Intégrale de Riemann - Université de Rennes 1

Int´ egrale de Riemann
L3 Math´ematiques
Jean-Christophe Breton
Universit´e de Rennes 1
Septembre–D´ecembre 2009
version du 21 d´ecembre 2009

Table des mati`eres
1 Int´egrales des fonctions en escalier 1
1.1 Fonctions en escalier .............................. 1
1.2 Int´egrale des fonctions en escalier ....................... 2
1.3 Sommes de Darboux et de Riemann ...................... 4
2 Int´egrale de Riemann 7
2.1 Fonctions Riemann-int´egrables ......................... 7
2.2 Propri´et´es de l’int´egrale de Riemann ..................... 12
2.3 Int´egrale et primitive .............................. 16
2.4 Crit`ere de Riemann-int´egrabilit´e ........................ 19
3 Fonctions r´egl´ees 22
3.1 D´efinition .................................... 22
3.2 Propri´et´es des fonctions r´egl´ees ........................ 23
3.3 Int´egrale des fonctions r´egl´ees ......................... 23
4 Int´egrales impropres 26
4.1 D´efinition et propri´et´es ............................. 26
4.2 Int´egrales impropres des fonctions positives .................. 29
5 Suites et s´eries de fonctions Riemann-int´egrables 33
5.1 Diff´erentes convergences de fonctions ..................... 33
5.2 Int´egrabilit´e des suites et s´eries de fonctions ................. 35
5.3 Quelques inconv´enients de l’int´egrale de Riemann .............. 39
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Introduction
Le calcul d’int´egrales a d´ej`a ´et´e rencontr´e les ann´ees pr´ec´edentes dans des cas bien
concrets, pour des int´egrales de fonctions usuelles. Depuis le L1, les techniques de calcul
de primitives, d’aires, d’int´egration par parties ou de changements de variables permettent
de mener `a bien les calculs effectifs d’int´egrales de fonctions usuelles.
On se propose dans ce cours de donner une construction th´eorique de l’int´egration qui
recouvre les m´ethodes de calculs d´ej`a connues.
Il y a plusieurs th´eories de l’int´egration. Son approche est g´eom´etrique, il consid`ere Rb
af(x)dx
comme une aire. Un peu plus tard, Riemann constate que la condition de continuit´e de
l’int´egrand fpour le calcul de Rb
af(x)dx est inutile : il suffit que les fonctions soient limites
de fonctions en escalier. Il donne donc une th´eorie plus g´en´erale pour les fonctions limites
de fonctions en escalier (1854). C’est dans le cadre de cette th´eorie que se font tous les
calculs d’int´egrale rencontr´es jusqu’`a maintenant. L’int´egrale de Riemann est l’objet de ce
cours. On la pr´esentera comme Darboux l’a fait (1875).
Ce type d’int´egrales se calcule sur des domaines born´es Zb
a
f(x)dx. Quand ce n’est pas
le cas, on peut avoir recours `a des int´egrales g´en´eralis´ees Z+∞
−∞
f(x)dx (dites int´egrales
impropres) mais elles ne v´erifient pas toutes les propri´et´es des int´egrales classiques (sur les
intervalles born´es).
Dans la th´eorie de Riemann, certains calculs posent des probl`emes. En particulier, pour les
probl`emes d’interversion de somme et d’int´egration (soulev´es par Fourier) :
X
n≥1Zfn(x)dx =ZX n≥1
fn(x)dx,
ou de limite et d’int´egrale :
lim
n→+∞Zfn(x)dx =Zlim n→+∞fn(x)dx
on ne dispose d’aucun r´esultat satisfaisant alors qu’en pratique ce type de probl`eme se pose
souvent. Des r´eponses ´el´egantes sont donn´ees par Lebesgue dans le cadre de l’int´egrale de
Lebesgue qui fait l’objet d’un cours sp´ecifique en L3, cf [JCB-Lebesgue] auquel on renvoie.
ii

c
JCB – L3 math – Universit´e de Rennes 1 iii
On pourra consulter pour r´ef´erence tout ouvrage de niveau L2 d’Analyse, `a titre d’exemple
on cite [Gos] dont ces notes s’inspirent et [AF,RDO].

Chapitre 1
Int´egrales des fonctions en escalier
En Deug, plusieurs techniques de calculs sont ´etudi´ees et utilis´ees pour calculer des
int´egrales (int´egration par parties, changements de variable). Ces calculs rel`event de l’in-
t´egrale de Riemann. On va en donner dans cette premi`ere partie, une construction plus
th´eorique et rappeller (ou d´emontrer) les principales propri´et´es de ce type de calcul.
Pour cela, on commence par s’int´eresser `a des fonctions ´etag´ees (fonctions en escalier) pour
lesquelles on va d´efinir l’int´egrale et v´erifier ses principales propri´et´es. Puis on g´en´eralisera
cette construction `a une classe de fonctions plus large (dite int´egrables) qui contient toutes
les fonctions usuelles (en particulier les fonctions continues).
Dans ce chapitre, [a, b] d´esigne un intervalle fini.
1.1 Fonctions en escalier
D´efinition 1.1.1 (Subdivision) Soit [a, b]un intervalle fini, on appelle subdivision Sde
[a, b]toute suite finie ordonn´ee (ti)0≤i≤nde [a, b]:a=t0≤t1≤ ··· ≤ tn=b.
On appelle pas de la subdivision
ρ(S) = max
0≤i≤n−1|ti+1 −ti|.
Exemples :
–S1={0,1
2,1}, S2={0,1 4,1 2,3 4,1}, S3={0,1 3,2 3,1}, S4={0,2 5,1 2,5 6,1}sont des subdi-
visions de [0,1].
– La subdivision uniforme sur [a, b] est celle de points ti=a+ib−a
n, 0 ≤i≤n, elle est
de pas b−a
n.
Pr´ec´edemment, S1,S2,S3sont uniformes de pas respectivement ρ(S1)=1/2, ρ(S2) =
1/4 et ρ(S3) = 1/3. Par contre, S4n’est pas uniforme et de pas ρ(S4) = 2/5.
D´efinition 1.1.2 Soient Set S0deux subdivisions de [a, b],S0est dite plus fine que Ssi
S⊂S0, c’est `a dire si la suite (ti)iqui d´efinit Sest inclue dans celle (t0
j)jde S0.
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