FORMES MODULAIRES ET COURBES

FORMES MODULAIRES ET COURBES ELLIPTIQUES
groupe de lecture à l’École Normale Supérieure de Lyon,
d’après les cours
d’Alexeï PANTCHICHKINE
l’École Normale Supérieure de Lyon, l’École Normale Supérieure, rue d’Ulm,
l’Institut FOURIER et à Université d’Etat de Moscou LOMONOSSOV
(disponibles sur : http://www-fourier.ujf-grenoble.fr /˜panchish)
e-mail : [e-mail], FAX: [phone])
∗
Université Joseph FOURIER
Institut FOURIER
URA 188 du CNRS
Saint-Martin d’Hères
École Normale Supérieure
45, rue d’Ulm
PARIS
École Normale Supérieure de Lyon
Place d’Italie
LYON
Université d’Etat de Moscou
M.V.LOMONOSSOV
Vorob’evy Gory
Moscou, RUSSIE
∗Plusieurs niveaux de lecture sont possibles. J’ai signalé avec une * ce qui peut être sauté en première lecture.

Résumé
Le sujet du présent groupe de lécture est centré sur les formes modulaires et courbes ellip-
tiques. La théorie des formes modulaires est un moyen important pour résoudre des problèmes de
théorie des nombres car les formes modulaires représentent des fonctions génératrices de fonctions
arithmétiques. Un exemple célèbre provient de la preuve de A.Wiles du Théorème de Fermat et de
la Conjecture de Taniyama-Weil, où la fonction génératrice est associée au comptage du nombre
de points d’une courbe elliptique sur un corps fini.
On va utiliser quelques notions de l’analyse complexe (fonctions holomorphes), et de la théorie
de Galois (introduites au fûr et à mesure dans les cours "Fonction holomorphes" (Prof. H.Pajot)
et "Algébre 2" (Prof. A.Pantchichkine).
Une grande partie de travail est consacré à la théorie complexe des courbes elliptiques, des
fonctions double-périodiques et les notions de surfaces de Riemann. Des exemples d’application
sont développées utilisant une version accéssible du théorème de Riemann-Roch. Du point de vue
algorithmique, les espaces des formes modulaires admettent des bases explicitement calculables,
où ces bases correspondent aux représentations galoisiennes (complexes ou p-adiques). Une telle
correspondance est fournie par les fonctions zeta. En conclusion vers la fin du travail on envisage
faire la connaissance avec la théorie des fonctions zeta créée par Hecke.
On utilise comme prérequis les notions de groupe, d’homomorphisme, d’actions des groupes
sur un ensemble, ainsi que des généralités sur les anneaux factoriels, la classification des modules
de type fini sur les anneaux principaux, et en particulier, la structure des groupes abéliens de type
fini. Des applications des formes modulaires et des courbes elliptiques dans la théorie des nombres
serons étudier (aux sommes de carrés, aux partitions, aux sommes de Gauss, etc.)
Plusieurs niveaux de lecture sont possibles. J’ai signalé avec une * ce qui peut être sauté en
première lecture.
Le travail est basé sur les ouvrages :
Serre J.–P., "Cours d’arithmétique", Paris 1970,
Yu.I. Manin et A.A.Panchishkin, "Introduction to Modern Number Theory", Encyclopaedia
of Mathematical Sciences, vol. 49 (2nd ed.), Springer-Verlag, 2005, 514 p.
Shimura Gôro, "Introduction to arithmetic theory of automorphic functions", Princeton Uni-
versity Press, 1971.
Le texte intégrale pour le groupe de lécture est disponible à l’adresse :
http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜panchish/6ensl/06ensl.pdf).
CONTENU
Partie 1. Espaces de formes modulaires
1. Espaces de formes modulaires. Formes modulaires avec caractères de Dirichlet. Exemples et
motivations d’étude des formes modulaires. Fonction de Ramanujan.
2. Lien avec la théorie de représentation. Définition géométrique des formes modulaires commes
fonctions de réseaux.
3. Séries d’Eisenstein et leurs développement de Fourier. Fonction ∆comme un produit infinit.
4. Structure des formes modulaires pour sur SL2(Z). Applications. Congruence de Ramanujan et
son interprétation galoisienne.
Partie 2. Surfaces de Riemann et formes modulaires
5. Surfaces de Riemann. Domaine fondamental de SL2(Z)comme surface de Riemann. Formes
modulaires comme différentielles multiples et lien avec le théorème de Riemann–Roch.
6. Théorème de Riemann–Roch pour les surfaces de Riemann compactes et pour les courbes pro-
jectives et lisses. Théorème de finitude des dimension. Théorème d’approximation. Groupe des
classes de diviseurs. La classe canonique.
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7. Répartitions de Weil et le théorème de Riemann. Irregularité et ses propriétés.
8. Résidus et dualité. Calcul d’irregularité. Corollaires du théorème de Riemann-Roch. Applications
aux formes modulaires (dimensions des espaces de formes modulaires).
Partie 3. Courbes elliptiques et formes modulaires algébriques.
9. Courbes elliptiques. Théorème d’Abel. Groupe de classes de diviseurs. Lois d’addition et la
méthode de sécantes et tangentes.
10. Description analytique des courbes elliptiques complexes et leurs homomorphismes. Théorème
d’addition. Théorème de Jacobi (description du réseau correspondant à une différentielle non
nulle). Classes d’isomorphisme des courbes elliptiques. L’invariant modulaire.
11. La courbe de Tate. Points d’ordre fini : trois descriptions. Isogénies et dualité. Formes modulaires
algébriques et leur développement de Fourier algébrique.
12. Opérateurs de Hecke. Description algébrique des opérateurs de Hecke à l’aide d’isogénies. Pro-
duit des opérateurs de Hecke. La transformation de Mellin comme un produit eulérien. Formes
primitives.
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Sujets d’exposés :
1. Le plan complexe Cet le demi plan de Poincaré H. L’action du groupe GL+(2,R)sur H. Pro-
priétés des homographies. Lien entre les fonctions sur Het le fonctions sur le groupe (§1.1,
1.3).
2. Exemples de formes modulaires. Fonction de Ramanujan, son calcul et ces propriétés. Congruence
de Ramanujan et formules de Manin (§1.2).
3. Séries d’Eisenstein et leurs développement de Fourier (§1.5).
4. Fonction ∆comme un produit infinit (§1.5.2, 1.6).
5. Structure des formes modulaires pour sur SL2(Z). Applications. Preuve de la congruence de
Ramanujan. L’interprétation galoisienne de cette congruence (§1.6)
6. Définition géométrique des formes modulaires commes fonctions de réseaux (§1.4 et [Se1]).
7. Espaces de formes modulaires. Formes modulaires avec caractères de Dirichlet (§1.1.6).
8. Séries théta et formes quadratiques. Exemples des formes quadratiques binaires. Formules pour
les sommes de carrées. (§1.1.6).
9. Application aux représentations galoisiennes : le théorème de Kronecker-Weber et le théorème
de Deligne-Serre (§1.1.7 et [De-Se]). Exemples avec les formes binaires de discriminant -23 et
-31.
10. La sphère de Riemann. La projection stéréographique. Notion de surfaces de Riemann (§2.1)
11. Domaine fondamental de SL2(Z)comme surface de Riemann ((§1.6, 2.1.5.
12. Courbes algébriques planes (affines et projectives). La droite projective complexe et la sphère
de Riemann. Surfaces de Riemann compactes (§2.2.1, §13, 14 du cours Malg1 ( “Algèbre 1”) à
l’Institut Fourier, <http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr\˜panchish /04ma1.pdf>
13. Diviseur d’une fonction méromorphe et d’une forme modulaire. Formes modulaires comme dif-
férentielles multiples et lien avec le théorème de Riemann–Roch (§2.2.3)
14. Théorème de Riemann–Roch pour les surfaces de Riemann compactes et pour les courbes pro-
jectives et lisses. Théorème de finitude des dimension (formulation)(§2.2.5)
15. Théorème d’approximation. Groupe des classes de diviseurs. Le genre et la classe canonique
(§2.2.6, §2.2.7)).
16. Répartitions de Weil et le théorème de Riemann (§2.2.13, 2.2.14).
17. Irregularité et ses propriétés (§2.2.12, 2.2.15).
18. Résidus et dualité. Calcul d’irregularité. Corollaires du théorème de Riemann-Roch (§2.2.16-
2.2.19)
19. Le genre et la formule de Hurwitz (§2.3.3)
20. La surface de Riemann XΓliée à un sous groupe de congruence Γ⊂SL(2,Z). Éléments hyper-
boliques, éléments elliptiques, éléments paraboliques et ces stabilisateurs (§2.3.1, 2.3.2, 2.3.4).
21. Le genre des courbes modulaires (§2.3.5, 2.3.6, 2.3.7)
22. Applications aux formes modulaires (dimensions des espaces de formes modulaires,§2.4)
23. Courbes elliptiques. Théorème d’Abel. Groupe de classes de diviseurs (§3.1.1-3.1.3)
24. Lois d’addition et la méthode de sécantes et tangentes (§14.4 du cours Malg1 ( “Algèbre 1”) à
l’Institut Fourier, <http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr\˜panchish /04ma1.pdf> ).
25. Description analytique des courbes elliptiques complexes et leurs homomorphismes. Théorème
d’addition (§3.1.4).
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26. Théorème de Jacobi (description du réseau correspondant à une différentielle non nulle). Classes
d’isomorphisme des courbes elliptiques. L’invariant modulaire (§3.1.5-3.1.9).
27. La courbe de Tate. Points d’ordre fini (§3.1.16)
28. Produit des opérateurs de Hecke. La transformation de Mellin comme un produit eulérien (§3.4,
3.5)
29. Formes primitives et leurs propriétés (sans démonstration, §3.5.5).
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