Électricité - Chapitre 4

Électricité - Chapitre 4
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Oscillations forcées
Introduction : méthode de Fresnel et méthode complexe .................................................................................2
I La méthode complexe .................................................................................................................................4
1 La notation complexe ..............................................................................................................................4
2 Impédances complexes d’une bobine, d’un condensateur et d’une résistance .....................................4
3 Comportements à hautes et basses fréquences .....................................................................................4
4 Associations d’impédances et ponts diviseurs ........................................................................................4
5 La méthode complexe appliquée au cas du dipôle RC série ...................................................................4
II Applications expérimentales .......................................................................................................................4
1 Préparation du TP (à rédiger sur le compte rendu de TP) .......................................................................4
2 Cas du dipôle RC série..............................................................................................................................5
3 Cas du dipôle RL série ..............................................................................................................................5
III Résonance en intensité d’un dipôle RLC série (ou en vitesse d’un oscillateur mécanique) .......................6
1 Détermination de l’amplitude complexe I de l’intensité dans un circuit RLC série ................................6
2 Résonance en intensité ...........................................................................................................................6
3 La bande passante ...................................................................................................................................6
4 Analogie avec la mécanique : résonance en vitesse pour un oscillateur mécanique .............................7
5 Etude expérimentale de la résonance en intensité dans un circuit RLC série .........................................7
IV Résonance en élongation x(t) d’un oscillateur (ou en tension uc(t) pour un RLC série)..............................8
1 Etude expérimentale ...............................................................................................................................8
2 Conclusion ...............................................................................................................................................8
V Exercices ......................................................................................................................................................9
1 Exercice d’application : étude de l’impédance d’une association RLC ....................................................9
2 Système mécanique à faible facteur de qualité ......................................................................................9
3 Dipôles en série .................................................................................................................................... 10
4 Diviseur de tension ............................................................................................................................... 10
5 Résonance en tension ........................................................................................................................... 10

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Introduction : méthode de Fresnel et méthode complexe
Dans le chapitre précédent, nous avons vu que la
tension uc aux bornes du condensateur était
solution d’une équation différentielle du second
ordre du type :
e)t(u
dt )t(du Q
dt
)t(ud c
2
0
c0
2
c
2
avec e = 0 ou E
Nous avons déterminé les solutions de cette
équation différentielle et vérifiée (notamment en
TP) que, dans le cas Q > ½, la tension uc oscillait
librement (avec une pseudo période T = 2π / ω)
vers le régime permanent (solution particulière de
l’équation différentielle) uc = E (cas de la charge
du condensateur) ou uc = 0 (cas de la décharge
du condensateur).
Dans ce chapitre nous allons étudier la réponse de circuits électriques contenant résistance(s), bobine(s)
et condensateur(s) lorsqu’ils sont soumis à une excitation e(t) sinusoïdale c'est-à-dire du type
e(t) = E.cos(ωt) ou e(t) = E.sin(ωt) = E.cos(ωt - π /2). Nous allons donc être amené à résoudre des
équations différentielles du type
)tcos(E)t(yc
dt )t(dy
b
dt
)t(yd
a0
2
2
; y(t) sera une tension u(t), une
charge électrique q(t) ou une intensité i(t), la phase φ0 sera souvent nulle et l’équation différentielle sera
soit du premier ordre (a = 0) soit du second ordre (a ≠ 0).
Après un régime transitoire (de type pseudo périodique, critique ou apériodique selon le cas), la grandeur
y(t) tendra vers le régime permanent qui correspond à la solution particulière de l’équation différentielle. Si
le second membre de l’équation différentielle est du type E.cos(ωt) alors nous allons vérifier que la
solution particulière sera du type Ym cos(ωt + φ) = A cos(ωt) + B sin(ωt) = A’ ejωt + B’ e-jωt ; Ym et φ (ou A
et B, ou A’ et B’) seront des constantes à déterminer.
Lorsque l’on soumet un circuit électrique linéaire à une excitation sinusoïdale de pulsation ω (ou de
fréquence f) alors le régime permanent correspond à des oscillations sinusoïdales non amorties de
même pulsation ω (ou de même fréquence f) que celle imposée, donc du type Ym cos(ωt + φ).
Prenons le cas d’un dipôle RC série soumis à une tension sinusoïdale :
uc(t) et solution de l’équation différentielle du premier ordre
)cos(
1
)(
1
)( tE
RC
tu
RCdt tdu c
c
et la solution est donc de la forme
uc(t) = solution de l’équation homogène + solution particulière.
La solution de l’équation homogène est du type
)()/exp( tft 
et tend
donc vers 0 pour t >> τ ; il s’agit du régime transitoire (voir CH2).
Le régime permanent correspond à la solution particulière de l’équation
différentielle et est du type uSP(t) = U cos(ωt + φ).
→ Il est possible de déterminer U et φ par une construction de Fresnel :
 E cos(ωt) peut être représenté par un vecteur de norme E et de phase nulle (on rappelle que
l’on choisit de représenter les vecteurs de Fresnel à t = 0 donc pour une phase ωt = 0)
 uc(t) = U cos(ωt + φ) sera représenté par un vecteur
c
U
de norme U et de phase φ (> 0 ou < 0)
 duc/dt sera représenté par un vecteur
c
U'
déphasé de + π/2 par rapport au vecteur de Fresnel
représentant uc(t), et de norme Uω.
En effet : [U cos(ωt + φ) ]’ = - Uω sin(ωt + φ) = Uω cos[(ωt + φ) + π/2]
oscillations libres
dans le cas e = 0
oscillations libres
dans le cas e = E

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Et ces trois vecteurs doivent vérifier la relation :
xcc u
RC
E
U
RC
1
'U 
ou
xcc uEU'URC 
Construire les vecteurs
x
uE
,
c
U
(φ<0 par ex.) et
c
'URC
Indiquer l’angle φ, la norme U du vecteur
c
U
et la
norme RCUω du vecteur
c
'URC
En déduire l’expression de U en fonction de E, R et C :
………………………………………………………………..
Déterminer de même la valeur de tan(φ)
…………………………………………………………………
→ Mais il existe une méthode plus efficace pour résoudre ce type de problème : la méthode complexe
Étape 1 :
Remplaçons le second membre de l’équation différentielle Ecos(ωt) par E
tj
e
. C’est le principe de la
notation complexe (voir paragraphe I1) ; cela revient à considérer la tension complexe
tj
Ee)t(e 
dont la
partie réelle E cos(ωt) est la vraie tension appliquée au circuit. De même, la tension complexe associée à
la tension uC(t) = U cos(ωt + φ) que l’on cherche à déterminer est
)(
)( tj
CUetu
Étape 2 :
Nous allons chercher une solution complexe
)t(uc
de l’équation différentielle
tj
c
ce
RC
E
tu
RCdt
tud
 )(
1
)(
du type
)t(j
cUe)t(u 
On a alors
)t(ujUej
dt
)t(ud
c
)t(j
c 
et
)t(uc
est donc solution de l’équation complexe linéaire :
tj
ccccc
ce
RC
E
]
RC
jRC1
[)t(u]
RC
1
j[)t(u)t(u
RC
1
)t(uj)t(u
RC
1
dt
)t(ud 
On en déduit :
1jRC
Ee
Ue)t(u j
)t(j
c
Nous verrons que ce résultat peut être obtenu beaucoup plus rapidement en utilisant les impédances
complexes (paragraphes I2 et I3).
Étape 3 :
Afin de déterminer U et φ, il faut donc résoudre l’équation complexe, obtenue après simplification par
tj
e
:
1jRC
E
Uej
U représente le module du complexe donc U = ………………………………………………………………..
φ représente l’argument du complexe donc tan (φ) = ……………………………………………………………
Étape 4 :
Une fois que l’on connait U et φ, on connait la solution complexe
)(
)( tj
cUetu
mais on connait aussi et
surtout la tension réelle :
)tcos(U)UeRe())t(uRe()t(u )t(j
cc  
x
u
*
*
*
*
*
*

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I La méthode complexe
1 La notation complexe
…
2 Impédances complexes d’une bobine, d’un condensateur et d’une résistance
…
3 Comportements à hautes et basses fréquences
…
4 Associations d’impédances et ponts diviseurs
…
5 La méthode complexe appliquée au cas du dipôle RC série
…
II Applications expérimentales
1 Préparation du TP (à rédiger sur le compte rendu de TP)
1.1 Mesure d’un déphasage
Soient deux tensions de même amplitude
Um, de même pulsation ω mais de phases
à l’origine φ1 et φ2 différentes.
- déterminer la valeur de la pulsation ω
- déterminer le décalage temporel
Δt = t2 – t1 entre les deux tensions.
- quelle tension est en avance sur
l’autre ? Justifier.
- quelle est la valeur de Δφ = φ2 – φ1 ?
Déterminer φ2 et en déduire φ1
1.2 Cas d’un dipôle RC série
- Soit e(t) la tension complexe du générateur (de pulsation ω et de phase à l’origine nulle) et
)t(j
mR eU)t(u 
la tension complexe aux bornes de la résistance (voir schéma au 2).
- Exprimer uR(t) en fonction de e(t) puis en déduire l’amplitude UR de la tension uR(t) ainsi que
son déphasage φ par rapport à la tension e(t).
- La tension uR(t) est-elle en avance ou en retard par rapport à e(t) ? Justifier.
1.3 Cas d’un dipôle RL série
- Soit e(t) la tension complexe du générateur (de pulsation ω et de phase à l’origine nulle) et
)t(j
meI)t(i 
l’intensité (voir schéma au 3).
- Soit Z l’impendance équivalente au circuit RL série et G = 1/ Z la conductance équivalente.
Déterminer le module G et l’argument φ’ de G.
- Comparer φ’ et φ. Commenter.
u1(t) = Um cos (ωt + φ1)
u2(t) = Um cos (ωt + φ2)
t (en ms)
u
Δt
t2
t1

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2 Cas du dipôle RC série
2.1 Le montage
- Réaliser le circuit ci-contre avec R = 1,0 kΩ ;
C = 0,10 µF = 100 nF ; f = 1,0 kHz.
- La tension e(t) est un signal sinusoïdal d’amplitude
Um = 3 V (rappel : level = 6V pour les GBF bleus)
- Visualiser sur la voie 1 la tension aux bornes du GBF.
Centrer ce signal.
- Visualiser sur la voie 2 la tension uR(t) = R i(t). Centrer
ce signal.
2.2 Mesures
- Le dipôle RC est soumis à une tension sinusoïdale du type e(t) = Um cos(ωt) ; il est parcouru
par un courant d’intensité i(t) = Im cos(ωt + φ’)
D’après le paragraphe 1, quel est le signe et l’expression de φ’ ? Justifier.
- A l’aide des fonctions de l’oscilloscope, déterminer la valeur de l’amplitude UR et en déduire
l’intensité Im
- Soit Δt le plus petit intervalle de temps séparant deux passages des signaux e(t) et i(t) par la
valeur 0 (ou séparant deux passages des signaux e(t) et i(t) par un maximum…).
Mesurer Δt à l’aide des curseurs temps.
En déduire la valeur de φ’ = φ (en radian ainsi qu’en degré).
- En déduire l’expression de i(t) en remplaçant Im et φ par des valeurs numériques.
2.3 Comparaison avec les résultats théoriques
- Calculer les valeurs théoriques de UR et de φ.
- Comparer les valeurs théoriques et les valeurs expérimentales (valeurs égales à …% près).
3 Cas du dipôle RL série
3.1 Le montage
- Réaliser le circuit ci-contre avec R = 1,0 kΩ ;
L = 0,10 H ; f = 1,0 kHz.
- La tension e(t) est un signal sinusoïdal d’amplitude
Um = 3 V.
- Visualiser sur la voie 1 la tension aux bornes du GBF
et sur la voie 2 la tension uR(t) = R i(t). Centrer ces
signaux.
3.2 Mesures
- Effectuer les mesures nécessaires pour pouvoir déterminer la valeur expérimentale du module
G de la conductance G équivalente au circuit RL série. Justifier le calcul.
- Effectuer les mesures nécessaires pour pouvoir déterminer la valeur expérimentale de la
phase à l’origine φ de l’intensité.
- Calculer les valeurs théoriques de G et de φ puis comparer-les aux valeurs expérimentales.