Sur l`arręt optimal de processus à temps

S ÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (S TRASBOURG )
ROBERT C. DALANG
Sur l’arrêt optimal de processus à temps
multidimensionnel continu
Séminaire de probabilités (Strasbourg), tome 18 (1984), p. 379-390
<http://www.numdam.org/item?id=SPS_1984__18__379_0>
© Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1984, tous droits réservés.
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L’ARRET
SUR
DE
PROCESSUS
A
OPTIMAL
MULTIDIMENSIONNEL
TEMPS
CONTINU
par Robert C. DALANG
1. Introduction
problème d’arrêt optimal
des
indexés par
R+ a été
étudié par de nombreux auteurs (voir [EK] pour une bibliographie exhaustive). Les
hypothèses suffisantes "presque nécessaires" sur le processus de gain qui
assurent l’existence d’un temps d’arrêt optimal sont l’appartenance à la classe (D)
et la semi-continuité supérieure des trajectoires, ou ce qui est équivalent, la
semi-continuité supérieure en espérance sur les suites monotones de temps d’arrêt.
Dans ces conditions, le temps d’entrée dans l’ensemble où le processus de gain
coïncide avec son enveloppe de Snell est un temps d’arrêt optimal.
Le
pour
processus
Pour les processus indexés par deux ou plusieurs paramètres diverses notions
de temps d’entrée ont été proposées, mais aucune ne semble d’utilité pour le problème
d’arrêt optimal. Néanmoins, ce problème a déjà été étudié par plusieurs auteurs,
notamment par U.
Krengel
A. Millet
et G.
[Mi],
A. Millet fMi3
[K-S],
et L. Sucheston
Mazziotto [Ma]. Dans le
Szpirglas fM-5J,
G. Mazziotto et J.
cas
où l’ensemble d’indices
est IR2+,
i ntrodu i t la noti on de "tacti que aléatoire randomisée" et, par des
méthodes de représentation, a montré l’existence d’un temps d’arrêt optimal sous
a
certaines hypothèses de régularité. Dans un article récent [Ma],
réduit le problème de la recherche d’un temps d’arrêt optimal
G.
sur
Mazziotto
IR+
problème sur une ligne d’arrêt donnée; les conditions de régularité qu’il
portent sur l’enveloppe de Snell du processus de gain.
Ce travail1 s’appuie
représentation intégrale des
résultats
optimaux
bien
connus
de
sur un
v.a.
Baxter
article de N. Ghoussoub
floues
et
sur
Chacon
un
[B-CJ.
L’existence
a
même
propose
est établie
une
généralisant
les
[G], où
espace compact,
au
de
temps
d’arrêt
pour les processus continus est ramenée à l’étude d’une fonction affine
sur
’
l’ensemble des temps d’arrêt flous. L’objectif principal de notre travail1 est de
montrer que, pour les processus sur
séparables, bornés et à trajectoires
IR2
380
semi-continues supérieurement (s.c.s), cette fonction est s.c.s, ce qui suffit pour
résoudre le problème d’arrêt optimal. Lorsque l’espace probabi1isé est séparable, le
théorème de Choquet permet d’étendre
résultat
ce
classe (D). On remarquera que l’hypothèse
n’est pas utilisée.
aux processus s.c.s séparables de la
d’indépendance conditionnelle (F4) de [C-W]
2. Notations, définitions et rappels
L’espace
s=(sl,...,sn)
écrirons
relations
...,
par
muni
sera
de
si
t
s
la
si
t=(tl,...,tn)
outre
en
s ~ t
relation d’ordre partielle 6 suivante ::
Nous
seulement
si
si’ti,
et
et
s ~
et
t,
s
«
si
t
Ces
engendrent différents types d’intervalles ouverts, fermés, semi-ouverts,
/ s , u « t} .
exemple ls,tC {u~ IRn+
=
.
Nous
autres
IRn+
5
ad joignons à IR+
IR+
et posons
métrique compact
notations
nous
poserons
Kn
=
supérieur à tous les
de sa topologie usuelle d’espace
correspondante. Pour alléger les
strictement
est muni
U
la tribu
de
et
élément noté
un
boré1ienne
Bn
.
Cfl,F,P) un espace probabilisé complet, muni d’une filtration
(Ft)tEKn complète et continue à droite. Une variable aléatoire T définie sur
valeurs dans Kn est un temps d’arrêt relativement à la filtration
L’ensemble des temps d’arrêt sera noté
E h. d ts IR+.
(Ft)tKn si
T. Le problème d’arrêt optimal pour un processus X est le suivant: trouver un temps
d’arrêt To (dit "optimal pour X") tel que
sup E(XT) .
E(XTo)
’ =
Soit
{T t}
.
TET
Nous
désignerons
par
C
l’ensemble
des
continus
processus
X=(Xt)tcKn
(les processus indistinguables sont identifiés). C muni de
tels que
la norme
~X~=E(sup|Xt|)
des
est
fonctions
un
sur
continues de Kn dans lR), intégrables
espace
de
Banach:
à valeurs dans
au sens
c’est
C(Kn)
en
fait
l’espace
(ensemble des fonctions
de Bochner.
Considérons C’, le dual topologique de C, muni de la topologie faible
~-(C’,C), c’est-à-dire de la topologie la moins fine par rapport à laquelle les
de C’ dans IR sont continues pour tout XeC. Rappelons que C’ muni
fonctions
de
cette
topologie
est
un
espace
vectoriel
topologique
Hausdorff
de
localement
convexe.
On
processus
A=(At)teK
sera dit
croissant
si
pour
tout
w03C0,
381
est
la
fonction
de
répartition
à
mesure w
positive,
qu’un tel
processus est continu à droite et admet des limites dans les autres hyperquadrants.
finie
(r-additive
et
Bn: V teKn,
sur
associée
At(w)
une
= ~ W((o,tl).
L’ensemble des processus croissants tels que Aoo=I
sera
noté
noter
A
A.
Suivant P.A. Meyer (Me], nous appellerons v.a. floue une mesure positive,
est P. L’ensemble des v.a. floues
o--additive sur KnxI7, dont la projection sur
sera
noté
U.
Pour
tout U
X,~> - _l
X
et toute
v.a. -intégrable
X
sur
Knxn,
poserons
d~l.
D’après le théorème de désintégration des mesures, il
floues et processus croissants (CMe], CG] lemme I.1).
alors
AeA,
pour toute v.a. -intégrable X sur KnxJ1:
entre
nous
v.a.
y
a
Si
bi jection affine
U correspond à
dtAt(.» .
.
/
Kn
chaque élément
correspond un élément de C’ par la formule X~2014~ X,~u>,
réciproque partielle est donnée par le résultat bien connu (cf. [D-M2]
p.217, ou (D-U] p.98): pour tout feC’ tel que f ~ 0 (f(X)~0, pour tout processus
et f(1)=1, il existe un élément unique
positif XeC),
~~U tel que
A
XeC.
Une
f(X)
=
=
Knx!’1
X
,
V XeC.
U peut donc être considéré comme un sous-ensemble de C’, que l’on munit de
la topologie induite, c’est-à-dire de la topologie la moins fine par rapport à
sont continues.
laquelle les fonctions
Soit
Ua
le
processus
croissants
Baxter et
Chacon, U
de
ce
Cette
sous-ensemble
de
v.a.
floues
adaptés à la filtration
et
Ua
sont faiblement
auxquelles sont associées
D’après
un
les
résultat dû à
compacts HB-Q, [Mel). La démonstration
résultat fait appel à la continuité à droite de la filtration
propriété de la filtration n’interviendra plus par la suite.
Comme U
et
sont
convexes, ils possèdent des points extrémaux:
points extrémaux a été faite par N. Ghoussoub «(G],,
en
prop.I.2)
appliquant un résultat bien connu de M. Yor ([Y], prop.1.6) : ce sont les
v.a.
floues ~cc portées par le graphe d’une fonction mesurable
Kn. Le
l’identification
processus
de
croissant
Ma
ces
A
associé
à
un
tel
et donc
~u
est
alors
de
la
forme
382
E( Knxt(.) dtAt(.))
=
Si de
plus ~Ua,
biunivoque
entre
3. Existence de
se
il1 est cl ai r que g est un temps d’arrêt, et il1 y
temps d’arrêt et points extrémaux de Ua.
d’arrêt
temps
Dans le
E(Xg).
=
cas
a
correspondance
optimaux
d’un processus
démontre exactement
comme
continu, l’existence d’un temps d’arrêt optimal
l’a fait N. Ghoussoub dans M, prop. 2.3. Ce problème a
aussi
été résolu par d’autres méthodes dans [Mi] et [Ma]. Afin de rendre notre
démarche plus transparente, nous rappelons ici brièvement le résultat et la preuve.
3.1. Théorème ::
Soit
Alors il existe
Démonstration ::
son
Considérons
processus
temps
d’arrêt
la
Par définition de la
~Y~C)=Y,~>.
donc
un
un
maximum
associé
~a en
optimal, car
est
un
sur
continu
optimal
non)
ou
tel
que
pour Y.
affine
fonction
(adapté
définie
tV: Ua~IR
par
topologie faible, ~ est continue. Elle atteint
point extrémal /~ de Ua. Le temps d’arrêt To
,
)
E(YT
°
=
Y, f~>
=
sup
Y~C> >~ sup E(YT)
,
Tel
d’où le résultat.
Il
atteint
est
bien
maximum
son
démonstration
qu’une fonction affine
un
point extrémal (tB3]
connu
en
précédente,
la
continuité
de
~Y
s.c.s
sur
p.II.58,
n’est donc
pas
l’objectif de notre travail
conditions qui assurent la semi-continuité supérieure de ~Y.
s.c.s
suffit!
Dans
la
suite,
3.2. Proposition :: Soit
une suite décroissante
existe
Alors
et il
a.
L’application
b.
Yt(w)= lim~
(Xk)ksN
un
compact
prop.l). Dans
indispensable:
sera
d’établir
Supposons
processus mesurable.
de processus mesurables tels que:
est faiblement s.c.s,
convexe
la
~y
des
qu’il
pour tout
hors d’un ensemble évanescent.
l’application
Ua~IR définie par
existe un temps d’arrêt optimal pour Y.
est
faiblement
s.c.s
383
Démonstration ::
faiblement s.c.s
Définissons
s.c.s
et
est
/~~L
k~~ knx
donc faiblement
/~
par
plus
y
Knx
~pourestY.
~:
De
affine, donc
il
existe
un
temps d’arrêt optimal
Si
on dispose d’une classe de processus pour
lesquels la condition a. de la
3.2
est vérifiée, cette classe peut être étendue par
proposition
passage à la limite
monotone décroissante. Ceci permet d’établir l’existence de temps d’arrêt
optimaux
pour les processus qui sont limite d’une suite décroissante de processus continus.
3.3. Exemples
1.
où
f
est
une
fonction
s.c.s.
de
IRk~IR
les
et
Xi
sont des processus continus.
m
2.
9i (t).
i=l
où
Fi,...,Fm ef
et les
R sont s.c.s. et bornés.
~3
3.
9i(t)
i=l
où
et les
~
vérifie
Si
sont des v.a.
quelconques ~
les
sont
valeurs dans
s.c.s
et
bornés,
Kn.
Rappelons qu’une fonction s.c.s. bornée sur un espace topologique est
l’enveloppe inférieure des fonctions continues qui la majorent (si l’espace en
question est à base dénombrable, toute fonction s.c.s. est même limite d’une suite
décroissante de fonctions continues). Pour les processus s.c.s. on a le
résultat
analogue suivant:
’
3.4. Théorème ::
s.c.s.
Soit
Alors Y est
majorent.
processus
l’enveloppe inférieure
des
mesurable
processus
borné ~
continus
trajectoires
qui le
bornés
Démonstration :t Elle est analogue à celle de la
proposition 7 p.IX.10 de
[B~J
384
pour les fonctions s.c.s.
SupposonsYt(w) I 1, ~tKn, ~w03C0. Il1
toEKn et tout 0 ~ 1, il existe
tout
est suff i sant de montrer que pour
un
continu
processus
borné
et
tel que
1.
d tKn, ~w
2.
+
.
E , d w.
,
Soit d(.,.) la métrique sur Kn induite par la
et h: IR-+R définie par h(x)=min(1, Ixl), xE IR.
Soit
Z~,t0(w)1
avons
définie
v.a.
par
projection stéréographique,
Z~,t0(w)=(1-~/2)Yt0(w)+~/2.
Z~,t0(w)-Yt0(w)=(1-Yt0(w))~/2.
et
Nous
dernière
Cette
expression est à la fois >0 et ~.
trajectoires de Y sont s.c.s., il
nous
Si
montrons
que
~
peut être choisie F-mesurable, ce qui sera fait plus bas,
Comme
d(t, to)
les
t
continu borné par
obtenons un processus
1 et 2, et la conclusion s’ensuit.
nous
En
ce
nous
posons
B=~(t,w)
/
voir
qui
elle
l’application
concerne
B
alors
(t,w)~B}
sera
posant
F-mesurable
~
Soit
Bnxf-mesurab1e.
est
/ s=d(t,to),
affirme
Il
est
en
est B1xF-analytique.
l’application
rapport à la tribu complétée universelle de F,
de
l’application
en
vérifie les conditions
1, qui
/
A=((s,w)
que
que
h(
~
~
tel
outre
Le
est
que
et comme F est
si
effet,
en
facile
théorème
de
p.102
mesurable
complète, elle
par
est
F-mesurable.
Vu
d’extraire
ce
un
résultat,
on
sous-ensemble
inférieure est Y. Il est bien
par
trajectoire. Mais
en
peut
se
connu
de
que cette extraction
en
w.
peut être faite trajectoire
procédant de cette manière il
C’est pour cette raison que
séparabilité dans le théorème suivant.
mesurabilité
possible dans certains cas
processus continus dont l’enveloppe
demander s’il est
dénombrable
nous
avons
se
pose
un
besoin d’une
problème de
hypothèse de
385
3.5. Théorème ::
Supposons
Soit
qu’il1 exi ste
un
borné _ (adapté
tel
un processus mesurable
sous-ensemble dénombrable dense H dans
IR+
ou
non).
que
Yt(w)=limsup Ys(w), d te
s -3 t
seH
est faib lement s.c. s. et il1 exi ste
Alors
l’ appl icati on
optimal pour Y.
Démonstration :: Nous employons ici quelques notions bien
connues
de
un
temps d’arrêt
topologie (voir
M par exemple).
projection stéréographique, Kn est homéomorphe à une partie de la
cette sphère est elle-même homéomorphe au n-simplexe
sphère
standard Sn de IRn. Dans la suite de la démonstration, Kn sera remplacé par
Sn, et nous supposerons par homéomorphisme que tous les processus considérés sont
Par la
unité
de
indexés par Sn.
Soit meN fixé. Par
obtenons
nous
une
nombre fini de subdivisions
un
triangulation
de
Sn de diamètre inférieur à 1/m.
appellerons .intérieur- d’un k-simplexe
sous-ensemble de l’espace de dimension k qu’il engendre.
Nous
Soit
de
la
barycentriques successives
~k
l’intérieur d’un k-simplexe qui est
triangulation de Sn. Nous définissons
son
une
un
intérieur
en
tant que
face d’un des n-simplexes
processus
par
Ys (w) d
sup
~w03C0,
t
s0394kULk
où
une
lk
est l’union des intérieurs des
des faces,
Pour
p-simplexes de la triangulation dont 4lk est
kp~n.
n=2, ~a situation
X~(w)=
X~(w)
Xmt0 (w)
sup
est ~a suivante:
Ys(w),
=
sup
m
= max
Ys(M).
(Yt.(w),
sup
/t6/l}:
Ys(M)),
386
où
l’union
est
Lo
triangulation
des
{t0}
dont
Intérieurs
est
L’hypothèse faite
une
12
des
faces
de
1-
2-simplexes de la
et
des faces.
Y dans renonce du théorème
garantit la mesurabilité
et X"~Y. En outre, Y
construction,
X~
étant s.c.s. et la triangulation devenant de plus en plus fine, nous voyons que
lim ~ Xm=Y.
Pour conclure, il suffit donc de vérifier l’hypothèse a. de 1a
m
3.2
proposition
pour chaque processus X meN.
de
tout
pour
t.
sur
Par
est
s.c.s.
,
à
Soit
fixé.
mN
nouveau
allons
Nous
exhiber
une
nouvelle
suite
de processus s.c.s. qui décroît vers X*", dont chaque élément est
limite d’une suite décroissante de processus continus. La conclusion du théorème
résultera de la proposition 3.2.
Rangeons les faces des n-simplexes de la triangulation de Sn en une suite
leurs intérieurs et
la valeur de
Appelons
finie.
Nous pouvons alors écrire:
M~.
sur
k(m)
X~(w)=~
i=l
.
Comme Y est borné, les
chaque Z~ comme limite
le sont uniformément.
Z~
d’une
Il est donc
décroissante
suite
de
possible d’écrire
de la
étagées
v.a.
forme
Z (P+l)2~
peLj
où
Lj
est fini et
dépend
ne
j. Posons alors
que de
k(m)
~
S(w)=~
i =1
Nous
avons
t ~ Xmt(w)
trajectoires
bien
est
1imB
constante
de j
Fixons
.
.
D’autre
les
sur
part,
en
Mi,
il
(m
étant
est
se
rappelant
facile
de
que
l’application
vérifier
que
les
sont encore s.c.s.
maintenant
jdN
où
et
peLj.
toujours
fixé)
et
posons
Nous avons
k(m)
X~(w)=~_~_
i=l
(p+l)2~
’~
peLj
Ordonnons- les
finie
0
formée
en
des
une
éléments
suite
de
F
finie
de
la
et
forme
considérons la famille
où 6~ est soit
387
G~
soit
G~.
6~ ~ -1
Pour FeD posons
si
FCrG;,p
et 0 sinon. Alors
k(m)
~1)2~ Z
1=1
FeD
peLj
k(m)
=
.
i=l
FeD
La dernière
~ ~~~~ ~F.i.p ’
H
Z
est
parenthèse
une
peLj
fonction de t uniquement:
X~(w)=~
FeD
trajectoires de j sont s.c.s., fp: Kn~IR est s.c.s. pour tout
FeD. D’après la proposition 3.2 (ex. 2 de 3.3) ~ est limite d’une suite
décroissante de processus continus, ce qu’il fallait démontrer.
Comme
les
de
processus
sur
Q
est
borné, continu à droite
et s.c..
dans
la réunion des autres
est
borné, continu dans l’un des hyperquadrants
hyperquadrants.
Voici
3.6. Exemples ::
quelques
types
qui
vérifient
la
condition de l’énoncé du théorème 3.5:
-
Y
hyperquadrants.
-
Y
réunion des autres
borné,
-
Y est
-
Y est
le
aux
séparable
et
prolongement s.c.s. à
Y s.c.s. borné indexé par
4. Extension
s.c.s.
au sens
JP~
et s.c.s.
dans 1 a
déf.IV.25.
de
chap.I.V.31)
d’un processus
Q~.
processus s.c.s.
séparâmes de la classe (D)
est séparable et la
séparable,
topologie faible sur Ua est par conséquent métrisable (CD-S3 p.426, Th.!). Dans ce
cas le théorème de représentation intégrale de Choquet (fPJ p. 19 et 100) permet de
représenter les temps d’arrêt flous par des temps d’arrêt, ce que nous utiliserons
dans la proposition suivante.
Lorsque
la
tribu
F
est
4.1. Proposition :: Supposons que la tribu f de l’espace probabilisé (IY,F,P) soit
un processus mesurable de
la classe (D). Supposons
séparable. Soit
388
qu’il existe
1.
de processus mesurables telle que
suite
une
est faiblement s.c.s, pou.r tout mdN;
~u ~
2.1im
TcT
Alors il existe
temps d’arrêt optimal pour X.
un
s’inspire de celle
Démonstration : Elle
définie par
une mesure de
Par
le théorème de Choquet,
probabilité (non-unique
03C6m( )03C6m(T)d (T)=E(YmT)
Comme
E(YT)
s.c.s. pour
lim
du théorème 3.3 de
en
général) $
d
portée
m( )
lim
=
m-oo
~
T
T
existe
telle que
.
est
avons
= E(XT)
T
indépendant de la
f(T)=E( XT) ( T= ET
pour TeT,
il
Ua
par
(T) .
Posons, pour
que
pour tout
converge uniformément en T vers E(XT), l’application
la topologie sur T induite par la topologie faible et nous
Le membre de droite est donc
Notons
sur
[Mi]. Soit
mesure ~
est
ici
choisie pour
la seule
représenter .
possibilité! ).
Nous
avons
d)k(T) , TET
sup
l
pour tout
~Ua
et donc
fonction faiblement
lim 03C6m=03C6
uniformément
et affine. Elle
s.c.s.
temps d’arrêt To, qui est alors optimal pour
Il s’ensuit
sur
donc
maximum
prend
X, d’où la conclusion.
son
que 03C6
sur
est
Ua
4.2. Corollaire : Supposons que f est séparable. Soit X un processus séparable
de la classe (D). Alors il existe un temps d’arrêt optimal pour X.
Démonstration :: Posons
mesurable
borné
s.c.s.
vérifie l’hypothèse 1 de
Ym
=
X
m
:
Ym est
""
séparable, et par le théorème 3.5, la suite
la proposition 4.1. Vérifions l’hypothèse 2:
en
une
un
s.c.s.
processus
389
dP
=
Y
|XT-YmT|dP
{|XT|>m}
y |XT| dP + y
m
dP
y
2
|XT| dP
.
{|XT|>m} {|XT|>m} {|XT|>m}
La dernière
expression tend
vers
0 uniformément
en
T, d’où le résultat.
REFERENCES
[B-C]
S.R. Baxter - R.V. Chacon : Compactness of
40 p.169-181 (1977).
[B1]
N. Bourbaki : Elem. de Math.
Top. Gen. Chap.1-4.
[B2]
N. Bourbaki : Elem. de Math.
Top. gen. Chap.5-10. Hermann (1974).
[B3]
N. Bourbaki : Elem. de Math.
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[C-W]
R. Cairoli - J.B. Walsh : Stochastic
Stopping Times. Z.Wahr.verw.Geb.
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C. Dellacherie - P.A. Meyer : Probabilités et potentiels
Hermann (1975).
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C. Dellacherie - P.A. Meyer : Probabilités et potentiels
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et
Robert C. DALANG
Département de Mathématiques
Ecole Polytechnique Fédérale de
1015 LAUSANNE
Suisse
Lausanne