Correction du DM : Ex 25-26-28

Correction des exercices 25 – 26 et 28
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Remarque : Pour calculer le taux d'accroissement d'une fonction f entre a et a+h, (a appartient à un
intervalle I de Df ) il faut que h réponde à deux conditions.
• h doit être non nul car le taux d'accroissement se calcule entre deux nombres distincts (sinon le
dénominateur sera nul)
• a+h doit appartenir au même intervalle qui contient a.
EXERCICE 25
1
; a=2
1− x
f est définie pour tout réel x tel que 1− x ≠ 0 donc Df = » −{1} .
2 ∈D f et plus précisément2∈]1; +∞[ .
f ( x) =
Pour tout réel h non nul tel que2 + h∈]1; +∞[ , le taux de variation de f entre 2 et 2+ h est :
1
1
1
1−1− h
−
f (2+ h)− f (2) 1−(2+ h) 1−2 −1− h +1 −1− h
−h
h 1 1
:h =
=
=
=
=
× =
.
h
h
h
h
−1 − h
1+ h h 1 + h
1  1
lim 
 = =1 et 1 est un nombre réel.
h→0  1+ h  1
Donc f est dérivable en 2 et f'(2)=1.
Vérification algébrique à l'aide de la calculatrice :
Vérification graphique à l'aide de GeoGebra
EXERCICE 26
f (x) = x 3 −3x . a est un nombre donné.
On a D f = » .
Pour tout réel h non nul, le taux de variation de f entre a et a + h est :
3
3
f (a + h)− f (a) (a + h) −3(a + h) −(a −3a)
=
h
h
3
2
2
3
a + 3a h + 3ah + h −3a −3h −a3 +3a
=
h
2
2
3
3a h+ 3ah + h −3h h(3a2 + 3ah + h2 −3)
=
=
= 3a2 + 3ah + h2 −3 .
h
h
lim = 3a2 +3ah+ h2 −3 = 3a2 −3 .
h→0
(
)
Donc pour tout réel a, f est dérivable en a et f'(a)=3a 2−3.
Vérification
EXERCICE 28
1
f (x) = x − , D f = »* .
x
1. Pour tout réel h non nul ("h non nul" n'est pas une condition nécessaire pour calculer f(1+ h)) tel
que 1+ h >0 (cela veut dire que 1+ h∈]0; +∞[ , l'intervalle qui contient 1),
1 (1+ h)2 −1 h2 +2h
.
=
=
1+ h
1+ h
1+ h
2. Taux d'accroissement de f entre 1 et 1+ h (h non nul et 1+ h >0)
h2 +2h  1 
−  1− 
f (1+ h)− f (1) 1+ h  1  h(h+2) 1 h +2
=
=
× =
.
h
h
1 + h h h +1
h+2 
lim 
 =2 .
h→0  h +1 
Donc f est dérivable en 1 et f '(1) = 2 .
f (1+ h) =1+ h−