Compléments d`algèbre linéaire

Compléments d’algèbre linéaire
Dans ce chapitre, le corps des scalaires noté K est
ℝ
ou
ℂ
et E désigne un K _espace vectoriel.
1. Famille quelconque de vecteurs............................................................................p.1
Famille finie libre. Famille infinie libre. Famille génératrice. Base. Cas de K[X].
2. Sous-espaces vectoriels.........................................................................................p.12
Somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels.
Somme directe. Base adaptée à une décomposition en somme directe.
Hyperplan.
3. Sous-espaces stables par un endomorphisme........................................................p.16
Rappels : Application linéaire, image, noyau. Matrice d'une application linéaire. Endomorphisme.
Sous-espace stable par un endomorphisme. Matrice dans une base adaptée.
Homothétie, projection, symétrie.
4. Matrices.................................................................................................................p.23
Trace d'une matrice, propriétés. Trace d'un endomorphisme, propriétés.
Transposée d'une matrice, propriétés. Matrices symétriques, antisymétriques.
--------------
1. F amille quelconque de vecteurs
Définition d'une famille de vecteurs
Soit E un K_espace vectoriel, I un ensemble (fini ou non), et une application
ϕ: I→E
i→vi
.
L'ensemble des vecteurs
vi
, images de I par l'application
ϕ
, est la famille de vecteurs indexée par I notée
(
vi
)
i∈I
.
Remarques : Si l'ensemble I est fini alors la famille
(
vi
)
i∈I
est finie.
Si l'ensemble I est infini alors la famille
(
vi
)
i∈I
peut-être finie ou infinie.
Exemples : Dans
ℝ2
, la famille
( ( 1;n ) )
n∈ℕ
est la famille constituée des vecteurs …
Dans un plan vectoriel P muni d'une base
(
⃗
i;
⃗
j
)
, en notant
⃗ uk=cos
(
kπ
12
)
⃗
i+sin
(
kπ
12
)
⃗
j
, la famille
(
⃗ uk
)
k∈ℤ
est
constituée des vecteurs du plan P : ...
Soit
F ( [ −π ;π ] ;ℝ )
le
ℝ
_espace vectoriel des fonctions
définies sur l'intervalle
[ −π;π ]
et à valeurs réelles.
En notant
fk:x→cos
(
k x
)
, la famille
(
fk
)
k∈ℕ
est
constituée des fonctions...
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Définition d'une famille finie libre
Soit
(
v1;…;vp
)
une famille de
p
vecteurs de E.
(
v1;…;vp
)
est libre si et seulement si :
(
α1;…;αp
)
∈Kp
α1v1+…+αpvp=0E
}
⇒
{
α1=0
⋮
αp=0
Une famille non-libre est dite liée.
Ici, une égalité vectorielle implique
p
égalités scalaires.
Remarques : Si
(
v1;…;vp
)
est une famille libre alors aucun des vecteurs
vi
n'est nul.
Point de vue géométrique dans le plan:
(
⃗ v1; ⃗ v2
)
est une famille libre car.... Dans le plan
(
⃗ v1; ⃗ v2; ⃗ v3
)
est une famille liée car...
Point de vue géométrique dans l'espace muni d'une base
B=
(
⃗
i;
⃗
j;
⃗
k
)
:
⃗
u=
⃗
i+2
⃗
j+3
⃗
k
,
⃗
v=3
⃗
i+2
⃗
j+
⃗
k
et
⃗
w=−
⃗
j−2
⃗
k
forment une famille...
⃗
u=
⃗
i+2
⃗
j+3
⃗
k
,
⃗
v=3
⃗
i+2
⃗
j+
⃗
k
et
⃗
w=−
⃗
j+2
⃗
k
forment une famille...
Remarques : La famille
(
v1
)
est libre si et seulement si
v1≠0E
La famille
(
v1;v2
)
est libre si et seulement si les vecteurs
v1
et
v2
ne sont pas colinéaires.
La famille
(
v1;v2;v3
)
est libre si et seulement si les vecteurs
v1
,
v2
et
v3
ne sont pas coplanaires.
Exemples et contre-exemples : Dans
ℝ2
, la famille
( ( 1;n ) )
n∈ ⟦ 0; 1 ⟧
est libre car...
La famille
( ( 1;n ) )
n∈ ⟦ 0; 2 ⟧
est liée car...
Dans
F ( [ −π;π ] ;ℝ )
, en notant
fk:x→cos
(
kx
)
, la famille
(
fk
)
k∈ ⟦ 0; 2 ⟧
est libre, en effet soit
(
α1;α2;α3
)
∈ℝ3
tel que :
α1f0+α2f1+α3f2=0F
( [
−π;π
]
;ℝ
)
c'est-à-dire
∀x∈ [ −π;π ]
,
α1cos ( 0×x ) +α2cos ( 1×x ) +α3cos ( 2×x ) =0
Alors, en particulier, pour
x=0
, on a :
pour
x=π
2
, on a :
pour
x=π
4
, on a :
Donc ..
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Liberté d'une famille et noyau d'une application linéaire
Soit E un espace vectoriel,
(
v1;…;vp
)
une famille de
p
vecteurs de E et l'application linéaire
f
telle que :
f: Kp→E
(
α1;…;αp
)
→α1v1+ …+αpvp
(
v1;…;vp
)
est libre si et seulement si
Ker f=
{
0Kp
}
(i.e.
f
est injective)
Démonstration : cf. définition du noyau d'une application linéaire. □
Exemple : l'application
f:ℝ3→F ( [ −π;π ] ;ℝ )
( a;b;c ) →x→a+bcos ( x ) +ccos ( 2x )
est ...
Unicité de la décomposition d'un vecteur
Soit
(
v1;…;vp
)
une famille finie de vecteurs de E et
v∈vect
(
v1;…;vp
)
Si
(
v1;…;vp
)
est libre alors il existe un unique p_uplet
(
α1;…;αp
)
∈Kp
tel que
v=α1v1+…+αpvp
.
Remarque : ceci découle de l'injectivité de l'application
f
ci-dessus.
Démonstration : soit
v∈vect
(
v1;…;vp
)
et deux p_uplets
(
α1,…;αp
)
∈Kp
et
(
β1;…;βp
)
∈Kp
tels que :
{
v=α1v1+ …+αpvp
v=β1v1+ …+βpvp
Alors …
Propriétés caractéristiques des familles libres ou liées
Soit
(
v1;v2;…vp
)
une famille de
p
vecteurs de E :
La famille
(
v1;v2;…;vp
)
est libre si et seulement si :
∀
(
α1;α2;…;αp
)
∈Kp∖
{
0Kp
}
,
α1v1+α2v2+ …+α pvp≠0E
La famille
(
v1;v2;…;vp
)
est liée si et seulement si :
∃
(
α1;α2;…;αp
)
∈Kp∖
{
0Kp
}
tel que
α1v1+α2v2+ …+αpvp=0E
Démonstration : La négation de « Tout
Ak
est vrai » est ... □
Les matrices de coordonnées de vecteurs dans une base
Soit E un espace vectoriel de dimension finie
n
,
B=
(
e1;…; en
)
une base de E,
(
α1;…;αn
)
∈Kn
v=α1e1+ …+αnen⇔MatB
(
v
)
=
(
α1
⋮
αn
)
∈Mn,1
(
K
)
matrice des coordonnées du vecteur
v
dans la base B
Soit
(
v1;…;vp
)
une famille de
p
vecteurs de E telle que
∀j∈ ⟦ 1; p ⟧
,
MatB
(
vj
)
=
(
a1, j
⋮
an,j
)
on note la matrice des
coordonnées des vecteurs de la famille
(
v1;…;vp
)
dans la base B :
v1 … vp
MatB
(
v1;…;vp
)
≝
(
a1,1 …a1, p
⋮ ⋮
an,1 …an,p
)
e1
⋮
en
Exemples :
Pour
E=ℝ4
, la base canonique est
B=
(
e1; e2; e3; e4
)
avec
e1= ( 1; 0 ;0 ;0 )
,
e2= ( 0;1; 0; 0 )
;
e3= ( 0;0; 1;0 )
et
e4= ( 0;0;0;1 )
. Ainsi pour
v= ( 5; 6 ;7; 8 )
on a
MatB ( v ) =
(
5
6
7
8
)
et pour
w= ( 9;10 ;11; 12 )
,
MatB ( v;w ) =
(
5 9
6 10
7 11
8 12
)
Pour
E=ℝ2 [ X ]
muni de la base canonique
B=
(
1;X ; X2
)
, on a
MatB
( (
3+X
)
2
)
=
(
9
6
1
)
Et
MatB
( (
X−1
)
2;
(
X−2
)
2;
(
X−3
)
2
)
=…
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Caractérisation matricielle de la liberté d'une famille de vecteurs
Soit E un espace vectoriel de dimension finie
n
, B une base de E,
(
v1;…;vp
)
une famille de
p
vecteurs de E e
La famille
(
v1;v2;…;vp
)
est libre si et seulement si
rg
(
MatB
(
v1;…;vp
))
=p
(nombre de colonnes de la matrice)
si et seulement si
Ker
(
MatB
(
v1;…;vp
))
=0Mp,1 ( K )
Remarques : La matrice A est parfois appelée matrice des coordonnées de la famille
(
v1;…;vp
)
dans la base B.
Exemple : Dans
ℝ3 [ X ]
, la famille
X3
,
(
X−1
)
3
et
(
X−2
)
3
est libre. En effet en notant
B=
(
1;X ; X2; X3
)
la base
canonique de
ℝ3 [ X ]
, on a :
MatB
(
X3
)
=…
MatB
( (
X−1
)
3
)
=…
et
MatB
( (
X−2
)
3
)
=…
Ainsi
A=…
Rappel sur le rang d'une matrice
Soit A une matrice. L'entier
rg ( A )
est le nombre de pivots de la matrice échelonnée en ligne équivalente en lignes à A.
Remarque :
rg ( A ) ⩽min ( n;p )
, ainsi : si la famille
(
v1;v2;…;vp
)
est libre alors
p⩽n
si
p>n
alors la famille
(
v1;v2;…;vp
)
est liée.
Démonstration : il s'agit de décomposer tous les vecteurs dans la base B pour obtenir une interprétation matricielle de
l'équation vectorielle :
α1v1+…+α pvp=0E
.
En notant
B=
(
u1;…;un
)
et
∀j∈ ⟦ 1; p ⟧
,
vj=a1, ju1+…+an,jun
on a :
A=
(
ai,j
)
1⩽i⩽n
1⩽j⩽p
Ainsi ,
α1v1+…+αpvp=0E
dans E
⇔
α1
(
a1,1
⋮
⋮
an,1
)
+…+αp
(
a1, p
⋮
⋮
an,p
)
=
(
0
⋮
⋮
0
)
dans
Mn,1 ( K )
⇔
(
a1,1 …a1, p
⋮⋮
⋮⋮
an,1 …an,p
)
(
α1
⋮
αp
)
=
(
0
⋮
⋮
0
)
dans
Mn,p ( K )
Soit R la matrice échelonnée réduite équivalente en ligne à A :
A
(
α1
⋮
αp
)
=
(
0
⋮
⋮
0
)
⇔
R
(
α1
⋮
αp
)
=
(
0
⋮
⋮
0
)
Or
rg ( A ) ⩽min ( n,p )
donc,
rg ( A ) ⩽p
.
Si
rg ( A ) <p
alors il existe une colonne
j0
de R ne contenant pas de pivot : ainsi
αj0
est une inconnue secondaire (ou
paramètre) du système qui admet donc une infinité de solutions. Ainsi la famille
(
v1;…;vp
)
est liée.
En revanche si
rg ( A ) =p
, alors
n⩾p
et R est du type :
R=
(
1 0 …0
0⋱ ⋱ ⋮
⋮ ⋱ ⋱ 0
0…0 1
0……0
⋮ ⋮
0……0
)
donc
R
(
α1
⋮
αp
)
=
(
0
⋮
⋮
0
)
⇔
(
α1
⋮
αp
)
=
(
0
⋮
0
)
□
Exemple de code Python utilisant le module numpy pour obtenir le rang d'une matrice :
2
3
4
5
6
7
A=np.array([[4,4,0,2,4],
[5,1,6,5,4],
[1,1,0,1,0],
[5,1,6,6,2]])
import numpy.linalg as alg
print(alg.matrix_rank(A))
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Exemple de code Python utilisant le module sympy pour obtenir la matrice échelonnée réduite (reduced row echelon form)
équivalente en lignes à une matrice donnée ainsi que les indices des colonnes contenant les pivots:
1
2
3
4
5
6
7
from sympy import *
A = Matrix([[4,4,0,2,4],
[5,1,6,5,4],
[1,1,0,1,0],
[5,1,6,6,2]])
pprint(A.rref())
print(A.rank())
3
Rappels sur le noyau d'une matrice
Soit
A∈Mn,p ( K )
,
Ker A=
{
X∈Mp, 1 ( K ) ∣AX=0Mn, 1 ( K )
}
Lien entre matrices équivalentes en ligne et noyau d'une matrice : soient A et R deux matrices.
Si A et R sont équivalentes en lignes alors
Ker A=Ker R
► Système d'équations caractérisant le noyau d'une matrice : Si R est échelonnée et réduite en ligne alors dans le système
RX=0Mn,1
(
K
)
les inconnues correspondant aux colonnes contenant un pivot sont déterminées par les autres appelées
inconnues secondaires ou paramètres.
► Base du noyau d'une matrice : les inconnues secondaires peuvent être interprétées comme les coefficients dans les
combinaisons linéaires de matrices colonnes formant une base du noyau donc la dimension du noyau est égale au nombre
de colonnes de A moins le nombre de pivots de A :
dim ( Ker A ) =p−rg ( A )
Démonstration : Soit
A=
(
ai,j
)
1⩽i⩽n
1⩽j⩽p
, et
R=
(
αi,j
)
1⩽i⩽n
1⩽j⩽p
échelonnée réduite équivalente en ligne à A. En notant
X=
(
x1
⋮
xp
)
,
AX=0Mn,1
(
K
)
⇔
{
a1,1 x1+ …+a1, pxp=0
⋮
an,1 x1+…+an,pxp=0
⇔…⇔
⏟
opérations élémentaires sur les lignes
{
α1,1 x1+…+α1, pxp=0
⋮
αn,1 x1+…+αn,pxp=0
⇔
RX=0Mn,1
(
K
)
En notant
r=rg ( A )
et
j1<…< jr
les indices des colonnes de R contenant un pivot i.e.
̃
j1<…< ̃ jp−r
les indices des colonnes de R ne contenant pas de pivot
RX=0Mn,1
(
K
)
⇔
{
xj1=−r1, ̃
j1x̃ j1−…−r1 , ̃ jp−rx̃ jp−r
⋮
xjq=−rjq,̃
j1x̃ j1−…−rjq,̃ jp−rx̃ jp−r
donc
r
inconnues dépendent de
p−r
paramètres (degrés de liberté)
⇔
il existe
(
x̃
j1;…;x̃ jp−r
)
∈Kp−r
tel que
X=x̃
j1X1+… x̃ jp−rXp−r
où
∀s∈ ⟦ 1; p−r ⟧
,
Xs∈Mp, 1 ( K )
et
∀i∈ ⟦ 1; p ⟧
,
(
Xs
)
i=
{
−αi,̃
jssi i est l 'indice d 'une colonne contenant un pivot
1 si i=̃ js
0 sinon
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