Exercice

Maths MP
TD
Suites et séries de fonctions
Les indications ne sont ici que pour être consultées après le TD (pour les exercices non traités). Avant
et pendant le TD, tenez bon et n’allez pas les consulter !
1
Convergence de suites de fonctions
Exercice 1 Étudier 1 la convergence simple et uniforme des suites de fonctions :
1. fn : x ∈ R+ 7→ nα xe−nx (avec α ∈ R) ;
2. fn : x ∈ R+ 7→ xα e−nx sin x (avec α > 0) ;
3. fn : x ∈ R 7→ sin ((1 + 1/n) x) ;
(
n
(1 + x/n)
si − n 6 x 6 0
4. fn : x ∈ R− 7→
0
si n 6 −n
(
xn ln x si x > 0
5. fn : x ∈ [0, 1] 7→
0
si x = 0
(
nxn ln x si x > 0
6. fn : x ∈ [0, 1] 7→
0
si x = 0
2
x
7. fn : x ∈ R 7→ min n,
n
Exercice 2 Soit f ∈ C(R+ , R). On définit sur R+ : fn (x) = f (x/n). Étudier la convergence simple et
uniforme de (fn )n>1 .
Exercice 3 Soit f ∈ C(R, R+
∗ ). On définit sur R : fn (x) =
n
x
f √
. Étudier la convergence simple
n
et uniforme de (fn )n>1 .
Exercice 4 Soit f ∈ C(R, R). On définit :
r
∗
∀x ∈ R, ∀n ∈ N ,
fn (x) =
f (x)2 +
1
·
n
Étudier la convergence de (fn )n>1 .
Exercice 5 Soit f ∈ C 1 (R, R). On définit :
∀x ∈ R, ∀n ∈ N,
1
− f (x) ·
fn (x) = n f x +
n
1. Montrer que (fn )n>1 converge uniformément sur tout compact de R.
2. Exhiber un contre-exemple pour la convergence uniforme sur R.
3. Proposer une hypothèse raisonnable assurant la convergence uniforme de (fn )n∈N sur R.
Exercice 6 CCP 2009
2 2
On pose, pour n ∈ N : fn (x) = ne−n x . Étudier la convergence simple de (fn )n∈N sur R. Montrer la
convergence uniforme sur tout intervalle de la forme [a, +∞[ avec a > 0. Étudier la convergence uniforme
sur ]0, +∞[.
1. Avant le TD, chacun en travaille au moins une, qu’il doit être capable d’aller exposer au tableau
1
Exercice 7 CCP 2010 (PSI)
2
Soit, pour n ∈ N∗ , fn : x ∈ R 7→ nxe−x ln n . Étudier la convergence simple et uniforme de (fn )n>1 .
Exercice 8 CCP 2009
L’espace E = C([0, 1]) est muni de la norme k k∞ . On définit par ailleurs la suite de fonctions (un )n∈N
n
par un (x) = ex .
1. Déterminer la limite simple de la suite (un )n∈N .
2. Montrer que la limite uniforme d’une suite de fonctions continues est continue.
3. La suite (un )n∈N est-elle de Cauchy ?
Z x
4. Pour x ∈ [0, 1], on pose vn (x) =
un (t)dt. Montrer que la suite (vn )n∈N converge uniformément
vers une fonction v à déterminer.
0
Exercice 9 ENSAM 2010 (PSI)
n
Soit h ∈ C 0 ([0, π/2], R) et, pour n ∈ N, fn (x) = h(x) (sin x) . Étudier la convergence simple et uniforme
de (fn )n∈N .
Exercice 10 Soit f ∈ C(R+ , R+ ) telle que :
∀x > 0,
0 < f (x) < x.
Montrer que (f (n) )n∈N converge uniformément sur tout segment de R+ (avec f (n) = f ◦ · · · ◦ f ).
2
Séries de fonctions : convergence, régularité, comportement
asymptotique
Exercice 11 CCP 2008
∞
X
e−nx
·
On pose f (x) =
(−1)n+1
n
n=1
1. Montrer que le domaine de définition de f est R+ .
2. Montrer que la série converge uniformément sur [0, +∞[.
3. Exprimer f (x) à l’aide des fonctions usuelles.
Exercice 12 Montrer que la série de fonctions
X (−1)n−1 e−nx
√
converge uniformément sur R+ , mais
n
n>1
pas normalement.
Exercice 13 CCP 2010 (PSI)
+∞
X
ln(1 + nx2 )
Soit S : x 7→
·
n2
n=1
1. Montrer que S est définie et continue sur R.
2. S est-elle dérivable ?
Exercice 14 X 2010 (PC)
n
X
(−1)k
Soit, pour n ∈ N : un =
·
3k + 1
k=0
1. Trouver, pour n ∈ N, une fonctions fn ∈ C 0 ([0, 1], R) telle que
Z
fn = un .
0
2. En déduire la limite de (un )n∈N lorsque n tend vers +∞.
2
1
Z
Exercice 15 Montrer :
1
x−x dx =
0
X 1
·
nn
n>1
Exercice 16 Mines 2010
Soit (un )n∈N la suite Zde fonctions de [0, 1] dans R définies par u0 ∈ C([0, 1]), puis pour tout n ∈ N et
x
un (t − t2 )dt (on parle de un DE t − t2 , pas un FOIS t − t2 ...).
x ∈ [0, 1] : un+1 (x) =
0
Étudier la convergence normale de la série de terme général un .
Exercice 17 Soit α > 0. Montrer qu’en posant, pour x > 0, f (x) =
α
e−n
x
, on définit une fonction
n>1
de classe C ∞ sur R∗+ .
Exercice 18 On définit, pour x ∈ R : F (x) =
X
X
n>1
x
·
x2 + n2
1. Montrer que F est bien définie et continue sur R.
2. Donner un équivalent de F en 0 et en +∞.
Exercice 19 Mines 2010
1. Déterminer le domaine de convergence de f (x) =
∞
X
e−x
√
n
.
n=0
2. Montrer que f est C ∞ sur ce domaine.
3. Donner un équivalent de f en 0.
3
Résultats généraux, théoriques
Exercice 20 Soit (fn )n∈N une suite de fonctions convergent uniformément vers f sur I, et (xn )n∈N une
suite de points de I convergeant vers l ∈ I. Montrer : fn (xn ) −→ f (l).
n→+∞
Exercice 21 Convergence des fonctions convexes
Soit (fn )n>0 une suite de fonctions convexes convergeant simplement vers f sur un intervalle I.
1. Montrer que f est convexe.
2. On suppose que I est un segment. La convergence des (fn ) est-elle uniforme sur I ?
3. Montrer que si S est un segment contenu dans l’intérieur de I, alors les fn sont équilipschitziennes
sur S.
4. En déduire que (fn ) converge uniformément sur S.
Exercice 22 Le(s) théorème(s) de Dini
Soit (fn ) une suite de fonctions continues croissantes convergeant simplement sur un segment vers une
fonction continue . Montrer que la convergence est uniforme.
Donner un contre-exemple si on enlève l’hypothèse de continuité de f .
Un autre résultat dû à Dini nous dit que si les convergences sont croissantes (à x fixé, la suite
(fn (x))n∈N est croissante), toujours avec la limite continue, alors la convergence est uniforme.
Exercice 23 Soit f ∈ C p ([a, b]), avec p ∈ N. Montrer qu’il existe une suite (Pn ) de polynômes telle que
(k)
pour tout k ∈ [[0, p]], Pn converge uniformément vers f (k) .
Qu’en est-il si p = +∞ ?
Exercice 24 Soit f une fonction continue sur [0, 1]. Montrer que f est croissante si et seulement si f
est une limite uniforme de polynômes strictement croissants.
3
Exercice 25 Soit (un )n∈N à valeurs dans I = [0, 1]. On note, pour J ⊂ I, cn (J) le nombre de k 6 n
tels que uk ∈ J. Montrer l’équivalence entre :
1
(i) Pour tout [α, β] ⊂ I, cn ([α, β]) −→ β − α.
n→+∞
n
Z 1
n
1X
(ii) Pour toute fonction f ∈ C([0, 1]),
f.
f (uk ) −→
n→+∞ 0
n
k=1
n
1 X 2iπpuk
(iii) Pour tout p > 1,
e
−→ 0.
n→+∞
n
k=1
Si ces conditions sont vérifiées,on dit que (un )n∈N est équirépartie dans [0, 1].
Montrer que si α ∈ R \ Q, alors (nα − E(nα))n∈N est équirépartie dans [0, 1].
4
Des indications
– Exercice 1 :
1. Convergence simple sans problème. Les variations de fn sont simples à étudier...
2. Ici, |fn (x)| est majoré par quelque chose de plus simple à étudier... et atteint «souvent» ce
majorant.
3. L’inégalité des accroissements finis nous donne la convergence uniforme sur [−A, A]. On a par
ailleurs : fn (nπ/2) − f (nπ/2) = ±1.
4. L’équivalent ln(1 + u) ∼ u en 0 donne la convergence simple. Pour la convergence uniforme,
sauf erreur de ma part, la différence δn = fn − f a sa dérivée qui s’annule sur [−n, 0] en un
xn exn
unique xn vérifiant δn (xn ) =
, donc kδn k∞ −→ 0.
n→+∞
n
Dini nous donne également la convergence uniforme sur [−A, 0]...
5. Je trouve kfn k∞ = O(1/n).
6. Ici, kfn k∞ = e−1 , avec convergence uniforme sur [0, 1 − α] (la bosse glisse vers 1).
7. Convergence uniforme vers 0 sur [−A, A], mais bien sûr pas R, puisque kfn k∞ −→ +∞.
n→+∞
– Exercice 2 : Convergence simple vers f (0), uniforme sur [−A, A] par continuité en 0, mais pas sur
R (prendre f non bornée par exemple).
– Exercice 3 : Tout est fonction de la position de f (0) vis-à-vis de 1 en première approximation :
– si f (0) < 1, il y a convergence simple vers 0 (uniforme sur [−A, A] mais pas R) ;
– si f (0) > 1, il y a «divergence simple» !
– si f (0) = 1, différents scénarii peuvent se produire : regarder f (x) = 1 − x, f (x) = 1 − x2 ,
f (x) = 1 − x3 ...
– Exercice 4 : Il y a convergence simple vers |f |. L’inégalité des accroissements finis nous dit que si
√
√ 1
A > M et B > 0, alors A + B − A 6 √ B. Ceci assure la convergence uniforme «là où f
2 M
ne s’approche pas trop de 0». Il reste à epsiloniser pour prouver la convergence uniforme partout...
– Exercice 5 : Il y a bien entendu convergence simple vers f 0 . Par uniforme continuité de f 0 sur le
segment [−A, A], on prouve même la convergence uniforme sur [−A, A] (et bravo à ceux qui ont
vu cela !) mais pas sur R (prendre f (x) = ex ). Si f est par exemple C 2 avec f 00 bornée (ou plus
généralement si f 0 est lipschitzienne, ou encore plus généralement si f 0 est uniformément continue
sur R !) alors la convergence est uniforme.
– Exercice 6 : On a kf k∞,[a,+∞[ = fn (a), et kfn k∞,]0,+∞[ = 1 par continuité de fn en 0.
– Exercice 7 : Divergence sur ] − 1, 1[ ; convergence ailleurs, uniforme pour |x| > 1 + ε.
– Exercice 8 : Par inégalité des accroissements finis pour exp sur [0, 1] :
Z x
Z x
n
e
|vn (x) − x)| 6
et − 1 dt 6 e
tn dt 6
·
n
+
1
0
0
4
– Exercice 9 : convergence simple sans problème. Elle est uniforme sur [0, π/2 − α] et pas [0, π/2]
lorsque h(π/2) 6= 0. Si h(π/2) = 0, travailler en ε pour établir la convergence uniforme sur [0, π/2].
– Exercice 10 : La convergence simple est claire dès qu’on voit cela comme un problème de suite
vérifiant un+1 = f (un ) (avec un = f (n) (x)). Il n’y a pas convergence uniforme sur R+ , mais sur
f (x)
[0, A], on peut établir la convergence uniforme en epsilonisant : dès que α > 0 est fixé, on a
x
majoré par K < 1 sur [α, A], donc f (n) (x) va «rapidement» atteindre [0, α].
– Exercice 11 : La majoration du reste pour les séries alternées donne la convergence uniforme :
1
e−nx
0
6 · On trouve ensuite (convergences normales sur [α, +∞[) f 0 (x) = (ln(1 + e−x ))
|Rn (x)| 6
n
n
sur ]0, +∞[, puis grâce à la limite en +∞ : f (x) = ln(1 + e−x ). Penser à prouver que la relation se
prolonge en 0 !
1
– Exercice 12 : Encore une majoration du reste d’une série alternée. On a par ailleurs kfn k∞ = √ ·
n
1
0
– Exercice 13 : Convergence normale sur [0, A]. On trouve ensuite kfn k∞ = 3/2 · · ·
n
n
X
1 − (−x3 )n+1
k 3k
· Ensuite, convergence
– Exercice 14 : Il suffit de prendre fn (x) =
(−1) x =
1 + x3
k=0
√
Z 1
dt
π 3 ln 2
=
·
·
·
=
+
·
dominée (...) ou par majoration de la différence : un −→
n→+∞ 0 1 + t3
9
3
– Exercice 15 : Pour x ∈ [0, 1], on a |x ln x| < 1 (en prolongeant en 0), donc x−x = e−x ln x =
+∞
X
(−x ln x)n
, et si on en croit Maple :
n!
n=0
seq(int((x*ln(x))**n,x=0..1),n=0..4);
3
24
1 2
,
1, − , , −
4 27 128 3125
Ça donne une furieuse envie d’intervertir les deux symboles. Si seulement il y avait convergence
normale...
– Exercice 16 : L’application t 7→ t − t2 envoie [0, 1] sur [0, 1/4], donc d’après l’inégalité des accrois
1
sements finis, u0n+1 ∞ 6 kun k∞,[0,1/4] 6 ku0n k∞ ...
4
α
(p)
– Exercice 17 : On a pour tout n, p ∈ N et x ∈ R+ : fn (x) = (−nα )p e−n x , quantité qu’on majore
en valeur absolue par un o(1/n2 ) sur [M, +∞[, d’où les convergences normales.
– Exercice 18 : Il y a convergence normale sur [−A, A] (mais pas sur R, au passage : regarder fn (n)).
+∞
X
1
1
f (x)
π2
À n fixé, on a fn (x) −→ 2 quand x tend vers 0, et on a alors sans problème
−→
=
x→0 n
x x→0 n=1 n2
6
1
(majoration de la différence, ou convergence dominée). Ensuite, toujours à n fixé, on a fn (x) ∼
x
lorsque x tend vers +∞. On évalue alors xf (x) par une comparaison somme/intégrale, qui donne
π
π
finalement : xf (x) ∼ x , et donc : f (x) −→
·
x→+∞ 2
2
– Exercice 19 : La convergence des séries dérivées est normale sur [a, +∞[, d’où le caractère C ∞ . Au
2
voisinage de 0, une comparaison somme/intégrale fournit comme équivalent : 2 · Au fait :
x
> int(exp(-sqrt(u)),u=0..infinity);
2
Et en +∞ ? Prolongez l’exercice...
– Exercice 20 : Epsiloniser : |fn (xn ) − f (l)| 6 |fn (xn ) − f (xn )| + |f (xn ) − f (l)|.
– Exercice 21 : La convexité de la limite se prouve par simple passage d’inégalité à la limite. Ensuite,
pour contrôler ce qui se passe sur [a, b] inclus dans l’intérieur de I, on prend c, d tels que c < a <
b < d, avec c, d ∈ I. On a alors pour tout x, y ∈ [a, b] avec x 6= y :
fn (y) − fn (x)
fn (b) − fn (x)
fn (d) − fn (b)
f (d) − f (b)
6
6
−→
·
n→+∞
y−x
b−x
d−b
d−b
On obtient alors un majorant ne dépendant pas de n (le majorant de la ligne précédente converge
donc est borné), et on peut de la même façon minorer la pente. Ainsi, les fn sont équilipschitziennes.
5
–
–
–
–
ε
Il reste à travailler en ε, en cassant le segment en une subdivision avec un pas majoré par
, en
K n
utilisant la convergence simple sur la subdivision, puis en recollant les ε... Les fonctions fn : x 7→ x
nous assurent qu’il peut ne pas y avoir convergence uniforme sur I.
Exercice 22 : Casser le segment en une subdivision telle que la différence des images par f entre
deux points consécutifs ne dépasse pas ε... On notera qu’ici encore, fn : x 7→ xn constitue un
contre-exemple simple aux deux théorèmes de Dini (sans l’hypothèse sur la continuité de la limite).
Exercice 23 : En epsilonisant, et en commençant par approximer f (p) par un polynôme qu’on intègre
p fois en ajustant les constantes d’intégration sur les f (k) . Les erreurs sur le segment sont alors
contrôlées par des inégalités des accroissements finis successives. Un procédé diagonal (difficile !)
prouve que le résultat est maintenu dans le cas C ∞ .
Exercice 24 : Pour le sens non trivial, on commencera par le cas où f est de classe C 1 avec f 0 > 0
(approcher uniformément f 0 par des polynômes, qu’on intègre), puis seulement f de classe C 1 (et
alors x 7→ f (x) + εx nous ramène au cas précédent). On termine en approchant uniformément une
fonction continue croissante par une fonction C 1 croissante.
Exercice 25 : Pour (ii) ⇒ (iii), ce n’est guère compliqué, et pour la réciproque, on passe par la
densité de polynômes trigonométriques (pour lesquels la relation de (ii) est vraie par linéarité si
on suppose (iii)). Ensuite, pour l’équivalence entre (i) et (ii), on utilise les faits suivants :
Z 1
n
X
– si f est la partie indicatrice de [α, β], alors
f = β − α alors que
f (uk ) = cn ([α, β]) ;
0
k=1
– toute fonction continue peut être approchée uniformément par des fonctions en escaliers, c’està-dire des combinaisons linéaires de fonctions indicatrices ;
– réciproquement, si f est une fonction indicatrice, on peut trouver g continue «assez proche» de
f ... en un sens à préciser !
6