LES VECTEURS

LES VECTEURS
INTRODUCTION
À partir de la Renaissance, l’algèbre devient un outil puissant pour
résoudre des problèmes relatifs à des quantités inconnues.
Au XVIIe siècle, Gottfried Leibniz s’est demandé si un travail analogue
n’était pas possible pour améliorer la représentation de situations géo-
métriques et de mouvements.
Plus tard, cette réfl exion aboutira au concept de vecteur.
Dans ce chapitre, nous allons mettre en place un outil mathématique
utile pour comprendre quelques principes utilisés par les logiciels de
dessin et les machines à commandes numériques.
EXPLORATION
1. DÉPLACEMENTS
Un objet est posé sur une table (voir fi g. 2).
On schématise la situation en représentant la table par un
rectangle et en marquant d’un point P la position de l’objet
(voir fi g. 3).
Reproduire ce schéma à l’échelle un cinquième.
fi g. 1. Carte des vents
fi g . 2
P
M
Q
50 cm
80 cm fi g . 3
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a Voici des instructions pour déplacer l’objet du point P vers un
point
P
’. Dans chaque cas, représenter tous les points
P
’ où l’objet
peut se trouver après le déplacement :
1. Déplacer l’objet de 10 cm.
2. Déplacer l’objet parallèlement au bord le plus long de la table.
3. Déplacer l’objet parallèlement au bord le plus long de la table et
vers la gauche.
4. Déplacer l’objet de 10 cm, parallèlement au bord le plus long de la
table.
5. Déplacer l’objet de 10 cm, parallèlement au bord le plus long de la
table et vers la droite.
Répondre chaque fois à la question : « Cette instruction permet-elle
de déterminer de manière unique la position de
P
’ ? » Expliquer.
b Deux autres objets sont placés l’un au point M et l’autre au point Q.
On leur applique le déplacement décrit au point a 5.
Représenter les positions
M
’ et Q’ de ces objets après leur
déplacement.
c En reliant ces quatre points (M, Q,
M
’ et Q’) dans un certain or-
dre, on obtient un quadrilatère particulier. Lequel ?
d Nommer les trois caractéristiques du déplacement décrit au
point 5.
Quelques informations
En mathématique et en physique, un déplacement caractérisé
par une direction, un sens et une longueur est modélisé par un
vecteur.
On note le vecteur au moyen d’une (ou de deux) lettre(s) surmon-
tée(s) d’une fl èche.
On le représente par un segment orienté (pensons aux fl èches indi-
quant la direction et la force des vents sur une carte météo).
2. DÉPLACEMENTS SUCCESSIFS
Lors d’une course d’orientation, un premier concurrent part d’un
point A et se rend en ligne droite vers un point B situé à 500 m de A,
en suivant l’azimut 25° sur sa boussole.
Arrivé en B, il pivote de 15° vers la droite et parcourt 400 m jusqu’au
point C.
a Représenter la situation à l’échelle 1
10 000 en marquant les dépla-
cements par des fl èches.
b Croyant bien faire, un deuxième concurrent part du point A et par-
court 900 m en suivant le cap 40°. Il est déçu. Qu’en pensez-vous ?
c Qu’aurait-il dû faire pour arriver directement au point C sans pas-
ser par le point B ?
B
A
AB
u
fi g . 4
fi g . 5
Azimut ou cap : direction à suivre
exprimée par un nombre compris
entre 0 et 360. Ce nombre est une
mesure en degrés de l’angle que for-
me la direction suivie avec le nord,
compté à partir du nord dans le sens
des aiguilles d’une montre.
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3. VITESSES COMPOSÉES
Des naufragés se trouvent sur une embarcation livrée à elle-même.
Ils aperçoivent une île vers laquelle un vent d’ouest les pousse à la
vitesse, supposée constante, de 5 km/h.
Malheureusement, dans le même temps, un courant les emporte vers
le nord à la même vitesse de 5 km/h.
a Sur la fi g. 6, chaque maille représente un carré de 5 km de côté et X
est la position initiale de l’embarcation. Reproduire la fi gure et y repré-
senter le déplacement de l’embarcation pendant la première heure.
b Indiquer les déplacements effectués après 2 heures, après 4 heures,
après 5 heures. Les naufragés parviendront-ils à accoster sur l’île ?
c Mêmes questions si le courant suit un azimut de 30°, les vitesses
restant inchangées.
4. VECTEURS ET NOMBRES
Pour réaliser une planche de Galton1, on fore des trous dans une
plaque.
Pour ce faire, l’atelier de mécanique dispose d’une machine à com-
mandes numériques. Elle est constituée d’une table au-dessus de la-
quelle se déplace un outil mobile (ici une foreuse).
Au début, l’outil est positionné sur le zéro machine, pour nous (voir
fi g. 8), le coin inférieur gauche de la plaque.
Ensuite, il se déplace au centre d’un premier trou, puis au centre d’un
deuxième, et ainsi de suite, pour enfi n revenir au zéro machine.
Chaque déplacement combine des déplacements élémentaires paral-
lèles aux bords x et y de la plaque.
On programme chaque fois le déplacement pour que l’outil se posi-
tionne au centre du trou suivant.
La plaque mesure 120 mm sur 70 mm.
Les centres des trous sont alignés sur des droites parallèles aux
bords x et y de la plaque. Ces droites sont équidistantes de 10 mm.
L’ensemble est centré sur la plaque.
a L’opérateur a codé le premier déplacement sous la forme (60 , 10).
Quel trou a-t-il l’intention de forer ?
b En utilisant cette notation, écrire une liste des déplacements qui
seront programmés pour percer l’ensemble de trous.
c Quelle sera la distance totale parcourue par l’outil pour effectuer
ce travail ?
d En comparant vos résultats, quel est le programme qui permet
d’effectuer l’ensemble du travail le plus rapidement (en supposant
la vitesse de déplacement de l’outil constante) ?
1 La planche de Galton est un dispositif expérimental utilisé dans l’étude des
probabilités (voir tome 2 du manuel Clic & Maths 5e/6e).
fi g . 7
x
y
fi g . 8
fi g . 6
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5. VECTEURS ET REPÈRE
Dans un repère cartésien, on donne les points A(– 1 , 2), B(4 , – 1),
C(1 , 6), D(6 , 3) et E(5 , – 3).
Pour caractériser le vecteur AB, on observe que l’on avance de 5 uni-
tés vers la droite dans la direction de l’axe des x et de 3 unités vers le
bas dans la direction de l’axe des y (voir fi g. 9).
On dit que les composantes du vecteur AB sont les nombres 5 et – 3.
On les note (5 , – 3).
a Placer les points C, D et E.
b Calculer les composantes des vecteurs CD et OE.
c Comparer les trois paires de composantes obtenues. Que peut-on
dire des vecteurs AB, CD et OE ? Vérifi er sur la fi g. 9.
d Écrire une relation entre les composantes du vecteur CD et les
coordonnées des points C et D.
6. TRANSLATION
Dans un repère cartésien, une translation est donnée par
le couple (2 , 4).
a Comment interpréter cette donnée ?
b Quelle est l’image du point A(5 , – 2) par cette translation ?
c Quelle est l’image du point O par cette translation ?
x
y
01
1
B
A
fi g . 9
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SYNTHÈSE
Qu’est-ce qu’un vecteur ?
Un vecteur est caractérisé par : – une direction,
– un sens,
– une grandeur (longueur, intensité,…).
On représente un vecteur par un segment orienté (une fl èche).
Si la fl èche qui représente le vecteur a pour origine le point A et pour extrémité le point B, on note ce
vecteur AB.
Si on ne connaît ni l’origine ni l’extrémité de cette fl èche, on notera le vecteur qu’elle représente par une
lettre minuscule surmontée d’une fl èche : u, v,…
Le vecteur nul est noté o ou AA. Il désigne un déplacement de longueur nulle, sans direction, ni sens.
Graphiquement, on représente un vecteur par une
fl èche. Dans un repère cartésien du plan, on caractérise
un vecteur u au moyen de deux nombres appelés
composantes du vecteur : (xu , yu).
Si on connaît les coordonnées du point A(xA , yA) et
celles du point B(xB , yB), alors les composantes du
vecteur AB sont (xB – xA , yB – yA).
A
B
AB
ufi g . 1 0
x
y
01
1
A(5 , 5)
B(2 , 1) AB (– 3 , – 4)
u (9 , 2)
fi g . 11
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