Compléments d`algèbre linéaire

Compléments d’algèbre linéaire
Dans ce chapitre, le corps des scalaires noté K est ℝ ou ℂ et E désigne un K _espace vectoriel.
1. Famille quelconque de vecteurs............................................................................ p.1
Famille finie libre. Famille infinie libre. Famille génératrice. Base. Cas de K[X].
2. Sous-espaces vectoriels.........................................................................................p.12
Somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels.
Somme directe. Base adaptée à une décomposition en somme directe.
Hyperplan.
3. Sous-espaces stables par un endomorphisme........................................................p.16
Rappels : Application linéaire, image, noyau. Matrice d'une application linéaire. Endomorphisme.
Sous-espace stable par un endomorphisme. Matrice dans une base adaptée.
Homothétie, projection, symétrie.
4. Matrices.................................................................................................................p.23
Trace d'une matrice, propriétés. Trace d'un endomorphisme, propriétés.
Transposée d'une matrice, propriétés. Matrices symétriques, antisymétriques.
--------------
1. Famille quelconque de vecteurs
Définition d'une famille de vecteurs
ϕ: I→ E
.
i → vi
L'ensemble des vecteurs v i , images de I par l'application ϕ , est la famille de vecteurs indexée par I notée ( vi ) i∈I .
Soit E un K_espace vectoriel, I un ensemble (fini ou non), et une application
Remarques :
Si l'ensemble I est fini alors la famille ( vi ) i∈I est finie.
Si l'ensemble I est infini alors la famille ( v i ) i∈I peut-être finie ou infinie.
Exemples : Dans ℝ2 , la famille ( ( 1 ;n ) )n∈ℕ est la famille constituée des vecteurs …
Dans un plan vectoriel P muni d'une base ( ⃗
i ;⃗
j ) , en notant
π
π
⃗
⃗
u k ) k ∈ℤ est
⃗
u k =cos k
i +sin k
j , la famille ( ⃗
12
12
constituée des vecteurs du plan P : ...
(
)
(
)
Soit F ( [ −π ; π ] ; ℝ ) le ℝ _espace vectoriel des fonctions
définies sur l'intervalle [−π; π ] et à valeurs réelles.
En notant f k : x →cos ( k x ) , la famille ( f k ) k ∈ℕ est
constituée des fonctions...
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Définition d'une famille finie libre
Soit ( v1 ;…; v p ) une famille de p vecteurs de E.
(α 1 ;…;α p )∈K p
( v 1 ;…; v p ) est libre si et seulement si :
α1 v 1 + …+ α p v p=0E
}
⇒
{
α 1=0
⋮
α p =0
Une famille non-libre est dite liée.
Ici, une égalité vectorielle implique p égalités scalaires.
Remarques : Si ( v1 ;…; v p ) est une famille libre alors aucun des vecteurs v i n'est nul.
Point de vue géométrique dans le plan:
v1 ;⃗
v 2 ) est une famille libre car....
(⃗
v 1 ;⃗
v 2 ;⃗
v3 ) est une famille liée car...
Dans le plan (⃗
i ;⃗
j ;⃗
k) :
Point de vue géométrique dans l'espace muni d'une base B=(⃗
u =⃗
i +2 ⃗
j +3 ⃗
k , ⃗
v =3 ⃗
i +2 ⃗j + ⃗
k et
u =⃗
i +2 ⃗
j +3 ⃗
k , ⃗
v =3 ⃗
i +2 ⃗
j +⃗
k et ⃗
w =−⃗j +2 ⃗
k
⃗
⃗
⃗
⃗
forment
une
famille...
w
=−
j
−2
k
forment
une
famille...
⃗
La famille ( v 1 ) est libre si et seulement si v 1 ≠0 E
La famille ( v 1 ;v 2 ) est libre si et seulement si les vecteurs v 1 et v 2 ne sont pas colinéaires.
La famille ( v 1 ;v 2 ; v3 ) est libre si et seulement si les vecteurs v 1 , v 2 et v 3 ne sont pas coplanaires.
Exemples et contre-exemples : Dans ℝ2 , la famille ( ( 1 ;n ) )n∈⟦ 0; 1⟧ est libre car...
La famille ( ( 1 ;n ) )n∈⟦ 0; 2 ⟧ est liée car...
Dans F ([ −π ; π ] ; ℝ ) , en notant f k : x →cos ( kx ) , la famille ( f k ) k ∈⟦ 0; 2⟧ est libre, en effet soit ( α 1 ;α 2 ; α3 ) ∈ℝ3 tel que :
α 1 f 0 +α 2 f 1 +α 3 f 2 =0 F( [− π; π ] ;ℝ )
c'est-à-dire ∀ x ∈[−π ; π ] , α 1 cos ( 0×x ) +α 2 cos ( 1×x ) +α 3 cos ( 2× x )=0
Alors, en particulier, pour x=0 , on a :
pour x= π , on a :
2
pour x= π , on a :
4
Donc ..
Remarques :
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Liberté d'une famille et noyau d'une application linéaire
Soit E un espace vectoriel, ( v 1 ;…; v p ) une famille de p vecteurs de E et l'application linéaire f telle que :
f:
Kp
→
E
( α1 ;…; α p ) → α 1 v1 + …+α p v p
( v 1 ;…; v p ) est libre si et seulement si Ker f ={0 K } (i.e. f est injective)
p
Démonstration : cf. définition du noyau d'une application linéaire.
f:
ℝ3
→
F ([−π ; π ] ;ℝ )
Exemple : l'application
est ...
( a ; b ; c ) → x → a +b cos ( x ) +c cos ( 2 x )
□
Unicité de la décomposition d'un vecteur
Soit ( v1 ;…; v p ) une famille finie de vecteurs de E et v ∈vect ( v 1 ; …; v p )
Si ( v 1 ;…; v p ) est libre alors il existe un unique p_uplet ( α 1 ;…;α p ) ∈K p tel que v =α1 v 1 + …+ α p v p .
Remarque : ceci découle de l'injectivité de l'application f ci-dessus.
Démonstration : soit v ∈vect (v 1 ; …; v p ) et deux p_uplets (α 1 ,…; α p )∈K p et ( β1 ;…;β p ) ∈K p tels que :
v=α 1 v1 + …+α p v p
v=β1 v1 + …+β p v p
Alors …
{
Propriétés caractéristiques des familles libres ou liées
Soit ( v 1 ;v 2 ;…v p ) une famille de p vecteurs de E :
La famille ( v 1 ;v 2 ;…; v p ) est libre si et seulement si : ∀ ( α 1 ;α 2 ;…;α p ) ∈K p ∖ { 0K } , α 1 v1 +α2 v2 + …+α p v p≠0 E
La famille ( v 1 ;v 2 ;…; v p ) est liée si et seulement si : ∃( α1 ; α 2 ;…; α p )∈K p ∖ {0 K } tel que α 1 v1 +α2 v 2 + …+α p v p =0 E
p
p
Démonstration : La négation de « Tout A k est vrai » est ...
□
Les matrices de coordonnées de vecteurs dans une base
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n , B=( e1 ;…; en ) une base de E, ( α 1 ;…;α n ) ∈K n
α1
v =α1 e1 + …+α n e n ⇔ Mat B ( v ) = ⋮ ∈M n,1 ( K ) matrice des coordonnées du vecteur v dans la base B
αn
()
a 1, j
Soit ( v1 ;…; v p ) une famille de p vecteurs de E telle que ∀ j∈ ⟦ 1 ; p ⟧ , Mat B ( v j ) = ⋮
a n, j
( )
coordonnées des vecteurs de la famille ( v1 ;…; v p ) dans la base B :
Mat B ( v 1 ;…; v p )≝
(
on note la matrice des
v1 … v p
a 1,1 … a 1, p
⋮
⋮
a n,1 … a n, p
)
e1
⋮
en
Exemples :
Pour E=ℝ4 , la base canonique est B=( e1 ; e 2 ; e3 ; e4 ) avec e 1=( 1 ; 0 ; 0 ;0 ) , e2 =( 0 ;1 ; 0 ; 0 ) ; e3 =( 0 ;0 ; 1 ;0 )
5
5
e 4 =( 0 ; 0 ;0 ; 1 ) . Ainsi pour v =( 5; 6 ; 7; 8 ) on a Mat B ( v )= 6 et pour w=( 9 ;10 ;11; 12 ) , Mat B ( v ; w )= 6
7
7
8
8
9
2
Pour E=ℝ2 [ X ] muni de la base canonique B=( 1 ; X ; X2 ) , on a Mat B (( 3+X ) )= 6
1
et
9
10
11
12
( )
()
()
2
2
2
Et Mat B (( X−1 ) ; ( X−2 ) ; ( X−3 ) )=…
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Caractérisation matricielle de la liberté d'une famille de vecteurs
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n , B une base de E, ( v1 ;…; v p ) une famille de p vecteurs de E e
La famille ( v 1 ;v 2 ;…; v p ) est libre si et seulement si rg ( Mat B ( v 1 ;…; v p )) = p (nombre de colonnes de la matrice)
si et seulement si Ker ( Mat B ( v 1 ;…; v p )) =0 M ( K )
p, 1
Remarques : La matrice A est parfois appelée matrice des coordonnées de la famille ( v 1 ;…; v p ) dans la base B.
3
3
Exemple : Dans ℝ3 [ X ] , la famille X 3 , ( X−1 ) et ( X−2 ) est libre. En effet en notant B=( 1 ; X ; X 2 ; X 3 ) la base
canonique de ℝ3 [ X ] , on a :
Mat B ( X3 ) =…
3
Mat B (( X−1 ) )=…
3
et Mat B (( X−2 ) )=…
Ainsi A=…
Rappel sur le rang d'une matrice
Soit A une matrice. L'entier rg ( A ) est le nombre de pivots de la matrice échelonnée en ligne équivalente en lignes à A.
Remarque : rg ( A )⩽min ( n ; p ) , ainsi : si la famille ( v 1 ;v 2 ;…; v p ) est libre alors p⩽n
si p >n alors la famille ( v 1 ;v 2 ;…; v p ) est liée.
Démonstration : il s'agit de décomposer tous les vecteurs dans la base B pour obtenir une interprétation matricielle de
l'équation vectorielle : α 1 v 1 + …+ α p v p =0 E .
En notant B=( u 1 ; …; u n ) et ∀ j∈ ⟦ 1 ; p ⟧ , v j =a 1, j u1 +…+a n, j u n on a : A=( a i , j ) 1⩽i⩽n
1⩽ j⩽ p
a 1,1
a 1, p
0
⋮
⋮
⋮
⇔ α1
Ainsi , α 1 v1 +…+α p v p =0 E dans E
dans M n,1 ( K )
+…+α p
=
⋮
⋮
⋮
0
a n ,1
a n, p
a 1,1 … a 1, p
0
α1
⋮
⋮
⇔
= ⋮ dans M n, p ( K )
⋮
⋮
⋮ α⋮
p
0
a n,1 … a n , p
0
0
α1
α1
⋮
⇔ R ⋮ = ⋮
Soit R la matrice échelonnée réduite équivalente en ligne à A : A ⋮ =
⋮
⋮
αp
αp
0
0
Or rg ( A )⩽min ( n , p ) donc, rg ( A )⩽ p .
Si rg ( A ) < p alors il existe une colonne j 0 de R ne contenant pas de pivot : ainsi α j est une inconnue secondaire (ou
paramètre) du système qui admet donc une infinité de solutions. Ainsi la famille ( v 1 ;…; v p ) est liée.
1 0 … 0
0 ⋱ ⋱ ⋮
0
⋮ ⋱ ⋱ 0
0
α1
α1
En revanche si rg ( A ) = p , alors n⩾ p et R est du type : R= 0 … 0 1 donc R ⋮ = ⋮ ⇔
=
□
⋮
⋮
⋮
α
α
p
0
p
0 … … 0
0
⋮
⋮
0 … … 0
Exemple de code Python utilisant le module numpy pour obtenir le rang d'une matrice :
( ) ( )()
( )( ) ( )
( )()
( ) ()
0
( )
2
3
4
5
6
7
( ) ()
( )()
A=np.array([[4,4,0,2,4],
[5,1,6,5,4],
[1,1,0,1,0],
[5,1,6,6,2]])
import numpy.linalg as alg
print(alg.matrix_rank(A))
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Exemple de code Python utilisant le module sympy pour obtenir la matrice échelonnée réduite (reduced row echelon form)
équivalente en lignes à une matrice donnée ainsi que les indices des colonnes contenant les pivots:
1
2
3
4
5
6
7
from sympy import *
A = Matrix([[4,4,0,2,4],
[5,1,6,5,4],
[1,1,0,1,0],
[5,1,6,6,2]])
pprint(A.rref())
print(A.rank())
3
Rappels sur le noyau d'une matrice
Soit A∈M n, p ( K ) , Ker A={X∈M p, 1 ( K )∣AX=0 M ( K ) }
Lien entre matrices équivalentes en ligne et noyau d'une matrice : soient A et R deux matrices.
Si A et R sont équivalentes en lignes alors Ker A=Ker R
► Système d'équations caractérisant le noyau d'une matrice : Si R est échelonnée et réduite en ligne alors dans le système
RX=0M ( K ) les inconnues correspondant aux colonnes contenant un pivot sont déterminées par les autres appelées
inconnues secondaires ou paramètres.
► Base du noyau d'une matrice : les inconnues secondaires peuvent être interprétées comme les coefficients dans les
combinaisons linéaires de matrices colonnes formant une base du noyau donc la dimension du noyau est égale au nombre
de colonnes de A moins le nombre de pivots de A : dim ( Ker A ) = p−rg ( A )
n, 1
n, 1
x1
Démonstration : Soit A=( a i , j ) 1⩽i⩽n , et R=( αi , j ) 1⩽i⩽n échelonnée réduite équivalente en ligne à A. En notant X= ⋮ ,
1⩽ j⩽ p
1⩽ j⩽ p
xp
a 1,1 x 1 + …+a 1, p x p =0
α 1,1 x 1 +…+α 1, p x p=0
AX=0M ( K ) ⇔ ⋮
⇔ RX=0M ( K )
⇔
…⇔
⋮
⏟
a n,1 x 1 +…+a n, p x p =0 opérations élémentaires sur les lignes α n ,1 x 1 +…+α n, p x p =0
En notant r=rg ( A ) et j 1 <…< j r les indices des colonnes de R contenant un pivot i.e.
j̃1 <…< j ̃p−r les indices des colonnes de R ne contenant pas de pivot
x j =−r 1, j̃ x ̃j −…−r1 , j ̃ x j ̃
RX=0M ( K ) ⇔ ⋮
donc r inconnues dépendent de p−r paramètres (degrés de liberté)
x j =−r j , ̃j x ̃j −…−r j , j ̃ x j ̃
()
{
n,1
n, 1
{
{
1
1
q
q
1
1
p−r
1
q
p−r
n, 1
p−r
p− r
⇔ il existe ( x ̃j ;…; x j ̃ )∈K p− r tel que X=x ̃j X1 +… x j ̃ X p−r
−α i , ̃j si i est l 'indice d 'une colonne contenant un pivot
où ∀ s∈ ⟦ 1 ; p−r ⟧ , X s ∈M p, 1 ( K ) et ∀ i∈ ⟦ 1 ; p ⟧ , ( X s )i = 1 si i= ̃j s
0 sinon
1
p−r
1
p−r
{
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s
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Les inconnues secondaires (ou paramètres) déterminent les inconnues principales.
La dimension du noyau est donc égales au nombre d'inconnues secondaires.
(
2
r
r
2
r
r
r
r
)
⋮
⋮
⋮
0
−α1; j −1
0
−α 1; j +1
0
−α 1; j −1
0
−α 1; j +1
0
−α 1; p
1
0
0
0
0
0
⋮
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
1
0
x j −1
0
⋮
⋮
⋮
⋮
1
⋮
0
0
−α1; j +1
⋮
⋮
⋮
⋮
∑
j ∈⟦ j 1+1; p⟧
j∉{ j 2 ;…; j r }
2
0
⋮
{( ) } {() () ) ( )( ) ( )( ) ( )}
−
1
0
1
1
0 … 0 1 α1 ; j +1 …α 1; j −1 0 α1 ; j +1 … α 1; j −1 0 α1 ; j +1 … α 1; p
0 …… 0 … … 0 1 α2 ; j +1 ⋱ ⋮
⋮ α 2; j +1 … α 2; p
0 …… … … … … 0 0 ⋱ α r −1; j −1 0 α r−1; j +1 …α r−1; p
Ker ⋮…… … … … … … … … 0
1 α r; j +1 … α r ; p =
⋮…… … … … … … … … … 0 … … 0
⋮
⋮
0 …… … … … … … … … … … … … 0
0
x1
⋮
α 1; j x j
x j +1
⋮
x j −1
1
2
−
∑
j ∈⟦ j 2+1; p⟧
j∉{ j 3; …; j r}
α 2; j x j ∣( x j )
∈K
j ∈⟦ 1;p ⟧
j∉{ j1 ;…; j r }
x j +1
⋮
x j −1
−
p−r
= Vect ⋮ ;...; ⋮ ;
⋮
⋮
2
1
⋮
0
0
0
;...;
0
2
r
r
0
0
0
0
; −α 2; j +1 ;...; −α 2; j −1 ; −α 2; j +1 ;...; −α 2; p
2
r
r
⋮
⋮
1
0
0
0
2
⋮
⋮
⋮
⋮
0
⋮
⋮
⋮
⋮
r
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
1
⋮
⋮
⋮
⋮
0
−α r ; p
⋮
⋮
0
−αr ; j +1
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
1
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0
0
0
0
0
0
0
0
1
∑
αr ; j x j
j ∈⟦ jr+1; p⟧
x j +1
⋮
xn
r
r
Exemple d'utilisation du module sympy de Python pour la résolution d'un système linéaire homogène :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
from sympy import *
A = Matrix([[4,4,0,2,4],
[5,1,6,5,4],
[1,1,0,1,0],
[5,1,6,6,2]])
x1,x2,x3,x4,x5 = symbols('x1 x2 x3 x4 x5')
X=Matrix([[x1],[x2],[x3],[x4],[x5]])
pprint(solve(A*X))
pprint(A.nullspace())
4
5
Ainsi pour A=
1
5
(
4
1
1
1
0
6
0
6
2
5
1
6
x1
4
x2
4
, Ker A = x 3 ∈M5 ,1 ( ℝ )∣…
0
x4
2
x5
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)
{( )
}
=Vect ( …
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)
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Rang d'une famille libre
Soit ( v1 ;…; v p ) une famille de p vecteurs de E.
( v 1 ;…; v p ) est libre si et seulement si rg (v 1 ;…; v p )= p (nombre de vecteurs de la famille)
Remarque : ici E n'est pas nécessairement de dimension finie.
Démonstration : ( v 1 ;…; v p ) est libre ⇔ ( v 1 ;…; v p ) est une base de vect ( v 1 ;…; v p ) ⇔ dim ( vect ( v1 ;…; v p )) = p
□
Définition d'une famille infinie libre
Soit I un ensemble de cardinal infini (dénombrable ou non) et ( v i ) i∈I une famille de vecteurs de E :
la famille ( v i ) i∈I est libre si et seulement si toute sous famille finie de ( v i ) i∈I est libre
la famille ( v i ) i∈I est liée si et seulement s'il existe une sous famille finie de ( v i ) i∈I liée.
Exemples : Dans ℝ2 , la famille ( ( 1 ;n ) )n∈ℕ est liée car...
Dans F ([ −π ; π ] ; ℝ ) , en notant f k : x →cos ( kx ) , la famille ( f k ) k ∈ℕ est libre.
Soit J une sous-famille finie de ℕ en notant n=max ( J ) on démontre par récurrence sur n (en dérivant deux fois) que la
famille ( f k ) k ∈⟦ 0; n ⟧ est libre donc ( f k ) k ∈J est libre.
∞
∞
([
] )
([
] )
Les vecteur propres (dans un prochain chapitre) de l'endomorphisme : C −π ; π ; ℝ → C −π ; π ; ℝ permettent de
y
→
y' '
conclure plus rapidement.
Propriété d'inclusion
Toute famille incluse dans une famille libre est libre.
Toute famille contenant une famille liée est liée.
Démonstration : Soit G une famille incluse dans une famille libre F, alors toute sous-famille finie de G est une sous-famille
finie de F, donc...
Soit G une famille contenant une famille liée F, alors il existe une sous-famille finie de F liée, or toute sous-famille de F est
une sous-famille de G donc...
□
Condition suffisante pour assurer la liberté d'une famille de polynômes
Toute famille de polynômes non nuls échelonnée en degré (i.e. dont les degrés sont distincts deux à deux) est libre.
Démonstration : soit F une famille de polynômes échelonnée en degré.
Si F=( Pi )i∈⟦ 1; n ⟧ est finie alors la matrice constituée en colonne des coordonnées des polynômes P i dans base canonique
peut être échelonnée par permutations de lignes : elle contient alors n pivots donc F est libre.
Si F est infinie alors toute sous-famille finie de F est échelonnée en degré donc libre. Ainsi la famille F est libre.
□
Exemple : dans l'espace vectoriel ℝ [ X ] la famille ( X i )i∈ℕ est libre.
En effet pour toute sous-famille finie F de ( X i )i∈ℕ , il existe n∈ℕ tel que F soit incluse dans la famille ( 1 ; X ; X2 ;…; X n )
qui est libre (cf base de Taylor en 0).
L'échelonnement en degré n'est pas une condition nécessaire pour la liberté d'une famille de polynômes.
3
3
Exemple : la famille ( X 3 ; ( X−1 ) ; ( X−2 ) ) est libre dans ℝ3 [ X ] .
Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs
Soit ( v i ) i∈I une famille de vecteurs de E.
►Si I est fini alors l'ensemble vecteurs combinaisons linéaires de vecteurs de la famille ( v i ) i∈I est appelé espace
vectoriel engendré par la famille ( v i ) i∈I et est noté Vect (( v i ) i∈I )≝
{∑
αi v i∣∀ i∈I ,α i ∈K
i∈I
}
►Si I est infini alors l'ensemble des vecteurs combinaisons linéaires d'un nombre fini de vecteurs de la famille ( v i ) i∈I est
appelé espace vectoriel engendré par la famille ( v i ) i∈I et est noté Vect (( xi )i∈I )≝
{∑
i∈J
}
αi vi∣J⊂I,J finie ,∀ i∈J ,α i ∈K .
Exemples :
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n
Soit n∈ℕ , et la fonction g n : x → ( cos ( x ) ) , en notant f k : x →cos ( kx ) on a g n ∈Vect ( ( f k ) k ∈⟦ 0;n ⟧ ) .
n
En effet ∀ x ∈ℝ , ( cos ( x ) ) =…
Pour les polynômes : ℝ [ X ] =…
On n'envisage ici que la sommation d'un nombre fini de vecteurs car sommer un nombre infini de vecteurs peut poser
des problèmes d'existence de la somme. Par exemple
∑ Xk
n'est pas un polynôme !
k ∈ℕ
Définition d'une famille génératrice d'un espace vectoriel
Soit ( v i ) i∈I une famille de vecteurs de E.
La famille ( v i ) i∈I est génératrice (de E) si et seulement si E=vect (( vi )i ∈I )
Remarque : il faut comprendre cette égalité d'ensemble comme une double inclusion : vect (( v i )i ∈I )⊂E (évident par stabilité
d'un espace vectoriel par combinaisons linéaires) et E⊂vect ( ( v i )i∈ℕ ) qui signifie que tout vecteur de E est une combinaison
linéaire de vecteurs de la famille ( v i ) i∈I .
Exemple : ℝ [ X ]=vect ( ( X i ) i∈ℕ )
Famille génératrice et image d'une application linéaire
Soit E un espace de dimension finie, ( v 1 ;…; v p ) une famille de p vecteurs de E et l'application linéaire f telle que :
f:
Kp
→
E
.
( α1 ;…; α p ) → α 1 v 1 + …+α p v p
( v1 ;…; v p ) est génératrice de E si et seulement si Im ( f ) =E (i.e. f est surjective)
si ( v1 ;…; v p ) est génératrice de E alors p⩾dim ( E )
si p <dim ( E ) alors ( v1 ;…; v p ) n'est pas génératrice de E
Démonstration : découle de la définition de Im ( f ) .
Remarques :
□
Caractérisation matricielle des familles génératrices d'un espace sous-espace vectoriel
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n , B une base de E, ( v1 ;…; v p ) une famille de p vecteurs de E
( v1 ;…; v p ) est génératrice de E si et seulement si rg ( Mat B (v 1 ;…; v p ))=dim ( E ) (nombre de lignes de la matrice)
Démonstration : soit v ∈E , v ∈vect ( v 1 ; …; v p ) ⇔ ∃ ( α 1 ;…;α p ) ∈K p tel que v =α1 v 1 + …+ α p v p
Il s'agit de décomposer dans la base B l'équation vectorielle, d'inconnues ( α 1 ;…;α p ) ∈K p : v =α1 v 1 + …+ α p v p
a 1,1 … a 1, p
β1
a 1,1
a 1, p
β1
β1
α1
⋮
⋮
= ⋮
Soit Mat B ( v )= ⋮ , α 1 v1 +…+α p v p =v ⇔ α 1 ⋮ +…+α p ⋮ = ⋮ ⇔
⋮
⋮ α⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
p
βn
βn
βn
a n,1 … a n , p
a n ,1
a n, p
()
( ) ( )( ) (
)( ) ( )
Soit R la matrice échelonnée réduite équivalente en lignes à A. En appliquant les opérations en ligne permettant de
a 1,1 … a 1, p β1
⋮
⋮ , on obtient une matrice R' dont la dernière colonne
transformer A en R, à la matrice augmentée A'≝ ⋮
⋮
⋮
⋮
a 1,1 … a n, p βn
β' 1
β' 1
β1
α1
α1
⋮
⋮
A
=
⇔ R ⋮ = ⋮ .
est notée
et :
⋮
⋮
⋮
⋮
αp
αp
βn
β' n
β' n
Or rg ( A )⩽min ( n ; p ) , donc rg ( A )⩽n .
Si rg ( A ) <n alors la ligne L rg ( A )+1 de la matrice R est nulle, ainsi le système précédent est incompatible si β' rg ( A ) +1≠0
donc il est possible de trouver v ∈E et v ∉vect (v 1 ; …; v p ) donc ( v 1 ;…v p ) n'est pas une famille génératrice de E.
(
( ) ( )( ) ( )( )
Compléments d'algèbre linéaire
)
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β '1
α1
1 0 … 0 r 1,n+1 … r 1, p
⋮
⋮
0
⋱
⋱
⋮
⋮
⋮
α
β
'n
n =
En revanche si rg ( A ) =n alors p⩾n et R=
donc
α
n+1
⋮ ⋱ ⋱ 0
⋮
⋮
0
⋮
⋮
0 … 0 1 r n,n+1 … r n, p
αp
0
système précédent ainsi v ∈vect ( v 1 ; …; v p ) donc vect ( v 1 ;…; v p )=E .
) ( )( )
(
est une solution du
□
Lien entre matrices équivalentes en ligne et image d'une matrice
Soit A∈M n, p ( K ) , Im ( A )≝{ AX∣X∈M p ,1 ( K ) }
i.e. Im ( A )= {Y ∈M n,1 ( K )∣∃ X∈M p ,1 ( K ) tel que AX=Y }
y1
En notant A=( a i , j ) 1⩽i⩽n , l'objectif est de déterminer les matrices colonnes Y= ⋮ telles que le système d'inconnues
1⩽ j⩽ p
yn
x1
X= ⋮ ayant pour écriture matricielle AX=Y admette une (ou des) solutions.
xp
a 1,1 … a 1, p y1
►Système d'équations caractérisant l'image d'une matrice : En appliquant à A'= ⋮
⋮
⋮ (matrice
a n ,1 … a n, p y n
augmentée) les opérations nécessaires à l'échelonnement réduction en ligne de A, on obtient une (ou des) équation(s) de
Im(A) comme conditions de compatibilité du système AX=Y .
►Base de l'image d'une matrice :Les colonnes de la matrice A, dont les indices sont ceux des colonnes de la matrice
réduite contenant un pivot, forment une base du sous-espace vectoriel Im(A).
()
()
(
)
Démonstration : Soit A=( a i , j ) 1⩽i⩽n , et R=( αi , j ) 1⩽i⩽n échelonnée réduite équivalente en ligne à A.
1⩽ j⩽ p
1⩽ j⩽ p
a 1,1 x 1 + …+a 1, p x p =y 1
α 1,1 x 1 +…+α 1, p x p=β1,1 y 1 + …+β1,n y n
AX=Y ⇔ ⋮
⇔…
⇔
⋮
⏟
a n,1 x 1 +…+a n, p x p = y n opérations élémentaires sur les lignes α n ,1 x 1 +…+α n, p x p =βn, 1 y 1 +…+βn ,n y n
β1,1 … β1 ,n
La matrice carrée ⋮
⋮ est inversible car les opérations élémentaires sur les lignes sont inversibles.
βn, 1 … βn ;n
En notant r=rg ( A ) et j 1 <…< j r les r indices des colonnes de R contenant un pivot i.e.
k 1 <…< k p−r les p−r indices des colonnes de R ne contenant pas de pivot
x j =β1,1 y 1 + …+β1,n y n−α1 ,k xk −…−α 1,k x k
⋮
AX=Y ⇔ x j =βr ,1 y 1 + …+β r ,n yn−α j , k x k −…−α j ,k x k donc le système admet n−r conditions de compatibilité
0=βr +1,1 y 1 + …+βr+1, n y n
⋮
0=βn ,1 y 1 +…+βn ,n y n
βr+1,1 … βr+1,n
car le rang de la matrice
est n−r (sous-matrice d'une matrice de rang n )
⋮
⋮
βn,1 … β n; n
{
{
(
{
)
1
1
r
q
(
1
1
p− q
1
q
p−r
p−q
p−r
)
Par ailleurs, la multiplication matricielle AX peut être interprétée comme combinaison linéaire des vecteurs colonnes de la
matrice A :
x1
a 1,1 … a 1, j … a 1, p
a 1,1
a 1; j
a1 , p
⋮
AX= ⋮
⋮
⋮ × x j =x1 ⋮ + …+ x j ⋮ + …+x p ⋮
a n ,1 … a n, j … a n, p
⋮
a n,1
a n, j
an , p
xn
(
)() ( ) ( ) ( )
a 1,1
a 1, p
, en ne retenant dans cette famille génératrice que les vecteurs colonnes contenant un
⋮ ;…; ⋮
a n; 1
a n; p
pivot après échelonnement, on obtient une famille libre et génératrice de Im(A) car son rang est p .
Ainsi Im ( A )=Vect
(( ) ( ))
Compléments d'algèbre linéaire
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Écriture du système linéaire permettant de déterminer l'image d'une matrice à l'aide d'une matrice augmentée :
(
a 1,1 … a 1, j
⋮
⋮
a n,1 … a 1, j
1
1
… a1 , j
⋮
… a1 , j
r
r
… a 1, p
⋮
… a n, p
y1
⋮
yn
)
∼
L
(
1
2
2
r
r
2
r
r
r
r
r colonnes de A contenant un pivot (après échelonnement)
Im ( A )=Vect
)
0 … 0 1 α 1; j +1 …α1 ; j −1 0 α 1; j +1 … α1; j −1 0 α 1; j +1 … α 1;p β 1,1 y 1+…+β1 ,n y n
0 …… 0 … … 0 1 α 2; j +1 ⋱ ⋮
⋮ α 2; j +1 … α 2; p β 2,1 y 1+…+β 2,n y n
0 ……… … … … 0 0 ⋱ α r−1; j −1 0 αr −1; j +1 …α r−1; p
⋮
⋮……… … … … … … … 0
1 α r ; j +1 … α r ;p βr,1 y 1+…+β1 ,n y n
⋮……… … … … … … … … 0 … … 0 β r+1,1 y 1+…+β r+,n yn
⋮
⋮
⋮
0 ……… … … … … … … … … … … 0 β n,1 y 1+…+β n,n y n
a 1, j
a 1, j
⋮ ;…; ⋮
a n, j
a n, j
n−r conditions de compatibilité du système
y1
βr +1 y1 +…+β r+ 1 y n =0
⋮ ∈M n,1 ( K )∣
⋮
yn
βn y1 +…+β n yn =0
(( ) ( )) {( )
1
r
1
r
=
{
}
Exemple d'utilisation du module sympy de Python pour la résolution d'un système linéaire :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
from sympy import *
A = Matrix([[4,4,0,2,4],
[5,1,6,5,4],
[1,1,0,1,0],
[5,1,6,6,2]])
x1,x2,x3,x4,x5,=symbols('x1 x2 x3 x4 x5')
y1,y2,y3,y4=symbols('y1 y2 y3 y4')
X=Matrix([[x1],[x2],[x3],[x4],[x5]])
Y=Matrix([[y1],[y2],[y3],[y4]])
pprint(solve(A*X-Y))
pprint([A[:,j] for j in A.rref()[1]])
4
Ainsi pour A= 5
1
5
(
4
1
1
1
0
6
0
6
2
5
1
6
Compléments d'algèbre linéaire
y1
y2
∈M 4 ,1 (ℝ )∣…
y3
y4
) {( )
4
4 ,
Im ( A )=
0
2
}
=Vect ( …
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)
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Rang d'une famille génératrice
Soit ( v 1 ;…v p ) une famille de E.
( v1 ;…; v p ) est génératrice de E si seulement si rg (v 1 ;…; v p )=dim ( E )
Démonstration : par stabilité par combinaisons linéaires vect ( v 1 ;…; v p )⊂E ainsi,
dim ( vect ( v 1 ;…; v p )) =dim ( E ) ⇔ vect ( v 1 ;…; v p )=E
□
Définition d'une base d'un espace vectoriel
Soit E un espace vectoriel.
Une base de E est une famille libre et génératrice de E.
Remarque : dans ce cas tout vecteur de E s'exprime (famille génératrice) de manière unique (famille libre) comme
combinaison linéaire de vecteurs de la famille ( v i ) i∈I .
Remarque : une base de E peut avoir un nombre infini d'éléments, on dit alors que E est de dimension infinie.
Exemples : la base canonique de K[X] est la famille ( Xi )i∈ℕ
La base canonique de M n, p ( K ) est constituée des n× p matrices telles que :
pour (i 0 ; j 0 )∈⟦ 1 ; n ⟧ ×⟦ 1 ; p ⟧ E i ; j =( χ i ( i )×χ j ( j ) ) 1⩽i⩽n où χ a ( b )= 1 si a=b
0 sinon
(1⩽ j⩽ p)
1 0 … 0
0 … 0 1
0
0
…
⋮
0 0
, ..., E 1, p = ⋮
E 1,1 =
⋮
⋮
⋮
⋮
0 … … 0
0 … … 0
⋮
⋮
0 … … 0
0 … … 0
⋮
⋮
⋮
⋮
, ..., E n, p=
E n,1 =
0 0
⋮
⋮
0 0
1 0 … 0
0 … 0 1
0
(
(
0
0
)
)
{
0
(
(
)
)
Base d'un espace vectoriel et bijectivité d'une application linéaire
Soit E un espace de dimension finie, ( v 1 ;…; v p ) une famille de p vecteurs de E et l'application linéaire f telle que :
f:
Kp
→
E
( α1 ;…; α p ) → α 1 v1 + …+α p v p
( v1 ;…; v p ) est une base de E si et seulement si f est bijective
Si B=( v 1 ;…; v p ) est une base de E alors f −1 ( v ) est constitué des coordonnées de v dans la base B.
Démonstration : découle de la définition de la bijectivité et des coordonnées d'un vecteur dans une base.
f:
ℝ4
→
ℝ3 [ X ]
Exemple : l'application
est bijective car ...
( α 0 ; …; α 3 ) → α 0 +α 1 X+α2 X2 +α 3 X3
g : M p,1 ( K ) → E
α1
Remarque : en utilisant
on a ∀ v∈E , g −1 ( v )=Mat B ( v ) .
→
α
v
+
…+α
v
1 1
p p
⋮
αp
( )
Condition suffisante pour avoir une base de K[X]
Toute famille de polynômes ( Pk )k ∈ℕ telle que ∀ k ∈ℕ , deg ( Pk ) =k est une base de K [ X ] .
Démonstration : Si deg ( Pk ) =k alors ( Pk )k ∈ℕ est une famille échelonnée donc libre.
j
i
En notant ∀ i∈ℕ , P j ( X ) =∑ a i, j X , les vecteurs colonnes constitués des coordonnées des polynômes P j dans la base
i=0
a 0, j
⋮
n
a
canonique B=( 1 ;…; X ) de K n [ X ] s'écrivent : Mat B ( P j ) = j, j
0
⋮
0
()
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Ainsi par multiplication matricielle, pour (β0 ;…;βn )∈K n+ 1 :
a 0 ,0
n
a 0,0 … a 0,n
a 0,n
Mat B ∑ β j P j =β0 0 + …+βn ⋮ =
⋱ ⋮
⋮
j=0
a n,n
0
a n,n
0
(
)
()
( )(
)( )
β0
⋮
βn
n
n
j=0
i=0
j
Soit P ( X )=∑ α j X ∈K [ X ] , la recherche des inconnues (β0 ;…;βn )∈K n+ 1 telles que P ( X )=∑ βi Pi ( X )
(
)( ) ( )
a 0 ,0 … a 0, n β0
α0
correspond à la résolution du système d'écriture matricielle :
⋱ ⋮
⋮ = ⋮
αn
0
a n, n βn
Ce système triangulaire dont les termes diagonaux sont tous non nuls est inversible donc P∈vect (( P k ) k ∈ℕ ) .
Ce raisonnement étant valide pour tout polynôme de K[X], on peut conclure que K [ X ]⊂vect ( ( P k )k ∈ℕ) .
Par stabilité par combinaison linéaire on a : vect (( P k )k ∈ℕ)⊂K [ X ] .
Donc, par double inclusion, K [ X ] =vect (( P k ) k ∈ℕ ) ce qui signifie que la famille ( Pk )k ∈ℕ est génératrice de K[X].
Conclusion : la famille ( Pk )k ∈ℕ étant génératrice de K[X], elle constitue une base de K[X].
k
Exemple : Soit a ∈ℝ la famille Ba =( ( X−a ) )k ∈ℕ est une base de ℝ [ X ] .
Exemple de passage des coordonnées de la base B2 à la base canonique :
2
3
P ( X )=1+2 ( X−2 )+3 ( X−2 ) + 4 ( X−2 ) =…
k
Exemple de passage des coordonnées de la base canonique à la base B2 : en utilisant X k =( ( X−2 )+2 )
Q ( X )=1+2 X+3 X2 +4 X3 =…
□
2. Sous-espaces vectoriels
Définition d'un sous-espace vectoriel (rappel)
Soit F un sous-ensemble de E.
F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si
0 E ∈F
i.e. F est non vide
2
∀ ( u ; v )∈F , u+ v ∈F
stabilité par addition
∀ ( λ ; u ) ∈K×F, λ u∈F stabilité par multiplication par un scalaire
{
Remarque : un sous-espace vectoriel est stable par combinaisons linéaires.
Par définition, pour toute famille ( v i ) i∈I de E, vect (( v i )i ∈I ) est un sous-espace vectoriel de E.
Rappels des résultats valides pour les sous-espaces vectoriels de dimension finie
Soit F un sous-espace vectoriel de E.
S'il existe une base de F constituée de n vecteurs alors dim ( F )≝n
et toute base de F est constituée de n vecteurs.
dim ( F ) =0 ⇔F={0 E }
F est une droite vectorielle si et seulement si dim ( F ) =1
F est un plan vectoriel si et seulement si dim ( F ) =2
Ainsi, pour déterminer une base de F :
Si ( v1 ;…; v n ) est une famille libre de F et si dim ( F ) =n alors ( v 1 ;…; v n ) est une base de F.
Si ( v1 ;…; v n ) est une famille génératrice de F et si dim ( F ) =n alors ( v 1 ;…; v n ) est une base de F.
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de dimension finie inclus dans un même espace vectoriel :
F⊂G ⇒dim ( F )⩽dim ( G )
Ainsi, pour démontrer l'égalité de deux sous-espaces vectoriels : F=G⇔ F⊂G ⇔ F⊂G
G⊂F
dim ( F ) =dim ( G )
{
{
Formule de Grassmann : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de dimension finie inclus dans un même espace
dim ( F+G )=dim ( F ) +dim ( G )−dim ( F∩G )
vectoriel :
Ici les notations « + » et « = » sont utilisées dans des cadres différents !
Ces résultats ne sont plus valides en dimension infinie.
Compléments d'algèbre linéaire
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Définition de la somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels
La somme des p sous-espaces vectoriels de E notés F 1 , ... , F p est le sous-espace vectoriel constitué des vecteurs
sommes de vecteurs appartenant à F 1 et … et F p : F 1 +…+F p≝{v 1 +…+v p∣v 1 ∈F1 ,…, v p ∈F p } .
Point de vue géométrique : dans les deux cas ci-dessous, F 1 +F 2 est un espace vectoriel de dimension 3.
Somme directe d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels
La somme des p sous-espaces vectoriels de E notés F 1 , ... , F p est directe si et seulement si tout vecteur de
F 1 +…+F p se décompose de manière unique selon les F i .
i.e. ∀ v∈F1 + …+F p , ∃! ( v 1 ; …; v p ) ∈F1 ×…×F p tel que : v =v 1 + …+v p
Lorsque la somme F 1 +…+F p est directe, elle est notée : F 1⊕…⊕F p
Lorsque F 1⊕…⊕F p =E , les sous-espaces vectoriels F 1 , ..., F p sont dits supplémentaires dans E.
Point de vue géométrique :
F 1 , F 2 et F 3 ne sont pas en somme directe.
F 1 , F 2 et F 3 sont en somme directe.
Caractérisation de la somme directe par unicité de la décomposition du vecteur nul
Soit p sous-espaces vectoriels F 1 , ..., F p de E.
v1 =0E
La somme F 1 +…+F p est directe si et seulement si ( v1 ;…; v p ) ∈F1 ×…×F p ⇒
⋮
v1 + …+v p =0 E
v p=0 E
}
{
Démonstration : si la somme F 1 +…+F p est directe alors le vecteur nul 0 E se décompose de manière unique selon les F i
v 1 =0E
or ∀ i∈ ⟦ 1 ; p ⟧ , 0 E ∈Fi et 0 E + …+ 0 E =0E donc par unicité ( v 1 ;…; v p ) ∈F1 ×…×F p ⇒
⋮ .
v 1 + …+v p =0 E
v p=0 E
}
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{
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v 1 =0E
Réciproquement, si ( v1 ;…; v p ) ∈F1 ×…×F p ⇒
montrons l'unicité de la décomposition de tout vecteur de
⋮
v 1 + …+v p =0 E
v p=0 E
v=v 1 +…v p avec ( v 1 ;…; v p )∈F 1×…×F p
F 1 +…+F p selon les F i . Soit v ∈F1 + …+F p tel que
v=u 1 + …u p avec ( u 1 ; …; u p ) ∈F1 ×…×F p
Alors....
□
Exemple : Dans ℂ5 [ X ] , en notant pour k ∈ℂ , F k ={ P∈ℂ5 [ X ]∣P ( k )=…=P ( k +3 )=0 } la somme F 1 +F 2 +F3 est directe.
En effet, soient ( P1 ; P2 , P3 ) ∈ℂ5 [ X ] , P 1 + P2 + P 3=0 ℂ [ X ] ⇒ P 1=−P 2−P 3 ainsi...
}
{
{
6
Somme directe de DEUX sous-espaces vectoriels
Soient F 1 et F 2 deux sous-espaces vectoriels de E.
Si F 1∩F2 ={ 0E } alors F 1 et F 2 sont en somme directe.
v ; v ∈F ×F
Démonstration : La décomposition du vecteur nul selon F 1 et F 2 donne : ( 1 2 ) 1 2 ⇒v1 =−v 2∈F 1∩F 2
v 1 +v 2 =0 E
Si F 1∩F2 ={ 0E } alors …
}
□
Cette caractérisation ne se généralise pas à la somme de plus de deux sous-espaces vectoriels.
Base adaptée à une décomposition en somme directe
Soient E un espace vectoriel de dimension finie, et p sous-espaces vectoriels F 1 , …, F p admettant pour bases
respectives B1 =( v 1,1 ;…;v 1,dim ( F ) ) , …, B p =( v p,1 ;…; v p ,dim ( F ) ) .
F 1⊕…⊕F p =E si et seulement si B= ⏟
v 1 ,1 ;… ;v 1,dim ( F ) ;…; ⏟
v p,1 ;…; v p ,dim ( F ) constitue une base de E.
1
p
(
1
p
base de F 1
base de F p
)
Remarque : si les sous-espaces vectoriels F 1 , …, F p sont supplémentaires dans E alors dim ( F1 ) + …+dim ( F p )=dim ( E ) .
Définition d'un hyperplan
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et H un sous-espace vectoriel de E.
H est un hyperplan de E si et seulement si dim ( H ) =n−1
En dimension 2 ou 3 : :
►Si E est un plan vectoriel alors un hyperplan de E est une droite vectorielle.
►Si E est un espace vectoriel de dimension 3 alors un hyperplan de E est un plan vectoriel.
ÉquationS d'un hyperplan
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et B=( v1 ;…; vn ) une base de E.
H est un hyperplan de E si et seulement si
n
α
;…;α
∈K
∖ {0 K } tel que H={ x 1 v 1 +…+ xn v n ∈E∣α 1 x 1 +…+αn xn =0 }
il existe ( 1
n)
i.e. dans une base donnée, les coordonnées des vecteurs d'un hyperplan sont les solutions d'une équation linéaire
homogène. On note alors H :α 1 x 1 + …+α n x n =0 .
n
Pour un hyperplan donné, il existe plusieurs équations : on parle d'UNE équation d'un hyperplan.
Démonstration : Si H est un hyperplan de E alors il existe ( v' 1 ,…,v' n−1 ) une base de H, et on a :
v ∈H ⇔ rg (v ' 1 ;…; v' n−1 ; v )=n−1
x1,1 … x 1 ;n−1 x1
x1, j
⋮
⋮ =n−1
En notant Mat B ( v j ) = ⋮ on a : v =x 1 v1 + …+x n v n ∈H ⇔ rg ⋮
⋮
⋮
⋮
x n; j
x n,1 … x n;n−1 xn
1 … 0
?
x 1,1 … x n ;1 x 1
⋮
⋱
⋮
?
⋮
⋮
⋮
∼
( v' 1 ,…,v' n−1 ) étant libre, on a : ⋮
⋮
⋮ L 0 … 1
?
x n,1 … x n ; x
xn
0 … 0 α 1 x1 +…+α n x n
Cette matrice est de rang n−1 si et seulement si α 1 x1 +…+αn x n =0
(
( )
(
Compléments d'algèbre linéaire
n−1
)(
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)
)
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Ainsi : H={ x1 v 1 +…+ xn v n ∈E∣α 1 x 1 +…+αn x n =0 }
Réciproquement s'il existe ( α 1 ;…;α n ) ∈K n ∖ {0 K } tel que H={ x 1 v 1 +…+ xn v n ∈E∣α 1 x 1 +…+αn xn =0 } alors en notant
ϕ:
E→ K
, l'application ϕ est linéaire et H=Ker ϕ , ainsi le théorème du rang assure....
x1 v 1 +…+ xn v n → α 1 x 1 +…+α n xn
n
□
En dimension 2 ou 3 :
►Si E est un plan vectoriel alors tout hyperplan de E admet, dans une base donnée, une équation du type ax+by=0 .
►Si E est un espace vectoriel de dimension 3 alors tout hyperplan de E admet, dans une base donnée, une équation du type
ax+by+cz=0 .
Rappel sur les matrices de changement de base
Soient E un espace vectoriel de dimension n , v un vecteur de E , B=( u 1 ; …; u n ) et B' =(u' 1 ;…u' n ) deux bases de E.
Coordonnées d'un vecteur dans la base B :
v =x 1 u 1 + …+ x n u n
Coordonnées d'un vecteur dans la base B' :
x1
⇔ Mat B ( v )= ⋮
xn
x' 1
v =x' 1 u' 1 + …+x' n u' n ⇔ Mat B' ( v )= ⋮
x' n
()
()
En utilisant les coordonnées des vecteurs de B' exprimées dans la base B :
Mat B ( x1 u 1 + …+x n u n ) =Mat B ( x' 1 u' 1 +… x' n u' n ) =x' 1 Mat B ( u' 1 ) +…+ x' n Mat B ( u' n )
p1 , j
x1
p 1,1
p 1,n
Si ∀ j∈ ⟦ 1 ; n ⟧ , Mat B ( u' j ) = ⋮ on a : ⋮ =x' 1 ⋮ + …+ x' n ⋮
pn , j
xn
p n,1
p n, n
( ) () ( )
( )
En notant P B'
B =Mat B ( u' 1 ;…; u' n ) la matrice des coordonnées des vecteurs de B' exprimées dans la base B, i.e.
u' 1 … u' n
x1
x' 1
B'
p1 ,1 … p 1,n u 1 on a :
=P B'
×
⋮
⋮ i.e. Mat B ( v )=P B ×Mat B' ( v ) aussi noté X=PX'
B'
B
PB = ⋮ … ⋮
⋮
xn
x' n
pn ,1 … p n,n u n
(
)
() ( )
Remarque : On peut retenir P B'
B = ( Mat B ( u' 1 ) ;…; Mat B ( u' n ))
En utilisant la notation des matrices d'applications linéaires on a : P B'
B =Mat B' ,B ( Id E )
⃗ ⃗ ⃗
i' ; ⃗
j' ) deux bases d'un plan vectoriel telles que i' = i +2 j
Exemple géométrique : Soit B=( ⃗
.
i ;⃗
j ) et B' =( ⃗
⃗
j' =3 ⃗
i −4 ⃗
j
u =3 ⃗
i' + ⃗
j' , on a Mat B (⃗
u )=…
Alors P B'
Ainsi pour ⃗
B =…
{
Compléments d'algèbre linéaire
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Exemples élémentaires de changement de base : Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et B=( e1 ; e 2 ; e3 ) une base de E.
► Échange de deux vecteurs : la famille B' =( e 1 ; e3 ; e 2 ) est une base de E et ∀ v ∈E ,
x
Mat B' ( v )= y ⇔ Mat B ( v )=…
z
La matrice de passage de la base B à la base B' est : …
()
► Multiplication d'un vecteur par un scalaire : la famille B' '=( e 1 ; e 2 ; 2 e 3 ) est une base de E et ∀ v∈E ,
x
Mat B' ' ( v )= y ⇔ Mat B ( v )=…
z
La matrice de passage de la base B à la base B'' est : …
()
► Somme de deux vecteurs : la famille B' ' '=( e 1 ; e 2 ; e1 +e 3 ) est une base de E et ∀ v∈E ,
x
Mat B' ' ' ( v ) = y ⇔ Mat B ( v )=…
z
La matrice de passage de la base B à la base B''' est : …
()
Rappel : méthode de calcul de l'inverse d'une matrice
Soit P∈M n ( K ) .
P est inversible si et seulement si rg ( P ) =n .
x1
x' 1
x1
x '1
x1
−1
Si P est inversible alors ∀ ⋮ ∈M n,1 ( K ) , P ⋮ = ⋮ ⇔
⋮ =P ⋮
xn
x' n
xn
x' n
xn
p1 ,1 …
Calcul par échelonnement-réduction de la matrice augmentée : en notant P= ⋮
p n ,1 …
()
(
p1, 1 … …
⋮
⋮
p n ,1 … …
1
1
1
Exemple : P= −1 0 −1
0 −1 1
(
( )( ) ( ) ( )
(
p 1,n x1
⋮
⋮
⋮
⋮
p n,n x n
)
∼
… ∼
L
L
(
p 1,n
⋮
p n,n
)
(
q 1,1 … q 1,n
et P−1 = ⋮
⋮
q n ,1 … q n,n
1 0 … 0 q1 ,1 x 1 +…+q 1,n x n
0 ⋱ ⋱ ⋮
⋮
⋮ ⋱ ⋱ 0
⋮
0 … 0 1 q n ,1 x 1 +…+q n, n x n
)
)
)
DroiteS vectorielleS SupplémentaireS d'un hyperplan
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et H un sous-espace vectoriel de E.
H est un hyperplan de E si et seulement s'il existe une droite vectorielle D de E telle que H⊕D =E
Il n'y a pas unicité de D : un hyperplan donné admet une infinité de supplémentaires qui sont nécessairement des droites
vectorielles
Démonstration : H est un hyperplan de E ⇔ il existe une base de H admettant n−1 vecteurs
⇔ il existe un vecteur v n complétant la base de H en une base de E ⇔ H⊕vect ( v n ) =E
□
3. Sous-espaces stables par un endomorphisme
Définition de la linéarité d'une application
Soient E et F deux espaces vectoriels et f une application de E dans F.
2
f est linéaire si et seulement si ∀ ( u ; v )∈E , f ( u +v ) = f ( u ) + f ( v ) additivité
∀ ( λ ;u ) ∈K×E, f ( λ u ) =λ f ( u )
homogénéité
On note L ( E ; F ) l'ensemble des application linéaires de E dans F.
{
Exemples : ► Soit I un intervalle réel, un réel a ∈I et F ( I ; ℂ) le ℂ _espace vectoriel constitué des fonctions définies sur I
Compléments d'algèbre linéaire
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F ( I ; ℂ) →
f
→
et à valeurs dans ℂ . L'application « évaluation en a »
ℂ
est linéaire car :
f (a )
► Soit I un intervalle réel et D ( I; ℂ ) le ℂ _espace vectoriel constitué des fonctions dérivables sur I et à valeurs dans ℂ .
D ( I; ℂ ) → F ( I ;ℂ )
L'application « dérivation »
est linéaire car :
f
→
f'
► Soit I un intervalle réel, deux réels a ∈I et b∈I , et C0 ( I ; ℂ) le ℂ _espace vectoriel constitué des fonctions continues
C 0 ( I ; ℂ) →
ℂ
sur I et à valeurs dans ℂ . L'application « intégrale de a à b »
est linéaire car :
b
f
→ ∫a f ( t ) d t
► Soit I un intervalle réel, un réel a ∈I et C0 ( I ; ℂ) le ℂ _espace vectoriel constitué des fonctions continues sur I et à
C 0 ( I ; ℂ) →
C1 ( I ; ℂ )
valeurs dans ℂ . L'application « primitive s'annulant en a »
est linéaire car :
x
f
→ F: x →∫a f ( t ) dt
Matrice d'une application linéaire dans des bases données
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions respectives p et n et f ∈L ( E ; F ) . En notant BE =( e1 ; …; e p ) une
base de E, la matrice f dans les bases BE et BF est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des images des
vecteurs de la base BE exprimées dans la base BF .
Si u=x 1 e 1 +…+ x p e p alors, par linéarité, f ( u )= f ( x 1 e 1 + …+ x p e p ) =x 1 f ( e 1 ) + …+x p f ( e p )
a 1, j
a 1 ,1
a1 , p
Ainsi, dans la base BF , en notant Mat B ( f ( e j ))= ⋮
on a : Mat B ( f ( u ) )= x1 ⋮ + …+x p ⋮
an , j
a n ,1
an , p
( )
F
Par multiplication matricielle pour Mat B
f ( e1 ) … f ( e p )
a 1,1 … a 1, p
Mat B , B ( f )= ⋮
⋮
a n,1 … a n, p
E
(
F
)
E
, BF
( ) ( )
F
( f )≝( a i , j ) 1⩽i⩽ n ∈Mn , p ( K ) , parfois symbolisée, si BF =( f 1 ; …; f n ) , par
1⩽ j⩽ p
x
f 1 , on a: ∀ u∈E , Mat B ( f ( u ) )=Mat B ,B ( f )× ⋮1
⋮
xp
fn
F
E
()
F
i.e. Mat BE , BF ( f )×Mat BE ( u )=Mat B F ( f ( u ) )
Souvent noté : AX=Y
B
Remarque : on rencontre aussi la notation Mat B ( f ) et on peut retenir Mat B
E
F
E
,BF
( f )=Mat B ( f ( e 1 ) ;…; f ( e p ))
F
dim(E) colonnes
⏞
a 1,1 … … a 1 , p
(
f
)
=
dim(F) lignes
⋮
⋮
;B
a n,1 … … a n , p
1
1
a 1, 1
0
Exemple : Mat B ( e1 ) =
donc Mat B ( f ( e 1 )) =Mat B ,B ( f ) × 0 = ⋮
⋮
⋮
a n ,1
0
0
Exemples :
f : ℝ2 [ X] →
ℝ
► Soit
. Pour BE =…
et BF =…
on a : Mat B
P
→ P( 3)
Ainsi Mat B
E
(
F
E
► Soit
► Soit
)}
()
F
E
f : ℝ 2 [ X ] → ℝ1 [ X ]
. Pour BE =…
P
→ P'
f : ℝ2 [ X]
P
→
ℝ3 [ X]
X
→ Q: X →∫1 P ( t ) dt
Compléments d'algèbre linéaire
()(
F
et BF =…
. Pour BE =…
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)
E
,BF
on a : Mat B
et BF =…
E
( f )=…
,BF
( f )=…
on a : Mat B
E
,BF
( f )=…
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Définition du noyau et de l'image d'une application linéaire
soient E et F deux espaces vectoriels et f ∈L ( E , F ) .
Ker ( f )≝{u ∈E∣ f ( u )=0F }= f −1 ({ 0F })
ensemble des antécédents du vecteur nul par f
Im ( f ) ={ f ( u )∣u∈E }= f ( E )= {v ∈F∣∃u ∈E tel que v= f ( u ) }
ensemble des images des vecteurs de E par f
f:
E
→
F
Ker ( f ) est un sous-espace vectoriel de E
Ker ( f ) → { 0F }
Im ( f ) est un sous-espace vectoriel de F.
E
→ Im ( f )
Si E et F sont de dimension finie alors en notant BE une base de E; BF une base F et R la matrice équivalente en lignes à la
matrice Mat B ,B ( f ) :
rg ( f ) est le nombre de pivots de R (i.e. le nombre de colonnes ou de lignes de R contenant un pivot)
dim ( Ker ( f )) est le nombre de colonnes de R ne contenant pas de pivot (i .e. nombre de variables secondaires dans
le système RX=0 )
On peut retenir :
E
F
Rappel : pour déterminer Ker ( f ) ou Im ( f ) il peut être utile d'invoquer ...
Le théorème du rang : si f ∈L ( E ; F ) et si E est de dimension finie alors dim ( E ) =rg ( f ) +dim ( Ker ( f ) )
Famille génératrice de l'image d'une application linéaire : si f ∈L ( E ; F ) et si BE =(e 1 ;…; e p ) est une base de E alors
Im ( f ) =Vect ( f ( e 1 ) ;…; f ( e p ))
Même pour les endomorphismes, en général E≠Im ( f ) ⊕Ker ( f ) … sauf pour les projections.
( f ( e 1 ) ;…; f ( e p )) ne constitue pas nécessairement une base de Im ( f ) car...
Lien entre noyau ou image d'une application linéaire et noyau ou image d'une matrice
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies et f ∈L ( E ; F ) . En notant BE une base de E, BF une base de
F et A=Mat B ,B ( f ) :
Ker ( f ) ={u ∈E∣Mat B ( u ) ∈Ker A }
E
F
E
i.e. le noyau d'une l'application linéaire est constitué des vecteurs de l'espace de départ dont la matrice colonne des
coordonnées dans une base donnée sont dans le noyau de la matrice de cette application linéaire dans cette base de départ.
Im ( f ) ={v ∈F∣Mat B ( v )∈Im ( A ) }
F
i.e. l'image d'une application linéaire est constituée des vecteurs de l'espace d'arrivée dont la matrice colonne des
coordonnées dans une base donnée sont dans l'image de la matrice de cette application linéaire dans cette base d'arrivée.
Base du noyau et base de l'image d'une application linéaire: Si BE =( e 1 ,…,e p ) , BF =( f 1 ; …; f n ) et rg ( A ) =r
x 1 ,1
x 1 , p−r
Les p−r matrices colonnes de M p ,1 ( K ) ,
forment une base de Ker A si et seulement si
⋮ ;…; ⋮
x p ,1
x p, p−r
u1 =x1 ,1 e1 +…+ x p ,1 e p
les p−r vecteurs de E, ⋮
forment une base de Ker f
u p−r =x 1, p−r e 1 +…+ x p , p−r e p
(( ) ( ))
y 1,1
y 1, r
;…;
forment une base de Im ( f ) si et seulement si
⋮
⋮
y n,1
y n, r
v 1 =y 1,1 f 1 + …+ y n,1 f n
les r vecteurs de F, ⋮
forment une base de Im ( f )
v r = y 1 , r f 1 + …+ yn ,r f p
Les r matrices colonnes de M n,1 ( K ) ,
(( ) ( ))
Exemple :
f : ℝ2 [ X] →
ℝ
► Soit
alors Ker ( f ) =…
P
→ P( 3)
► Soit
et Im ( f ) =…
f : ℝ 2 [ X ] → ℝ1 [ X ]
alors Ker ( f ) =…
P
→ P'
Compléments d'algèbre linéaire
et Im ( f ) =…
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► Soit
f : ℝ2 [ X]
P
ℝ3 [ X]
→
X
→ Q: X →∫1 P ( t ) dt
alors Ker ( f ) =…
et Im ( f ) =…
Rappels sur le rang d'une famille de vecteur ou d'une application linéaire
Espace vectoriel
Coordonnées dans une base : écriture matricielle
Soit ( v1 ;…; v p ) une famille de vecteurs d'un espace
vectoriel F, et ( α 1 ;…;α p ) ∈K p alors ...
Rang d'une famille de vecteurs :
rg ( v 1 ;…; v p )≝dim ( vect ( v 1 ;…; v p ))
Si BF est une base de F alors :
Mat B ( α 1 v 1 + …+α p v p ) =α 1 Mat B ( v 1 ) +…+α p Mat B ( v p )
α1
Ainsi Mat B ( α 1 v1 + …+α p v p ) = ⋮ Mat B ( v 1 ; …; v p )
αp
et rg ( v 1 ;…; v p ) =rg ( Mat B ( v1 ;…;v p ) )
F
F
F
( )
F
F
F
Rang d'une application linéaire f : E→ F
rg ( f )≝dim ( Im ( f ) )
Pour Mat B
Si BE =( u1 ;…u p ) est une base de E alors :
Im ( f ) =vect ( f ( u 1 ) ;…; f ( u p ))
E
,B ( f )= ( m i , j )
on a :
F
(1⩽1⩽i⩽n
j⩽ p )
m1, j
⋮
mn, j
( )
avec Mat B ( f ( u j ))=
F
rg ( f ) =rg ( Mat B ,B ( f ) )
E
F
Remarque : la valeur du rang est indépendante des bases choisies.
Définition d'un endomorphisme
Soit E un espace vectoriel. Toute application linéaire de E dans E est appelée endomorphisme de E.
L'ensemble des endomorphismes de E est noté L(E).
Illustration géométrique d'un endomorphisme f du plan : somme de vecteurs et configuration de Thalès :
Matrice d'un endomorphisme dans une base donnée
Soit E un espace vectoriel de dimension finie, f ∈L ( E ) et B=( e 1 ;…; en ) une base de E.
La matrice de f dans la base B est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des images des vecteurs de la base
B exprimées dans la base B.
f ( e1) … f ( e n )
a 1, j
a 1 ,1 … a 1,n e 1
i.e. Mat B ( f ) =(a i , j ) 1⩽i⩽ n avec Mat B ( f ( e j ))= ⋮
aussi symbolisée par :
Mat B ( f ) = ⋮
(1⩽ j⩽ n)
⋮
⋮
an , j
a n ,1 … a n, n e n
( )
(
)
Ainsi on a : ∀ u∈E , Mat B ( f ) ×Mat B ( u )=Mat B ( f ( u ) )
Souvent noté : AX=Y
Remarque : on peut retenir Mat B ( f ) =( Mat B ( f ( e 1 )) ;…; Mat B ( f ( en ) ) )
Compléments d'algèbre linéaire
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Exemple : soit ( ⃗
i ;⃗
j ) une base d'un plan vectoriel et f l'endomorphisme défini par
{ ff ((⃗⃗ij )=)=3⃗i ⃗+2i −4⃗j ⃗j
Mat B ( f ) =…
u ) ) =…
Pour ⃗
u =3 ⃗
i +2 ⃗
j on a : Mat B ( f ( ⃗
Définition d'un sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme
Soient f ∈L ( E ) et F un sous-espace vectoriel de E.
F est stable par f si et seulement si ∀ v ∈F , f ( v )∈F i.e. f ( F )⊂F
Exemples triviaux :quel que soit f ∈L ( E ) , Ker ( f ) et Im ( f ) sont des sous-espaces vectoriels stables par f .
En effet ...
□
Exemple : Soit E=ℝ [ X ] ,
f : ℝ [X ] →
ℝ[ X]
et F={P∈ℝ [ X ]∣P ( 0 ) =0 } .
P ( X ) → XP' ( X )
Soit P∈F alors f ( P ) …
Caractérisation d'un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs, stable par un endomorphisme
Soient f ∈L ( E ) et ( v i ) i∈I une famille de vecteurs de E.
Vect ( ( v i ) i∈I ) est stable par f si et seulement si ∀ j∈I , f ( v j )∈Vect ( ( v i ) i∈I )
Démonstration : Si Vect (( vi ) i∈I ) est stable par f alors par définition de la stabilité, ∀ j∈I , f ( v j )∈Vect ( ( v i ) i∈I ) .
Réciproquement, supposons que ∀ j∈I , f ( v j )∈Vect ( ( v i ) i∈I ) . Soit v ∈Vect (( v i )i∈I ) alors il existe une sous-famille finie J
de I et une famille finie de scalaires ( α j ) j ∈J telles que v =∑ α j v j donc f ( v )=…
□
j∈J
Exemple : Soit E=ℝ [ X ] ,
F=Vect ( …
f : ℝ [X ] →
ℝ[ X]
et F={P∈ℝ [ X ]∣P ( 0 ) =0 } .
P ( X ) → XP' ( X )
) or...
Caractérisation d'une droite vectorielle stable par un endomorphisme
Soient f ∈L ( E ) et v un vecteur de E.
Vect ( v ) est stable par f si et seulement s'il existe k ∈K tel que f ( v )=kv
Démonstration : Si Vect ( v ) est stable par f alors f ( v )∈Vect ( v ) donc...
Si f ( v )=kv alors ∀ u=λ v ∈vect ( v ) , f ( u )=…
Exemple : soit ( ⃗
i ;⃗
j ) une base d'un plan vectoriel et f l'endomorphisme défini par
□
{
f (⃗
i )=⃗
i + 2⃗
j
f ( ⃗j )=3 ⃗
i −4 ⃗
j
Soit u⃗1 =−⃗
i + 2 ⃗j …
Soit ⃗
u 2 =3 ⃗
i +⃗
j …
Compléments d'algèbre linéaire
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Homothétie h
Homothétie de E
Définition
de rapport
λ ∈K *
Projection p
E=F⊕G
Projection sur F parallèlement à G
Pour v =v F + v G , v F ∈F et v G ∈G
p ( v )=v F
Symétrie s
E=F⊕G
Symétrie par rapport à F, parallèlement à G
Pour v =v F + v G , v F ∈F et v G ∈G
s ( v )=v F−v G
∀v ∈E , p 2 ( v ) = p ( v )
∀v ∈E , s 2 ( v )=v
Lien avec la projection sur G : s F= Id−2 p G
Illustration
Caractérisation
∀v ∈E ,
h ( v )=λ v
Ker ( h ) ={0 E }
Ker ( s ) ={0 E }
Ker ( p ) =G
Image et
Im ( p ) =F
noyau
Im ( h ) =E
Im ( s ) =E
G est stable par f
G est stable par f
SousTout sous-espace
espaces vectoriel de E est Tout sous-espace vectoriel inclus dans F est Tout sous-espace vectoriel inclus dans F est
stables
stable par h
stable par f
stable par f
Si (e 1 ;…; e q ) est une base de F et
Si ( e1 ;…; eq ) est une base de F et
(eq+ 1 ,…; e n ) est une base de G alors en notant
(e q+ 1 ,…; e n ) est une base de G alors en
B=( e1 ;…; en ) une base de E :
notant B=( e1 ;…; en ) une base de E :
p ( e1 ) ... p ( eq ) p ( e q+1 ) ... p ( en )
s ( e 1 ) ... s ( eq ) s ( eq+1 ) ... s ( e n )
En
1
0
…
…
0
1 0
…
… 0
dimension
e1
e1
Pour toute base
finie,
0 ⋱ ⋱
⋮
0 ⋱ ⋱
⋮
⋮
⋮
B de E :
matrice
⋮
⋱
1
⋱
⋮
e
⋮
⋱
1
⋱
⋮
e
q
q
( )
Mat B ( s )=
Mat B ( h )=λ In Mat B p = ⋮
dans une
⋱ 0
⋱ ⋮ e q+ 1
⋮
⋱ −1
⋱ ⋮ e q+1
base
⋮
⋱ ⋱ 0
⋮
⋱ ⋱ 0
⋮
⋮
adaptée
0 …
… 0
0
en
0 …
… 0 −1
en
En écrivant cette matrice par blocs :
En écrivant cette matrice par blocs :
Iq
0M ( K )
Iq
0 M (K )
Mat B ( p )=
Mat B ( s) =
0M ( K) 0M
0 M ( K ) −I n−q
(K )
(
)
(
Compléments d'algèbre linéaire
q, n− q
n−q, q
n−q, n−q
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)
(
)
(
q, n−q
n−q, q
)
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Caractérisation matricielle de sous-espaces stables par un endomorphisme
2
Soient f ∈L ( E ) et B=( v 1 ;…; v n ) une base de E, ( h ; k ) ∈⟦ 1; n ⟧ tels que h⩽k .
vect ( vh ,…,v k ) est stable par f si et seulement si
f ( v 1 ) … f ( vh−1 ) f ( vh ) … f ( v k ) f ( vk +1 ) … f ( vn )
a 1 ,1 … … a 1, h−1 0 … 0 a 1, k +1 … … a 1, n v 1
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0 … 0
⋮
⋮ v h−1
⋮
⋮
a h ,h … a h, k
⋮
⋮
vh
Mat B ( f ) = ⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
a k ,h … a k , k
⋮
⋮
vk
⋮
⋮
0 … 0
⋮
⋮ v k +1
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
a n ,1 … … a n ,h−1 0 … 0 a n ,k +1 … … a n, n v n
(
)
i.e. en notant Mat B ( f ) =( a i , j ) 1⩽i⩽n , si j∈ ⟦ h ; k ⟧ et i∉ ⟦ h ; k ⟧ alors a i , j =0
1⩽ j⩽n
« Dans une base adaptée B, un sous-espace stable par f se caractérise par une sous-matrice carrée située sur la
diagonale de la matrice de f dans la base B et encadrée verticalement par des matrices nulles. »
(
Remarque : la matrice Mat B ( f ) peut être écrite par blocs : Mat B ( f ) = A
0M
h−1, k −h+1
( K)
B
0M
C
n−k , k −h+ 1
( K)
)
avec A∈M n,h−1 ( K ) ,
B∈Mk −h+1;k −h+1 ( K ) et C∈M n ;n−k ( K ) .
Démonstration : Si vect ( v h ,…,v k ) est stable par f alors ∀ j∈ ⟦ h ; k ⟧ , f ( v j )∈vect ( v h ,…,v k )
a1 , j
donc en notant Mat B ( f ( v j )) = ⋮ , on a nécessairement a i ; j =0 pour i∉ ⟦ h ; k ⟧ .
an ; j
Réciproquement, si j∈ ⟦ h ; k ⟧ et i∉ ⟦ h ; k ⟧ alors a i , j =0 , alors ∀ v∈vect ( v h ,…, vk ) , ∃( α h ;…; α k ) ∈K k −h+ 1 tel que
a 1,1 … … a 1 ,h−1 0 … 0 a 1 ,k +1 … … a 1, n
0
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0 … 0
⋮
⋮
0
a
a
h,h
h, k
0
⋮
⋮
a h,h … a h, k
⋮
⋮
αh
α h = α ⋮ +...+ α ⋮
Mat B ( v )= ⋮ donc ⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
h
k
a k ,h
ak , k
⋮
αk
⋮
⋮
a k ,h … a k , k
⋮
⋮
αk
0
0
0
⋮
⋮
⋮
0 … 0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
0
0
0
a n,1 … … a n ,h−1 0 … 0 a n ,k +1 … … a n ,n
0
⋮
⋮
0
αh a h, h +…+α k a h ,k
Ainsi Mat B ( f ( v ) )=
donc f ( v )∈vect ( v h ;…; v k ) . Conclusion : vect ( vh ;…; v k ) est stable par f . □
⋮
α h a k , h +…+α k a k ,k
0
⋮
⋮
0
( )
()
(
)( ) ( ) ( )
( )
Compléments d'algèbre linéaire
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pycreach.free.fr - TSI2
4) Matrices
Définition de la trace d'une matrice carrée
La trace de la matrice carrée A est la somme de ses termes diagonaux notée Tr ( A ) .
n
i.e. pour A=( a i , j ) 1⩽i⩽n , Tr ( A )≝∑ a k , k
1⩽ j⩽n
k= 1
Exemples de codes python implémentant la fonction donnant la trace d'une matrice donnée en entrée sous forme de liste de
ses lignes.
En utilisant une boucle pour effectuer la somme des termes diagonaux :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
def Trace(M):
S=0
for k in range(len(M)):
S=S+M[k][k]
return S
A=[[1,2,3],
[4,5,6],
[7,8,9]]
print(Trace(A))
En utilisant la fonction sum(itérable) de la bibliothèque standard :
1
2
3
4
5
6
7
8
def Trace(M):
return(sum(M[k][k] for k in range(len(M))))
A=[[1,2,3],
[4,5,6],
[7,8,9]]
print(Trace(A))
En utilisant la fonction trace de la bibliothèque numpy ou la bibliothèque sympy:
1
2
3
4
5
6
7
import numpy as np
1
2
3
4
5
6
7
A=np.array([[1,2,3],
[4,5,6],
[7,8,9]])
print(np.trace(A))
from sympy import *
A=Matrix([[1,2,3],
[4,5,6],
[7,8,9]])
print(A.trace())
Propriété de linéarité l'application trace
Soient deux matrices carrées A∈M n ( K ) et B∈Mn ( K ) et un scalaire λ∈K .
Tr ( λ A ) =λ Tr ( A )
Homogénéité
Tr ( A+B )=Tr ( A ) +Tr ( B )
Additivité
Tr : M n ( K ) →
K
Conclusion : l'application trace
est une application linéaire.(forme linéaire car Im ( Tr )⊂K )
A
→ Tr ( A )
Démonstration : en notant A=( a i , j ) 1⩽i⩽n et B=( bi , j ) 1⩽i⩽n on a :
1⩽ j⩽n
n
1⩽ j⩽n
λ A=( λ a i , j ) 1⩽i⩽n ainsi Tr ( λ A ) =∑ λ a k ,k =…
k =1
1⩽ j⩽n
n
A+ B=( a i, j +b i , j ) 1⩽i⩽n ainsi Tr ( A+B )=∑ a k , k +b k ,k =…
1⩽ j⩽n
Compléments d'algèbre linéaire
□
k= 1
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pycreach.free.fr - TSI2
Trace d'un produit matriciel
Soient deux matrices A∈M n ( K ) et B∈Mn ( K ) .
Tr ( AB )=Tr ( BA )
(01 00) ...
En général, Tr ( AB )≠Tr ( A ) ×Tr ( B ) exemple, pour A=I 2 et B=
Démonstration : en notant A=( a i , j ) 1⩽i⩽n et B=( bi , j ) 1⩽i⩽n ,
1⩽ j⩽n
n
(∑
On a AB=
a i ,k b k , j
k= 1
(
Et BA=
n
∑ b i ,k a k , j
k =1
)
)
1⩽i⩽n
1⩽ j⩽n
1⩽i⩽n
1⩽ j⩽n
1⩽ j⩽n
n
donc Tr ( AB )= ∑
i=1
n
donc Tr ( BA ) =∑
i=1
(
n
(∑
a i ,k b k ,i
k =1
n
)
)
∑ b i, k a k ,i =
k= 1
∑
n
(i ,k )∈ ⟦1; n ⟧2
b i, k a k ,i =∑
i=1
n
(∑
)
□
a k ,i b i ,k =Tr ( AB )
k =1
Définition de matrices semblables
Soient deux matrices carrées A∈M n ( K ) et A' ∈Mn ( K ) .
A et A' sont semblables si et seulement s'il existe une matrice inversible P∈GL n ( K ) telle que A=PA' P−1
si et seulement si A et A' sont les matrices du même endomorphisme dans deux bases.
Remarque : soit E un espace vectoriel de dimension n , B=( v1 ;…; vn ) et B' =( v ' 1 ;…; v' n ) deux bases de E.
α '1
α1
Pour v ∈E , en notant Mat B ( v )= ⋮ et Mat B' ( v )= ⋮ on a : v =α1 v 1 + …+ αn v n =α ' 1 v' 1 +…+α ' n v' n
αn
α 'n
α1
Cette égalité vectorielle décomposée dans la base B donne : ⋮ =α ' 1 Mat B ( v' 1 ) + …+α ' n Mat B ( v ' n )
αn
p 1, j
B'
En notant P B'
⋮
B la matrice de passage de la base B à la base B' on a : P B = ( p i , j ) 1⩽i⩽n avec Mat B ( v ' j )=
(1⩽ j⩽n )
p n, j
α '1
α1
B'
on a ⋮ =P B'
⋮ . Ainsi ∀ v ∈E , P B ×Mat B' ( v )=Mat B ( v )
B
αn
α 'n
( )
()
()
( )
()
( )
Mat B ( f ( v ) )
P BB ' ×…
Mat B' ( f ( v ) )
Mat B ' ( f )×…
Mat B ( f ( v ) ) =P BB ' Mat B ' ( f ) P BB ' ×Mat
B( v )
⏟
(⏟))
(⏟
Mat B' ( v )
P BB ' ×…
Mat B ( v )
B
donc : Mat B ( f ) =P B'
B ×Mat B' ( f )×PB'
v dans B
v dans B'
( )
⏟
f v dans B'
f ( v ) dans B
−1
Ainsi, en notant : A=Mat B ( f ) ; A'=Mat B' ( f ) et P=P B'
B on a bien : A=PA' P
□
Exemple de code Python utilisant le module numpy ou sympy pour le calcul de P−1 A P :
1
2
3
4
5
6
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8
9
10
import numpy as np
P=np.array([[1,0,1],
[1,1,0],
[0,1,1]])
Q=np.linalg.inv(P)
print(Q)
A=np.array([[3,-1,1],
[0,2,2],
[1,-1,5]])
print(np.dot(Q,np.dot(A,P)))
Compléments d'algèbre linéaire
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from sympy import *
P=Matrix([[1,0,1],
[1,1,0],
[0,1,1]])
pprint(P**-1)
A=Matrix([[3,-1,1],
[0,2,2],
[1,-1,5]])
pprint(P**-1*A*P)
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Traces de deux matrices carrées semblables
Deux matrices semblables ont même trace.
La réciproque de cette propriété n'est pas valide.
Démonstration : soient A∈M n ( K ) ; A' ∈Mn ( K ) et P∈GLn ( K ) telles que : A=PA' P−1
Alors Tr ( A )=Tr ( P ( A' P−1 ))=…
□
Trace d'un endomorphisme en dimension finie
Soient E un espace vectoriel de dimension n , B une base de E et f ∈L ( E ) .
La trace de l'endomorphisme f est le scalaire, indépendant du choix de la base B, noté Tr ( f )≝Tr ( Mat B ( f )) .
Démonstration : soit B' une base de E alors Mat B ( f ) et Mat B' ( f ) sont deux matrices semblables, elles ont donc la même
trace.
Propriété de linéarité l'application trace
Soient E un espace vectoriel de dimension n , f ∈L ( E ) , g ∈L ( E ) et un scalaire λ∈K .
Tr ( λ f ) =λ Tr ( f )
Homogénéité
Tr ( f +g ) =Tr ( f ) +Tr ( g )
Additivité
Tr : L ( E ) →
K
Conclusion : l'application trace
est une application linéaire.(forme linéaire car Im ( Tr )⊂K )
f
→ Tr ( f )
Définition de la transposée d'une matrice
Soit une matrice A=( a i , j ) 1⩽i⩽n ∈M n, p ( K ) .
1⩽ j⩽ p
La matrice transposée de la matrice A est la matrice notée A T =( b i, j )1⩽i⩽ p ∈M p , n ( K ) telle que :
1⩽ j⩽n
∀ ( i , j ) ∈⟦ 1 ; p ⟧×⟦ 1 ,n ⟧ , b i, j =a j,i .
T
Ainsi, la i-ème ligne de A est la i-ème colonne de A.
Ou encore, la j-ème colonne de A T est la j-ème ligne de A.
Remarque : on rencontre aussi la notation t A .
Exemple de code python implémentant la fonction donnant la transposée d'une matrice donnée en entrée sous forme de liste
de liste :
1
2
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10
def Transpose(M):
n=len(M)
p=len(M[0])
T=[[M[j][i] for j in range(n)]for i in range(p)]
return T
A=[[1,2,3],
[4,5,6]]
print(Transpose(A))
En utilisant la bibliothèque numpy ou sympy:
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import numpy as np
1
2
3
4
5
6
A=np.array([[1,2,3],
[4,5,6]])
print(np.transpose(A))
from sympy import *
A=Matrix([[1,2,3],
[4,5,6]])
pprint(A.transpose())
Application réciproque de l'application transposée
T
L'application transposée est une involution (i.e. elle est sa propre réciproque) : ∀ A∈M n, p ( K ) , ( A T ) =A
M n, p ( K ) → M p,n ( K ) → M n, p ( K )
A
⋅T
→
A
⋅T
T
→
A
Définition des matrices carrées symétriques et antisymétriques
Soit une matrice carrée A∈M n ( K ) .
i.e. A=( a i , j ) 1⩽i⩽n
A est symétrique si et seulement si A T =A
2
est symétrique si et seulement si ∀ ( i ; j ) ∈ ⟦ 1 ; n ⟧ , 1⩽i < j⩽n ⇒ a i, j =a j, i
1⩽ j⩽n
A est antisymétrique si et seulement A T =−A
2
1⩽i < j⩽n ⇒a i , j =−a j ,i
i.e. A=( a i , j ) 1⩽i⩽n est symétrique si et seulement si ∀ ( i ; j ) ∈ ⟦ 1 ; n ⟧ ,
a i, i =0
1⩽ j⩽n
{
Exemple : la matrice
1
2
La matrice −2 4
−3 −5
(
1 2 3
2 4 5 …
3 5 6
3
5
6
( )
)
0
1 2
La matrice −1 0 3 ...
−2 −3 0
(
)
La matrice d'une symétrie dans une base n'est pas nécessairement symétrique.
5 −4
Exemple : Soit B=( e1 ; e 2 ) une base de E et f ∈L ( E ) tel que Mat B ( f ) =
...
6 −5
Propriété de linéarité l'application transposée
(
)
Soient deux matrices A∈M n, p ( K ) et B∈Mn , p ( K ) et un scalaire λ∈K .
( λ A )T =λ AT
Homogénéité
T
T
T
( A+B ) =A +B
Additivité
T
⋅ : Mn , p (K) → M p, n (K)
Conclusion : l'application transposée
est une application linéaire.
A
→ AT
Démonstration : soit A =(a i , j ) 1⩽i⩽n ∈M n, p ( K ) alors λ A=( λ a i , j ) 1⩽i⩽n ∈M n , p ( K )
1⩽ j⩽ p
1⩽ j⩽ p
T
T
donc ( λ A ) =( ci, j ) 1⩽i⩽ p avec ∀ ( i , j ) ∈⟦ 1 ; p ⟧×⟦ 1 ,n ⟧ , c i , j =λ a j, i d'où : ( λ A ) =λ AT .
1⩽ j⩽n
Soit A=( a i , j ) 1⩽i⩽n ∈M n, p ( K ) et B=( bi , j ) 1⩽i⩽n ∈M n, p ( K ) alors ( A+B )=( a i, j +b i , j ) 1⩽i⩽n
1⩽ j⩽ p
1⩽ j⩽ p
1⩽ j⩽ p
T
T
donc ( A+B ) =(d i, j )1⩽i⩽ p avec ∀ ( i , j ) ∈⟦ 1 ; p ⟧×⟦ 1 ,n ⟧ , d i , j =a j ,i +b j ,i donc ( A+ B ) =A T + BT .
1⩽ j⩽n
Remarque : Soient les applications linéaires
f : M n ( K ) → Mn (K )
g : M n ( K ) → Mn ( K )
et
T
A
→ A −A
A
→ AT + A
L'ensemble des matrices symétriques est ...
L'ensemble des matrices antisymétriques est …
Compléments d'algèbre linéaire
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Transposée du produit de deux matrices
T
Soient deux matrices A∈M n, p ( K ) et B∈M p , q ( K ) alors ( AB ) =BT A T
« La transposée du produit est le produit commuté des transposées »
Remarque : le produit matriciel n'est en général pas commutatif, en particulier pour pouvoir effectuer le produit AB il est
nécessaire que A possède autant de colonnes que B possède de lignes.
T
AB∈M n, q ( K ) donc ( AB ) ∈M q,n ( K )
BT ∈M q, p ( K ) et A T ∈M p, n ( K ) donc BT A T ∈M q, n ( K ) .
Démonstration : en notant A=( a i , j ) 1⩽i⩽n et B=( bi , j )1⩽i⩽ p ,
1⩽ j⩽ p
p
(∑
on a AB=
a i ,k b k , j
k= 1
1⩽ j⩽q
p
)
1⩽i⩽n
1⩽ j⩽q
T
donc ( AB ) =(ci , j )1⩽i⩽q où ∀ ( i , j ) ∈⟦ 1 ; q ⟧ ×⟦ 1 ,n ⟧ , c i , j =∑ a j ,k b k ,i
k =1
1⩽ j⩽n
A T =( a' i, j ) 1⩽i⩽ p où ∀ ( i , j ) ∈⟦ 1 ; p ⟧×⟦ 1 ,n ⟧ , a' i, j =a j , i
par ailleurs
1⩽ j⩽n
BT =(b' i, j ) 1⩽i⩽q où ∀ ( i , j ) ∈⟦ 1 ; q ⟧ ×⟦ 1 , p ⟧ , b' i , j =b j,i
1⩽ j⩽ p
T
T
(
Donc B A =
p
∑ b' i ,k a' k , j
k=1
) (
1⩽i⩽q =
1⩽ j⩽n
p
∑ b k ,i a j ,k
k =1
)
1⩽i⩽q
1⩽ j⩽n
T
=( c i, j ) 1⩽i⩽q = ( AB )
□
1⩽ j⩽n
Transposée de l'inverse d'une matrice
T
−1
Soit une matrice inversible A∈GL n ( K ) alors ( A−1 ) =( A T )
« La transposée de l'inverse est l'inverse de la transposée ».
T
Démonstration : ( A A−1 ) =…
T
Par ailleurs ( A A−1 ) =…
T
Ainsi A est inversible et ….
Compléments d'algèbre linéaire
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