Électricité - Chapitre 4

Électricité - Chapitre 4
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Oscillations forcées
Introduction : méthode de Fresnel et méthode complexe .................................................................................2
I
La méthode complexe .................................................................................................................................4
1
La notation complexe ..............................................................................................................................4
2
Impédances complexes d’une bobine, d’un condensateur et d’une résistance .....................................4
3
Comportements à hautes et basses fréquences .....................................................................................4
4
Associations d’impédances et ponts diviseurs ........................................................................................4
5
La méthode complexe appliquée au cas du dipôle RC série ...................................................................4
II
Applications expérimentales .......................................................................................................................4
1
Préparation du TP (à rédiger sur le compte rendu de TP) .......................................................................4
2
Cas du dipôle RC série..............................................................................................................................5
3
Cas du dipôle RL série ..............................................................................................................................5
III
Résonance en intensité d’un dipôle RLC série (ou en vitesse d’un oscillateur mécanique) .......................6
1
Détermination de l’amplitude complexe I de l’intensité dans un circuit RLC série ................................6
2
Résonance en intensité ...........................................................................................................................6
3
La bande passante ...................................................................................................................................6
4
Analogie avec la mécanique : résonance en vitesse pour un oscillateur mécanique .............................7
5
Etude expérimentale de la résonance en intensité dans un circuit RLC série .........................................7
IV
Résonance en élongation x(t) d’un oscillateur (ou en tension uc(t) pour un RLC série)..............................8
1
Etude expérimentale ...............................................................................................................................8
2
Conclusion ...............................................................................................................................................8
V
Exercices ......................................................................................................................................................9
1
Exercice d’application : étude de l’impédance d’une association RLC ....................................................9
2
Système mécanique à faible facteur de qualité ......................................................................................9
3
Dipôles en série .................................................................................................................................... 10
4
Diviseur de tension ............................................................................................................................... 10
5
Résonance en tension........................................................................................................................... 10
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Électricité - Chapitre 4
Introduction : méthode de Fresnel et méthode complexe
oscillations libres
dans le cas e = E
oscillations libres
dans le cas e = 0
Dans le chapitre précédent, nous avons vu que la
tension uc aux bornes du condensateur était
solution d’une équation différentielle du second
ordre du type :
d 2 u c ( t ) 0 du c ( t )
2

 0 u c ( t )  e avec e = 0 ou E
Q dt
dt 2
Nous avons déterminé les solutions de cette
équation différentielle et vérifiée (notamment en
TP) que, dans le cas Q > ½, la tension uc oscillait
librement (avec une pseudo période T = 2π / ω)
vers le régime permanent (solution particulière de
l’équation différentielle) uc = E (cas de la charge
du condensateur) ou uc = 0 (cas de la décharge
du condensateur).
Dans ce chapitre nous allons étudier la réponse de circuits électriques contenant résistance(s), bobine(s)
et condensateur(s) lorsqu’ils sont soumis à une excitation e(t) sinusoïdale c'est-à-dire du type
e(t) = E.cos(ωt) ou e(t) = E.sin(ωt) = E.cos(ωt - π /2). Nous allons donc être amené à résoudre des
d 2 y( t )
dy ( t )
équations différentielles du type a
b
 c y( t )  E cos(t  0 ) ; y(t) sera une tension u(t), une
2
dt
dt
charge électrique q(t) ou une intensité i(t), la phase φ0 sera souvent nulle et l’équation différentielle sera
soit du premier ordre (a = 0) soit du second ordre (a ≠ 0).
Après un régime transitoire (de type pseudo périodique, critique ou apériodique selon le cas), la grandeur
y(t) tendra vers le régime permanent qui correspond à la solution particulière de l’équation différentielle. Si
le second membre de l’équation différentielle est du type E.cos(ωt) alors nous allons vérifier que la
solution particulière sera du type Ym cos(ωt + φ) = A cos(ωt) + B sin(ωt) = A’ ejωt + B’ e-jωt ; Ym et φ (ou A
et B, ou A’ et B’) seront des constantes à déterminer.
Lorsque l’on soumet un circuit électrique linéaire à une excitation sinusoïdale de pulsation ω (ou de
fréquence f) alors le régime permanent correspond à des oscillations sinusoïdales non amorties de
même pulsation ω (ou de même fréquence f) que celle imposée, donc du type Ym cos(ωt + φ).
Prenons le cas d’un dipôle RC série soumis à une tension sinusoïdale :
uc(t) et
solution
de
l’équation
duc (t ) 1
1

uc (t ) 
E cos(t )
dt
RC
RC
uc(t) =
différentielle
du
premier
ordre
et la solution est donc de la forme
solution de l’équation homogène
+
solution particulière.
La solution de l’équation homogène est du type exp( t / )  f (t ) et tend
donc vers 0 pour t >> τ ; il s’agit du régime transitoire (voir CH2).
Le régime permanent correspond à la solution particulière de l’équation
différentielle et est du type uSP(t) = U cos(ωt + φ).
→ Il est possible de déterminer U et φ par une construction de Fresnel :

E cos(ωt) peut être représenté par un vecteur de norme E et de phase nulle (on rappelle que
l’on choisit de représenter les vecteurs de Fresnel à t = 0 donc pour une phase ωt = 0)

uc(t) = U cos(ωt + φ) sera représenté par un vecteur U c de norme U et de phase φ (> 0 ou < 0)

duc/dt sera représenté par un vecteur U 'c déphasé de + π/2 par rapport au vecteur de Fresnel
représentant uc(t), et de norme Uω.
En effet : [U cos(ωt + φ) ]’ = - Uω sin(ωt + φ) = Uω cos[(ωt + φ) + π/2]
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Et ces trois vecteurs doivent vérifier la relation : U'c 
1
E
Uc 
u x ou RCU'c  U c  Eu x
RC
RC
Construire les vecteurs E u x , U c (φ<0 par ex.) et RC U'c
Indiquer l’angle φ, la
*
norme U du vecteur U c et la
*
norme RCUω du vecteur RC U'c
En déduire l’expression de U en fonction de E, R et C :
ux
………………………………………………………………..
*
Déterminer de même la valeur de tan(φ)
…………………………………………………………………
*
→ Mais il existe une méthode plus efficace pour résoudre ce type de problème : la méthode complexe
Étape 1 :
jt
Remplaçons le second membre de l’équation différentielle Ecos(ωt) par E e . C’est le principe de la
notation complexe (voir paragraphe I1) ; cela revient à considérer la tension complexe e( t )  Ee jt dont la
partie réelle E cos(ωt) est la vraie tension appliquée au circuit. De même, la tension complexe associée à
la tension uC(t) = U cos(ωt + φ) que l’on cherche à déterminer est uC (t )  Ue j (t  )
Étape 2 :
Nous allons chercher une solution complexe u c ( t ) de l’équation différentielle
du type u c ( t )  Ue
On a alors
du c (t)
dt
d uc (t )
dt

1
E jt
uc (t ) 
e
RC
RC
j( t )
 jUe j( t )  ju c ( t ) et u c ( t ) est donc solution de l’équation complexe linéaire :
1
1
1
1  jRC
E jt
u c ( t )  ju c ( t ) 
u c ( t )  u c ( t )  [ j 
]  u c (t )  [
]
e
RC
RC
RC
RC
RC
Ee j
On en déduit : u c ( t )  Ue j(t ) 
jRC   1
du c (t )
dt

Nous verrons que ce résultat peut être obtenu beaucoup plus rapidement en utilisant les impédances
complexes (paragraphes I2 et I3).
Étape 3 :
jt
Afin de déterminer U et φ, il faut donc résoudre l’équation complexe, obtenue après simplification par e :
E
Ue j 
jRC   1
U représente le module du complexe donc U = ………………………………………………………………..
*
φ représente l’argument du complexe donc tan (φ) = ……………………………………………………………
*
Étape 4 :
Une fois que l’on connait U et φ, on connait la solution complexe uc (t )  Ue j (t  ) mais on connait aussi et
surtout la tension réelle : u c (t )  Re(u c (t ))  Re( Ue j(t ) )  U cos(t  )
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I
La méthode complexe
1 La notation complexe
…
2 Impédances complexes d’une bobine, d’un condensateur et d’une résistance
…
3 Comportements à hautes et basses fréquences
…
4 Associations d’impédances et ponts diviseurs
…
5 La méthode complexe appliquée au cas du dipôle RC série
…
II
Applications expérimentales
1 Préparation du TP (à rédiger sur le compte rendu de TP)
1.1 Mesure d’un déphasage
u1(t) = Um cos (ωt + φ1)
u
u2(t) = Um cos (ωt + φ2)
Soient deux tensions de même amplitude
Um, de même pulsation ω mais de phases
à l’origine φ1 et φ2 différentes.
-
déterminer la valeur de la pulsation ω
-
déterminer le décalage temporel
Δt = t2 – t1 entre les deux tensions.
-
quelle tension est en avance sur
l’autre ? Justifier.
-
quelle est la valeur de Δφ = φ2 – φ1 ?
Déterminer φ2 et en déduire φ1
t1 t2
t (en ms)
Δt
1.2 Cas d’un dipôle RC série
-
Soit e(t) la tension complexe du générateur (de pulsation ω et de phase à l’origine nulle) et
u R (t )  U m e j(t ) la tension complexe aux bornes de la résistance (voir schéma au 2).
-
Exprimer uR(t) en fonction de e(t) puis en déduire l’amplitude UR de la tension uR(t) ainsi que
son déphasage φ par rapport à la tension e(t).
-
La tension uR(t) est-elle en avance ou en retard par rapport à e(t) ? Justifier.
1.3 Cas d’un dipôle RL série
-
Soit e(t) la tension complexe du générateur (de pulsation ω et de phase à l’origine nulle) et
i(t )  I m e j(t ) l’intensité (voir schéma au 3).
-
Soit Z l’impendance équivalente au circuit RL série et G = 1/ Z la conductance équivalente.
Déterminer le module G et l’argument φ’ de G.
-
Comparer φ’ et φ. Commenter.
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2 Cas du dipôle RC série
2.1 Le montage
-
Réaliser le circuit ci-contre avec R = 1,0 kΩ ;
C = 0,10 µF = 100 nF ; f = 1,0 kHz.
-
La tension e(t) est un signal sinusoïdal d’amplitude
Um = 3 V (rappel : level = 6V pour les GBF bleus)
-
Visualiser sur la voie 1 la tension aux bornes du GBF.
Centrer ce signal.
-
Visualiser sur la voie 2 la tension uR(t) = R i(t). Centrer
ce signal.
2.2 Mesures
-
Le dipôle RC est soumis à une tension sinusoïdale du type e(t) = Um cos(ωt) ; il est parcouru
par un courant d’intensité i(t) = Im cos(ωt + φ’)
D’après le paragraphe 1, quel est le signe et l’expression de φ’ ? Justifier.
-
A l’aide des fonctions de l’oscilloscope, déterminer la valeur de l’amplitude UR et en déduire
l’intensité Im
-
Soit Δt le plus petit intervalle de temps séparant deux passages des signaux e(t) et i(t) par la
valeur 0 (ou séparant deux passages des signaux e(t) et i(t) par un maximum…).
Mesurer Δt à l’aide des curseurs temps.
En déduire la valeur de φ’ = φ (en radian ainsi qu’en degré).
-
En déduire l’expression de i(t) en remplaçant Im et φ par des valeurs numériques.
2.3 Comparaison avec les résultats théoriques
-
Calculer les valeurs théoriques de UR et de φ.
-
Comparer les valeurs théoriques et les valeurs expérimentales (valeurs égales à …% près).
3 Cas du dipôle RL série
3.1 Le montage
-
Réaliser le circuit ci-contre avec R = 1,0 kΩ ;
L = 0,10 H ; f = 1,0 kHz.
-
La tension e(t) est un signal sinusoïdal d’amplitude
Um = 3 V.
-
Visualiser sur la voie 1 la tension aux bornes du GBF
et sur la voie 2 la tension uR(t) = R i(t). Centrer ces
signaux.
3.2 Mesures
-
Effectuer les mesures nécessaires pour pouvoir déterminer la valeur expérimentale du module
G de la conductance G équivalente au circuit RL série. Justifier le calcul.
-
Effectuer les mesures nécessaires pour pouvoir déterminer la valeur expérimentale de la
phase à l’origine φ de l’intensité.
-
Calculer les valeurs théoriques de G et de φ puis comparer-les aux valeurs expérimentales.
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Résonance en intensité d’un dipôle RLC série (ou en vitesse d’un oscillateur mécanique)
III
1 Détermination de l’amplitude complexe I de l’intensité dans un circuit RLC série
…
2 Résonance en intensité
2.1 Définition de la résonance
…
2.2 Pulsation et fréquence de résonance
…
2.3 Influence du facteur de qualité sur l’acuité de la résonance
…
Im/ Im (max)
x = ω/ω0
2.4 Remarque sur le déphasage φ
…
Q=5
Q = 0,2
Q = 0,5
x = ω/ω0
2.5 La méthode de Fresnel
…
3 La bande passante
3.1 Définition de la bande passante
…
Im/ Im (max)
3.2 Détermination de la bande passante
…
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Électricité - Chapitre 4
4 Analogie avec la mécanique : résonance en vitesse pour un oscillateur mécanique
…
5 Etude expérimentale de la résonance en intensité dans un circuit RLC série
5.1 Le montage
-
Réaliser le circuit ci-contre avec R = 1,0 kΩ ;
C = 0,10 µF = 100 nF ; L = 0,10 H
-
La tension e(t) est un signal sinusoïdal
d’amplitude Um = 3 V et de fréquence f = 1,0 kHz.
-
Visualiser sur la voie 1 la tension aux bornes du
GBF et sur la voie 2 la tension uR(t) = R i(t).
Centrer ces signaux.
e(t) = Umcos(ωt)
5.2 Mesures
-
Rappeler la définition de la résonance en intensité et en déduire un
protocole expérimental permettant de déterminer la valeur de la fréquence
de résonance. Rédiger ce protocole.
-
En déduire la valeur expérimentale de la fréquence de résonance fr (celleci se situe entre f = 1,0 kHz et f = 5,0 kHz).
Le mode XY de l’oscilloscope (bouton « affichage ») permet de
représenter la tension visualisée sur la voie 2, uR(t) = RIm cos(ωt + φ), en
fonction de la tension visualisée sur la voie 1, e(t) = Um cos(ωt). On
obtient…
- une ellipse dans le cas général (voir figure ci-contre) ;
- un cercle dans le cas où φ = π/2 et Um = RIm ;
- un segment de droite dans le cas où le déphasage φ est nul.
-
A l’aide de l’expression de i en fonction de ω (voir cours), déterminer la valeur du déphasage φ
entre i(t) et e(t) à la résonance.
-
Proposer un nouveau protocole expérimental permettant de déterminer la fréquence de
résonance fr. Rédiger ce protocole et effectuer l’expérience.
-
Exprimer puis calculer la fréquence propre théorique f0 du circuit RLC série. Ce résultat est-il
conforme à l’expérience ?
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IV
Résonance en élongation x(t) d’un oscillateur (ou en tension uc(t) pour un RLC série)
1 Etude expérimentale
-
Ouvrir le fichier Excel intitulé « résonance en élongation »
(élongation = allongement)
-
Quelle est l’influence du facteur de qualité sur l’acuité de la résonance ?
-
En dessous de quelle valeur du facteur de qualité Q n’y a-t-il plus de résonance en
élongation ? Comparer cette valeur à 1/ 2 . Cette propriété avait-elle été observée dans le cas
de la résonance en vitesse (ou en intensité dans le cas de l’électricité) ?
-
La pulsation de résonance ωr est-elle égale à la pulsation propre ω0 (remarque : la pulsation
réduite portée en abscisse est égale au rapport x = ω / ω0 )
-
Dans quel cas a-t-on ωr ≈ ω0 ?
2 Conclusion
RLC série : amplitude Ucm de la tension
uc(t)
Ressort : amplitude Xm de l’élongation
x(t)
x = ω/ω0
Dans le cas d’un circuit RLC série, si on étudie la résonance en tension aux bornes du condensateur,
on observe que UC(ω) ne présente pas de maximum (résonance en tension) pour la pulsation propre
ω0 mais pour une pulsation   0 1 
1
donc uniquement dans le cas Q  1/ 2
2Q 2
Remarques :
-
Cette pulsation de résonance est d’autant plus proche de ω0 que Q est grand. A la limite,
quand Q tend vers l’infini (c'est-à-dire s’il n’y a pas d’amortissement) : ω = ω0
-
Dans le cas où Q  1/ 2 il n’y a pas de phénomène de résonance en tension
-
Cette démonstration n’est pas au programme mais sera certainement un cas d’exercice
classique en khôlle ; cela constitue donc un très bon exercice d’entrainement…
-
Tout ce qui vient d’être écrit pour la résonance en tension uc dans un RLC série est valable,
comme vous venez de le voir avec la simulation proposée, pour la résonance en élongation x
d’un oscillateur mécanique amorti.
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Électricité - Chapitre 4
V
Exercices
1 Exercice d’application : étude de l’impédance d’une association RLC
On étudie expérimentalement un dipôle constitué d'une association d'un condensateur, d'une bobine et
d'une résistance selon le schéma ci-dessous.
A
B
1. Exprimer l'impédance ZAB du dipôle AB et son module |ZAB|. Représenter sommairement |ZAB| = f(ω)
où ωest la pulsation imposée au dipôle par le générateur (en admettant que f(ω) admet un maximum).
2. Montrer que les valeurs de |Z| pour ω = 0 et pour ω tendant vers l’infini peuvent être retrouvées à
l’aide du montage simplifié à très basses et très hautes fréquences.
3. On souhaite accéder expérimentalement à la mesure de l'impédance de ce dipôle, c'est à dire au
module de cette impédance et à son argument. Représenter un montage permettant les mesures
nécessaires à l'aide d'un oscilloscope.
2 Système mécanique à faible facteur de qualité
Le système suspension-amortisseur d’une voiture doit être testé régulièrement lors des contrôles
techniques. Son diagramme de réponse fréquentielle est donné ci-après. La variable d’observation est
l’écart de position du moyeu de la roue par rapport à sa position à l’équilibre. Un dispositif extérieur
sollicite le système en lui imposant des vibrations de fréquence variable. La valeur d’amplitude
d’élongation est portée sur le graphe en valeur relative.
Déterminer la pulsation propre ωo et la fréquence propre fo du système, sachant qu’à sa fréquence
propre le système sera en quadrature retard (φ = π/2) sur l’excitateur.
L’étude théorique de la résonance permet de proposer pour la fréquence de résonance fr l’expression :
fr  f0 1
1
2Q 2
1- Déterminer la valeur du facteur de qualité Q.
2- Aurait-on pu déterminer ωo et Q avec une seule de ces courbes ?
Réponse : ωo = 4,5 rad.s-1 ; ωr = 2,8 rad.s-1 ; Q = 0,9
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3 Dipôles en série
1. Une bobine d'inductance L = 50 mH et de résistance r = 10 Ω est parcourue par un courant
i(t) = Imcos(ωt) sinusoïdal de fréquence f = 1 kHz et d'amplitude 10 mA.
1.1. Exprimer le module et l’argument de l’impédance d’un dipôle RL série.
1.2. En déduire l'expression de la tension u(t) aux bornes de la bobine en remplaçant Um, ω et φ par
des leurs valeurs numériques.
2. Un conducteur ohmique de résistance R = 100 Ω et un condensateur de capacité C sont associés en
série et parcourus par un courant sinusoïdal de fréquence f = 3 kHz et d'amplitude 50 mA. L'amplitude
de la tension aux bornes de l'ensemble est Um = 10 V.
2.1. Exprimer puis calculer la valeur de C.
2.2. Calculer la valeur du déphasage φ de i(t) par rapport à u(t).
2.3. En déduire l'expression de l’intensité i(t).
4 Diviseur de tension
Soit un diviseur de tension formé de deux
dipôles d'impédances complexes Z1 et Z2.
On applique à l'entrée du diviseur une tension
sinusoïdale e(t) = E.cos(ωt) et on exprime la
tension de sortie à vide sous la forme
s(t) = S.cos(ωt + φ).
On pose g = S / E. Exprimer g et φ en fonction des éléments du montage dans le cas où Z1 est une
résistance et Z2 est une bobine parfaite.
5 Résonance en tension
On considère le circuit ci-contre où e est une tension
sinusoïdale de pulsation ω
1. Donner l’expression complexe de la tension s.
2. Etablir qu’il existe un phénomène de résonance pour la tension s. On précisera la pulsation à
laquelle ce phénomène se produit.
3. Déterminer la bande passante correspondante.
4. En déduire l’expression du facteur de qualité.
5. Que peut-on dire du déphasage la résonance de la tension s ?
6. Comparer cette résonance avec la résonance en intensité d’un circuit R L C série.
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