Exercice

Maths MP TD
Suites et séries de fonctions
Les indications ne sont ici que pour être consultées après le TD (pour les exercices non traités). Avant
et pendant le TD, tenez bon et n’allez pas les consulter !
1 Convergence de suites de fonctions
Exercice 1 Étudier 1la convergence simple et uniforme des suites de fonctions :
1. fn:x∈R+7→ nαxe−nx (avec α∈R) ;
2. fn:x∈R+7→ xαe−nx sin x(avec α > 0) ;
3. fn:x∈R7→ sin ((1 + 1/n)x);
4. fn:x∈R−7→ ((1 + x/n)nsi −n6x60
0si n6−n
5. fn:x∈[0,1] 7→ (xnln xsi x > 0
0si x= 0
6. fn:x∈[0,1] 7→ (nxnln xsi x > 0
0si x= 0
7. fn:x∈R7→ min n, x2
n
Exercice 2 Soit f∈ C(R+,R). On définit sur R+:fn(x) = f(x/n). Étudier la convergence simple et
uniforme de (fn)n>1.
Exercice 3 Soit f∈ C(R,R+
∗). On définit sur R:fn(x) = fx
√nn
. Étudier la convergence simple
et uniforme de (fn)n>1.
Exercice 4 Soit f∈ C(R,R). On définit :
∀x∈R,∀n∈N∗, fn(x) = rf(x)2+1
n·
Étudier la convergence de (fn)n>1.
Exercice 5 Soit f∈ C1(R,R). On définit :
∀x∈R,∀n∈N, fn(x) = nfx+1
n−f(x)·
1. Montrer que (fn)n>1converge uniformément sur tout compact de R.
2. Exhiber un contre-exemple pour la convergence uniforme sur R.
3. Proposer une hypothèse raisonnable assurant la convergence uniforme de (fn)n∈Nsur R.
Exercice 6 CCP 2009
On pose, pour n∈N:fn(x) = ne−n2x2. Étudier la convergence simple de (fn)n∈Nsur R. Montrer la
convergence uniforme sur tout intervalle de la forme [a, +∞[avec a > 0. Étudier la convergence uniforme
sur ]0,+∞[.
1. Avant le TD, chacun en travaille au moins une, qu’il doit être capable d’aller exposer au tableau
1

Exercice 7 CCP 2010 (PSI)
Soit, pour n∈N∗,fn:x∈R7→ nxe−x2ln n. Étudier la convergence simple et uniforme de (fn)n>1.
Exercice 8 CCP 2009
L’espace E=C([0,1]) est muni de la norme k k∞. On définit par ailleurs la suite de fonctions (un)n∈N
par un(x) = exn.
1. Déterminer la limite simple de la suite (un)n∈N.
2. Montrer que la limite uniforme d’une suite de fonctions continues est continue.
3. La suite (un)n∈Nest-elle de Cauchy ?
4. Pour x∈[0,1], on pose vn(x) = Zx
0
un(t)dt. Montrer que la suite (vn)n∈Nconverge uniformément
vers une fonction và déterminer.
Exercice 9 ENSAM 2010 (PSI)
Soit h∈ C0([0, π/2],R)et, pour n∈N,fn(x) = h(x) (sin x)n. Étudier la convergence simple et uniforme
de (fn)n∈N.
Exercice 10 Soit f∈ C(R+,R+)telle que :
∀x > 0,0< f(x)< x.
Montrer que (f(n))n∈Nconverge uniformément sur tout segment de R+(avec f(n)=f◦ ··· ◦ f).
2 Séries de fonctions : convergence, régularité, comportement
asymptotique
Exercice 11 CCP 2008
On pose f(x) = ∞
X
n=1
(−1)n+1 e−nx
n·
1. Montrer que le domaine de définition de fest R+.
2. Montrer que la série converge uniformément sur [0,+∞[.
3. Exprimer f(x)à l’aide des fonctions usuelles.
Exercice 12 Montrer que la série de fonctions X
n>1
(−1)n−1e−nx
√nconverge uniformément sur R+, mais
pas normalement.
Exercice 13 CCP 2010 (PSI)
Soit S:x7→
+∞
X
n=1
ln(1 + nx2)
n2·
1. Montrer que Sest définie et continue sur R.
2. Sest-elle dérivable ?
Exercice 14 X 2010 (PC)
Soit, pour n∈N:un=
n
X
k=0
(−1)k
3k+ 1·
1. Trouver, pour n∈N, une fonctions fn∈ C0([0,1],R)telle que Z1
0
fn=un.
2. En déduire la limite de (un)n∈Nlorsque ntend vers +∞.
2

Exercice 15 Montrer : Z1
0
x−xdx =X
n>1
1
nn·
Exercice 16 Mines 2010
Soit (un)n∈Nla suite de fonctions de [0,1] dans Rdéfinies par u0∈ C([0,1]), puis pour tout n∈Net
x∈[0,1] :un+1(x) = Zx
0
un(t−t2)dt (on parle de unDE t−t2, pas unFOIS t−t2...).
Étudier la convergence normale de la série de terme général un.
Exercice 17 Soit α > 0. Montrer qu’en posant, pour x > 0,f(x) = X
n>1
e−nαx, on définit une fonction
de classe C∞sur R∗
+.
Exercice 18 On définit, pour x∈R:F(x) = X
n>1
x
x2+n2·
1. Montrer que Fest bien définie et continue sur R.
2. Donner un équivalent de Fen 0et en +∞.
Exercice 19 Mines 2010
1. Déterminer le domaine de convergence de f(x) = ∞
X
n=0
e−x√n.
2. Montrer que fest C∞sur ce domaine.
3. Donner un équivalent de fen 0.
3 Résultats généraux, théoriques
Exercice 20 Soit (fn)n∈Nune suite de fonctions convergent uniformément vers fsur I, et (xn)n∈Nune
suite de points de Iconvergeant vers l∈I. Montrer : fn(xn)−→
n→+∞f(l).
Exercice 21 Convergence des fonctions convexes
Soit (fn)n>0une suite de fonctions convexes convergeant simplement vers fsur un intervalle I.
1. Montrer que fest convexe.
2. On suppose que Iest un segment. La convergence des (fn)est-elle uniforme sur I?
3. Montrer que si Sest un segment contenu dans l’intérieur de I, alors les fnsont équilipschitziennes
sur S.
4. En déduire que (fn)converge uniformément sur S.
Exercice 22 Le(s) théorème(s) de Dini
Soit (fn)une suite de fonctions continues croissantes convergeant simplement sur un segment vers une
fonction continue . Montrer que la convergence est uniforme.
Donner un contre-exemple si on enlève l’hypothèse de continuité de f.
Un autre résultat dû à Dini nous dit que si les convergences sont croissantes (à xfixé, la suite
(fn(x))n∈Nest croissante), toujours avec la limite continue, alors la convergence est uniforme.
Exercice 23 Soit f∈ Cp([a, b]), avec p∈N. Montrer qu’il existe une suite (Pn)de polynômes telle que
pour tout k∈[[0, p]],P(k)
nconverge uniformément vers f(k).
Qu’en est-il si p= +∞?
Exercice 24 Soit fune fonction continue sur [0,1]. Montrer que fest croissante si et seulement si f
est une limite uniforme de polynômes strictement croissants.
3

Exercice 25 Soit (un)n∈Nà valeurs dans I= [0,1]. On note, pour J⊂I,cn(J)le nombre de k6n
tels que uk∈J. Montrer l’équivalence entre :
(i) Pour tout [α, β]⊂I,1
ncn([α, β]) −→
n→+∞β−α.
(ii) Pour toute fonction f∈ C([0,1]),1
n
n
X
k=1
f(uk)−→
n→+∞Z1
0
f.
(iii) Pour tout p>1,1
n
n
X
k=1
e2iπpuk−→
n→+∞0.
Si ces conditions sont vérifiées,on dit que (un)n∈Nest équirépartie dans [0,1].
Montrer que si α∈R\Q, alors (nα −E(nα))n∈Nest équirépartie dans [0,1].
4 Des indications
– Exercice 1 :
1. Convergence simple sans problème. Les variations de fnsont simples à étudier...
2. Ici, |fn(x)|est majoré par quelque chose de plus simple à étudier... et atteint «souvent» ce
majorant.
3. L’inégalité des accroissements finis nous donne la convergence uniforme sur [−A, A]. On a par
ailleurs : fn(nπ/2) −f(nπ/2) = ±1.
4. L’équivalent ln(1 + u)∼uen 0donne la convergence simple. Pour la convergence uniforme,
sauf erreur de ma part, la différence δn=fn−fa sa dérivée qui s’annule sur [−n, 0] en un
unique xnvérifiant δn(xn) = xnexn
n, donc kδnk∞−→
n→+∞0.
Dini nous donne également la convergence uniforme sur [−A, 0]...
5. Je trouve kfnk∞=O(1/n).
6. Ici, kfnk∞=e−1, avec convergence uniforme sur [0,1−α](la bosse glisse vers 1).
7. Convergence uniforme vers 0sur [−A, A], mais bien sûr pas R, puisque kfnk∞−→
n→+∞+∞.
– Exercice 2 : Convergence simple vers f(0), uniforme sur [−A, A]par continuité en 0, mais pas sur
R(prendre fnon bornée par exemple).
– Exercice 3 : Tout est fonction de la position de f(0) vis-à-vis de 1en première approximation :
– si f(0) <1, il y a convergence simple vers 0(uniforme sur [−A, A]mais pas R) ;
– si f(0) >1, il y a «divergence simple» !
– si f(0) = 1, différents scénarii peuvent se produire : regarder f(x) = 1 −x,f(x) = 1 −x2,
f(x)=1−x3...
– Exercice 4 : Il y a convergence simple vers |f|. L’inégalité des accroissements finis nous dit que si
A>Met B > 0, alors √A+B−√A61
2√MB. Ceci assure la convergence uniforme «là où f
ne s’approche pas trop de 0». Il reste à epsiloniser pour prouver la convergence uniforme partout...
– Exercice 5 : Il y a bien entendu convergence simple vers f0. Par uniforme continuité de f0sur le
segment [−A, A], on prouve même la convergence uniforme sur [−A, A](et bravo à ceux qui ont
vu cela !) mais pas sur R(prendre f(x) = ex). Si fest par exemple C2avec f00 bornée (ou plus
généralement si f0est lipschitzienne, ou encore plus généralement si f0est uniformément continue
sur R!) alors la convergence est uniforme.
– Exercice 6 : On a kfk∞,[a,+∞[=fn(a), et kfnk∞,]0,+∞[= 1 par continuité de fnen 0.
– Exercice 7 : Divergence sur ]−1,1[ ; convergence ailleurs, uniforme pour |x|>1 + ε.
– Exercice 8 : Par inégalité des accroissements finis pour exp sur [0,1] :
|vn(x)−x)|6Zx
0etn−1dt 6eZx 0
tndt 6e
n+ 1·
4

– Exercice 9 : convergence simple sans problème. Elle est uniforme sur [0, π/2−α]et pas [0, π/2]
lorsque h(π/2) 6= 0. Si h(π/2) = 0, travailler en εpour établir la convergence uniforme sur [0, π/2].
– Exercice 10 : La convergence simple est claire dès qu’on voit cela comme un problème de suite
vérifiant un+1 =f(un)(avec un=f(n)(x)). Il n’y a pas convergence uniforme sur R+, mais sur
[0, A], on peut établir la convergence uniforme en epsilonisant : dès que α > 0est fixé, on a f(x)
x
majoré par K < 1sur [α, A], donc f(n)(x)va «rapidement» atteindre [0, α].
– Exercice 11 : La majoration du reste pour les séries alternées donne la convergence uniforme :
|Rn(x)|6e−nx
n61 n·On trouve ensuite (convergences normales sur [α, +∞[)f0(x) = (ln(1 + e−x))0
sur ]0,+∞[, puis grâce à la limite en +∞:f(x) = ln(1 + e−x). Penser à prouver que la relation se
prolonge en 0!
– Exercice 12 : Encore une majoration du reste d’une série alternée. On a par ailleurs kfnk∞=1
√n·
– Exercice 13 : Convergence normale sur [0, A]. On trouve ensuite kf0
nk∞=1
n3/2···
– Exercice 14 : Il suffit de prendre fn(x) =
n
X
k=0
(−1)kx3k=1−(−x3)n+1
1 + x3·Ensuite, convergence
dominée (...) ou par majoration de la différence : un−→
n→+∞Z1
0
dt
1 + t3=··· =π√3 9+ln 2 3·
– Exercice 15 : Pour x∈[0,1], on a |xln x|<1(en prolongeant en 0), donc x−x=e−xln x=
+∞
X
n=0
(−xln x)n
n!, et si on en croit Maple :
seq(int((x*ln(x))**n,x=0..1),n=0..4);
1,−1
4,2 27,−3 128,24 3125
Ça donne une furieuse envie d’intervertir les deux symboles. Si seulement il y avait convergence
normale...
– Exercice 16 : L’application t7→ t−t2envoie [0,1] sur [0,1/4], donc d’après l’inégalité des accrois-
sements finis, 
u0
n+1
∞6kunk∞,[0,1/4] 61
4ku0
nk∞...
– Exercice 17 : On a pour tout n, p ∈Net x∈R+:f(p)
n(x) = (−nα)pe−nαx, quantité qu’on majore
en valeur absolue par un o(1/n2)sur [M, +∞[, d’où les convergences normales.
– Exercice 18 : Il y a convergence normale sur [−A, A](mais pas sur R, au passage : regarder fn(n)).
Ànfixé, on a fn(x)−→
x→0
1
n2quand xtend vers 0, et on a alors sans problème f(x) x−→
x→0
+∞
X
n=1
1
n2=π2 6
(majoration de la différence, ou convergence dominée). Ensuite, toujours à nfixé, on a fn(x)∼1
x
lorsque xtend vers +∞. On évalue alors xf(x)par une comparaison somme/intégrale, qui donne
finalement : xf(x)∼xπ
2, et donc : f(x)−→
x→+∞
π
2·
– Exercice 19 : La convergence des séries dérivées est normale sur [a, +∞[, d’où le caractère C∞. Au
voisinage de 0, une comparaison somme/intégrale fournit comme équivalent : 2
x2·Au fait :
> int(exp(-sqrt(u)),u=0..infinity);
2
Et en +∞? Prolongez l’exercice...
– Exercice 20 : Epsiloniser : |fn(xn)−f(l)|6|fn(xn)−f(xn)|+|f(xn)−f(l)|.
– Exercice 21 : La convexité de la limite se prouve par simple passage d’inégalité à la limite. Ensuite,
pour contrôler ce qui se passe sur [a, b]inclus dans l’intérieur de I, on prend c, d tels que c < a <
b<d, avec c, d ∈I. On a alors pour tout x, y ∈[a, b]avec x6=y:
fn(y)−fn(x)
y−x6fn(b)−fn(x) b−x6fn(d)−fn(b) d−b−→
n→+∞
f(d)−f(b)
d−b·
On obtient alors un majorant ne dépendant pas de n(le majorant de la ligne précédente converge
donc est borné), et on peut de la même façon minorer la pente. Ainsi, les fnsont équilipschitziennes.
5