Correction du DM : Ex 25-26-28

Correction des exercices 25 – 26 et 28
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Remarque : Pour calculer le taux d'accroissement d'une fonction f entre a et a+h, (a appartient à un
intervalle I de D
f
) il faut que h réponde à deux conditions.
• h doit être non nul car le taux d'accroissement se calcule entre deux nombres distincts (sinon le
dénominateur sera nul)
• a+h doit appartenir au même intervalle qui contient a.
EXERCICE 25
1
( )
1
f x
x
=
−
; a=2
f est définie pour tout réel x tel que
1 0
x
− ≠
donc D
f
=
{1}
−
»
.
2
f
D
∈
et plus précisément
2 ]1; [
∈ +∞
.
Pour tout réel h non nul tel que
2 ]1; [
h
+ ∈ +∞
, le taux de variation de f entre 2 et 2 +h est :
1 1
1 1 1
1
(2 ) (2) 1 (2 ) 1 2
1 1
1 1 :
1 1 1
h
f h f hh h
h h h
h h h h h h h h
− −
−+
+ − − + − −
− − − −
= = = = = × =
− − + +
.
0
1 1
lim 1
1 1
h
h
→
= =
+
  et 1 est un nombre réel.
Donc f est dérivable en 2 et f'(2)=1.
Vérification algébrique à l'aide de la calculatrice :
Vérification graphique à l'aide de GeoGebra
EXERCICE 26
3
( ) 3
f x x x
= −
. a est un nombre donné.
On a
f
D
=
»
.
Pour tout réel h non nul, le taux de variation de f entre a et a+h est :

3 3
( ) 3( ) ( 3 )
( ) ( )
a h a h a a
f a h f a
h h
+ − + − −
+ −  
=
3 2 2 3 3
3 3 3 3 3
a a h ah h a h a a
h
+ + + − − − +
=
2 2 3
3 3 3
a h ah h h
h
+ + −
=
2 2 2 2
(3 3 3)
3 3 3
h a ah h a ah h
h
+ + −
= = + + −
.
(
)
2 2 2
0
lim 3 3 3 3 3
h
a ah h a
→
= + + − = −
.
Donc pour tout réel a, f est dérivable en a et f'(a) = 3a
2
− 3.
Vérification
EXERCICE 28
1
( )
f x x
x
= −
,
*
f
D
=
»
.
1. Pour tout réel h non nul ("h non nul" n'est pas une condition nécessaire pour calculer f(1 + h)) tel
que 1 + h > 0 (cela veut dire que
1 ]0; [
h
+ ∈ +∞
, l'intervalle qui contient 1),
22
(1 ) 1
1 2
(1 ) 1
1 1 1
h
h h
f h h
h h h
+ −
+
+ = + − = =
+ + +
.
2. Taux d'accroissement de f entre 1 et 1 + h (h non nul et 1 + h > 0)
2
2 1
1
1 1
(1 ) (1) ( 2)
1 2
1 1
h h
h
f h f h h
h
h h h h h
+ 
− −
+
+ − +
+
= = × =
+ +
.
0
2
lim 2
1
h
h
h
→
+
=
+
.
Donc f est dérivable en 1 et
'(1) 2
f
=
.