Initiation au cercle trigonométrique (troisième)

Initiation au cercle trigonométrique
I Rappels
On rappelle les formules de trigonométrie suivantes :
•sin \ ABC=côté opposé à
\
ABC
hypoténuse ;•cos \
ABC=côté adjacent à
\
ABC
hypoténuse .
II Le quart de cercle trigonométrique
On définit un repère O;~ i,~ j, et on trace le quart de cercle Cde centre Oet de rayon 1.
On qualifie le quart de cercle ainsi tracé de « quart de cercle trigonométrique ».
OI
J
~
i
~
j
C
1. Repérer un point Msur le quart de cercle trigonométrique.
2. Que vaut la longueur OM ? Justifier votre réponse.
3. Tracer les projetés orthogonaux Het H′de M, respectivement sur [OI]
et sur [OJ].
a) Plaçons nous dans le triangle OM H.
i. En utilisant les formules rappelées ci-dessus, exprimer cos \
MOH.
ii. Justifier que cos \
MOH=OH.
iii. Que représente OH pour le point M?
b) Plaçons nous maintenant dans le triangle OM H′.
i. En utilisant les formules rappelées ci-dessus, exprimer sin \ OMH′.
ii. Expliquer pourquoi
\
OMH′=
\
MOH. Que peut-on ainsi en déduire sur sin \ MOH?
iii. Justifier que sin \
MOH=OH′.
iv. Que représente OH′pour le point M?
III . . . et on ne s’arrête pas en si bon chemin !
1. Expliquer pourquoi OHM H′est un rectangle.
2. Démontrer que cos2\ MOH+ sin2\ MOH= 1.
IV ⋆Et le cercle trigonométrique fût
(Cette partie est facultative, et n’est obligatoire que si vous êtes en avance.)
En fait, on peut définir un cercle entier de rayon 1, appelé « cercle trigonométrique ».
Les règles vues précédemment sont encore valables dans l’intégralité du cercle : le cosinus et le sinus de
l’angle
\
IOM (M∈C) correspondent respectivement à l’abscisse et à l’ordonnée du point M.
1. Justifier que −16cos \
OMI61.
2. De même, justifier que −16sin \
OMI61.
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Initiation au cercle trigo. (correction)
Le quart de cercle trigonométrique
OI
J
M
H
H′
1. voir schéma ci-contre.
2. [OM ] étant un rayon du cercle, on a OM = 1.
3. voir schéma ci-contre.
a) Plaçons nous dans le triangle OM H.
i. cos \ MOH=côté adjacent à
\
MOH
hypoténuse =OH OM .
ii. OM étant égal à 1, on a cos \
MOH=OH.
iii. OH est l’abscisse du point M.
b) Plaçons nous maintenant dans le triangle OM H′.
i. cos \ OMH′=côté opposé à
\
OMH′
hypoténuse =OH′ OM .
ii. Les angles
\
OMH′et
\
MOH étant alternes-internes, on a
\
OMH′=
\
MOH. Autrement dit,
sin \
MOH= sin \
OMH′.
iii. OM étant égal à 1, on a sin \
MOH=OH′.
iv. OH′est l’ordonnée du point M.
. . . et on ne s’arrête pas en si bon chemin !
1. OHMH′est, par hypothèse, un quadrilatère ayant 3 angles droits : c’est donc un rectangle.
2. De la question précédente, on en déduit que OH′=M H.
D’après Pythagore, dans OHM , on a :
OH2+MH2=OM 2⇔OH2+OH′2=OM 2⇔cos2\
MOH+ sin2\
MOH= 1.
⋆Et le cercle trigonométrique fût
(Cette partie était facultative, et n’était obligatoire que si vous étiez en avance.)
1. Par construction, l’abscisse du point Mne peut être supérieur à celle de Ini inférieur à celle de son
symétrique par rapport à O.
On a donc −16cos \
OMI61.
2. voir question précédente en raisonnant avec l’ordonnée du point M.
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