y La méthode d’Euler (1707-1783) Ou comment connaître (à peu près) le futur avec y - des conditions initiales connues, - Une équa diff du premier degré que l’on ne sait pas résoudre t t Les contenus (p.85 B.O.) Chute verticale avec frottement (Placée avant la chute libre) Application 2ème loi de N. à un mouvement de chute verticale : forces appliquées au solide (poids, poussée d’Archimède, force de frottement fluide) Équa diff du mouvement ; Les contenus (Suite) Résolution de l’équa diff par une méthode numérique itérative Régime initial et asymptotique (dit « permanent ») Vitesse limite ; notion de temps caractéristique Connaissances et savoir-faire exigibles - Appliquer la deuxième loi de Newton à un corps en chute verticale dans un fluide et établir l’équation différentielle du mouvement, la force de frottement étant donnée. - Connaître le principe de la méthode d’Euler pour la résolution approchée d’une équa diff. - Savoir exploiter des reproductions d’écrans d’ordinateur (lors de l’utilisation d’un tableur-grapheur) correspondant à des enregistrements expérimentaux Connaissances et savoir-faire exigibles (suite) - Savoir exploiter des courbes VG = f(t) pour : -Reconnaître le régime initial et/ou le régime asymptotique -Évaluer le temps caractéristique -Déterminer la vitesse limite - Dans le cas de la résolution par la méthode itérative de l’équa diff, discuter la pertinence des courbes obtenues/ aux résultats expérimentaux Principe mathématique de la méthode y Y(t) = f (t, x(t)) t dt À un instant quelconque, on peut écrire : y(t+dt) = y(t) + v(t).dt + O(t2) Ordre en t2 négligé De même, v(t+dt) = v(t) + a(t).dt + O(t2) Ordre en t2 négligé Cas de la chute libre avec frottement Ecoulement à nombre de Reynolds supérieur à 1000 (turbulent) Frottement f(t) = k.V2(t) (avec k = ½.Cx .r.S. Balle de Ping-pong ou balle de tennis) 2 d x 2 m 2 mg kv dt Solutions : gt V Vl tanh Vl 2 Vl gt Y ln cosh( ) g Vl Balle de tennis, boule de pétanque : Si on lâche à hauteur d’homme, écart à l’arrivée 2 cm (!) BUP 815 Méthode itérative Date Position Vitesse Accélération ti yi vi ai ti+1 yi+1 vi+1 ai+1 mg k = v2 lim(exp) Donc Yi+1 = Yi + Vi.dt Vi+1 = Vi + Ai.dt dV k 2 V g dt m ai 1 g (1 Vi 1 2 Vlim 2 ) Exploitation avec un tableur type Excel Altitude Vitesse Accélér V/Vli ation m Pas d’itération Vlim(m/s) Y A2 V B2 0,05 (ex) 5,8 0 Y1 A3 0 V1 B3 9,81 C3 0 a1 Y2 = A3 + 0,05.B3 a C2 D2 D3 Une seule ligne définie, toutes les autres calculées par un simple « copier/coller » Conditions initiales Définitions des cellules par des « formules » Rien à faire. Le logiciel calcule grâce à un copier/coller Y 0,00 0,00 0,02 0,07 0,15 0,24 0,36 0,49 0,63 V 0,00 0,49 0,98 1,45 1,90 2,29 2,63 2,89 3,09 V/Vlim 0,00 0,08 0,17 0,25 0,33 0,40 0,45 0,50 0,53 a 9,82 9,75 9,47 8,88 7,93 6,69 5,32 4,00 2,86