TD 8 - équations différentielles

IUFM du Limousin
PLC1 Mathématiques
S. Vinatier
2008-09
Exercices
TD 8 - équations différentielles
Exercice 1
1. Un résultat classique
On considère l’équation différentielle (E) dont les solutions sont des fonctions f définies sur
R et deux fois dérivables :
f + f 00 = 0
(E) .
a) Montrer que l’ensemble F des solutions de cette équation est un espace vectoriel sur R.
b) Montrer que les fonctions sin et cos sont solutions de cette équation.
c) Montrer que le sous-espace de F engendré par sin et cos est de dimension 2.
d) Pour tout fonction φ de R dans R deux fois dérivable, montrer qu’on peut trouver deux
fonctions u et v, deux fois dérivables, telles que pour tout réel t on ait :
(
u(t) cos t + v(t) sin t = φ(t)
−u(t) sin t + v(t) cos t = φ0 (t) .
e) En déduire que les fonctions sin et cos constituent une base de F .
f) En déduire finalement que la fonction sin est la seule solution de (E) satisfaisant les
conditions initiales
f (0) = 0 et f 0 (0) = 1 .
2. Une autre équation différentielle
Soit f une application de classe C 1 sur R, vérifiant :
∃λ ∈ R, ∀t ∈ R, f 0 (t) = f (−t + λ) .
Montrer que f est de classe C ∞ sur R et qu’elle est solution d’une équation différentielle
linéaire du second ordre. Donner la forme générale des solutions de cette équation.
Exercice 2
On envisage l’équation différentielle sur R+
y0 =
q
x2 + y 2 .
On va montrer l’existence et l’unicité de la solution nulle en 0 de cette équation (cette solution
n’est pas exprimable à l’aide des fonctions élémentaires).
1
1. Une inégalité élémentaire
L’utilisation de la distance dans le plan permet de prouver l’inégalité :
√
√
∀a, b, c ∈ R+ avec c ≥ b, a2 + c2 − a2 + b2 ≤ c − b .
a) Expliquer comment.
b) Obtenir brièvement ce résultat sans recourir à la géométrie.
2. Existence de la solution nulle en 0
On définit la suite (fn ) de fonctions sur R+ par f0 (x) = 0 et,
pour n ≥ 1 ,
fn (x) =
Z xq
0
2
t2 + fn−1
(t)dt .
a) Montrer que chaque fn ainsi définie est une fonction de classe C 1 sur R+ et nulle en 0,
strictement croissante si n ≥ 1. Calculer f1 (x). Montrer qu’on a, pour n ≥ 1 :
0 ≤ fn (x) − fn−1 (x) ≤
xn+1
(n + 1)!
pour tout x dans R+ .
b) Montrer que la suite (fn ) converge vers une fonction f vérifiant :
x2
≤ f (x) ≤ ex − x − 1
2
pour tout x dans R+ .
Montrer que f est continue.
c) Montrer que la suite (fn0 ) des dérivées vérifie pour n ≥ 1 :
0
0 ≤ fn+1
(x) − fn0 (x) ≤ fn (x) − fn−1 (x)
pour tout x dans R+ .
En déduire que f est une fonction de classe C 1 , nulle en 0, vérifiant :
f 0 (x) =
q
x2 + f 2 (x)
pour tout x dans R+ .
Montrer que f est de classe C ∞ sur R+ .
3. Unicité de la solution nulle en 0
√
On suppose que y1 et y2 sont des solutions sur R+ nulles en 0 de y 0 = x2 + y 2 . On pose
δ = (y1 − y2 )2 .
Montrer que la fonction x 7→ δ(x)e−2x est décroissante sur R+ .
Conclure.
Exercice 3
On considère le système d’équations différentielles
(
(S)
(1 − t2 )x0 (t) = −tx(t) + y(t) + 1 ,
(1 − t2 )y 0 (t) = x(t) − ty(t) + 1 .
2
1. Existence et unicité de la solution
a) On pose X(t) = x(t)
. Identifier les matrices a(t) et b(t) telles que (x(t), y(t)) soit solution
y(t)
de (S) si et seulement si X(t) vérifie :
X 0 (t) = a(t)X(t) + b(t) .
b) Justifier l’existence d’une solution de (S) sur tout intervalle I inclus dans R \ {−1, 1}.
À quelle condition supplémentaire a-t-on unicité de la solution sur un tel intervalle ?
2. Solution du système homogène associé
On fixe un intervalle I ⊂ ]− 1, 1[ avec 0 ∈ I.
a) Écrire la primitive A(t) de a(t) définie sur I et nulle en 0.
b) Soit P =
P −1
λ1
0
0 λ2
1 1
1 −1
, déterminer les fonctions λ1 et λ2 définies sur I telles que A =
P ; calculer An pour n ∈ N, en déduire l’expression de eA(t) .
c) Vérifier que eA(t)
0
= a(t)eA(t) .
d) En déduire que la famille (X1 , X2 ), où X1 (t) = 1t et X2 (t) = 1t , est une base de
l’espace vectoriel des solutions du système homogène (S0 ) associé à (S) :
X 0 (t) = a(t)X(t) .
3. Variation des constantes
On cherche une solution X(t) de (S) sous la forme
X(t) = k1 (t)X1 (t) + k2 (t)X2 (t) ,
où k1 et k2 sont des fonctions dérivables de I dans R. On pose K =
k1
k2
a) Vérifier que X = W K et W 0 = aW .
b) Montrer que X est solution de (S) si et seulement si K 0 = W −1 b.
c) En déduire la forme générale des solutions de (S).
Exercice 4
On cherche une solution de l’équation différentielle
(E)
sous forme de série entière y =
+∞
P
n=0
y 00 − 2xy 0 − 2y = 0 ,
an x n .
1. Établir la relation de récurrence an = n2 an−2 pour tout n ≥ 2.
2. En déduire que l’on a y(x) = a0 y1 (x) + a1 y2 (x), où
+∞
X
x2p
y1 (x) =
,
p=0 p!
+∞
X
2p
y2 (x) =
x2p+1 .
p=0 1 · 3 · · · (2p + 1)
3
et W = (X1 , X2 ).
3. Calculer les valeurs en 0 de y1 , y2 et de leurs dérivées ; en déduire que (y1 , y2 ) est une base
de l’espace vectoriel des solutions de (E).
4. Identifier la fonction y1 ; montrer que le rayon de convergence de la série entière qui définit
y2 est infini (on pourra considérer le rapport de deux cœfficients non nuls consécutifs).
2
5. On cherche y2 sous la forme y2 = zex , où z est une fonction de classe C 2 sur R. Écrire
l’équation différentielle vérifiée par la dérivée z 0 de z, en déduire l’expression de y2 et vérifier
que la forme générale des solutions de (E) est
y(x) = ex
2
λ+µ
Z x
2
e−t dt
,
0
λ, µ ∈ R .
6. On cherche les solutions y de (E) qui ont une limite finie en +∞, où y est donné sous la
forme ci-dessus.
√
a) Montrer qu’alors λ + µ
b) Montrer que e
−t2
=
π
= 0,
2
−t2 0
1
(−e
2t
puis que y(x) = −µex
2
R +∞ −t2
e dt.
x
) pour tout t > 0 ; en déduire une majoration de
R +∞ −t2
e dt.
x
c) Conclure.
Exercice 5
On considère l’équation différentielle du second ordre :
(E)
(1 + x)y 00 − 2y 0 + (1 − x)y = 0 .
1. Vérifier que u(x) = ex est une solution de (E).
2. Montrer que, si y est solution de (E), alors la dérivée de z =
différentielle du premier ordre ; en déduire l’expression de z 0 .
y
u
satisfait une équation
3. On cherche z sous la forme z(x) = P (x)e−2x , où P est une fonction polynômiale en x.
Montrer que P 0 (x) − 2P (x) = (x + 1)2 ; en déduire le degré de P , puis que P 00 (x) = −1 pour
tout x. Donner P .
4. Donner la forme générale des solutions de (E).
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