ce résultat est cohérent avec les simulations faites à la question précédente.
Rédaction 2 :
avec les expériences indépendantes :
On note Sk : "Obtenir un six au k ième lancer"
On a :
E = S1 ∩ S2 ∩ . . . ∩ S20 ∪ . . . ∪ S1 ∩ . . . ∩ Si ∩ . . . ∩ S20 ∪ . . . ∪ S1 ∩ S2 ∩ . . . ∩ S20
1
E est ainsi la réunion de 20 événements 2 à 2 incompatibles qui ont tous pour probabilité
6
P (E) = 20
1
6
19
5
6
19
5
≈ 0,1043
6
Ce résultat est cohérent avec les simulations faites à la question précédente.
5) (On retrouve ici le raisonnement passant du schéma
On note Ek :"obtenir exactement k fois un six".
On raisonne pour k quelconque compris entre 0 et 20.
Deux rédactions :
de Bernoulli à la loi binomiale
Rédaction 1 :
Avec du dénombrement :
On prends pour modèle :
L'univers Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}20 , associé à la probabilité uniforme (card(Ω) = 620 )
Ek est l'ensemble des listes dans lesquelles il y a exactement k fois un 6, donc :
20
card(E) =
×
1
|{z}
k
| {z }
possibilités pour
×
les k 6
possibilités pour les 20−k autres valeurs
place du 6
20
× 520−k
k
P (Ek ) =
620
Rédaction 2 :
avec les expériences indépendantes :
17
5| 20−k
{z }
)
On note Si : "Obtenir un six au i ème lancer"
On a :


Ek =
[
\

I∈Pk ([[1;20]])
Si
i∈I
\
Sj 
j∈I
k 20−k
20
1
5
Ek est ainsi la réunion de
événements 2 à 2 incompatibles qui ont tous pour probabilité
6
6
k
20
P (Ek ) =
k
1
6
!k
5
6
!20−k
Ex 2 : On réalise 6 tirages successifs avec remise dans une urne contenant 3 boules rouges, 5 vertes et 2 bleues.
1) Ecrire une fonction Python qui permet de simuler cette expérience.
2) Quelle est la probabilité que les deux dernières boules soient rouges ?
3) Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges au cours de deux tirages consécutifs (une seule fois
au cours des six tirages ) ?
Solution
1) La fonction suivante simule le tirage de 6 boules dans l'urne, les 1 représente une boule rouge, les 2 une
boule verte et les 3 une boule bleue.
from random import randint
def simul():
"""None->list(1 à 3)
simulation du tirage 6 boules dans l'urne"""
Urne=[1,1,1,2,2,2,2,2,3,3]
S=[]
for k in range(6):
x=randint(0,9)
S+=[Urne[x]]
return(S)
Un résultat de cette fonction sera par exemple :
[3, 2, 3, 2, 1, 2]
Cette liste représente un résultat de cette expérience.
2) On note Rk : "On obtient une boule rouge au k ième tirage".
On cherche ici P (R5 ∩ R6 )
Les tirages sont indépendants donc P (R5 ∩ R6 ) = P (R5 ) P (R6 ) et P (R5 ) = P (R6 ) =
la probabilité que les deux dernières boules soient rouges est égale à
3
, et ainsi :
10
9
100
3) Cette question pose un problème, on peut la comprendre de plusieurs manières. Le début de votre réponse
doit préciser comment vous comprenez la question.
On s'intéresse ici à l'événement E : "on obtient exactement deux boules rouges et elles sont consécutives".
E = R1 ∩ R2 ∩ R3 ∩ R4 ∩ R5 ∩ R6 ∪ · · · ∪ R1 ∩ R2 ∩ R3 ∩ R4 ∩ R5 ∩ R6
E est ainsi la réunion de 5 événements 2 à 2 incompatibles qui ont tous pour probabilité
18
3
10
2 7
10
4
.
P (E) = 5
3
10
2 7
10
4
≈ 0,108
Pour ceux qui préfèrent les questions diciles :
On s'intéresse ici à l'événement E : "on obtient un nombre quelconque de boules rouges mais on n'observe
qu'une seule fois deux rouges consécutives".
On note Ak : "on tire k boules rouges".
1er cas : il y a exactement 2 boules rouges.
on a l'a fait au dessus :
P (E ∩ A2 ) = 5
3
10
2 7
10
4
2ème cas : il y a exactement 3 boules rouges.
E ∩ A3 = R1 ∩ R2 ∩ R3 ∩ R4 ∩ R5 ∩ R6 ∪ · · · ∪ R1 ∩ R2 ∩ R3 ∩ R4 ∩ R5 ∩ R6
E est ainsi la réunion de 12 événements 2 à 2 incompatibles qui ont tous pour probabilité
P (E ∩ A3 ) = 12
3
10
3 7
10
3
10
3 7
10
3
.
3
3ème cas : il y a exactement 4 boules rouges.
E∩A4 = R1 ∩ R2 ∩ R3 ∩ R4 ∩ R5 ∩ R6 ∪ R1 ∩ R2 ∩ R3 ∩ R4 ∩ R5 ∩ R6 ∪ R1 ∩ R2 ∩ R3 ∩ R4 ∩ R5 ∩ R6
E est ainsi la réunion de 3 événements 2 à 2 incompatibles qui ont tous pour probabilité
P (E ∩ A4 ) = 3
Les Ak forment un système complet donc P (E) =
3
10
6
X
4 7
10
P (E) = 5
7
10
!4
+ 12
3
10
!3
P (E) ≈ 0,231
19
4 7
10
2
(formule des probabilités totales )
P (E ∩ Ak )
et comme pour k ∈ {0, 1, 5, 6}, P (E ∩ Ak ) = 0 on obtient :
!2
3
10
2
k=0
3
10
7
10
!3
+3
3
10
!4
7
10
!2
.
On peut vérier que ce résultat est validé par l'expérience à l'aide du programme suivant : (très proche de
celui de l'exercice 1 ).
from random import randint
def simul():
"""None->list(1 à 3)
simulation du tirage 6 boules dans l'urne"""
Urne=[1,1,1,2,2,2,2,2,3,3]
S=[]
for k in range(6):
x=randint(0,9)
S+=[Urne[x]]
return(S)
def Test_E(L):
"""List->bool
retourne vrai ssi on observe qu'une fois deux rouges consécutives"""
nb=0
for i in range(len(L)-1):
if L[i]==L[i+1] and L[i]==1:
nb+=1
if nb==1:
return True
else:
return False
N=100000
nb=0
for k in range(N):
L=simul()
if Test_E(L):
nb+=1
print(nb/N)
A l'exécution de ce programme Python ache : 0,23137
20