TD 8 - équations différentielles

IUFM du Limousin 2008-09
PLC1 Mathématiques
S. Vinatier Exercices
TD 8 - équations différentielles
Exercice 1
1. Un résultat classique
On considère l’équation différentielle (E)dont les solutions sont des fonctions fdéfinies sur
Ret deux fois dérivables :
f+f00 = 0 (E).
a) Montrer que l’ensemble Fdes solutions de cette équation est un espace vectoriel sur R.
b) Montrer que les fonctions sin et cos sont solutions de cette équation.
c) Montrer que le sous-espace de Fengendré par sin et cos est de dimension 2.
d) Pour tout fonction φde Rdans Rdeux fois dérivable, montrer qu’on peut trouver deux
fonctions uet v, deux fois dérivables, telles que pour tout réel ton ait :
(u(t) cos t+v(t) sin t=φ(t)
−u(t) sin t+v(t) cos t=φ0(t).
e) En déduire que les fonctions sin et cos constituent une base de F.
f) En déduire finalement que la fonction sin est la seule solution de (E)satisfaisant les
conditions initiales
f(0) = 0 et f0(0) = 1 .
2. Une autre équation différentielle
Soit fune application de classe C1sur R, vérifiant :
∃λ∈R,∀t∈R, f0(t) = f(−t+λ).
Montrer que fest de classe C∞sur Ret qu’elle est solution d’une équation différentielle
linéaire du second ordre. Donner la forme générale des solutions de cette équation.
Exercice 2
On envisage l’équation différentielle sur R+
y0=qx2+y2.
On va montrer l’existence et l’unicité de la solution nulle en 0de cette équation (cette solution
n’est pas exprimable à l’aide des fonctions élémentaires).
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1. Une inégalité élémentaire
L’utilisation de la distance dans le plan permet de prouver l’inégalité :
∀a, b, c ∈R+avec c≥b, √a2+c2−√a2+b2≤c−b .
a) Expliquer comment.
b) Obtenir brièvement ce résultat sans recourir à la géométrie.
2. Existence de la solution nulle en 0
On définit la suite (fn)de fonctions sur R+par f0(x)=0et,
pour n≥1, fn(x) = Zx
0qt2+f2
n−1(t)dt .
a) Montrer que chaque fnainsi définie est une fonction de classe C1sur R+et nulle en 0,
strictement croissante si n≥1. Calculer f1(x). Montrer qu’on a, pour n≥1:
0≤fn(x)−fn−1(x)≤xn+1
(n+ 1)! pour tout xdans R+.
b) Montrer que la suite (fn)converge vers une fonction fvérifiant :
x2
2≤f(x)≤ex−x−1pour tout xdans R+.
Montrer que fest continue.
c) Montrer que la suite (f0
n)des dérivées vérifie pour n≥1:
0≤f0
n+1(x)−f0 n(x)≤fn(x)−fn−1(x)pour tout xdans R+.
En déduire que fest une fonction de classe C1, nulle en 0, vérifiant :
f0(x) = qx2+f2(x)pour tout xdans R+.
Montrer que fest de classe C∞sur R+.
3. Unicité de la solution nulle en 0
On suppose que y1et y2sont des solutions sur R+nulles en 0de y0=√x2+y2. On pose
δ= (y1−y2)2.
Montrer que la fonction x7→ δ(x)e−2xest décroissante sur R+.
Conclure.
Exercice 3
On considère le système d’équations différentielles
(S)((1 −t2)x0(t) = −tx(t) + y(t)+1 ,
(1 −t2)y0(t) = x(t)−ty(t)+1 .
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1. Existence et unicité de la solution
a) On pose X(t) = x(t)
y(t). Identifier les matrices a(t)et b(t)telles que (x(t), y(t))soit solution
de (S)si et seulement si X(t)vérifie :
X0(t) = a(t)X(t) + b(t).
b) Justifier l’existence d’une solution de (S)sur tout intervalle Iinclus dans R\ {−1,1}.
À quelle condition supplémentaire a-t-on unicité de la solution sur un tel intervalle ?
2. Solution du système homogène associé
On fixe un intervalle I⊂]−1,1[ avec 0∈I.
a) Écrire la primitive A(t)de a(t)définie sur Iet nulle en 0.
b) Soit P=1 1
1−1, déterminer les fonctions λ1et λ2définies sur Itelles que A=
P−1λ10
0λ2P; calculer Anpour n∈N, en déduire l’expression de eA(t).
c) Vérifier que eA(t)0=a(t)eA(t).
d) En déduire que la famille (X1, X2), où X1(t) = 1
tet X2(t) = t 1, est une base de
l’espace vectoriel des solutions du système homogène (S0)associé à (S):
X0(t) = a(t)X(t).
3. Variation des constantes
On cherche une solution X(t)de (S)sous la forme
X(t) = k1(t)X1(t) + k2(t)X2(t),
où k1et k2sont des fonctions dérivables de Idans R. On pose K=k1
k2et W= (X1, X2).
a) Vérifier que X=W K et W0=aW .
b) Montrer que Xest solution de (S)si et seulement si K0=W−1b.
c) En déduire la forme générale des solutions de (S).
Exercice 4
On cherche une solution de l’équation différentielle
(E)y00 −2xy0−2y= 0 ,
sous forme de série entière y=+∞
P
n=0
anxn.
1. Établir la relation de récurrence an=2
nan−2pour tout n≥2.
2. En déduire que l’on a y(x) = a0y1(x) + a1y2(x), où
y1(x) =
+∞
X
p=0
x2p
p!, y2(x) =
+∞
X
p=0
2p
1·3···(2p+ 1)x2p+1 .
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3. Calculer les valeurs en 0de y1,y2et de leurs dérivées ; en déduire que (y1, y2)est une base
de l’espace vectoriel des solutions de (E).
4. Identifier la fonction y1; montrer que le rayon de convergence de la série entière qui définit
y2est infini (on pourra considérer le rapport de deux cœfficients non nuls consécutifs).
5. On cherche y2sous la forme y2=zex2, où zest une fonction de classe C2sur R. Écrire
l’équation différentielle vérifiée par la dérivée z0de z, en déduire l’expression de y2et vérifier
que la forme générale des solutions de (E)est
y(x) = ex2λ+µZx
0
e−t2dt, λ, µ ∈R.
6. On cherche les solutions yde (E)qui ont une limite finie en +∞, où yest donné sous la
forme ci-dessus.
a) Montrer qu’alors λ+µ√π
2= 0, puis que y(x) = −µex2R+∞
xe−t2dt.
b) Montrer que e−t2=1
2t(−e−t2)0pour tout t > 0; en déduire une majoration de R+∞
xe−t2dt.
c) Conclure.
Exercice 5
On considère l’équation différentielle du second ordre :
(E) (1 + x)y00 −2y0+ (1 −x)y= 0 .
1. Vérifier que u(x) = exest une solution de (E).
2. Montrer que, si yest solution de (E), alors la dérivée de z=y
usatisfait une équation
différentielle du premier ordre ; en déduire l’expression de z0.
3. On cherche zsous la forme z(x) = P(x)e−2x, où Pest une fonction polynômiale en x.
Montrer que P0(x)−2P(x) = (x+1)2; en déduire le degré de P, puis que P00(x) = −1pour
tout x. Donner P.
4. Donner la forme générale des solutions de (E).
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