DS no7 Chute d`une balle de tennis de table

DS no7
Chute d’une balle de tennis de table
L’´etude exp´erimentale de la chute sans vitesse initiale
d’une balle de tennis de table («pig-pong »)afourni
les r´esultats suivants :
–Massedelaballe:m=2,50 ±0,05 g ;
–Diam`etre:D=3,8cm;
–Vitesselimitedechute:vlim =7,12 m.s−1.
1. La masse volumique ρde l’air est ´egale `a 1,3kg.m−3.
Montrez que la pouss´ee d’Archim`ede s’exer¸cant sur
la balle peut ˆetre n´eglig´ee par rapport `a une autre
force en pr´esence. Comme `a chaque fois qu’il est
question de forces, on ne manquera pas de pr´eciser
leurs quatre caract´eristiques.
2. On propose d’exprimer par F=Kv2la valeur de la
force de frottement exerc´ee par l’air.
a. Dressez un sch´ema sommaire repr´esentant les
forces appliqu´ees `a la balle au cours de la chute.
b. ´ Etablissez l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par
v(t), coordonn´ee verticale du vecteur vitesse du
centre d’inertie G.
3. On se propose de v´erifier que K=4,84 ×10−4uni-
t´es du syst`eme international (si vous bloquez sur ces
questions, vous pouvez passer directement au 4ou
au 5,puisquejevousdonnelavaleurdeK).
a. Exprimez Ken fonction de mg et de vlim.
b. V´erifiez par le calcul la valeur de K,etpr´ecisez
son unit´e.
4. On s’int´eresse maintenant `a la valeur du temps ca-
ract´eristique τ.Pourcela,ontracelacourbedela
vitesse ven fonction du temps t,ci-dessous.
a. Quelle est la valeur de la pente de la tangente `a
la courbe v=f(t)`al’origine?R´epondez`acette
question par une formule litt´erale et par un r´e-
sultat num´erique accompagn´e de son unit´e, en
notant a0la valeur de cette pente.
Tracez la tangente pr´ec´edente sur le sch´ema ci-
dessus. L’´enonc´e sera joint `a votre copie.
b. Compl´etez le sch´ema pour faire apparaˆıtre le
temps caract´eristique τ.
c. Donnez l’expression litt´erale puis calculez la va-
leur de τ.
5. L’enregistrement du mouvement a permis de d´eter-
miner la vitesse v1=4,25 m.s−1`a l a d a t e t1=
0,500 s.
a. Calculez la valeur a1de l’acc´el´eration de la balle
`a l a d a t e t1.
b. Par la m´ethode d’Euler, calculez la valeur de la
vitesse de la balle `a la date t2=0,510 s.
Donn´ee :g=9,81 m.s−2.
0t
v(m.s−1)
##
#

Corrig´e DS no7
Chute d’une balle de tennis de table
1. Masse d’air d´eplac´ee :
mair =ρV=4
3πρ !D 2"3
Application num´erique :
mair =4π
3×1,3×!3,8×10−2 2"2
=3,7×10−5kg
c’est-`a-dire 0,037 g, valeur inf´erieure `a la pr´ecision
de la balance de 0,05 g, donc n´egligeable devant la
masse de la balle.
Poids −→ P:
–direction:verticale;
–sens:verslebas;
–pointd’application:centred’inertieG;
–valeur:P=mg ;
Pouss´ee d’Archim`ede −→ Π:
–direction:verticale;
–sens:verslehaut;
–pointd’application:centred’inertieG;
–valeur:Π=mairg;
On constate que mair $mimplique Π$P,c’est-
`a - d i r e q u e l a p o u s s ´e e d ’ A r c h i m `e d e e s t n ´e g l i g e a b l e
devant le poids de la balle.
2. a . −→
F
−→
P
−→g
O
z
−→
k
b. Syst`eme : balle de ping-pong ;
R´ef´erentiel suppos´e galil´een, rep`ere d’axe (Oz)
vertical descendant ;
Bilan des forces :
–poids−→ P=m−→g=mg −→ k;
–forcedefrottementoppos´eeaumouvement
−→
F=−Kv2−→ k.
´
El´ements cin´ematiques : −→v=v−→ ket −→a=dv
dt
−→
k
Deuxi`eme loi de Newton :
−→
P+−→ F=m−→a
En projection sur −→ k:
mdv
dt=mg −Kv2
3. a . Lorsque v→vlim,dv
dt→0etl’´equationdiff´eren-
tielle s’´ecrit :
0=mg −Kv2
lim ⇒K=mg
v2
lim
b. Unit´e de K:
[K]=kg ×m×s−2
m2×s−2=kg.m−1
Application num´erique :
K=2,50 ×10−3×9,81
(7,12)2=4,84 ×10−4kg.m−1
4. a . La pente de la courbe v=f(t)estlavaleurdesa
d´eriv´ee temporelle dv
dt.Cettederni`ereestdonn´ee
par l’´equation diff´erentielle. ` Al’origine,laballe
´e t a n t l ˆa c h ´e e s a n s v i t e s s e i n i t i a l e , v=0etpar
suite :
mdv
dt=mg ⇒a0=dv dt=g=9,81 m.s−2
0t
v(m.s−1)
vlim
τ
b. τest l’abscisse du point d’intersection entre
la tangente `a l’origine d’´equation v=a0tet
l’asymptote horizontale v=vlim.Donc:
vlim =a0τ⇒τ=vlim
a0
Application num´erique :
τ=7,12
9,81 =0,726 s
5. a . On utilise l’´equation diff´erentielle :
ma1=mg −Kv2
1⇒a1=g−K
mv2
1
Application num´erique :
a1=9,81 −4,84 ×10−4
2,50 ×10−3×4,252=6,31 m.s−2
b. v2=v1+∆v1avec :
∆v1=!g−K
mv2
1"∆t=a1∆t
De plus t2=t1+∆tdonc ∆t=t2−t1=0,010 s.
Finalement :
v2=4,25 + 6,31 ×0,010 = 4,31 m.s−1

Grille DS no7
Calcul mair =37µgouΠ
Comparaison avec mou P
Sch´ema + points d’application
Sch´ema + points d’application
Forces −→ Pet −→ F+4caract´eristiques
dv
dt=g−K mv2,d´emontr´ee
dv
dt=g−K mv2,d´emontr´ee
K=mg/v2
lim
Ken kg.m−1
a0=g,justifi´e
a0=9,81 m.s−2
Trac´e tangente
Trac´e asymptote horizontale
Trac´e τ
τ=vlim/a0,d´emontr´ee
τ=0,726 s
´
Equa diff:a1=g−K
mv2
1ou ´equivalent
a1=6,31 m.s−2
Euler : v2=v1+∆v1et ∆v1=a1∆t
v2=4,31 m.s−2
Note .../20
Grille DS no7
Calcul mair =37µgouΠ
Comparaison avec mou P
Sch´ema + points d’application
Sch´ema + points d’application
Forces −→ Pet −→ F+4caract´eristiques
dv
dt=g−K mv2,d´emontr´ee
dv
dt=g−K mv2,d´emontr´ee
K=mg/v2
lim
Ken kg.m−1
a0=g,justifi´e
a0=9,81 m.s−2
Trac´e tangente
Trac´e asymptote horizontale
Trac´e τ
τ=vlim/a0,d´emontr´ee
τ=0,726 s
´
Equa diff:a1=g−K
mv2
1ou ´equivalent
a1=6,31 m.s−2
Euler : v2=v1+∆v1et ∆v1=a1∆t
v2=4,31 m.s−2
Note .../20
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Calcul mair =37µgouΠ
Comparaison avec mou P
Sch´ema + points d’application
Sch´ema + points d’application
Forces −→ Pet −→ F+4caract´eristiques
dv
dt=g−K mv2,d´emontr´ee
dv
dt=g−K mv2,d´emontr´ee
K=mg/v2
lim
Ken kg.m−1
a0=g,justifi´e
a0=9,81 m.s−2
Trac´e tangente
Trac´e asymptote horizontale
Trac´e τ
τ=vlim/a0,d´emontr´ee
τ=0,726 s
´
Equa diff:a1=g−K
mv2
1ou ´equivalent
a1=6,31 m.s−2
Euler : v2=v1+∆v1et ∆v1=a1∆t
v2=4,31 m.s−2
Note .../20
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Calcul mair =37µgouΠ
Comparaison avec mou P
Sch´ema + points d’application
Sch´ema + points d’application
Forces −→ Pet −→ F+4caract´eristiques
dv
dt=g−K mv2,d´emontr´ee
dv
dt=g−K mv2,d´emontr´ee
K=mg/v2
lim
Ken kg.m−1
a0=g,justifi´e
a0=9,81 m.s−2
Trac´e tangente
Trac´e asymptote horizontale
Trac´e τ
τ=vlim/a0,d´emontr´ee
τ=0,726 s
´
Equa diff:a1=g−K
mv2
1ou ´equivalent
a1=6,31 m.s−2
Euler : v2=v1+∆v1et ∆v1=a1∆t
v2=4,31 m.s−2
Note .../20