Chapitre III. Espaces vectoriels de dimension finie. Marc de

Chapitre III. Espaces vectoriels de dimension finie.
Marc de Crisenoy
Convention: dans tout le cours, Kd´esigne un corps commutatif. (En pratique K=Q,Rou C).
§Trois r´esultats pr´eparatoires.
R´esultat 1.
Soit Eun K-ev. Soit n∈N∗. Soient x1, . . . , xn∈E.
a) Soient y1, . . . , yn+1 ∈Vect{x1, . . . , xn}. Alors (y1, . . . , yn+1) est li´e.
b) Soit m∈N∗. Soient y1, . . . , ym∈Vect{x1, . . . , xn}. On suppose que (y1, . . . , ym) est libre.
Alors m≤n.
Indications pour a).
On raisonne par r´ecurrence.
1) Traiter le cas n= 1.
2) Soit n≥2. On suppose le r´esultat au rang n−1.
Soient x1, . . . , xn∈E. Soient y1, . . . , yn+1 ∈Vect{x1, . . . , xn}.
On souhaite montrer que (y1, . . . , yn+1) est li´e.
Traiter le cas yn+1 = 0. On suppose d´esormais que yn+1 6= 0.
i) Montrer qu’il existe k∈ {1, . . . , n}tel que xk∈Vect(yn+1, x1, . . . , xk−1, xk+1, . . . , xn).
On note F= Vect(yn+1, x1, . . . , xk−1, xk+1, . . . , xn).
ii) Justifier que Vect{x1, . . . , xn} ⊂ F.
iii) En d´eduire que ∀i∈ {1, . . . , n}yi∈F.
iv) Montrer que ∀i∈ {1, . . . , n} ∃αi∈Ktq yi−αiyn+1 ∈Vect(x1, . . . , xk−1, xk+1, . . . , xn).
v) Conclure.
R´esultat 2.
Soit Eun K-ev. Soit n∈N∗. Soient e1, . . . , en∈E. On suppose que (e1, . . . , en) est libre.
a) Soit x∈E. On suppose que (e1, . . . , en, x) est li´e. Alors x∈Vect(e1, . . . , en).
b) On suppose que pour tout x∈E(e1, . . . , en, x) est li´e. Alors (e1, . . . , en) est une base de E.
R´esultat 3.
Soit Eun K-ev. Soit n∈N∗. Soient e1, . . . , en∈E. On suppose que (e1, . . . , en) engendre E
et que ∀i∈ {1, . . . , n}(e1, . . . , ei−1, ei+1, . . . , en) n’engendre pas E.
Alors (e1, . . . , en) est une base de E.
Indications.
On va montrer la contrapos´ee. On suppose que (e1, . . . , en) n’est pas une base de E.
(e1, . . . , en) est li´ee, en d´eduire qu’il existe i∈ {1, . . . , n}tel que ei∈Vect{e1, . . . , ei−1, ei+1, . . . , en}.
Remarquer que {e1, . . . , en} ⊂ Vect{e1, . . . , ei−1, ei+1, . . . , en}.
En d´eduire que (e1, . . . , ei−1, ei+1, . . . , en) engendre E.
§Notion de dimension.
D´ef. 1. Un K-ev est dit de dimension finie s’il poss`ede une partie g´en´eratrice finie.
Th´eo. 2. Soit Eun K-ev de dimension finie. Alors Eposs`ede une base.
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Indications.
On suppose que E6={0E}.
Puisque Eest de dimension finie, il existe n∈N∗et x1, . . . , xn∈Etels que E= Vect{x1, . . . , xn}.
Soit A={m∈N∗| ∃y1, . . . , ym∈Etels que (y1, . . . , ym) est libre}. Justifier que Aposs`ede
un plus grand ´el´ement. On le note M.
Justifier qu’il existe e1, . . . , eM∈Etels que (e1, . . . , eM) est libre.
Justifier que pour tout x∈E(e1, . . . , eM, x) est li´e. Conclure.
Th´eo. 3. Soit Eun K-ev de dimension finie.
Soit n∈N∗. Soient e1, . . . , en∈E. On suppose que (e1, . . . , en) est une base de E.
Soit m∈N∗. Soient f1, . . . , fm∈E. On suppose que (f1, . . . , fm) est une base de E.
Alors n=m.
Indications.
Montrer que m≥net que m≤n.
D´ef. 4. Soit Eun K-ev de dimension finie. On suppose Enon nul. Alors Eposs`ede au
moins une base et les bases de Eont un cardinal commun. Cet entier naturel est appel´e di-
mension de l’ev Eet est not´e dim E.
D´ef. 5. On d´efinit la dimension d’un K-ev nul, comme ´etant 0.
Rq. 6. Soit Eun K-ev. Alors dim E= 0 ssi E={0E}.
Lemme 7. Soit Eun K-ev. Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes:
i) Eest une droite, ii) Eest de dimension finie et dim E= 1.
D´ef. 8. Soit Eun K-ev. On dit que Eest un plan si Eest de dimension finie et si dim E= 2.
Prop. et d´ef. 9. Soit n∈N∗.
a) Pour tout i∈ {1, . . . , n}on note ei= (0,...,0,1,0,...,0) ∈Kn(le 1 est en i-`eme position).
Alors (e1, . . . , en) est une base de Kn. On l’appelle base canonique de Kn.
b) Knest de dimension finie et dim(Kn) = n.
Th´eo. 10. Soient Eet Fdeux K-ev de dimensions finies. Alors Eet Fsont isomorphes
ssi dim E= dim F.
Indications.
Utiliser la proposition pr´ec´edente et les compl´ements du chapitre pr´ec´edent.
§Familles libres, famille g´en´eratrices en dimension finie.
Prop. 11. Soit Eun K-ev de dimension finie. On note n= dim E.
Soit k∈N∗. Soient e1, . . . , ek∈E. On suppose que (e1, . . . , ek) est libre. Alors:
a) k≤n.
b) (e1, . . . , ek) est une base de Essi k=n.
c) La famille libre (e1, . . . , ek) peut ˆetre ”compl´et´ee” en une base de E: il existe ek+1, . . . , en∈E
tels que (e1, . . . , en) soit une base de E.
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Indications.
b) sens ⇐=:
On suppose que k=n. Justifier que pour tout x∈E(e1, . . . , en, x) est li´e. Conclure.
c) par r´ecurence sur k.
Prop. 12. Soit Eun K-ev de dimension finie. On note n= dim E.
Soit p∈N∗. Soient e1, . . . , ep∈E. On suppose que (e1, . . . , ep) engendre E. Alors:
a) p≥n.
b) (e1, . . . , ep) est une base de Essi p=n.
c) De la famille g´en´eratrice (e1, . . . , ep) on peut ”extraire” une base de E: il existe i1, . . . , in∈
{1, . . . , p}deux `a deux distincts tels que (ei1, . . . , ein) est une base de E.
Indications.
b) sens ⇐=: on suppose que p=n.
Justifier que ∀i∈ {1, . . . , n}(e1, . . . , ei−1, ei+1, . . . , en) n’engendre pas E. Conclure.
c) On suppose que E6={0E}.
Soit B={m∈N∗| ∃i1, . . . , im∈ {1, . . . , p}tq (ei1, . . . , eim) est libre}.
Justifier que Ba un plus grand ´el´ement. On le note M.
Justifier qu’il existe i1, . . . , iM∈ {1, . . . , p}tq (ei1, . . . , eiM) est libre.
Soit i∈ {1...,p}. Justifier que (ei1, . . . , eiM, ei) est li´e. En d´eduire que ei∈Vect(ei1, . . . , eiM).
En d´eduire que Vect(ei1, . . . , eiM) = E. Justifier que (ei1, . . . , eiM) est une base de E. Conclure.
Prop. 13. Soit Eun K-ev de dimension finie. Soit Fun sev de E.
Alors Fest de dimension finie et dim F≤dim E.
Indications.
On peut supposer F6={0E}. On pose P={m∈N∗| ∃f1, . . . , fm∈Ftq (f1, . . . , fm) est libre}.
Montrer que Pest major´ee par dim E.
Justifier que Pposs`ede un plus grand ´el´ement. On note Mle plus grand ´el´ement de P.
Justifier qu’il existe f1, . . . , fM∈Ftels que (f1, . . . , fM) est libre.
Montrer que pour tout x∈F, (f1, . . . , fM, x) est li´ee. En d´eduire que (f1, . . . , fM) est une base
de F. Conclure.
Prop. 14. Soit Eun K-ev de dimension finie. Soit Fun sev de E.
Alors F=Essi dim F= dim E.
Indications pour le sens ⇐=.
On suppose que dim F= dim E. On note m= dim F. Il existe une base (f1, . . . , fm) de F.
Montrer que (f1, . . . , fm) est une base de E. Conclure.
Cor. 15. Soit Eun K-ev de dimension finie. Soient Fet Gdes sev de E.
Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes: i) F=G, ii) F⊂Get dim F= dim G.
Prop. 16. Soit Eun K-ev de dimension finie.
Soit k∈N∗. Soient F1, . . . , Fkdes sev de E. On suppose que F1, . . . , Fksont en somme directe.
Alors dim(F1+. . . +Fk) = dim F1+. . . + dim Fk.
Prop. 17. Soit Eun K-ev de dimension finie. Soit Fun sev de E. Alors:
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a) Fposs`ede (au moins) un suppl´ementaire dans E,
b) pour tout suppl´ementaire Gde Fdans E, on a dim G= dim E−dim F.
Indications pour a).
On note n= dim Eet m= dim F. Il existe une base (f1, . . . , fm) de F.
Justifier qu’il existe fm+1, . . . , fn∈Etels que (f1, . . . , fn) est une base de E.
On pose G= Vect(fm+1, . . . , fn). Montrer que Gest un suppl´ementaire de Fdans E.
Th´eo. 18. Soient Eet Fdeux K-ev de dimensions finies. On suppose que dim E= dim F.
Soit u:E→Flin´eaire. Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes:
i) uest un isomorphisme, ii) uest surjectif, iii) uest injectif.
Indications.
On note n= dim E. Il existe une base (e1, . . . , en) de E.
ii) =⇒iii).
On suppose que uest surjectif. En utilisant ´eventuellement les compl´ements du chapitre
pr´ec´edent, montrer que (u(e1), . . . , u(en)) est une base de F. Conclure.
iii) =⇒ii).
On suppose que uest injectif. En utilisant ´eventuellement les compl´ements du chapitre pr´ec´edent,
montrer que (u(e1), . . . , u(en)) est une base de F. Conclure.
Cor. 19. Soit Eun K-ev de dimension finie. Soit uun endomorphisme de E. Alors les
assertions suivantes sont ´equivalentes:
i) uest un automorphisme, ii) uest surjectif, iii) uest injectif.
D´ef. et notation 20. Soient Eet Fdeux K-ev de dimensions finies. Soit u:E→F
lin´eaire. On appelle rang de ula dimension de l’image de u. Le rang de uest not´e rg(u).
Th´eo. 21. (th´eor`eme du rang).
Soient Eet Fdeux K-ev de dimensions finies. Soit u:E→Flin´eaire.
Alors dim Ker(u) + rg(u) = dim E.
Indications.
Il existe un suppl´ementaire Sde Ker(u) dans E.
On consid`ere l’application v:S→Im(u) d´efinie par v(x) = u(x).
a)i) V´erifier que vest lin´eaire. ii) Montrer que vest injective. iii) Montrer que vest surjective.
b) Conclure.
Le th´eor`eme du rang permet de retrouver le r´esultat suivant:
Th´eo. Soient Eet Fdeux K-ev de dimensions finies. On suppose que dim E= dim F.
Soit u:E→Flin´eaire. Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes:
i) uest un isomorphisme, ii) uest surjectif, iii) uest injectif.
Prop. 22. Soient Eet Fdeux K-ev de dimensions finies.
Alors E×Fest de dimension finie et sa dimension est dim E+ dim F.
Cor. 23. Soit k∈N∗. Soient E1, . . . , Ekdes K-ev de dimensions finies.
Alors E1×. . . ×Ekest de dimension finie et sa dimension est dim E1+. . . + dim Ek.
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Th´eo. 24. Soit Eun K-ev de dimension finie. Soient Fet Gdeux sev de E.
Alors dim(F+G) + dim(F∩G) = dim F+ dim G.
Indications.
On propose 2 preuves diff´erentes.
A] 1`ere preuve.
Soit F0(resp. G0) un suppl´ementaire de F∩Gdans F(resp. G).
Montrer que F+G= (F∩G)⊕F0⊕G0. Conclure.
B] 2`ere preuve.
Soit ϕl’application de F×G`a valeurs dans Equi `a (f, g) associe f+g.
V´erifier que ϕest lin´eaire. Quelle l’image de ϕ?
V´erifier que ∀x∈F∩G(x, −x)∈Ker(ϕ).
Soit ψl’application de F∩Gdans Ker(ϕ) qui `a xassocie (x, −x).
Montrer que ψest un isomorphisme. Conclure.
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