Etude énergétique des systèmes mécaniques

Term S – Physique
Chapitre 13
Etude énergétique des systèmes mécaniques
Dans son fameux cours Feynman’s lectures on Physics, le prix Nobel de physique américain Richard Phillips
Feynman (1918–1988) énonce la propriété suivante : la principale caractéristique de l’énergie est d’être
conservée. De fait, ce n’est qu’après la « découverte » de ce que l’on a appelé le principe de conservation de
l’énergie qu’elle a acquis le statut de concept de la physique.
Premières idées
Le mathématicien et physicien suisse Jean Bernoulli (1667–1748), ami de Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–
1716), a introduit le mot dans une lettre en date du 26 janvier 1717, où il définit l’énergie comme la produit de la
force appliquée à un corps par le déplacement infinitésimal sous l’effet de cette force. Bernoulli introduit ce terme
en toute connaissance de son étymologie grecque : chez Aristote, energeia () désigne force en action, par
opposition à dynamis (), force en puissance.
Une idée de conservation comme leit-motiv
La définition de l’énergie (produit de deux grandeurs) donnée par Bernoulli est immédiatement suivie d’un
théorème de conservation. Mais pour Bernoulli ce principe de conservation n’est pas le grand principe qui régit le
monde : il est d’une application bien trop limitée. L’idée dans l’air du temps, parmi les mécaniciens et les
philosophes, était qu’il existe quelque chose (à découvrir) qui garde toujours la même valeur, en sorte que si une
quantité de cette chose semble disparaître, c’est qu’elle s’est simplement transformée. Citons pour nous en
persuader la Critique de la raison pure (1781), d’Immanuel Kant (1724–1804) :
« Principe de la permanence de la substance.
La substance persiste dans tout le changement des phénomènes
Et sa quantité n’augmente ni ne diminue dans la nature. »
Oui, mais quelle grandeur se conserve ?
En 1690, Leibniz avait montré que ce qui est conservé n’est pas, comme le prétendait René Descartes (1596–
1650), la quantité de mouvement totale (somme des produits masse × vitesse) mais ce qu’il avait appelé vis viva
(force vive), produit de la masse par le carré de la vitesse. Comme souvent en Physique, où la dénomination joue
un rôle essentiel, l’émergence du concept d’énergie a donné lieu à un débat sémantique au terme duquel les mots
force et énergie, longtemps mêlés, ont reçu chacun une définition bien précise.
La révolution industrielle
Le point marquant de cette rectification des concepts n’est pas dû aux physiciens eux-mêmes. Le concept
d’énergie est un enfant de la révolution industrielle, en ce sens que des ingénieurs et des médecins ont à un
moment servi de relais en mettant l’accent sur la notion de conversion (différente de celle de conservation), qui
était leur pain quotidien. La loi de conservation de l’énergie et donc la « découverte » de l’énergie ont été rendues
possibles par l’existence d’un nombre de plus en plus grand de conversions. Citons par exemple
 L’invention de la pile électrique par Alessandro Volta (1745–1827) en 1800
 La conversion du mouvement en courant électrique par Michael Faraday (1791–1867) en 1831
 L’invention de la photographie par Joseph Nicéphore Niepce (1765–1833) en 1816
sans oublier, bien sûr, la conversion de la chaleur en mouvement telle qu’elle s’effectue depuis quelques
décennies déjà dans les machines à vapeur comme celle de James Watt (1736–1819) dès 1769.
La machine de Helmholtz
En effet, c’est l’étude de la chaleur (thermodynamique) et de la façon dont elle produit du travail mécanique, à
laquelle ont participé des anglais tels que James Prescott Joule (1818–188) ou William Thomson, Lord Kelvin
(1824–1907), le français Nicolas Léonard Sadi Carnot (1796–1832) et les allemands Julius Robert von Mayer
(1814–1878) et Hermann Ludwig von Helmholtz (1821–1894), qui a abouti au mémoire de Helmholtz où il établit
la loi de conservation : Helmholtz est le premier à avoir montré que ces diverses formes interconverties sont en
fait des parties d’une même quantité, l’énergie, dont il a démontré mathématiquement la constance au cours du
temps.
Donnons pour conclure quelques indications sur l’évolution du concept d’énergie au XXème siècle. On sait
qu’Einstein, en 1905 (son annus mirabilis), a démontré l’équivalence entre la masse (inertielle) et l’énergie,
unifiant les deux notions de la Physique classique qui avaient à voir avec la notion philosophique de substance.
2
1 – Le travail des forces
Dans tout ce qui suit, les systèmes seront étudiés dans un référentiel terrestre supposé galiléen.
1.1 – Travail d’une force constante
Historiquement, la première forme d’énergie appréhendée par les physiciens le fut par l’intermédiaire du
travail, par Jean Bernoulli dès 1717.

On considère une force F constante dont le point d’application se déplace d’un point A à un point B. Le


travail WAB de la force F lors de ce déplacement s’exprime par le produit scalaire des vecteurs F et

AB ,
WAB : travail en joules (J)

F
: valeur de la force en newtons (N)
WAB F 
AB : longueur du déplacement en mètres (m)
 
F , AB : angle orienté en radians (rad)
 


Le travail est une grandeur algébrique (ie. positive ou négative), c’est là tout l’intérêt de l’utilisation du
produit scalaire. Il traduit l’effet d’une force sur le mouvement, en augmentant ou en amputant l’énergie
d’un système. Le travail est un transfert énergétique.

WAB F  0
  
0  F , AB   ou 90 
2
La force favorise le
déplacement
Le travail est moteur
Cas du poids lors d’une
descente


WAB F  0
  
F , AB   ou 90 
2
La force n’a pas d’effet sur le
déplacement
Le travail est nul
Cas du poids lors d’un
déplacement horizontal
 

 



WAB F  0
 

 ou 90   F , AB    ou 180 
2
La force gêne le déplacement
 


Le travail est résistant
Cas du poids lors d’une montée
Le travail d’une force constante est indépendant du chemin suivi pour aller d’un point à un autre.

F
A

F

F
trajet n°1

F
B
trajet n°2
On le démontre en décomposant le trajet considéré en éléments vectoriels infinitésimaux,
    
  


  
WAB F  F  d l1  F  d l2    F  d ln  F  d l1  d l2    d ln  F  AB
 


1.2 – Application : le travail du poids
Tant que le déplacement du système étudié est localisé et se fait à proximité de la surface de la Terre, le



champ de pesanteur g est considéré comme constant : le poids P  m g est donc une force constante.
Le travail du poids d’un solide de mass m dont le centre d’inertie G se déplace d’un point A à un point B
a pour expression
  
 
WAB P  P  AB  m g  AB
 
 
Dans le repère O ; i, j , k , associé au référentiel terrestre, l’axe (Oz) est un axe vertical ascendant et


0
 
g 0
 g

et
3
 x  xA
  B
AB  yB  y A
z  z
 B A
d’où l’on tire
1.3 – Travail d’une force non constante
La plupart des forces ne sont pas constantes. C’est le cas par exemple de la force de gravitation qui
s’exerce sur un satellite terrestre, de la tension du fil d’un pendule ou encore de la force de rappel d’un
ressort.
Comment calculer le travail d’une force lorsqu’elle n’est pas constante ?
1.3.1 – Travail élémentaire

On considère une force F dont la valeur, la direction et/ou le sens change(nt) lorsque son point
d’application se déplace entre les points A et B.

On appelle déplacement élémentaire d l un vecteur
 tangent à la trajectoire du point d’application
 infiniment petit
 de même sens que le déplacement du point d’application
Une force quelconque peut toujours être considérée comme constante sur un déplacement élémentaire.


Le travail élémentaire, noté δW1, d’une force F durant un déplacement élémentaire d l a pour
expression
 
W  F  d l
1.3.2 – Travail global


Lorsqu’une force F s’exerce le long d’un déplacement AB , on admet qu’il est toujours possible de


décomposer le vecteur AB en une infinité de déplacements élémentaires d li tels que
  
AB   d li
i 1

Le travail global WAB de la force F est la somme de ses travaux élémentaires δW, ce que l’on note
1.4 – Application : le travail de la force exercée par un opérateur sur un ressort

Fop est la force de contact qui modélise l’action exercée par un opérateur sur l’extrémité libre d’un



ressort pour le comprimer ou l’étirer. Nous avons vu au chapitre précédent que Fop   F , où F est la
force de rappel exercée par le ressort.
Comme dans le chapitre 13, on choisit un axe (x’x) parallèle à l’axe du ressort, d’origine O

correspondant à la position de repos de l’extrémité libre du ressort et de vecteur unitaire i .
1
Remarque : W et non dW, car ce travail infinitésimal résulte d’un déplacement élémentaire, mais n’est pas élémentaire luimême.
A1

Fop
Ressort comprimé
La force de rappel s’écrit alors
4

F
Ao
Ressort au repos

et ainsi Fop s’écrit
A2

F
Ressort étiré

Fop
A1 Ao

A2
Cette force est toujours colinéaire au vecteur i , mais sa valeur dépend de x et son sens change au cours
du mouvement selon le signe de x.


Son déplacement se décompose en déplacements élémentaires d l colinéaires au vecteur i , que l’on


peut donc noter d l  dx i .

Le travail global de la force Fop lors du déplacement de A à B est la somme infinie
Or, k x dx représente l’aire du rectangle bleu sur la figure suivante. Donc, la somme infinie
 k x dx est
égale à l’aire A algébrique du trapèze rose.
y
y=kx
k xB

WAB Fop  A
 
kx
k xA
A
x
O
xA
x x + dx
xB
On peut calculer l’aire de ce trapèze de manière géométrique ou analytique.
Méthode géométrique
L’aire d’un trapèze est donnée par la formule suivante
base  BASE
A
2
base
h
BASE
Ici,
5
Méthode analytique
A représentant l’aire comprise sous la courbe y(x) = k x, au-dessus de l’axe des abscisses et entre les
abscisses xA et xB, nous sommes en présence de la notion d’intégrale :
Le travail de la force appliquée par un opérateur à l’extrémité libre d’un ressort lors d’un déplacement de
l’abscisse xA à l’abscisse xB de cette extrémité libre est
 1
WAB Fop  k  xB 2  xA 2 
2
Lorsque l’axe (x’x) est parallèle à l’axe du ressort et son origine O correspond à la position de repos du
ressort.
 
2 – Energie potentielle
Une énergie potentielle dépend des coordonnées d’espace et de temps et est associée à une force dite
conservative dont on obtient l’expression par dérivation. C’est le cas du poids (énergie potentielle de
pesanteur) ou de la force de rappel du ressort (énergie potentielle élastique).
2.1 – Energie potentielle de pesanteur
Nous avons vu en classe de 1ère S que l’énergie potentielle de pesanteur Epp d’un solide en interaction
avec la Terre est une grandeur associée à sa position par rapport à la Terre. Sa variation au cours d’un
déplacement du centre d’inertie du solide de l’altitude zA à l’altitude zB est l’opposé du travail du poids
lors du déplacement,

E pp  WAB P  mg  z B  z A 
 
où (Oz) est l’axe des altitudes, orienté vers le haut. En d’autres termes,
E pp  E pp  B   E pp  A  mgzB  mgz A
L’énergie potentielle de pesanteur d’un solide a pour expression
E pp  z   mgz  K
Lorsque l’axe des altitudes (Oz) est orienté vers le haut. On détermine la constante K telle que Epp
s’annule pour une altitude choisie comme référence.
Pour déplacer le solide par rapport à la Terre, un opérateur doit vaincre l’attraction terrestre ; son action


peut être représentée par une force Fop   P . Alors,

E pp  E pp  B   E pp  A   WAB Fop
 
Généralisons cette approche.
2.2 – Cas général
On considère un déplacement du centre d’inertie d’un solide dû à un opérateur extérieur, dont l’action

est modélisée par une force Fop .

La variation d’énergie potentielle du solide liée à la force Fop lors de son déplacement entre deux états A

et B dans lesquels le solide est immobile est égale au travail de la force Fop pour amener ce solide de A
à B,

E p  E p  B   E p  A  WAB Fop
 
6
z
Epp(B)
zA
zB

WAB Fop  0
 
opérateur
Epp(A)
2.3 – Energie potentielle élastique d’un ressort
Cette énergie est la part d’énergie liée à la déformation du ressort.
On note (x’x) l’axe du ressort de raideur k ; son origine O coïncide avec la position au repos de
l’extrémité libre.

F
O xB
xA

F
Epp(B)

Fop
opérateur
La variation d’énergie potentielle élastique du ressort est

WAB Fop  0
 
Epp(A)

E pe  E pe  B   E pe  A   WAB Fop
 
On choisit naturellement une énergie potentielle nulle pour la position du ressort où la déformation est
nulle, soit E pe  0   0 J donc K’ = 0 J.
7
L’énergie potentielle élastique d’un ressort a pour expression
1
E pe ( x)  k x 2
2
lorsque l’axe (x’x) est parallèle à l’axe du ressort et son origine O correspond à la position de repos du
ressort.
3 – Energie mécanique
Comme nous l’avons vu en 1ère S, les diverses formes d’énergie d’un système peuvent être converties les
unes en les autres par travail, transfert thermique ou rayonnement.
3.1 – Rappels sur l’énergie cinétique
L'énergie cinétique est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement réel. L’énergie
cinétique d’un corps est égale au travail nécessaire pour faire passer le dit corps du repos à son
1
mouvement de translation ou de rotation. Pour un corps en translation à la vitesse v, Ec  m v 2 (en
2
joules si la masse est en kg et la vitesse en m.s–1).
Historique
Bien que les anciens philosophes, tels que Thales de Milet, aient eu l'intuition d'une loi de conservation
de l'énergie, c'est l'allemand Gottfried Wilhelm von Leibniz qui en proposa la première formulation
mathématique entre 1676 et 1689. Leibniz remarqua que dans de nombreux systèmes mécaniques
(contenant plusieurs masses mi de vitesse vi) la quantité :
 mi vi 2
i
était conservée. Il appela cette grandeur vis viva ou force vive du système.
« Il y a longtemps déjà que j’ai corrigé la doctrine de la conservation de la quantité de mouvement, et
que j’ai posé à sa place quelque chose d’absolu, justement la chose qu’il faut, la force (vive) absolue…
On peut prouver, par raison et par expérience, que c’est la force vive qui se conserve… »
Cependant de nombreux physiciens, influencés par le prestige de Isaac Newton en Angleterre et de René
Descartes en France, qui tout deux défendaient le principe de conservation de la quantité de mouvement,
considéraient que la grandeur :
 mi vi
i
étaient la force vive conservée. Ce furent essentiellement des ingénieurs comme John Smeaton, Peter
Ewart, Karl Hotzmann, Gustave-Adolphe Hirn ou Marc Séguin qui objectèrent que la seule conservation
de la quantité de mouvement ne menait pas aux résultats attendus et qui firent les premiers usages du
principe formulé par Leibniz. Ce principe fut également défendu par le chimiste William Hyde
Wollaston.
Des scientifiques éminents tels que John Playfair furent prompts à remarquer que la force vive n'était pas
exactement conservée. C'est maintenant une évidence en raison de l'analyse moderne due à la
thermodynamique, mais au XVIIIe et XIXe siècle, le devenir de l'énergie perdue était encore inconnu.
Graduellement apparut l'idée que la chaleur générée par le mouvement était une autre forme de force
vive. En 1783, Antoine Lavoisier et Pierre-Simon Laplace exposèrent deux théories concurrentes : celle
de la vis viva et celle de la théorie du calorique. En 1798, les observations de Rumford sur la génération
de chaleur durant les tirs des canons renforça le principe de la transformation de la force vive en chaleur.
La vis viva commença à être appelée énergie, après que le terme a été utilisé pour la première fois par
Thomas Young en 1807.
La redéfinition de la vis viva en
1
 mi vi 2
2 i
fut la conséquence de travaux de Gaspard-Gustave Coriolis et Jean-Victor Poncelet sur la période 18191839. Le premier appelait la grandeur quantité de travail et le deuxième travail mécanique, et les deux
l'utilisèrent dans les calculs d'ingénierie.
8
Théorème de l’énergie cinétique
Dans un référentiel galiléen, pour un corps ponctuel de masse m constante parcourant un chemin reliant
un point A à un point B, la variation d’énergie cinétique est égale à la somme WAB des travaux des
forces extérieures et intérieures qui s’exercent sur le solide en question

Ec  Ec ( B )  Ec ( A)   W Fint/ext
AB


Nota
L’énergie thermique est une forme d’énergie due à l’énergie cinétique totale des
molécules et des atomes qui forment la matière. La relation entre la chaleur, la
température et l’énergie cinétique des atomes et des molécules est l’objet de la
mécanique statistique et de la thermodynamique.
De nature quantique, l’énergie thermique se transforme en énergie électromagnétique
par le phénomène de rayonnement du corps noir.
La chaleur, qui représente un échange d’énergie thermique, est aussi analogue à un
travail dans le sens où elle représente une variation de l’énergie interne du système.
L’énergie représentée par la chaleur fait directement référence à l’énergie associée à
l’agitation moléculaire. La conservation de la chaleur et de l’énergie mécanique est
l’objet du premier principe de la thermodynamique.
3.2 – Conversion des diverses formes d’énergie
On peut étudier, comme on l’a fait en 1ère S,
l’évolution temporelle des énergies cinétique et
potentielle de pesanteur d’une bille d’acier ou de
ping pong dans l’air.
Evolution des énergies cinétique et
potentielle de pesanteur lors du lancer de
projectiles,
a. Les frottements sont négligés
b. Les frottements sont à l’origine de la
diminution de l’énergie mécanique
Les résultats obtenus en l’absence de frottements ont montré que lorsque Ec est maximale, Epp est
minimale et réciproquement : il y a conversion d’une forme d’énergie en l’autre, par l’intermédiaire du
travail du poids.
Dans le cas du dispositif solide–ressort horizontal, on éloigne le solide de sa position de repos O et, à
l’instant de date to = 0 s, on le lâche sans vitesse initiale.
Une interface d’acquisition fournit x(t) où x est l’abscisse du centre d’inertie G du solide et permet de
1
1
tracer, à partir de cette fonction, Ec (t )  m vx 2 (t ) et E pe (t )  k x 2 (t ) .
2
2
Les courbes obtenues montrent que lorsque Ec est maximale, Epe est minimale et réciproquement : il y a
conversion d’une forme d’énergie en l’autre, par l’intermédiaire du travail de la force de rappel du
ressort.
9
3.3 – Conservation de l’énergie mécanique
L’étude de la chute d’un projectile ou du mouvement d’une ressort a démontré que les énergies cinétique
et potentielle se compensent : dans certaines conditions, la quantité Ec + Ep est constante au cours du
mouvement, on l’appelle énergie mécanique du système et on la note Em.
L’énergie mécanique d’un système qui n’est soumis à aucun frottement se conserve : elle est constante
au cours du temps.
L’énergie mécanique d’un système qui est soumis à des forces de frottement diminue au cours du temps.
Sa diminution est égale au travail des forces de frottement,

Em  W f  0
 
Vous voilà maintenant dotés de trois lois fondamentales en mécanique : la 2ème loi de Newton, la
conservation de l’énergie mécanique, le théorème de l’énergie cinétique. Le niveau d’information de ces
trois lois est le même : la 2ème loi de Newton prend le statut de relation fondamentale de la dynamique
(RFD) car elle permet à elle seule d’obtenir les deux autres lois.
Avec ce bagage mathématique, on peut quasiment lancer des fusées et mettre en orbite des satellites…
Quasiment ! Cela peut tout de même être encore approfondi.
10
4 – Exemples fondamentaux
4.1 – Energie mécanique d’un projectile
L’énergie potentielle de pesanteur Epp a pour expression E pp  mgz ; on la considère nulle à l’origine de
l’axe des altitudes.
L’énergie mécanique d’un projectile de masse m dans le champ de pesanteur uniforme d’intensité g a
pour expression
1
Em  mv 2  mgz
2
lorsque l’axe des altitudes (Oz) est orienté vers le haut.
4.1.1 – Système non soumis à des forces de frottement

On lance avec une vitesse initiale vo faisant un angle α avec l’horizontale un projectile de masse m
depuis l’altitude choisir comme altitude zéro.
Dans la position initiale,
1
1
Em ,o  Ec ,o  E pp ,o  mvo 2  0  mvo 2
2
2
Au sommet S de la trajectoire, vS = vo cos α et
1
2
Em , S  m  vo cos    mg zmax
2
L’énergie du système étant constante, il vient
1
1
2
m vo 2  m  vo cos    mg zmax
2
2
ce qui permet d’en déduire
zmax
 v sin  
 o
2
2g
4.1.2 – Système soumis à des forces de frottement
L’altitude maximale atteinte est plus faible que dans le cas précédent et l’énergie mécanique du système
diminue au cours du temps, elle est dissipée par transfert thermique.
4.2 – Energie mécanique du système solide–ressort
Pour un ressort d’axe horizontal, on peut toujours choisir les axes et l’origine du repère de façon à ce que
1
E pp  0
et
E pe  k x 2
2
11
L’énergie mécanique d’un système solide–ressort constitué d’un ressort horizontal d’axe (x’x), de
raideur k, et d’un solide de masse m a pour expression
1
1
Em  m v 2  k x 2
2
2
Lorsque l’axe (x’x) est parallèle à l’axe du ressort et son origine O correspond à la position de repos du
système.
4.2.1 – Système non soumis à des forces de frottement
L’amplitude des oscillations reste constante au cours du temps, le régime est périodique de période To.
Dans la position x = 0,
1
1
Ec ,o  m vmax 2
et
E pe ,o  0
donc Em ,o  m vmax 2
2
2
Dans la position x = xmax,
1
1
Ec ,max  0
et
E pe ,max  k xmax 2
donc Em ,max  k xmax 2
2
2
L’énergie mécanique du système est constante, donc
1
1
m vmax 2  k xmax 2
2
2
d’où
k
vmax 
xmax
m
4.2.2 – Système soumis à des forces de frottement
L’amplitude des oscillations décroît au cours du temps, le régime est pseudopériodique de période T
(voire apériodique si les frottements sont importants). L’énergie mécanique du système diminue au cours
du temps, elle est dissipée par transfert thermique.
4.3 – Le pendule simple (cf. TP) – hors programme
Un objet de masse m est attaché à un fil inextensible de longueur l (l’autre extrémité étant attachée en un
point O).
12
En se plaçant dans le domaine d’isochronisme des oscillations (amplitude inférieure à 20° par
exemple), et en négligeant l’action des frottements fluides (milieu ambiant) et solides (attache du
pendule), l’énergie mécanique du pendule se conserve.
1
Son énergie cinétique Ec (t )  m v 2 (t ) peut être mise sous une forme plus appropriée s’agissant d’un
2
mouvement circulaire, en faisant intervenir la vitesse angulaire . Vitesses linéaire et angulaire étant
liées par la relation
d v v
x
O

 
dt r l
on écrira
1
θ
l
Ec (t )  m l 2 2 (t )
2
Son énergie potentielle de pesanteur E pp  mgz peut être exprimée
m
en fonction de l et de θ, puisque géométriquement
z
z (t )  l  l cos  (t )  l 1  cos  (t ) 
l
On obtient donc
E pp (t )  mg l 1  cos  (t ) 
L’énergie mécanique s’écrit donc
verticale
1
2 2
Em (t )  ml   mg l 1  cos  (t ) 
2
On peut montrer que cette énergie est une constante du mouvement, en dérivant son expression
précédente par rapport au temps.
d Em 1
  mg l   sin  (t )
 ml 2  2
dt
2
d Em
  mg l  sin 
 ml 2
dt
L’accélération est donnée par a  v  l  . Ainsi,
d Em
 l   m a  mg sin  
dt
La quantité ma  mg sin  est nulle en vertu de la 2ème loi de Newton, d’où
d Em
0
dt
Remarque : dans la limite des petites oscillations…
En mathématiques, les formules de Taylor
x
x2
x n (n)
f a  x  f a  f 'a 
f "  a   ... 
f  a   ...
1!
2!
n!
(dites de Mac Laurin si elles sont appliquées en a = 0) conduisent au développement du cosinus
x2 x4
cos x  1    ...
2! 4!
nd
Ainsi, dans la limite des petites oscillations, au 2 ordre, l’expression de l’énergie mécanique devient
 2 
1
Em (t )  ml 2 2  mg l  
2
 2 
La dérivation par rapport au temps



d Em
  mg l 
 ml 2
dt
La conservation de l’énergie mécanique implique que
l   g  0

13
C’est une équation différentielle du second ordre en θ, qu’on écrit sous la forme
g
    0
l
Les solutions attendues prennent la forme
 (t )   m cos  t   
g
est le carré de la pulsation propre des oscillations. C’est ici qu’on voit apparaître le nombre
l
π, la période T se définissant comme la durée d’une oscillation (2π rad) à la pulsation  (en rad/s) :
2
l
T
 2

g
Au chapitre 12, nous nous étions contentés d’un raisonnement empirique pour montrer que « 2π »
semblait intervenir dans l’expression de la période propre, après avoir dégagé ses dépendances en l et g
par analyse dimensionnelle.
où  2 
Etude expérimentale : voir TP n°13.
En savoir plus : http://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_simple