Chapitre III. Espaces vectoriels de dimension finie.
Marc de Crisenoy
Convention: dans tout le cours, Kd´esigne un corps commutatif. (En pratique K=Q,Rou C).
§Trois r´esultats pr´eparatoires.
R´esultat 1.
Soit Eun K-ev. Soit n∈N∗. Soient x1, . . . , xn∈E.
a) Soient y1, . . . , yn+1 ∈Vect{x1, . . . , xn}. Alors (y1, . . . , yn+1) est li´e.
b) Soit m∈N∗. Soient y1, . . . , ym∈Vect{x1, . . . , xn}. On suppose que (y1, . . . , ym) est libre.
Alors m≤n.
Indications pour a).
On raisonne par r´ecurrence.
1) Traiter le cas n= 1.
2) Soit n≥2. On suppose le r´esultat au rang n−1.
Soient x1, . . . , xn∈E. Soient y1, . . . , yn+1 ∈Vect{x1, . . . , xn}.
On souhaite montrer que (y1, . . . , yn+1) est li´e.
Traiter le cas yn+1 = 0. On suppose d´esormais que yn+1 6= 0.
i) Montrer qu’il existe k∈ {1, . . . , n}tel que xk∈Vect(yn+1, x1, . . . , xk−1, xk+1, . . . , xn).
On note F= Vect(yn+1, x1, . . . , xk−1, xk+1, . . . , xn).
ii) Justifier que Vect{x1, . . . , xn} ⊂ F.
iii) En d´eduire que ∀i∈ {1, . . . , n}yi∈F.
iv) Montrer que ∀i∈ {1, . . . , n} ∃αi∈Ktq yi−αiyn+1 ∈Vect(x1, . . . , xk−1, xk+1, . . . , xn).
v) Conclure.
R´esultat 2.
Soit Eun K-ev. Soit n∈N∗. Soient e1, . . . , en∈E. On suppose que (e1, . . . , en) est libre.
a) Soit x∈E. On suppose que (e1, . . . , en, x) est li´e. Alors x∈Vect(e1, . . . , en).
b) On suppose que pour tout x∈E(e1, . . . , en, x) est li´e. Alors (e1, . . . , en) est une base de E.
R´esultat 3.
Soit Eun K-ev. Soit n∈N∗. Soient e1, . . . , en∈E. On suppose que (e1, . . . , en) engendre E
et que ∀i∈ {1, . . . , n}(e1, . . . , ei−1, ei+1, . . . , en) n’engendre pas E.
Alors (e1, . . . , en) est une base de E.
Indications.
On va montrer la contrapos´ee. On suppose que (e1, . . . , en) n’est pas une base de E.
(e1, . . . , en) est li´ee, en d´eduire qu’il existe i∈ {1, . . . , n}tel que ei∈Vect{e1, . . . , ei−1, ei+1, . . . , en}.
Remarquer que {e1, . . . , en} ⊂ Vect{e1, . . . , ei−1, ei+1, . . . , en}.
En d´eduire que (e1, . . . , ei−1, ei+1, . . . , en) engendre E.
§Notion de dimension.
D´ef. 1. Un K-ev est dit de dimension finie s’il poss`ede une partie g´en´eratrice finie.
Th´eo. 2. Soit Eun K-ev de dimension finie. Alors Eposs`ede une base.
1