Variables aléatoires finies - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

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Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires»
Pour démarrer
Exercice 1 (Reconstitution de paires) On fixe deux entiers naturels 1 6r6n. Un placard contient n
paires de chaussures. On tire au hasard, 2rchaussures du placard. On note Xla variable aléatoire égale au
nombre de paires complètes parmi les chaussures tirées.
Les paires du placard sont numérotées de 1 à n. Pour i∈J1, nK, on note Xila variable aléatoire valant 1 si
les deux chaussures de la paire n°ise trouvent parmi les chaussures tirées, et 0 sinon.
1. Déterminer la loi de Xiet démontrer que
E(Xi) = r(2r−1)
n(2n−1).
2. Exprimer Xen fonction des Xi, en déduire E(X).
Exercice 2 (Une urne magique) On considère une urne contenant nboules numérotés de 1 à n. Cette urne
est magique, pour tout entier kcompris entre 1 et n, la probabilité de tirer la boule numéro kest proportionnelle
àk. On note Xla variable aléatoire donnant le numéro de la boule tirée.
1. Déterminer la loi de X.
2. Calculer l’espérance et la variance de X.
3. Calculer l’espérance de Y=1
X.
Exercice 3 (Découvrons la loi hypergéométrique) Une urne contient N= 100 boules de couleurs rouges
et blanches. La proportion de blanches est p=1
4. On effectue n= 60 tirages sans remise. On note Xle
nombre de boules blanches tirées et Ω l’ensemble des tirages (que l’on considère simultanés) possibles.
1. Déterminer Card Ω puis X(Ω).
2. Déterminer P(X= 0) puis P(X=k) où k∈X(Ω).
3. Cas général : Une urne contient Nboules de couleurs noires et blanches. La proportion de blanches est p.
On effectue ntirages sans remise. On note Xle nombre de boules blanches tirées.
(a) Quel est le nombre de boules blanches initialement dans l’urne ?
(b) Déterminer la loi de X, on pourra noter qla proportion initiale de boules noires.
(c) Que vaut Pk=0nP(X=k) ? Quelle formule peut-on en déduire ?
Exercice 4 (Rang de sortie de la première blanche) Une urne contient 2 boules blanches et n−2 rouges.
On effectue des tirages sans remise dans cette urne. On appelle Xle rang de sortie de la première boule blanche.
Pour i∈ {1,...,n}, on note Bil’évènement « la i-ième boule tirée est blanche».
1. Déterminer P(X= 1), P (X= 2) et P(X= 3).
2. Soit k∈X(Ω). Exprimer l’évènement (X=k) à l’aide des évènements B1, . . . , Bnpuis montrer que
P(X=k) = 2(n−k)
n(n−1).
3. Démontrer que E(X) = n+ 1
3.
4. Déterminer E(Y) et V(Y) où Yest le nombre de boules rouges restant dans l’urne lorsque la première
boule blanche vient d’être tirée.

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Exercice 5 (somme des éléments d’une colonne du triangle de Pascal) Soit a < b des entiers et pun
entier. Démontrer la formule suivante :
b
X
k=ak
p=b+ 1 p+ 1−a p+ 1.
Exercice 6 (Plus grand des nnuméros tirés simultanément) Un joueur prélève simultanément nboules
dans une urne contenant Nboules numérotées de 1 à N. On considère la variable aléatoire Xégale au plus
grand numéro des nboules prélevées.
1. Déterminer la loi de X.
2. Démontrer que
E(X) = n
N
n
N
X
k=nk
n.
En déduire à l’aide de l’exercice 5 que E(X) = n(N+ 1)
n+ 1 .
3. On note Yla variable aléatoire égale au plus petit numéro des nboules prélevées. Déterminer la loi de Y.
Exercice 7 (Plus grand numéro tiré : version tirages successifs avec remise) Un joueur prélève nboules
successivement et avec remise dans une urne contenant Nboules numérotées de 1 à N. On considère la variable
aléatoire Xégale au plus grand numéro des nboules prélevées. On note Ω l’ensemble des tirages possibles.
1. Déterminer Card(Ω) et X(Ω) l’ensemble des valeurs que prend X.
2. Cette fois-ci il est difficile de déterminer directement Card([X=k]). On va utiliser pour cela la fonction
de répartition de Xnotée FX. Soit k∈ {1,...,N}. Déterminer FX(k), en déduire la loi de X.
3. Calculer E(X).
4. On note Yla variable aléatoire égale au plus petit numéro des nboules prélevées. Déterminer la loi de Y.
Plus «usuel»
Exercice 8 (Surbooking) Un restaurant possède 50 places. La probabilité pour qu’une personne, ayant ré-
servé, ne vienne pas est de 20%. Un jour, le patron a pris 53 réservations. Quelle est la probabilité qu’il se
retrouve dans une situation embarassante ?
Exercice 9 (Avec ou sans remise ?) Une urne contient dix boules rouges et cinq boules vertes.
1. On pioche simultanément six boules. On note R(resp. Vle nombre de boules rouges (resp. vertes) obtenues.
(a) Déterminer la loi, l’espérance et la variance de R(resp. V).
(b) Les variables aléatoires Ret Vsont-elles indépendantes ? On pourra considérer les évènements [R= 1]
et [V= 0].
2. Répondre aux mêmes questions lorsque l’on pioche avec remise.
Exercice 10 (Sauts de puces) Une piste rectiligne est divisée en cases numérotées 0,1,2,...,2n, de gauche
à droite. Une puce se déplace au hasard en sautant vers la droite de une case avec probabilité pet de deux cases
sinon. Au départ, elle est sur la case 0. Soit Xnle numéro de la case occupée par la puce après nsauts et Ynle
nombre de fois où la puce a sauté d’une case au cours des npremiers sauts.
1. Déterminer la loi de Yn, et déterminer E(Yn) et V(Yn).
2. Déterminer E(Xn) et V(Xn).

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Exercice 11 (Valeur d’une action) Le jour 0, une action vaut 1. On suppose que, chaque jour, la valeur de
l’action est multipliée par α > 1 avec probabilité p∈]0,1[ ou par β∈]0,1[ avec probabilité q= 1−p. On suppose
que ces variations journalières sont indépendantes. Fixons n∈N∗. On note Sla variable aléatoire égale à la
valeur de l’action le jour n. Déterminer l’espérance et la variance de S.
Exercice 12 (Probabilité d’un même nombre de piles dans un duel)
1. Calcul préliminaire : démontrer que
n
X
k=0 n
k2
=2n
npar un dénombrement ou en considérant le terme
de degré nde (x+ 1)n(x+ 1)n= (x+ 1)2n.
2. Application : deux joueurs lancent une pièce de monnaie parfaitement équilibrée, nfois chacun. Calculer
la probabilité qu’ils obtiennent le même nombre de piles.
Plus technique
Exercice 13 (Urne remplie aléatoirement) On fixe un entier naturel non nul n. Une urne contient une
unique boule blanche. On dispose d’une pièce dont la probabilité de donner pile est p. On pose q= 1 −p.
On lance nfois de suite la pièce. On ajoute des boules noires dans l’urne à chaque fois que l’on obtient pile :
deux pour le premier pile, trois pour le deuxième, etc. On ajoute donc k+ 1 boules noires lors de la k-ième
obtention de pile.
On note Xla variable aléatoire égale au nombre de piles obtenus. On note Nla variable aléatoire égale au
nombre total de boules dans l’urne à la fin des lancers.
1. Exprimer Nen fonction de X.
2. Quelle est la loi de X?
3. En déduire E(N).
On tire une boule de l’urne et on pose B: «la boule tirée est blanche».
4. Démontrer que
P(B) =
n
X
k=0
2
(k+ 1)(k+ 2)n kpkqn−k.
5. Calculer cette somme.
On change la règle : cette fois, on ajoute dans l’urne 2k−1boules noires lors de l’obtention du k-ième pile,
c’est-à-dire une boule au premier pile, deux au deuxième, quatre au troisième, etc en doublant à chaque fois le
nombre de boules noires ajoutées.
On note N′la variable aléatoire égale au nombre total de boules dans l’urne.
6. Exprimer N′en fonction de X.
7. Calculer E(N′).
8. Déterminer la probabilité de l’évènement B′: «la boule tirée est blanche».

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Compléments : indépendance, couples, inégalités
Exercice 14 (Non corrélées mais pas indépendantes) On tire au hasard un des 4 points de coordonnées
(−1,0); (1,0); (0,1); (0,−1). On note Xet Yles coordonnées du point tiré.
1. Déterminer la loi conjointe du couple (X, Y ) puis les lois marginales Xet Y.
2. Démontrer que cov(X, Y ) = 0. Les variables Xet Ysont-elles indépendantes ?
Exercice 15 Soit a∈R. Pour (i, j)∈J1, nK2, on pose pi,j =aij.
1. Déterminer un réel ade sorte qu’il existe un couple (X, Y ) de variables aléatoires à valeurs dans J1, nK2
tel que :
∀(i, j)∈J1, nK2, pi,j =P([X=i]∩[Y=j]).
2. Calculer à l’aide du théorème de transfert E(XY ).
3. Déterminer les lois marginales Xet Y. Ces deux variables sont-elles indépendantes ?
4. En déduire cov(X, Y ) puis retrouver la valeur de E(XY ).
Exercice 16 Soit Xet Ydeux var indépendantes de même loi uniforme sur J1, nK. On pose S= max(X, Y ).
1. Déterminer la loi du couple (S, X).
2. En déduire la loi de S.
3. Déterminer les lois conditionnelles de Ssachant Xet de Xsachant S.
4. On pose T= min(X, Y ). Déterminer E(T) et E(ST ) sans «caluls supplémentaires».
5. Les variables Set Tsont-elles indépendantes ?
Exercice 17 Un employé d’un centre d’appel effectue nappels téléphoniques vers ncorrespondants distincts
dont chacun décroche avec une probabilité p.
On note N1le nombre de correspondants qui décrochent.
1. Déterminer la loi de N1.
L’employé rappelle un peu plus tard les n−N1correspondants qui n’ont pas décroché lors de sa première
série d’appels. On note N2le nombre de ces correspondants qui décrochent cette fois et Nle nombre total des
correspondants qui ont décroché.
2. Soit i∈J0, nK. Quelle est la loi conditionnelle de N2sachant N1=i.
3. Soit k∈J0, nK. Démontrer que
P(N=k) = pkq2n−k
n
X
i=0 n
in−i
k−iq−i.
4. Démontrer que Nsuit une loi binomiale de paramètres net 2p−p2. On pourra montrer que
n
in−i k−i=n kk i.
Exercice 18 (Somme de deux lois uniformes indépendantes) Soit Xet Ydeux variables aléatoires in-
dépendantes qui suivent la loi uniforme sur J1, nK. Déterminer la loi de X+Y.
Exercice 19 (Inégalité de Cauchy-Schwarz) Soit Xet Ydeux var.
1. On suppose V(X)6= 0. Démontrer que l’application f:R→Rdéfinie par f(t) = V(tX +Y) est une
fonction polynomiale dont on précisera le degré.

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2. En déduire que
|cov(X, Y )|6pV(X)V(Y).
3. Démontrer que si Xest de variance nulle, alors Xest presque-sûrement égale à sa moyenne, c’est-à-dire
que P(X=E(X)) = 1, et cov(X, Y ) = 0.
Exercice 20 (Loi faible des grands nombres) Soit X1,...,Xndes variables aléatoires réelles indépendantes
de même loi , d’espérance met de variance V. On pose
Xn=X1+···+Xn
n.
1. Démontrer que
∀ε > 0, P (|Xn−m|>ε)6V
nε2.
2. Application : on fait un sondage pour un référendum. On cherche à estimer pla proportion de personnes
qui vont voter pour le OUI. On intérroge pour cela un échantillon de npersonnes. On note Xila variable
aléatoire qui vaut 1 si la personne n°ia voté le OUI et 0 sinon. La variable Xisuit une loi de Bernoulli
de paramètre p. On suppose que l’échantillon de personnes est pertinent, on émet ainsi l’hypothèse que
les variables X1,...,Xnsont indépendantes. Le nombre Xn(proportion empirique) est un estimateur de
p(proportion théorique).
(a) Justifier que pour tout ε > 0, on a P(|Xn−p|>ε)61
4nε2.
(b) Déterminer la taille nde l’échantillon de population, pour que l’on puisse affirmer, avec un risque
d’erreur inférieur à 5%, que la proportion pde OUI est comprise entre Xn−0.01 et Xn+ 0.01.
(réponse : n= 50000).